Глоссарий исчисления

Список определений терминов и понятий, обычно используемых в исчислении

Большинство терминов, перечисленных в глоссариях Википедии, являются уже определены и объяснены в самой Википедии. Однако глоссарии, подобные этому, полезны для поиска, сравнения и анализа большого количества терминов вместе. Вы можете помочь улучшить эту страницу, добавив новые термины или написав определения для существующих.

Этот глоссарий исчисления представляет собой список определений, касающихся calculus, его под-дисциплин и связанных полей.

Содержание:

• A
• B
• C
• D
• E
• F
• G
• H
• I
• J
• K
• L
• M
• N
• O
• P
• Q
• R
• S
• T
• U
• V
• W
• X
• Y
• Z
• См. Также
• Ссылки

Тест Абеля

Метод проверки сходимости бесконечного ряда.

Абсолютной сходимости

Говорят, что бесконечный ряд чисел абсолютно сходится (или является абсолютно сходящимся ), если сумма абсолютных значений слагаемых конечно. Точнее, вещественный или сложный ряд $\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\}$называется сходятся абсолютно, если $\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; |\; а\; п\; |\; =\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; |\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; right\; |\; =\; L\}$для некоторого действительного числа $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; L\}$. Точно так же неправильный интеграл функции , $\int \; 0\; \infty \; f\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (\; x)\; \backslash ,\; dx\}$, говорят, что он сходится абсолютно, если интеграл от модуля подынтегрального выражения конечен, то есть если $\int \; 0\; \infty \; |\; f\; (x)\; |\; d\; x\; =\; L.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; |\; f\; (x)\; \backslash \; right\; |\; dx\; =\; L.\}$

Абсолютный максимум

Наивысшее значение, достигаемое функцией.

Абсолютное минимум

Наименьшее значение, которого достигает функция.

Абсолютное значение

абсолютное значение или модуль | x | действительного числа . x является неотрицательным значением x безотносительно к его знаку . А именно | x | = x для положительного x, | x | = −x для отрицательного x (в этом случае −x положительно) и | 0 | = 0. Например, абсолютное значение 3 равно 3, а абсолютное значение −3 также равно 3. Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля.

Чередующийся ряд

бесконечный ряд, члены которого чередуются между положительными и отрицательными.

Испытание переменного ряда

Метод, используемый для доказательства того, что чередующийся ряд с условиями, которые уменьшение абсолютного значения - это сходящийся ряд. Тест использовался Готфридом Лейбницем и иногда известен как тест Лейбница, правило Лейбница или критерий Лейбница .

Кольцо

Кольцеобразный объект, область, ограниченная двумя концентрическими окружностями.

Первообразная

первообразная, примитивная функция, примитивный интеграл или неопределенный интеграл функции f является дифференцируемой функцией F, производная которой равна исходной функции f. Это можно обозначить символически как $F\; \text{'}=\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; F\text{'}\; =\; f\}$. Процесс определения первообразных называется антидифференцированием (или неопределенным интегрированием ), а его противоположная операция называется дифференцированием, то есть процессом поиска производной.

Arcsin

Площадь под кривой

Асимптота

В аналитической геометрии асимптота кривой - это линия, на которой расстояние между кривой и линия стремится к нулю, поскольку одна или обе координаты x или y стремятся к бесконечности. Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не могла пересекать линию бесконечно часто, но это необычно для современных авторов. В проективной геометрии и связанных контекстах асимптота кривой - это линия, которая касается кривой в точке на бесконечности.

Автоматическое дифференцирование

В математика и компьютерная алгебра, автоматическое дифференцирование (AD), также называемое алгоритмическое дифференцирование или вычислительное дифференцирование, представляет собой набор методов численного вычисления производной функции, заданной компьютерной программой. AD использует тот факт, что каждая компьютерная программа, независимо от ее сложности, выполняет последовательность элементарных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и т. Д.) И элементарных функций (exp, log, sin, cos и т. Д.). Путем многократного применения правила цепочки к этим операциям производные произвольного порядка могут быть вычислены автоматически с точностью до рабочей точности и с использованием не более небольшого постоянного множителя для большего числа арифметических операций, чем в исходной программе.

Среднее значение скорость изменения

Биномиальный коэффициент

Любое из положительных целых чисел, которое встречается как коэффициент в биномиальной теореме, является биномиальным коэффициентом . Обычно биномиальный коэффициент индексируется парой целых чисел n ≥ k ≥ 0 и записывается как $(n\; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{k\}\}.\}$Это коэффициент члена x в полиномиальном разложении числа бином степень (1 + x), и это дается формулой

$(nk)\; =\; n!\; к!\; (п\; -\; к)!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{k!\; (nk)!\}\}.\}$

Биномиальная теорема (или биномиальное разложение )

Описывает алгебраическое разложение степеней биномиальной.

ограниченной функции

A функции f, определенной на некотором множестве X с помощью вещественное или комплексное значения называется ограниченным, если набор его значений ограничен. Другими словами, существует вещественное число M такое, что

$|\; f\; (x)\; |\; \le \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; (x)\; |\; \backslash \; leq\; M\}$

для всех x в X. Функция, которая не ограничена называется неограниченной . Иногда, если f (x) ≤ A для всех x в X, то говорят, что функция ограничена сверху посредством A. С другой стороны, если f (x) ≥ B для всех x в X, то функция называется ограниченной ниже с помощью B.

Ограниченная последовательность

.

Исчисление

(От Latin исчисление, буквально «мелкий камешек», используемое для счета и вычислений, как на счётах ) - это м математическое изучение непрерывного изменения, точно так же, как геометрия изучает форму, а алгебра изучает обобщения арифметических операций.

принцип Кавальери

Принцип Кавальери, современная реализация метода неделимых, названный в честь Бонавентура Кавальери, выглядит следующим образом:

• Двумерный случай : Предположим, что две области на плоскости включены между двумя параллельными линиями в этой плоскости. Если каждая линия, параллельная этим двум линиям, пересекает обе области в линейных сегментах одинаковой длины, то две области имеют равные площади.
• Трехмерный случай : предположим, что две области в трех пространствах (твердые тела) включены между две параллельные плоскости. Если каждая плоскость, параллельная этим двум плоскостям, пересекает обе области в сечениях равной площади, то две области имеют равные объемы.

Правило цепочки

Правило цепочки является формулой для вычисления производной от композиции двух или более функций. То есть, если f и g - функции, то цепное правило выражает производную их композиции f ∘ g (функция, которая отображает x в f (g (x))) через производные f и g и произведение функций следующим образом:

$(f\; \circ \; g)\; \prime \; =\; (f\; \prime \; \circ \; g)\; \cdot \; g\; \prime .\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\; \backslash \; circ\; g)\; \text{'}=\; (f\text{'}\; \backslash \; circ\; g)\; \backslash \; cdot\; g\; \text{'}.\}$

Это может быть эквивалентно выражено через переменную. Пусть F = f ∘ g, или, что то же самое, F (x) = f (g (x)) для всех x. Тогда можно также написать

$F\; \prime \; (x)\; =\; f\; \prime \; (g\; (x))\; g\; \prime \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \text{'}(x)\; =\; f\text{'}\; (g\; (x))\; g\; \text{'}(x).\}$

Цепное правило может быть записано в нотации Лейбница следующим образом. Если переменная z зависит от переменной y, которая сама зависит от переменной x, поэтому y и z являются зависимыми переменными, то z через промежуточную переменную y также зависит от x. Затем цепное правило гласит:

$d\; z\; d\; x\; =\; d\; z\; d\; y\; \cdot \; d\; y\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{dy\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}.\}$

Две версии цепного правила связаны ; если $z\; =\; f\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; f\; (y)\}$и $y\; =\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; g\; (x)\}$, тогда

$dzdx\; =\; dzdy\; \cdot \; dydx\; =\; f\; \prime \; (y)\; g\; \prime \; (x)\; =\; f\; \prime \; (g\; (x))\; g\; \prime \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{dy\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; f\; \text{'}(y)\; g\text{'}\; (x)\; =\; f\; \text{'}\; (g\; (x))\; g\; \text{'}(x).\}$

В интегрировании аналогом правила цепочки является правило подстановки.

Изменение переменных

Является основным метод, используемый для упрощения задач, в котором исходные переменные заменяются функциями других переменных. Цель состоит в том, что при выражении в новых переменных проблема может стать проще или эквивалентной более понятной проблеме.

