Войти
Квадратичная формула выражает решение уравнения ax + bx + c = 0, где a не равно нулю, в терминах его коэффициентов a, b и c. Алгебра (от арабского : الجبر al-jabr, что означает " воссоединение сломанных частей »и« костяк ») является одной из широких частей математики вместе с теорией чисел, геометрией и анализ. В самом общем виде алгебра - это изучение математических символов и правил манипулирования этими символами; это объединяющая нить почти всей математики. Он включает в себя все, от решения элементарных уравнений до изучения абстракций, таких как группы, кольца и поля. Более основные части алгебры называются элементарной алгеброй ; более абстрактные части называются абстрактной алгеброй или современной алгеброй. Элементарная алгебра обычно считается незаменимой для любого изучения математики, естествознания или инженерии, а также для таких приложений, как медицина и экономика. Абстрактная алгебра - важная область высшей математики, изучаемая в основном профессиональными математиками.
Элементарная алгебра отличается от арифметики использованием абстракций, таких как использование букв для обозначения чисел, которые либо неизвестны, либо могут принимать множество значений. Например, в 
Слово «алгебра» также используется в некоторых специализированных случаях. Особый вид математического объекта в абстрактной алгебре называется «алгеброй», и это слово используется, например, во фразах линейная алгебра и алгебраическая топология.
Математик, занимающийся исследованиями в алгебре называется алгебраистом .
Слово алгебра происходит от названия книги Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми.Слово алгебра происходит от арабского الجبر (аль-джабр, букв. «восстановление сломанных частей») из титул начала 9 века ry book Ильм аль-джабр ва ль-мукабала «Наука восстановления и равновесия» персидского математика и астронома аль-Хорезми. В его работе термин аль-джабр относится к операции по перемещению члена из одной части уравнения в другую, المقابلة al-muqābala «балансировка» означает добавление равных членов к обеим сторонам. Сокращенное до алгебры или алгебры на латыни, это слово в конечном итоге вошло в английский язык в пятнадцатом веке из испанского, итальянского или средневековой латыни. Первоначально он относился к хирургической процедуре установки сломанных или вывихнутых костей. Математическое значение было впервые зафиксировано (на английском языке) в шестнадцатом веке.
Слово «алгебра» имеет несколько связанных значений в математике, как одно слово или с квалификаторами.
Алгебра началась с вычислений, аналогичных se of арифметика, где буквы обозначают числа. Это позволяло доказывать истинность свойств независимо от числа используемых. Например, в квадратном уравнении
Исторически и в современном преподавании изучение алгебры начинается с решения уравнений, таких как квадратное уравнение, приведенное выше. Затем более общие вопросы, такие как «имеет ли уравнение решение?», «Сколько решений имеет уравнение?», «Что можно сказать о природе решений?» которые считаются. Эти вопросы привели к расширению алгебры до нечисловых объектов, таких как перестановки, векторы, матрицы и полиномы. Структурные свойства этих нечисловых объектов затем были абстрагированы в алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поля.
до 16-го века математика была разделена всего на два подполя: арифметика и геометрия. Несмотря на то, что некоторые методы, которые были разработаны намного раньше, могут рассматриваться в настоящее время как алгебра, появление алгебры и, вскоре после этого, исчисления бесконечно малых в качестве подполей математики относится только к XVI или XVII веку. Со второй половины XIX века появилось много новых областей математики, в большинстве из которых использовались как арифметика, так и геометрия, и почти во всех использовалась алгебра.
Сегодня алгебра выросла до тех пор, пока она не включает в себя множество разделов математики, как можно увидеть в Классификация предметов по математике, где ни одна из областей первого уровня (двухзначные записи) не называется алгеброй. Сегодня алгебра включает в себя раздел 08 - Общие алгебраические системы, 12- Теория поля и многочлены, 13- Коммутативная алгебра, 15- Линейные и полилинейная алгебра ; теория матриц, 16- Ассоциативные кольца и алгебры, 17- Неассоциативные кольца и алгебры, 18- Теория категорий ; гомологическая алгебра, 19- K-теория и 20- теория групп. Алгебра также широко используется в 11- теории чисел и 14- алгебраической геометрии.