Совместная функция

A функция f является совместной функцией функции g, если f (A) = g (B), если A и B являются дополнительными углами. Это определение обычно применяется к тригонометрическим функциям. Префикс «со-» можно найти уже в Эдмунде Гюнтере в каноне triangulorum (1620).

Функция Concave

Является ли отрицательным выпуклым элементом функция. Вогнутая функция также синонимично называется вогнутая вниз, вогнутая вниз, выпуклая вверх, выпуклая крышка или выпуклая верхняя часть .

Константа интегрирования

неопределенный интеграл заданной функции (т. Е. набор всех первообразных функции) в подключенном домене определяется только от до аддитивная константа, константа интегрирования . Эта константа выражает неоднозначность, присущую конструкции первообразных. Если функция $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$определена в интервале и $F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\; \}$является первообразной от $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$, тогда набор всех первообразных от $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$задается функциями $F\; (x)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\; +\; C\}$, где C - произвольная константа (что означает что любое значение для C делает $F\; (x)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\; +\; C\}$допустимой первообразной). Константа интегрирования иногда опускается в списках интегралов для простоты.

Непрерывная функция

Является функцией , для которой достаточно небольшие изменения входных данных приводят к сколь угодно малым изменениям. на выходе. В противном случае функция называется разрывной функцией. Непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом.

Непрерывно дифференцируемой

Функция f называется непрерывно дифференцируемой, если производная f ′ (x) существует и сама является непрерывная функция.

Контурное интегрирование

В математической области комплексного анализа, контурное интегрирование - это метод вычисления определенных интегралов вдоль путей в комплексная плоскость.

Тесты сходимости

Методы тестирования на сходимость, условную сходимость, абсолютную сходимость, интервал сходимости или расхождение бесконечного ряда $\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; an\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\}$.

Конвергентный ряд

В математике серия - это сумма членов бесконечной последовательности чисел. Дана бесконечная последовательность $(a\; 1,\; a\; 2,\; a\; 3,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; a\_\; \{2\},\; \backslash \; a\_\; \{3\},\; \backslash \; dots\; \backslash \; right)\}$n-я частичная сумма $S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\}$- это сумма первых n членов последовательности, то есть

$S\; n\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; нак.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{k\}.\}$

Ряд сходящийся, если последовательность его частичных сумм $\{\; S\; 1,\; S\; 2,\; S\; 3,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{S\_\; \{1\},\; \backslash \; S\_\; \{2\},\; \backslash \; S\_\; \{3\},\; \backslash \; dots\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$стремится к предел ; это означает, что частичные суммы становятся все ближе и ближе к заданному числу, когда количество их членов увеличивается. Точнее, ряд сходится, если существует число $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$такое, что для любого произвольно малого положительного числа $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$существует (достаточно большое) целое число $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$такое, что для всех $n\; \ge \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; \backslash \; N\; \}$,

$|\; S\; n\; -\; \ell \; |\; \le \; \epsilon .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; S\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; ell\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\; \backslash \; leq\; \backslash \; \backslash \; varepsilon.\}$

Если ряд сходится, число $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$(обязательно уникальный) называется суммой ряда . Любой несходящийся ряд называется расходящейся.

выпуклой функцией

. В математике, вещественной функцией, определенной на n- размерный интервал называется выпуклым (или выпуклым вниз или вогнутым вверх ), если отрезок линии между любыми двумя точками на График функции находится над графиком или на нем в евклидовом пространстве (или, в более общем смысле, в векторном пространстве ) по меньшей мере двух измерений. Эквивалентно функция является выпуклой, если ее эпиграф (набор точек на графике функции или над ним) является выпуклым набором. Для дважды дифференцируемой функции одной переменной, если вторая производная всегда больше или равна нулю для всей ее области определения, функция будет выпуклой. Хорошо известные примеры выпуклых функций включают квадратичную функцию $x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\}$и экспоненциальную функцию $ex\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{x\}\}$.

Правило Крамера

В линейной алгебре правило Крамера является явной формулой для решения системы линейные уравнения с таким же количеством уравнений, сколько и неизвестных, действительные, когда система имеет уникальное решение. Он выражает решение в терминах детерминантов (квадратного) коэффициента матрицы и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектором-столбцом правых частей уравнения. Он назван в честь Габриэля Крамера (1704–1752), который опубликовал правило для произвольного количества неизвестных в 1750 году, хотя Колин Маклорен также опубликовал частные случаи правила в 1748 году ( и, возможно, знал об этом еще в 1729 году).

Критическая точка

A критическая точка или стационарная точка дифференцируемой функции действительного или комплексная переменная - любое значение в его домене, где его производная равна 0.

Кривая

A кривая (также называемая изогнутая линия в старых текстах) - это, вообще говоря, объект, похожий на линию, но он не обязательно должен быть прямой.

Набросок кривой

в геометрия, построение эскиза кривой (или построение кривой ) включает в себя методы, которые можно использовать для получения приблизительного представления об общей форме плоской кривой с учетом ее уравнение без вычисления большого количества точек, необходимых для получения подробного графика. Это приложение теории кривых для определения их основных характеристик. Здесь вводится уравнение. В цифровой геометрии это метод рисования кривой пиксель за пикселем. Здесь вход представляет собой массив (цифровое изображение).

Затухающая синусоида

Это синусоидальная функция, амплитуда которой приближается к нулю с увеличением времени.

Степень полинома

Наивысшая степень его одночленов (отдельных членов) с ненулевыми коэффициентами. Степень члена представляет собой сумму показателей степени переменных, которые в нем появляются, и, следовательно, является неотрицательным целым числом.

Производная

производная функции действительной переменной измеряет чувствительность к изменению значения функции (выходного значения) по отношению к изменению ее аргумента (входного значения). Производные - это фундаментальный инструмент исчисления. Например, производная положения движущегося объекта относительно времени - это скорость объекта: это измеряет, насколько быстро положение объекта изменяется с течением времени.

Тест производной

A Тест производной использует производные функции для определения критических точек функции и определения, является ли каждая точка локальным максимумом, локальный минимум или седловая точка. Производные тесты также могут предоставить информацию о вогнутости функции.

Дифференцируемая функция

A дифференцируемая функция одной действительной переменной - это функция, производная которой существует в каждой точке своего домена. В результате, график дифференцируемой функции должен иметь (не вертикальную ) касательную линию в каждой точке в своей области, быть относительно гладкой и не может содержать разрывы, изгибы или куспиды.

Дифференциальный (бесконечно малый)

Термин дифференциал используется в исчислении для обозначения бесконечно малого (бесконечно малое) изменение некоторой переменной величины. Например, если x - это переменная, то изменение значения x часто обозначается как Δx (произносится как дельта x). Дифференциал dx представляет собой бесконечно малое изменение переменной x. Идея бесконечно малого или бесконечно медленного изменения чрезвычайно полезна интуитивно, и есть несколько способов сделать это понятие математически точным. Используя исчисление, можно математически связать бесконечно малые изменения различных переменных друг с другом, используя производные. Если y является функцией от x, то дифференциал dy от y связан с dx по формуле

$dy\; =\; dydxdx,\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash ,\; dx,\}$

где dy / dx обозначает производную y по x. Эта формула обобщает интуитивную идею о том, что производная y по x является пределом отношения разностей Δy / Δx, когда Δx становится бесконечно малым.

Дифференциальное исчисление

Это подполе математического анализа, связанное с изучением скорость изменения количества. Это один из двух традиционных разделов исчисления, второй - интегральное исчисление, исследование площади под кривой.

Дифференциальное уравнение

Является математическим уравнение, которое связывает некоторую функцию с ее производными. В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные представляют скорости их изменения, а уравнение определяет взаимосвязь между ними.

Дифференциальный оператор

.

Дифференциал функции

В исчислении дифференциал представляет собой основную часть изменения функции y = f (x) по отношению к изменениям в независимой переменной. Дифференциал dy определяется как

$dy\; =\; f\; \prime \; (x)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; f\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; dx,\}$

где $f\; \prime \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\text{'}\; (x)\}$- это производная функции f по x, а dx - дополнительная действительная переменная (так что dy является функцией x и dx). Обозначения таковы, что выполняется уравнение

$dy\; =\; dydxdx\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash ,\; dx\}$

, где производная представлена ​​в нотации Лейбница dy / dx, и это согласуется с рассмотрением производной как частного от дифференциалов. Также пишут

$d\; f\; (x)\; =\; f\; \prime \; (x)\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; (x)\; =\; f\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; dx.\}$

Точное значение переменных dy и dx зависит от контекста приложения и требуемого уровня математической строгости. Область этих переменных может иметь особое геометрическое значение, если дифференциал рассматривается как конкретная дифференциальная форма, или аналитическое значение, если дифференциал рассматривается как линейное приближение к приращению функции. Традиционно переменные dx и dy считаются очень маленькими (бесконечно малыми ), и такая интерпретация выполняется строго в нестандартном анализе.

Правила дифференциации

.

Тест прямого сравнения

Тест сходимости, в котором бесконечный ряд или неправильный интеграл сравнивается с одним с известными свойствами сходимости.

Тест Дирихле

Это метод проверки сходимости ряда . Он назван в честь его автора Питера Густава Лежена Дирихле и был опубликован посмертно в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées в 1862 году. Тест гласит, что если $\{an\}\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{a\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$- это последовательность из вещественных чисел и $\{bn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{b\_\; \{n\; \}\; \backslash \}\}$последовательность комплексных чисел, удовлетворяющих

• $an\; +\; 1\; \le \; an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; leq\; a\_\; \{n\}\}$

• $lim\; n\; \to \; \infty \; an\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; =\; 0\}$

• $|\; \sum \; n\; =\; 1\; N\; b\; n\; |\; \le \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; b\_\; \{n\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; M\}$для каждого положительного целого числа N

, где M - некоторая константа, то ряд

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; anbn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; b\_\; \{n\}\}$

сходится.

Дисковая интеграция

Также известный в интегральном исчислении как дисковый метод, это средство вычисления объема тела вращения твердого тела. -состояние материала, когда интегрирует вдоль оси, «параллельной» оси вращения .

Расходящийся ряд

Является бесконечным рядом, который не сходится, что означает, что бесконечная последовательность из частичных сумм ряд не имеет конечного предела.

Разрыв

Непрерывные функции имеет первостепенное значение в математике, функциих и приложениях. Однако не все функции постоянно непрерывными. Если функция не является непрерывной в точке в ее домене, говорят, что у нее есть разрыв там. Набор всех точек разрыва функции может быть дискретным набором , плотным набором или даже всей областью функции.

Точечное произведение

В математика, скалярное произведение или скалярное произведение - это алгебраическая операция, которая принимает две числа одинаковой длины (обычно векторов координат ) и возвращает одно число. В евклидовой геометрии скалярное произведение декартовых координат двух векторов широко используется часто называется «внутренним произведением» (или редко продукт проекции ) евклидова, даже если это не единственный внутренний продукт, который может быть определен в евклидовом пространстве; см. также внутреннее пространство продукта.

Двойной интеграл

Множественный интеграл - это интеграл функции более чем одного действительного переменная, например, f (x, y) или f (x, y, z). Интегралы от функций двух чисел в области в R называются двойными интегралами, а интегралы от функций трех чисел в области R называются тройные интегралы.

e (математическая константа)

Число e - это математическая константа, которая является основой натурального логарифма : уникальное число, натуральный логарифм которого равной единице. Он равен 2,71828 и является пределом из (1 + 1 / n), когда n приближается к бесконечности, выражение, которое возникает при изучении сложные проценты. Его также можно вычислить как сумму бесконечного ряда

$e\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 1\; n!\; Знак\; равно\; 1\; 1\; +\; 1\; 1\; +\; 1\; 1\; \cdot \; 2\; +\; 1\; 1\; \cdot \; 2\; \cdot \; 3\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{1\}\; \{\; n!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; \backslash \; cdot\; 2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; \backslash \; cdot\; 2\; \backslash \; cdot\; 3\}\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

Эллиптический интеграл

В интегральном исчислении, эллиптические интегралы возникли в связи с проблемами построения дуги . длина эллипса . Впервые их изучили Джулио Фаньяно и Леонард Эйлер (c.1750). Современная математика определяет «эллиптический интеграл» как любую функцию f, которая может быть выражена в форме

$f\; (x)\; =\; \int \; cx\; R\; (t,\; P\; (t))\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\; x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{c\}\; ^\; \{x\}\; R\; \backslash \; left\; (t,\; \{\backslash \; sqrt\; \{P\; (t)\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dt,\}$

где R - рациональная функция из двух своих аргументов, P - это многочлен степени 3 или 4 без повторяющихся корней, а c - константа..

Существенный разрыв

Для существенного разрыва только один из двух односторонних пределов не обязательно существует или быть бесконечным. Рассмотрим функцию

Затем точка $x\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; ;\; =\; \backslash ;\; 1\}$- существенный разрыв. В этом случае $L\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; L\; ^\; \{-\}\}$не существует и $L\; +\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; L\; ^\; \{+\}\}$бесконечно - таким образом, удовлетворяет условиям существенной прерывности. Таким образом, x 0 - существенный разрыв, бесконечный разрыв, или разрыв второго рода. (Это отличается от термина существенная особенность, которая используется часто при изучении функций комплексных чисел.

метода Эйлера

Метод Эйлера - это числовой метод решени я первого порядка first de Это дифференциальное уравнение с заданным начальным значением. Это самый простой явный метод для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и самый простой метод Рунге - Кутты. Метод Эйлера назван в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел его в своей книге Institutionum Calculi Integratedis (опубликованной в 1768–1870 гг.).

Показательная функция

В математике, экспоненциальная функция - это функция вида $f\; (x)\; =\; abx,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; ab\; ^\; \{x\},\}$

где b - положительное действительное число, а аргумент x встречается как показатель степени. Для действительных чисел c и d функция вида $f\; (x)\; =\; abcx\; +\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; ab\; ^\; \{cx\; +\; d\}\}$также является экспоненциальной функцией, так как его можно переписать как

$abcx\; +\; d\; =\; (abd)\; (bc)\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; ab\; ^\; \{cx\; +\; d\}\; =\; \backslash \; left\; (ab\; ^\; \{d\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (b\; ^\; \{c\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{x\}.\}$

Теорема об экстремальном значении

утверждает, что если вещественная функция f является непрерывной на закрытом интервале [a, b], то f должно достигать максимума и минимум, каждый по крайней мере один раз. То есть существуют числа c и d в [a, b] такие, что:

$f\; (c)\; \ge \; f\; (x)\; \ge \; f\; (d)\; для\; всех\; x\; \in \; [a,\; b].\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (c)\; \backslash \; geq\; f\; (x)\; \backslash \; geq\; f\; (d)\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\; all\}\}\; x\; \backslash \; in\; [a,\; b].\}$

Связанная теорема: Теорема об ограниченность, которая утверждает, что непрерывная функция f на отрезке [a, b] ена на этом интервале. То есть существуют действующие числа m и M такие, что:

Теорема об экстремальном значении обогащает теорему об ограниченности, говоря, что функция не только ограничена, но также достигает своей наименьшей верхней границы как своего максимума и своей максимальной нижней границы как минимум.

Экстремум

В математическом анализе, максимумы и минимумы (соответствующие множественные числа максимум и минимум ) функции , вместе известное как extrema (множественное число от extremum ), имеют наибольшее и наименьшее значение в пределах заданного диапазона. (локальный или относительный экстремум) или во всем домене функции (глобальный или абсолютный Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложенной общую технику, адекватность, для нахождения максимумов и минимум функций. Как определено в теории множеств, максимум и минимум из набора являются наибольшим и наименьшим количеством элементов в наборе, соответственно. Неограниченные бесконечные числа, такие как набор действительных чисел, не имеютума или максимума.