Страница из Аль-Хваризми аль-Китаб аль-Мухтагар фи Шисаб аль-Табр ва-ль-мукабала Корни алгебры восходят к древним вавилонянам, которые разработали продвинутые арифметические система, с помощью которой они могли выполнять вычисления алгоритмически. Вавилоняне разработали формулы для вычисления решений проблем, которые сегодня обычно решаются с помощью линейных уравнений, квадратных уравнений и неопределенных линейных уравнений. Напротив, большинство египтян этой эпохи, а также греческая и китайская математика в 1-м тысячелетии до нашей эры обычно решали такие уравнения геометрическими методами, такими как те, что описаны в Математическом папирусе Райнда, Элементах Евклида и Девяти главах по математическому искусству. Геометрические работы греков, представленные в Элементах, обеспечивали основу для обобщения формул, выходящих за рамки решения конкретных проблем, в более общие системы формулирования и решения уравнений, хотя это не могло быть реализовано до тех пор, пока математика не разовьется в средневековом исламе.
Ко времени Платона греческая математика претерпела радикальные изменения. Греки создали геометрическую алгебру, где термины были представлены сторонами геометрических объектов, обычно линиями, с которыми были связаны буквы. Диофант (3 век н.э.) был александрийцем. Греческий математик и автор серии книг Арифметика. Эти тексты посвящены решению алгебраических уравнений и привели в теории чисел к современному понятию диофантова уравнения.
Более ранние традиции, рассмотренные выше, оказали прямое влияние на Персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хваризми (ок. 780–850). Позже он написал Сборник вычислений путем завершения и уравновешивания, который установил алгебру как математическую дисциплину, независимую от геометрии и арифметики.
эллинистической математики Герой Александрии и Диофант, а также индийские математики, такие как Брахмагупта, продолжали традиции Египта и Вавилона, хотя Арифметика Диофанта и Брахмагупта Брахмаспхунасиддханта находятся на более высоком уровне. Например, первое полное арифметическое решение квадратных уравнений, записанное словами вместо символов, включая нулевые и отрицательные решения, было описано Брахмагуптой в его книге Brahmasphutasiddhanta, опубликованной в 628 году нашей эры. Позже персидские и арабские математики развили алгебраические методы до гораздо более высокой степени сложности. Хотя Диофант и вавилоняне использовали в основном специальные специальные методы для решения уравнений, вклад Аль-Хорезми был фундаментальным. Он решил линейные и квадратные уравнения без алгебраической символики, отрицательных чисел или ноль, поэтому ему пришлось различать несколько типов уравнений.
В контексте, где определяется алгебра с теорией уравнений греческий математик Диофант традиционно был известен как «отец алгебры», и в контексте, где она отождествляется с правилами манипулирования и решения уравнений, считается персидский математик аль-Хорезми как «отец алгебры». Сейчас ведутся споры о том, кто (в общем смысле) имеет больше прав называться «отцом алгебры». Сторонники Диофанта указывают на тот факт, что алгебра, найденная в Аль-Джабре, немного более элементарна, чем алгебра, найденная в Арифметике, и что Арифметика синкопирована, тогда как Аль-Джабр полностью риторический. Сторонники Аль-Хорезми указывают на тот факт, что он ввел методы «сокращения » и «уравновешивания» (перенос вычтенных членов в другую часть уравнения, то есть отмену как термины на противоположных сторонах уравнения), к которому первоначально относился термин аль-джабр, и что он дал исчерпывающее объяснение решения квадратных уравнений, подкрепленное геометрическими доказательствами, при этом рассматривая алгебру как самостоятельную дисциплину. верно. Его алгебра также больше не была озабочена «серией проблем, которые нужно было решить, но изложением, которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы для уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект учебы ». Он также изучал уравнение само по себе и «в общем смысле, поскольку оно не просто возникает в процессе решения проблемы, но специально призвано определять бесконечный класс проблем».
Другой персидский математик Омар Хайям приписывают определение основ алгебраической геометрии и нашел общее геометрическое решение кубического уравнения. Его книга «Трактат о демонстрации проблем алгебры» (1070), в которой изложены принципы алгебры, является частью персидской математики, которая в конечном итоге была передана в Европу. Еще один персидский математик Шараф ад-Дин ат-Туси нашел алгебраические и численные решения различных случаев кубических уравнений. Он также разработал концепцию функции . Индийские математики Махавира и Бхаскара II, персидский математик аль-Караджи и китайский математик Чжу Шицзе решали различные случаи кубические, квартичные, пятые и полиномиальные уравнения высшего порядка с использованием численных методов. В 13 веке решение кубического уравнения с помощью Фибоначчи свидетельствует о начале возрождения европейской алгебры. Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каладади (1412–1486) сделал «первые шаги к введению алгебраической символики». Он также вычислил ∑n, ∑n и использовал метод последовательного приближения для определения квадратных корней.