Формула Фаа ди Бруно

Является тождеством в математике, обобщающим цепное правило к высшим производным, названное в честь Франческо Фаа ди Бруно (1855, 1857), хотя он не был первым, кто сформулировал формула. В 1800 году, более чем за 50 лет до Фа ди Бруно, французский математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст изложил фо рмулу в учебнике по математическому анализу, который считается первым опубликованным справочником по этому вопросу. Возможно, наиболее известная форма формулы Фаа ди Бруно гласит, что

$d\; n\; d\; x\; n\; f\; (g\; (x))\; =\; \sum \; n!\; м\; 1!\; 1!\; м\; 1\; м\; 2!\; 2!\; м\; 2\; \cdots \; м\; п!\; п!\; mn\; \cdot \; е\; (м\; 1\; +\; \cdots \; +\; mn)\; (g\; (x))\; \cdot \; =\; j\; =\; 1\; n\; (g\; (j)\; (x))\; mj,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{n\}\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{n\}\; \}\; f\; (g\; (x))\; =\; \backslash \; sum\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{m\_\; \{1\}!\; \backslash ,\; 1!\; ^\; \{м\_\; \{1\}\}\; \backslash ,\; м\_\; \{2\}!\; \backslash ,\; 2!\; ^\; \{m\_\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\; m\_\; \{n\}!\; \backslash ,\; N!\; ^\; \{M\_\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; cdot\; f\; ^\; \{(m\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; m\_\; \{n\})\}\; (g\; (x))\; \backslash \; cdot\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (g\; ^\; \{(j)\}\; (x)\; \backslash \; right)\; ^\; \{m\_\; \{j\}\},\}$

где сумма больше всех n- кортежей неотрицательных целых чисел (m 1,…, m n), удовлетворяющих ограничению

$1\; \cdot \; m\; 1\; +\; 2\; \cdot \; m\; 2\; +\; 3\; \cdot \; м\; 3\; +\; \cdots \; +\; N\; \cdot \; mn\; знак\; равно\; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; cdot\; m\_\; \{1\}\; +2\; \backslash \; cdot\; m\_\; \{2\}\; +3\; \backslash \; cdot\; m\_\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; n\; \backslash \; cdot\; m\_\; \{n\}\; =\; n.\}$

Иногда, чтобы дать ему запоминающийся шаблон, он записан таким образом, что коэффициенты, которые имеют комбинаторную интерпретацию, обсуждаемую ниже, менее явны:

$dndxnf\; (g\; (x))\; =\; n!\; м\; 1!\; м\; 2!\; \cdots \; m\; n!\; \cdot \; е\; (м\; 1\; +\; \cdots \; +\; m\; n)\; (g\; (x))\; \cdot \; \prod \; j\; =\; 1\; n\; (g\; (j)\; (x)\; j!)\; M\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{n\}\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{n\}\}\; f\; (g\; (x))\; =\; \backslash \; sum\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{m\_\; \{1\}!\; \backslash ,\; м\_\; \{2\}!\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\; m\_\; \{n\}!\}\}\; \backslash \; cdot\; f\; ^\; \{(m\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; m\_\; \{n\})\}\; (g\; (x))\; \backslash \; cdot\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{g\; ^\; \{(j)\}\; (x)\}\; \{j!\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{m\_\; \{j\}\}.\}$

Объединение членов с одинаковым расположением m 1 + m 2 +... + m n = k и заметив, что m j должно быть равно нулю для j>n - k + 1 приводит к несколько более простой формуле, выраженной через многочлены Белла B n, k (x1,..., x n − k + 1):

$dndxnf\; (g\; (x))\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; nf\; (k)\; (g\; (x))\; \cdot \; B\; n,\; k\; (g\; \prime \; (x),\; g\; ″\; (x),\dots ,\; g\; (n\; -\; k\; +\; 1)\; (х)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{n\}\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{n\}\}\; f\; (g\; (x))\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; f\; ^\; \{(k)\}\; (g\; (x))\; \backslash \; cdot\; B\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; left\; (g\; \text{'}(x),\; g\text{'}\; \text{'}(x),\; \backslash \; dots,\; g\; ^\; \{(n-k\; +\; 1)\}\; (x)\; \backslash \; right).\}$

Первая -degree polynomial

Тест первой производной

Тест первой производной исследует свойства монотонности функции (где функция увеличивается или уменьшается), фокусируясь на конкретной точке в ее области. Если функция «переключается» с увеличения на уменьшение в этой точке, тогда функция достигает наивысшего значения в этой точке. Точно так же, если функция «переключается» с уменьшения на увеличение в этой точке, тогда она достигнет наименьшего значения в этой точке. Если функция не может «переключиться» и продолжает увеличиваться или продолжает уменьшаться, тогда не достигается ни максимальное, ни минимальное значение.

Дробное исчисление

Это ветвь математического анализа, изучающая несколько различных возможности определения степени действительного числа или степени комплексного числа оператора дифференцирования D

$D\; f\; (x)\; =\; ddxf\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; Df\; (x)\; =\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; f\; (x)\}$,

и оператора интегрирования J

$J\; f\; (x)\; =\; \int \; 0\; xf\; (s)\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; Jf\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; F\; (s)\; \{ds\}\}$,

и разработка исчисления для таких операторов, обобщающих классический. В этом контексте термин мощности относится к итеративному применению линейного оператора к функции, в некоторой аналогии с составом функций, действующим на переменную, то есть f (x) = f ∘ f (x) = f (f (x)).

Frustum

В геометрии, frustum (во множественном числе: усеченная пирамида или усеченная пирамида) является частью твердого тела (обычно конус или пирамида ), который находится между одной или двумя параллельными плоскостями, разрезающими его. правая усеченная пирамида - это параллельное усечение правой пирамиды или правого конуса.

Функция

- это процесс или отношение, которое связывает каждый элемент x набора X, домен функции, к одному элементу y другого набора Y (возможно, того же набора), содомена функции. Если функция называется f, это отношение обозначается y = f (x) (читать f из x), элемент x является аргументом или входом функции, а y является значением функции., выход или изображение x по f. Символ, который используется для представления входных данных, - это переменная функции (часто говорят, что f является функцией переменной x).

Состав функции

Операция, которая требует двух функции f и g и выдает функцию h такую, что h (x) = g (f (x)). В этой операции функция g применяется к результату применения функции f к x. То есть функции f: X → Y и g: Y → Z составлены, чтобы получить функцию, которая отображает x в X в g (f (x)) в Z.

Основная теорема исчисление

основная теорема исчисления - это теорема, которая связывает концепцию дифференцирования функции с концепцией интеграция функции. Первая часть теоремы, иногда называемая первой фундаментальной теоремой исчисления, утверждает, что одна из первообразных (также называемая неопределенным интегралом), скажем F, некоторой функции f может быть полученный как интеграл от f с переменной границей интегрирования. Это подразумевает существование первообразных для непрерывных функций. И наоборот, вторая часть теоремы, иногда называемая второй фундаментальной теоремой исчисления, утверждает, что интеграл функции f на некотором интервале может быть вычислен с использованием любого одного, скажем F, из бесконечного множества первообразные. Эта часть теоремы имеет ключевые практические приложения, поскольку явное нахождение первообразных функций посредством символьного интегрирования избегает численного интегрирования для вычислений интегралов. В целом обеспечивает лучшую числовую точность.

Общее правило Лейбница

Общее правило Лейбница, названное в честь Готфрида Вильгельма Лейбница, обобщает правило произведения (которое также известно как «правило Лейбница»). В нем указано, что если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$равны $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-раз дифференцируемые функции, тогда продукт $fg\; \{\backslash \; displaystyle\; fg\}$также $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-раз дифференцируемый а его $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-я производная определяется как

$(fg)\; (n)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; f\; (n\; -\; k)\; g\; (k),\; \{\backslash \; displaystyle\; (fg)\; ^\; \{(n)\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; select\; k\}\; f\; ^\; \{(nk)\}\; g\; ^\; \{(k)\},\}$

где $(nk)\; =\; n!\; к!\; (п\; -\; к)!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{n\; \backslash \; select\; k\}\; =\; \{n!\; \backslash \; над\; k!\; (n-k)!\}\}$- это биномиальный коэффициент и $f\; (0)\; \equiv \; f.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(0)\}\; \backslash \; Equiv\; f.\}$Это можно доказать с помощью правил произведения и математической индукции.

Глобальный максимум

В математическом анализе, максимумы и минимумы (соответствующие множественные числа максимум и минимум ) функции ,, вместе известные как extrema (множественное число от extremum ) - наибольшее и наименьшее значение функции в пределах заданного диапазона (local или relative экстремумов) или на всей области функции (глобальный или абсолютный экстремум). Пьер де Ферма был одним из первых математикам, чтобы предложить общую технику адекватность для нахождения максимумов и минимумов функций. Как определено в теории множеств, максимум и минимум из являются наибольшим и наименьшим элементами в наборе, соответственно. Неограниченные бесконечные числа, такие как набор действительных чисел, не имеют минимума или максимума.

Глобальный минимум

В математического анализа максимумы и минимумы (соответствующие множественные числа максимум и минимум ) функции ,, вместе известной как экстремум (множественное число extremum ), имеют наибольшее и наименьшее значение функции либо в заданном диапазоне (локальный или относительный экстремум), либо во всем домене функция (глобальный или абсолютный экстремум). Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложившую общую технику адекватности, для нахождения максимумов и минимумов функций. Как определено в теории множеств, максимум и минимум из являются наибольшим и наименьшим элементами в наборе, соответственно. Неограниченные бесконечные числа, такие как набор действительных чисел, не имеют минимума или максимума.

Золотая спираль

В геометрии золотая спираль представляет собой золотую спираль с коэффициентом роста φ, золотым сечением. То есть золотая спираль становится шире (или дальше от своего источника) в φ раз на каждую четверть оборота, которую она делает.

Градиент

Это обобщение производной с множеством чисел. В то время как производная может быть определена для функций одной переменной, для функций нескольких чисел градиент занимает свое место. Градиент - это функция функция, в отличие от производной, которая имеет склярное значение

Гармоническая прогрессия

В математике, гармоническая прогрессия ( или гармоническая последовательность ) - это прогрессия, образованный путем взятия обратных величин арифметической прогрессии. Это последовательность формы

$1\; a,\; 1\; a\; +\; d,\; 1\; a\; +\; 2\; d,\; 1\; a\; +\; 3\; d,\; \cdots ,\; 1\; a\; +\; kd,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; \}\},\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; +\; d\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; +\; 2d\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; +\; 3d\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdots,\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; +\; kd\}\},\}$

где −a / d не является натуральным числом, а k является натуральным числом. Эквивалентно, последовательность - это гармоническая прогрессия, когда каждый член является средним гармоническим соседних членов. Невозможно для гармонического прогрессии (кроме тривиального случая, когда a = 1 и k = 0) суммировать до целого числа. Причина в том, что по крайней мере один знаменатель прогрессии обязательно будет делиться на простое число, которое не делит никакой другой знаменатель.

Старшая производная

Пусть f - дифференцируемая функция, и пусть f - его производная. Производная f '(если она есть) обозначается как f' 'и называется второй производной f. Аналогично, производная вторая производной, если она существует, обозначается как f ′ ′ ′ и называется третьей производной функции f. Продолжая этот процесс, можно определить, если она существует, n-ю производную как производную от (n-1) -й производной. Эти повторяющиеся производные называются производными более высокого порядка. N-я производная также называется Однородное линейное дифференциальное уравнение

A Дифференциальное уравнение может быть однородным в любом из двух слоев. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно записать в виде

$f\; (x,\; y)\; dy\; =\; g\; (x,\; y)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; dy\; =\; g\; (x,\; y)\; dx,\}$

где f и g - однородные функции одинаковой степени x и y. В этом случае изменение y = ux приводит к уравнению вида

$dxx\; =\; h\; (u)\; du,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\}\}\; =\; h\; (u)\; du,\}$

, который легко решить путем интегрирования двух элементов. В случае дифференциального уравнения является однородным, если оно является однородной функцией неизвестной функции и ее производных. В случае линейных соединительных элементов <1101039>это означает, что нет постоянных членов. Решения любого линейного обыкновенного дифференциального уравнения любого порядка могут быть выведены интегрирование из решения однородного уравнения, полученного удалением постоянного члена.

Гиперболическая функция

Гиперболическая функция : аналоги обычных тригонометрических или круговых функций.

Функция идентичности

Также называется отношением идентичности или идентичностью или преобразование идентичности - это функция , всегда возвращает то же значение, которое использовалось в качестве аргумента. В уравнениях функция задается как f (x) = x.

Мнимое число

Является комплексным числом, которое может быть записано как действительное число., умноженный на мнимую единицу i, которая определяет ее своимством i = -1. Квадрат мнимого числа bi равен −b. Например, 5i - мнимое число, а его квадрат равен −25. Ноль считается действительным, так и мнимым.

Неявная функция

В математике неявное уравнение - это отношение $R\; (x\; 1,\dots ,\; Xn)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (x\_\; \{1\; \},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; =\; 0\}$, где $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- это функция нескольких частей (часто полином ). Например, неявное уравнение единичной окружности : $x\; 2\; +\; y\; 2-1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; 0\}$. Неявная функция - это функция , которая неявно определяется неявным уравнением, связывая одну из переменных (значение ) с другими (аргументы ). Таким образом, неявная функция для $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$в контексте единичной окружности неявно определяется как $x\; 2\; +\; f\; (x)\; 2\; -\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; f\; (x)\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; 0\}$. Это неявное уравнение определяет $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$как функцию от $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, только если $-\; 1\; \le \; x\; \le \; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; -1\; \backslash \; leq\; x\; \backslash \; leq\; 1\}$и учитываются только неотрицательные (или неположительные) значения для значений функции. Теорема о неявной функции предоставляет условия, при которых некоторые виды отношений определяют неявную функцию, а именно отношения, определенные как индикаторная функция нулевого набора некоторого непрерывно дифференцируемая многомерная функция.

Неправильная дробь

Обычная дробь может быть классифицирована как правильная или неправильная. Когда числитель и знаменатель положительны, дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, и неправильной в противном случае. В общем, обычная дробь называется правильной дробью, если абсолютное значение дроби строго меньше единицы, то есть если дробь больше -1 и меньше 1. Это считается неправильной дробью или иногда верхней дробью, если абсолютное значение дроби больше или равно 1. Примеры правильных дробей: 2/3, –3/4 и 4/9; примерами неправильных дробей являются 9/4, –4/3 и 3/3.

Неправильный интеграл

В математическом анализе неправильный интеграл - это предел определенный интеграл в качестве конечной точки интервала (ов) интегрирования приближается либо к заданному действительному числу, $\infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; infty\}$, $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$, или в некоторых случаях, когда обе конечные точки приближаются к пределам. Такой интеграл часто записывается символически, как стандартный определенный интеграл, в некоторых случаях с бесконечностью как предел интегрирования. В частности, несобственный интеграл - это предел вида:

$lim\; b\; \to \; \infty \; \int \; abf\; (x)\; dx,\; lim\; a\; \to \; -\; \infty \; \int \; abf\; (x)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{b\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\; \}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lim\; \_\; \{a\; \backslash \; to\; -\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx,\; \}$

или

$lim\; c\; \to \; b\; -\; \int \; acf\; (x)\; dx,\; lim\; c\; \to \; a\; +\; \int \; cbf\; (x)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{c\; \backslash \; to\; b\; ^\; \{-\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{c\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx,\; \backslash \; quad\; \backslash \; lim\; \_\; \{c\; \backslash \; to\; a\; ^\; \{+\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{c\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx,\}$

, в котором принимается ограничение в одной или другой (или иногда в обеих) конечных точках (Apostol 1967, §10.23) harv error: no target: CITEREFApostol1967 (help ).

точка перегиба

В дифференциальном исчислении, точка перегиба, точка перегиба, гибкость или перегиб ( Британский английский: перегиб ) - точка на непрерывной плоской кривой, в которой кривая изменяется с вогнутой (вогнутой вниз) на выпуклый (вогнутый вверх) или наоборот.

Instantaneo скорость изменения

Производная функции одной переменной при выбранном входном значении, если оно существует, представляет собой наклон касательной линии к график функции в этой точке. Касательная линия - это наилучшее линейное приближение функции вблизи этого входного значения. По этой причине производная часто описывается как «мгновенная скорость изменения», то есть отношение мгновенного изменения зависимой переменной к изменению независимой переменной..

Мгновенная скорость

Если мы рассматриваем v как скорость, а x как вектор смещения (изменения положения), то мы можем выразить (мгновенную) скорость частица или объект, в любой конкретный момент времени t, как производная положения по времени:

$v\; =\; lim\; \Delta \; t\; \to \; 0\; \Delta \; x\; \Delta \; t\; =\; dxdt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\{\backslash \; Delta\; t\}\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\}\; \{d\; \{\backslash \; mathit\; \{t\}\}\}\}.\}$

Из этого производного уравнения в одномерном случае видно, что площадь под действием скорости в зависимости от времени (v в зависимости от графика t) - смещение, x . С точки зрения вычислений, интеграл функции скорости v (t) является функцией смещения x (t). На рисунке это соответствует желтой области под кривой, обозначенной s(s(альтернативное обозначение смещения).

$х\; =\; \int \; v\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; \backslash \; d\; \{\backslash \; mathit\; \{t\}\}.\}$

Поскольку производная позиции по времени дает изменение позиции ( в метрах ), разделенных на изменение во времени (в секундах ), скорость измеряется в метрах в секунду (м / с). Хотя концепция мгновенной скорости на первый взгляд может показаться нелогичной, ее можно рассматривать как скорость, с которой объект продолжал бы двигаться, если бы в этот момент он прекратил ускоряться..