Итальянский математик Джироламо Кардано опубликовал решения кубические и уравнения четвертой степени в его книге 1545 года Ars magna.Работа Франсуа Вьете над новой алгеброй в конце XVI века. был важным шагом к современной алгебре. В 1637 году Рене Декарт опубликовал La Géométrie, изобрел аналитическую геометрию и ввел современные алгебраические обозначения. Другим ключевым событием в дальнейшем развитии алгебры стало общее алгебраическое решение кубических и квартичных уравнений, разработанное в середине 16 века. Идея определителя была развита японским математиком Секи Коува в 17 веке, а десятью годами позже независимо друг от друга Готфрид Лейбниц, для решения систем одновременных линейных уравнений с использованием матриц . Габриэль Крамер также работал над матрицами и детерминантами в 18 веке. Перестановки были изучены Жозефом-Луи Лагранжем в его статье 1770 года «Рефлексии на алгебраическое решение уравнений», посвященной решениям алгебраических уравнений, в которой он ввел резольвенты Лагранжа. Паоло Руффини был первым, кто разработал теорию групп перестановок, и, как и его предшественники, также в контексте решения алгебраических уравнений.
Абстрактная алгебра была разработана в 19 веке из-за интереса к решению уравнений, первоначально сосредоточившись на том, что сейчас называется теорией Галуа, а также на вопросах конструктивности. Джордж Пикок был основоположником аксиоматического мышления в арифметике и алгебре. Огастес Де Морган открыл алгебру отношений в своей программе предложенной системы логики. Джозия Уиллард Гиббс разработал алгебру векторов в трехмерном пространстве, а Артур Кэли разработал алгебру матриц (это некоммутативная алгебра).
Некоторые области математики, подпадающие под классификационную абстрактную алгебру, имеют в названии слово «алгебра»; линейная алгебра является одним из примеров. Другие нет: теория групп, теория колец и теория поля являются примерами. В этом разделе мы перечисляем некоторые области математики со словом "алгебра" в названии.
Многие математические структуры называются алгебры :
Обозначение алгебраических выражений:. 1 - степень (экспонента). 2 - коэффициент. 3 - член. 4 - оператор. 5 - постоянный член. xyc - переменные / константы Элементарная алгебра является самой базовой форма алгебры. Он преподается студентам, которые, как предполагается, не обладают знаниями по математике, кроме основных принципов арифметики. В арифметике встречаются только числа и их арифметические операции (такие как +, -, ×, ÷). В алгебре числа часто представлены символами, называемыми переменными (такими как a, n, x, y или z). Это полезно, потому что:
График полиномиальной функции степени 3 A полином - это выражение, которое является суммой конечного числа не- ноль членов, каждый член состоит из произведения константы и конечного числа переменных, возведенных в степень целого числа. Например, x + 2x - 3 - многочлен от единственной переменной x. Полиномиальное выражение - это выражение, которое может быть переписано как полином, используя коммутативность, ассоциативность и распределимость сложения и умножения. Например, (x - 1) (x + 3) - это полиномиальное выражение, которое, собственно говоря, не является полиномом. Полиномиальная функция - это функция, которая определяется полиномом или, что то же самое, полиномиальным выражением. Два предыдущих примера определяют одну и ту же полиномиальную функцию.
Две важные и связанные проблемы в алгебре - это факторизация многочленов, то есть выражение данного многочлена как произведение других многочленов, которые нельзя разложить на множители, и вычисление полиномиальные наибольшие общие делители. Пример многочлена выше можно разложить на множители как (x - 1) (x + 3). Связанный класс задач - это поиск алгебраических выражений для корней многочлена от одной переменной.
Было предложено преподавать элементарную алгебру ученикам в возрасте от одиннадцати лет, хотя в последние годы общественные уроки чаще начинаются с восьмого класса. (≈ 13 лет ±) в США. Однако в некоторых школах США алгебру изучают в девятом классе.
Абстрактная алгебра расширяет знакомые концепции элементарной алгебры и арифметики чисел до более общих понятий. Вот перечисленные фундаментальные понятия абстрактной алгебры.
Наборы : вместо того, чтобы просто рассматривать различные типы чисел, абстрактная алгебра имеет дело с более общей концепцией наборов: коллекцией всех объектов (называемых элементами ), выбранные по свойству, специфичному для набора. Все наборы знакомых типов чисел являются наборами. Другие примеры наборов включают набор всех матриц два на два, набор всех многочленов второй степени (ax + bx + c), набор всех двумерных векторы на плоскости и различные конечные группы, такие как циклические группы, которые представляют собой группы целых чисел по модулю n. Теория множеств - это ветвь логики, а технически не раздел алгебры.