Интеграл

Интеграл присваивает числа функциям таким образом, чтобы они могли описывать смещение, площадь, объем и другие понятия, возникающие при объединении бесконечно малых данных. Интегрирование - одна из двух основных операций исчисления, а обратная операция - дифференцирование - другая..

Интегральный символ

Интегральный символ:

∫ (Unicode ), $\int \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\}$(LaTeX )

используется для обозначения интегралов и первообразных в математике..

Интегрировать

Функция, которую нужно интегрировать в интеграл.

Интегрирование по частям

В исчислении и в более общем плане математический анализ, интегрирование по частям или частичное интегрирование - это процесс, который находит интеграл от произведения функций в терминах интеграла от их производной и первообразной. Он часто используется для преобразования первообразной произведения функций в первообразную, для которой легче найти решение. Правило может быть легко получено путем интеграции правила продукта для дифференциации. Если u = u (x) и du = u ′ (x) dx, а v = v (x) и dv = v ′ (x) dx, то интегрирование по частям утверждает, что:

$\int \; abu\; (x)\; v\; \prime \; (X)\; dx\; =\; [u\; (x)\; v\; (x)]\; ab\; -\; \int \; abu\; \prime \; (x)\; v\; (x)\; dx\; =\; u\; (b)\; v\; (b)\; -\; u\; (a)\; v\; (a)\; -\; \int \; abu\; \text{'}(Икс)\; v\; (Икс)\; dx\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; u\; (x)\; v\text{'}\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; Big\; [\}\; u\; (x)\; v\; (x)\; \{\backslash \; Big]\}\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; u\; \text{'}(x)\; v\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; =\; u\; (b)\; v\; (\; б)\; -u\; (a)\; v\; (a)\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; u\; \text{'}(x)\; v\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

или более компактно:

$\int \; udv\; =\; uv\; -\; \int \; vdu.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; u\; \backslash ,\; dv\; =\; uv-\; \backslash \; int\; v\; \backslash ,\; du.\}$

Математик Брук Тейлор обнаружил интеграцию по частям, впервые опубликовав идею в 1715. Более общие формулировки интегрирования по частям существуют для интегралов Римана – Стилтьеса и Лебега – Стилтьеса. Дискретный аналог для последовательностей называется суммированием по частям..

Интегрирование путем подстановки

Также известный как u-подстановка, это метод решения интегралов. Использование фундаментальной теоремы исчисления часто требует поиска первообразной. По этой и другим причинам интегрирование путем подстановки является важным инструментом в математике. Это аналог правила цепочки для дифференциации..

Теорема о промежуточном значении

В математическом анализе теорема о промежуточном значении утверждает, что если непрерывная функция, f, с интервалом , [ a, b], поскольку его домен, принимает значения f (a) и f (b) на каждом конце интервала, затем он также принимает любое значение между f (a) и f (b) в какая-то точка в интервале. Это имеет два важных следствия. :

1. Если непрерывная функция имеет значения противоположного знака внутри интервала, то она имеет корень в этом интервале (теорема Больцано ).
2. изображение непрерывная функция на интервале сама по себе является интервалом.

Обратные тригонометрические функции

(также называемые функциями дуги, антитригонометрическими функциями или циклометрическими функциями) - это функции, обратные к тригонометрическим функциям (с подходящим образом ограниченными доменами ). В частности, они являются инверсиями синуса, косинуса, тангенса, котангенс, секанс и косеканс, которые используются для получения угла из любого из тригонометрических соотношений угла.

Разрыв скачка

Рассмотрим функцию

Тогда точка x 0 = 1 представляет собой скачкообразный разрыв. В этом случае единственного предела не существует, потому что односторонние пределы L и L существуют и конечны, но не равны: поскольку L L L, предел L не существует. Тогда x 0 называется разрывом скачка, разрывом шага или разрывом первого рода. Для этого типа разрыва функция f может иметь любое значение в x 0.

интегрирование Лебега

. В математике интеграл неотрицательной функции одной переменной. в простейшем случае можно рассматривать как область между графиком этой функции и осью x. Интеграл Лебега расширяет интеграл до более широкого класса функций. Он также расширяет домены, на которых могут быть определены эти функции.

Правило L'Hôpital

Правило L'Hôpital или правило L'Hospital использует производные, чтобы помочь оценить пределы с участием неопределенных форм. Применение (или повторное применение) правила часто преобразует неопределенную форму в выражение, которое можно вычислить путем подстановки, что упрощает оценку предела. Правило названо в честь французского математика Гийома де л'Опиталя 17 века. Хотя вклад этого правила часто приписывается Л'Опиталу, теорема была впервые представлена ​​Л'Опиталу в 1694 году швейцарским математиком Иоганном Бернулли. Правило Л'Опиталя гласит, что для функций fи g, которые дифференцируемы на открытом интервале I, за исключением, возможно, точки cсодержится в I, если $lim\; x\; \to \; cf\; (x)\; =\; lim\; x\; \to \; cg\; (x)\; =\; 0\; или\; \pm \; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; c\; \}\; е\; (х)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{х\; \backslash \; к\; с\}\; g\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; pm\; \backslash \; infty,\}$$g\; \text{'}(x)\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; g\text{'}\; (\; x)\; \backslash \; neq\; 0\}$для всех xв Iс x≠ cи $lim\; x\; \to \; cf\; \prime \; (x)\; g\; \prime \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; c\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{g\text{'}\; (x)\}\}\}$существует, тогда

$lim\; x\; \to \; cf\; (x)\; g\; (x)\; =\; lim\; x\; \to \; cf\; \prime \; (x)\; g\; \prime \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; c\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; c\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{g\; \text{'}(x)\}\}.\}$

Дифференцирование числителя и знаменателя часто упрощает частное или преобразует его в предел, который можно оценить напрямую.

Тест сравнения пределов

Тест сравнения пределов позволяет определить сходимость одного ряда на основе сходимости другого.

Предел функции

.

Предел интегрирования

.

Линейная комбинация

В математике линейная комбинация - это выражение, построенное из набора терминов путем умножения каждого члена на константу и сложения результатов (например, линейная комбинация x и y будет любым выражением формы ax + by, где a и b - константы). Концепция линейных комбинаций является центральной в линейной алгебре и связанных областях математики.

Линейное уравнение

Линейное уравнение - это уравнение, связывающее две или более переменных друг с другом в форме $a\; 1\; x\; 1\; +\; \cdots \; +\; тревога\; +\; b\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; x\_\; \{n\}\; +\; b\; =\; 0,\}$с максимальная степень каждой переменной равна 1.

Линейная система

.

Список интегралов

.

Логарифм

.

Логарифмическое дифференцирование

.

Нижняя граница

.

Теорема о среднем значении

.

Монотонная функция

.

Кратный интеграл

.

Мультипликативное исчисление

.

Многопараметрическое исчисление

.

Натуральный логарифм

натуральный логарифм числа - это его логарифм по основанию числа математическая константа e, где e - иррациональное и трансцендентное число, примерно равное 2,718281828459. Натуральный логарифм x обычно записывается как ln x, log e x или иногда, если основание e неявно, просто log x. Круглые скобки иногда добавляются для ясности, давая ln (x), log e (x) или log (x). Это делается, в частности, когда аргумент логарифма не является одним символом, чтобы предотвратить двусмысленность.

Неньютоновское исчисление

.

Нестандартное исчисление

.

Обозначение для дифференцирования

.

Численное интегрирование

.

Одностороннее limit

.

Обыкновенное дифференциальное уравнение

.

Теорема Паппа о центроиде

(также известная как теорема Гулдинуса, теорема Паппа – Гулдинуса или теорема Паппа ) является одной из двух связанных теорем, касающихся площадей и объемов поверхностей и твердых тел вращения.

Парабола

Представляет собой плоскую кривую , которая является зеркально-симметричной и имеет приблизительно U- форму. Он соответствует нескольким внешне различным другим математическим описаниям, которые, как можно доказать, определяют одни и те же кривые.

Параболоид

.

Частная производная

.

Уравнение в частных производных

.

Разложение на частную дробь

.

Частное решение

.

Кусочно-определенная функция

Функция, определяемая несколькими подфункциями, которые применяются к определенным интервалам области действия функции.

Вектор положения

.

Правило мощности

.

Интеграл продукта

.

Продукт правило

.

Правильная дробь

.

Правильная рациональная функция

.

Теорема Пифагора

.

тригонометрическое тождество Пифагора

.

Квадратичная функция

В алгебре, квадратичная функция, квадратичный многочлен, многочлен степени 2 или просто квадратичный, является полиномиальной функцией с одной или несколькими переменными, в которых срок высшей степени - второй степени. Например, квадратичная функция от трех переменных x, y и z содержит исключительно члены x, y, z, xy, xz, yz, x, y, z и константу:

$f\; (x,\; y,\; z)\; =\; ax\; 2\; +\; на\; 2\; +\; cz\; 2\; +\; dxy\; +\; exz\; +\; fyz\; +\; gx\; +\; hy\; +\; iz\; +\; j,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y,\; z)\; =\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; by\; ^\; \{2\}\; +\; cz\; ^\; \{2\}\; +\; dxy\; +\; exz\; +\; fyz\; +\; gx\; +\; hy\; +\; iz\; +\; j,\}$

с хотя бы одним из коэффициентов a, b, c, d, e или f ненулевые члены второй степени. Квадратичная функция с одной переменной (с одной переменной) имеет вид

$f\; (x)\; =\; ax\; 2\; +\; bx\; +\; c,\; a\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c,\; \backslash \; quad\; a\; \backslash \; neq\; 0\}$

в единственной переменной x. График одномерной квадратичной функции - это парабола, ось симметрии которой параллельна оси Y, как показано справа. Если квадратичная функция установлена ​​равной нулю, то результатом будет квадратное уравнение. Решения уравнения с одной переменной называются корнями функции одной переменной. Двумерный случай в терминах переменных x и y имеет вид

$f\; (x,\; y)\; =\; ax\; 2\; +\; by\; 2\; +\; cxy\; +\; dx\; +\; ey\; +\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; ax\; ^\; \{2\; \}\; +\; by\; ^\; \{2\}\; +\; cxy\; +\; dx\; +\; ey\; +\; f\; \backslash ,\; \backslash !\}$

с хотя бы одним из a, b, c не равным нулю, и уравнение, устанавливающее эту функцию равной нулю, приводит к коническое сечение (окружность или другой эллипс, парабола или гипербола ). В общем, может быть сколь угодно большое количество переменных, и в этом случае результирующая поверхность называется квадрикой, но член наивысшей степени должен иметь степень 2, например x, xy, yz и т. д.

Квадратичный многочлен

.

Правило частных

Формула для нахождения производной функции, которая является отношением двух функций.

Радиан

Является ли единицей СИ для измерения углов и является стандартной единицей измерения угла, используемой во многих областях математики. Длина дуги единичной окружности численно равна измерению в радианах угла , который он охватывает ; один радиан чуть меньше 57,3 градусов (расширение в OEIS : A072097 ). Ранее эта единица была дополнительной единицей СИ, но эта категория была упразднена в 1995 году, и теперь радиан считается производной единицей СИ. Отдельно единица СИ для измерения телесного угла - это стерадиан.

тест соотношения

.

обратная функция

.

правило взаимности

.

интеграл Римана

.

Связанные коэффициенты

.

Съемный разрывность

.

теорема Ролля

.

критерий корня

.

скаляр

.

секущая линия

.

полином второй степени

.

вторая производная

.

проверка второй производной

.

дифференциальное уравнение второго порядка

.

ряд

.

Интеграция оболочки

.

Правило Симпсона

.

Синус

.

Синусоидальная волна

.

Поле наклона

.

Теорема сжатия

.

Правило суммы при дифференцировании

.

Правило суммы при интегрировании

.

Суммирование

.

Дополнительный угол

.

Площадь поверхности

.

Система линейных уравнений

.

Таблица интегралов

.

Ряд Тейлора

.

Теорема Тейлора

.

Касательная

.

Полином третьей степени

.

Третья производная

.

Тороид

.

Полный дифференциал

.

Тригонометрические функции

.

Тригонометрические тождества

.

Тригонометрический интеграл

.

Тригонометрическая замена

.

Тригонометрия

.

Тройной интеграл

.

U pper bound

.

Переменная

.

Вектор

.

Векторное исчисление

.

Шайба

.

Метод шайбы

.

Нулевой вектор

.

• Исчисление
• Схема исчисления
• Глоссарий областей по математике
• Глоссарий по астрономии
• Глоссарий по биологии
• Глоссарий по ботанике
• Глоссарий по химии
• Глоссарий по экологии
• Глоссарий по инженерии
• Глоссарий по физике
• Глоссарий по вероятности и статистика

1. ^Стюарт, Джеймс (2008). Calculus: Early Transcendentals (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-495-01166-8.
2. ^Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-547-16702-2.
3. ^«Асимптоты» Луиса А. Талмана
4. ^Уильямсон, Бенджамин (1899), «Асимптоты», Элементарный трактат по дифференциальному исчислению
5. ^Нунемахер, Джеффри (1999), «Асимптоты, кубические кривые и проективная плоскость», Mathematics Magazine, 72 (3): 183–192, CiteSeerX 10.1.1.502.72, doi : 10.2307 / 2690881, JSTOR 2690881
6. ^Neidinger, Ричард Д. (2010). «Введение в автоматическое дифференцирование и объектно-ориентированное программирование MATLAB» (PDF). SIAM Обзор. 52 (3): 545–563. дои : 10.1137 / 080743627.
7. ^Байдин, Атилим Гунес; Перлмуттер, Барак; Радул Алексей Андреевич; Сискинд, Джеффри (2018). «Автоматическая дифференциация в машинном обучении: обзор». Журнал исследований в области машинного обучения. 18 : 1–43.
8. ^«Исчисление». Оксфордские словари. Проверено 15 сентября 2017 г.
9. ^Ховард Ивс, «Две удивительные теоремы о конгруэнции Кавальери», The College Mathematics Journal, том 22, номер 2, март, 1991 г.), страницы 118–124.
10. ^Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (январь 1909 г.). «Глава II. Острый угол [10] Функции дополнительных углов». Написано в Анн-Арборе, Мичиган, США. Тригонометрия. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Генри Холт и компания / Норвуд Пресс / Дж. С. Кушинг Ко. - Бервик и Смит Ко., Норвуд, Массачусетс, США. С. 11–12. Проверено 12 августа 2017 г.
11. ^Ауфманн, Ричард; Нация, Ричард (2014). Алгебра и тригонометрия (8-е изд.). Обучение центрам. п. 528. ISBN 978-128596583-3. Проверено 28 июля 2017 г.
12. ^Бейлз, Джон У. (2012) [2001]. «5.1 Элементарные личности». Precalculus. Архивировано с оригинала 30.07.2017. Проверено 30 июля 2017.
13. ^Гюнтер, Эдмунд (1620). Canon triangulorum.
14. ^Roegel, Denis, ed. (06.12.2010). «Реконструкция треугольника канона Гюнтера (1620 г.)» (отчет об исследовании). HAL. inria-00543938. Архивировано из оригинала 28.07.2017. Проверено 28 июля 2017.
15. ^Стюарт, Джеймс (2008). Calculus: Early Transcendentals (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-495-01166-8.
16. ^Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-547-16702-2.
17. ^Сталкер, Джон (1998). Комплексный анализ: основы классической теории функций. Springer. п. 77. ISBN 0-8176-4038-X.
18. ^Бак, Джозеф; Ньюман, Дональд Дж. (1997). «Главы 11 и 12». Комплексный анализ. Springer. С. 130–156. ISBN 0-387-94756-6.
19. ^Кранц, Стивен Джордж (1999). "Глава 2". Справочник комплексных переменных. Springer. ISBN 0-8176-4011-8.
20. ^«Конспект лекции 2» (PDF). www.stat.cmu.edu. Проверено 3 марта 2017 года.
21. ^Крамер, Габриэль (1750). «Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques» (на французском языке). Женева: Europeana. С. 656–659. Проверено 18 мая 2012 г.
22. ^Косински А.А. (2001). «Правило Крамера принадлежит Крамеру». Математический журнал. 74 (4): 310–312. DOI : 10.2307 / 2691101. JSTOR 2691101.
23. ^Маклаурин, Колин (1748 г.). Трактат по алгебре, в трех частях.
24. ^Бойер, Карл Б. (1968). История математики (2-е изд.). Вайли. п. 431.
25. ^Кац, Виктор (2004). История математики (Краткое изд.). Pearson Education. С. 378–379.
26. ^Хедман, Брюс А. (1999). «Более ранняя дата для« Правила Крамера »» (PDF). Historia Mathematica. 26 (4): 365–368. doi : 10.1006 / hmat.1999.2247.
27. ^Стюарт, Джеймс (2008). Calculus: Early Transcendentals (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-495-01166-8.
28. ^Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-547-16702-2.
29. ^Дуглас К. Джанколи (2000). [Физика для ученых и инженеров с современной физикой (3-е издание)]. Прентис Холл. ISBN 0-13-021517-1
30. ^«Определение ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО РАСЧЕТА». www.merriam-webster.com. Проверено 26 сентября 2018 г.
31. ^«Интегральное исчисление - Определение интегрального исчисления по Мерриам-Вебстеру». www.merriam-webster.com. Проверено 1 мая 2018 г.
32. ^Démonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2-я серия, том 7 (1862 г.), стр. 253-255 Архивировано 21.07.2011 в Wayback Machine.
33. ^Стюарт, Джеймс (2008). Calculus: Early Transcendentals (6-е изд.). Брукс Коул Сэнджэдж Обучение. ISBN 978-0-495-01166-8.
34. ^Оксфордский словарь английского языка, 2-е изд.: натуральный логарифм
35. ^Энциклопедический математический словарь 142. D
36. ^Мясник 2003, стр. 45 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFButcher2003 (help ); Hairer, Nørsett Wanner 1993, p. 35 harvnb error: no target: CITEREFHairerNørsettWanner1993 (help )
37. ^Stewart, James (2008). Calculus: EarlyTranscendentals (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-495-01166-8.
38. ^Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-547-16702-2.
39. ^Томас, Джордж Б. ; Weir, Maurice D.; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: Ранние трансцендентальные (12-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-58876-0.
40. ^(Арбогаст 1800) ошибка harv: нет цели: CITEREFArbogast1800 (help ).
41. ^Согласно Крейку (2005, стр. 120–122) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFCraik2005 (help ): ​​см. Также анализ работы Арбогаста Джонсоном (2002, стр. 230) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFJohnson2002 (help ).
42. ^Уильям Ф. Керн, Джеймс Р. Бланд, Твердое измерение с доказательствами, 1938, стр. 67
43. ^Маклейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1967). Алгебра (Первое изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 1–13.
44. ^Спивак, Майкл (1980), Calculus (2-е изд.), Хьюстон, Техас: Publish or Perish Inc.
45. ^Олвер, Питер Дж. (2000). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Springer. С. 318–319. ISBN 9780387950006.
46. ^Стюарт, Джеймс (2008). Calculus: Early Transcendentals (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-495-01166-8.
47. ^Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-547-16702-2.
48. ^Томас, Джордж Б. ; Weir, Maurice D.; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: Ранние трансцендентальные (12-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-58876-0.
49. ^Стюарт, Джеймс (2008). Calculus: Early Transcendentals (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-495-01166-8.
50. ^Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-547-16702-2.
51. ^Томас, Джордж Б. ; Weir, Maurice D.; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: Ранние трансцендентальные (12-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-58876-0.
52. ^Чанг, Ю-сун, "Золотая спираль Архивировано 2019-07-28 в Wayback Machine ", The Wolfram Demonstrations Project.
53. ^Erds, P. (1932), « Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása » [Обобщение элементарной теоретико-числовой теоремы Кюршака] (PDF), Матем. Физ. Лапок (на венгерском), 39 : 17–24. Цитируется по Грэхему, Рональду Л. (2013), «Пол Эрдёш и египетские фракции», столетие Эрдеша, Bolyai Soc. Математика. Stud., 25, János Bolyai Math. Soc., Budapest, pp. 289–309, doi : 10.1007 / 978-3-642-39286-3_9, MR 3203600.
54. ^Уно Ингард, К. (1988). "Глава 2". Основы волн и колебаний. Издательство Кембриджского университета. п. 38. ISBN 0-521-33957-X.
55. ^Sinha, K.C. (2008). Учебник математики XI класса (Второе изд.). Публикации Растоги. п. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
56. ^Чанг, Альфа С. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-010813-7.
57. ^«World Wide Words: вульгарные дроби». Всемирные слова. Проверено 30 октября 2014 г.
58. ^Вайсштейн, Эрик У. «Неправильная дробь». MathWorld.
59. ^Лорел (31 марта 2004 г.). «Математический форум - спросите доктора математика: могут ли отрицательные дроби быть правильными или неправильными?». Проверено 30 октября 2014 г.
60. ^«Компактные математические ресурсы Новой Англии». Архивировано из оригинала 15 апреля 2012 г. Проверено 16 июня 2019 г.
61. ^Грир А. (1986). Новая всеобъемлющая математика для уровня «O» (2-е изд., Перепечатанное. Изд.). Челтнем: Торнс. п. 5. ISBN 978-0-85950-159-0. Проверено 29 июля 2014.
62. ^«Брук Тейлор». History.MCS.St-Andrews.ac.uk. Проверено 25 мая 2018 г.
63. ^«Брук Тейлор». Stetson.edu. Получено 25 мая 2018 г.
64. ^Вайсштейн, Эрик У. «Теорема Больцано». MathWorld.
65. ^Тачановски, Стефан (1978-10-01). «Об оптимизации некоторых геометрических параметров в нейтронно-активационном анализе энергии 14 МэВ». Ядерные инструменты и методы. ScienceDirect. 155 (3): 543–546. DOI: 10.1016 / 0029-554X (78) 90541-4.
66. ^Hazewinkel, Michiel (1994) [1987]. Энциклопедия математики (полное переиздание). Kluwer Academic Publishers / Springer Science Business Media. ISBN 978-155608010-4.
67. ^Эбнер, Дитер (2005-07-25). Подготовительный курс математики (PDF) (6-е изд.). Кафедра физики Констанцского университета. Архивировано (PDF) из оригинала 26.07.2017. Проверено 26 июля 2017.
68. ^Мейлбро, Лейф (11.11.2010). Устойчивость, римановы поверхности, конформные изображения - теория комплексных функций (PDF) (1-е изд.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-702-2. Архивировано (PDF) из оригинала 26.07.2017. Проверено 26 июля 2017.
69. ^Дуран, Марио (2012). Математические методы распространения волн в науке и технике. 1: Основы (1-е изд.). Ediciones UC. п. 88. ISBN 978-956141314-6.
70. ^Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (январь 1909 г.). «Глава II. Острый угол [14] Обратные тригонометрические функции ». Написано в Анн-Арборе, Мичиган, США. Тригонометрия. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Генри Холт и компания / Норвуд Пресс / Дж. С. Кушинг Ко. - Бервик и Смит Ко., Норвуд, Массачусетс, США. п. 15. Проверено 12 августа 2017. […] Α = arcsin m: часто читается как «arc-sinem» или «anti-sinem», так как две взаимно обратные функции считаются антифункциями друг друга. […] Аналогичное символическое соотношение справедливо и для других тригонометрических функций. […] Это обозначение повсеместно используется в Европе и быстро набирает силу в этой стране. Менее желательный символ, α = sin-1m, все еще встречается в английских и американских текстах. Обозначение α = inv sin m, возможно, еще лучше ввиду его общей применимости. […]
71. ^Кляйн, Кристиан Феликс (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (на немецком языке). 1 (3-е изд.). Берлин: Дж. Спрингер.
72. ^Кляйн, Кристиан Феликс (2004) [1932]. Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ. Перевод Хедрика, Э. Р.; Благородный, К. А. (Перевод 3-го немецкого изд.). Dover Publications, Inc. / Компания Macmillan. ISBN 978-0-48643480-3. Проверено 13 августа 2017.
73. ^Дёрри, Генрих (1965). Triumph der Mathematik. Перевод Антина, Давида. Dover Publications. п. 69. ISBN 978-0-486-61348-2.
74. ^Lay, David C. (2006). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Эддисон - Уэсли. ISBN 0-321-28713-4.
75. ^Стрэнг, Гилберт (2006). Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Брукс Коул. ISBN 0-03-010567-6.
76. ^Акслер, Шелдон (2002). Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98258-2.
77. ^Мерортим, Роберт Г. (2005). Математика для физической химии (3-е изд.). Academic Press. п. 9. ISBN 0-12-508347-5.Выдержка из страницы 9
78. ^«Квадратное уравнение - из Wolfram MathWorld». Проверено 6 января 2013 г.
79. ^«Решение 8 20-го собрания ГКГП (1995 г.)». Международное бюро Poids et Mesures. Проверено 23 сентября 2014.