Бинарные операции : понятие сложения (+) абстрагируется, чтобы дать бинарную операцию, например *. Понятие двоичной операции бессмысленно без набора, на котором операция определена. Для двух элементов a и b в множестве S, a ∗ b - другой элемент в множестве; это состояние называется закрытием. Сложение (+), вычитание (-), умножение (×) и деление (÷) могут быть двоичными операциями, если они определены на разных наборах, а также сложение и умножение матриц, векторов и многочленов.
Элементы идентичности : числа ноль и один абстрагируются, чтобы дать понятие элемента идентичности для операции. Ноль - это тождественный элемент для сложения, а единица - тождественный элемент для умножения. Для общего бинарного оператора ∗ единичный элемент e должен удовлетворять условию a ∗ e = a и e ∗ a = a и обязательно должен быть единственным, если он существует. Это верно для сложения как a + 0 = a и 0 + a = a и умножения a × 1 = a и 1 × a = a. Не все наборы и комбинации операторов имеют элемент идентичности; например, набор положительных натуральных чисел (1, 2, 3,...) не имеет единичного элемента для сложения.
Инверсные элементы : Отрицательные числа дают начало концепции инверсных элементов. Для сложения обратное значение записывается как -a, а для умножения - как. Общий двусторонний обратный элемент a удовлетворяет тому свойству, что a ∗ a = e и a ∗ a = e, где e - единичный элемент.
Ассоциативность : сложение целых чисел имеет свойство, называемое ассоциативностью. То есть группировка добавляемых чисел не влияет на сумму. Например: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). В общем случае это становится (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Это свойство является общим для большинства бинарных операций, но не для вычитания, деления или умножения на октонион.
Коммутативность : сложение и умножение действительных чисел коммутативны. То есть порядок цифр не влияет на результат. Например: 2 + 3 = 3 + 2. В общем, это становится a ∗ b = b ∗ a. Это свойство сохраняется не для всех бинарных операций. Например, умножение матриц и кватернионное умножение оба некоммутативны.
Объединение вышеуказанных понятий дает одну из наиболее важных структур в математике: группу. Группа представляет собой комбинацию набора S и единственной бинарной операции ∗, определенной любым способом по вашему выбору, но со следующими свойствами:
Если группа также коммутативна, то есть для любых двух членов a и b группы S, a ∗ b идентична b ∗ a, то группа называется абелевой.
Например, набор целых чисел при операции сложения - это группа. В этой группе единичный элемент равен 0, а обратным любому элементу a является его отрицание, −a. Требование ассоциативности выполняется, потому что для любых целых чисел a, b и c (a + b) + c = a + (b + c)
ненулевые рациональные числа образуют группа при умножении. Здесь единичный элемент равен 1, поскольку 1 × a = a × 1 = a для любого рационального числа a. Обратное к a равно 1 / a, поскольку a × 1 / a = 1.
Однако целые числа при операции умножения не образуют группу. Это потому, что, как правило, мультипликативная обратная величина целого числа не является целым числом. Например, 4 - это целое число, но его мультипликативная обратная величина -, которая не является целым числом.
Теория групп изучается в теории групп. Основным результатом этой теории является классификация конечных простых групп, опубликованная в основном между 1955 и 1983 годами, которая разделяет конечные простые группы примерно на 30 основных типы.
Полугруппы, квазигруппы и моноиды имеют структуру, аналогичную группам, но более общую. Они состоят из набора и закрытой бинарной операции, но не обязательно удовлетворяют другим условиям. Полугруппа имеет ассоциативную бинарную операцию, но может не иметь элемента идентичности. Моноид - это полугруппа, которая имеет идентичность, но может не иметь инверсии для каждого элемента. Квазигруппа удовлетворяет требованию, чтобы любой элемент мог быть превращен в любой другой посредством уникального умножения слева или умножения справа; однако бинарная операция может быть не ассоциативной.
Все группы являются моноидами, а все моноиды - полугруппами.
| Установить | Натуральные числа N | Целые числа Z | Рациональные числа Q(также действительные Rи комплексные Cчисла) | Целые числа по модулю 3: Z3= {0, 1, 2} | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Операция | + | × (без нуля) | + | × (без нуля) | + | − | × ( без нуля) | ÷ (без нуля) | + | × (без нуля) |
| Закрыто | Да | Да | Да | Да | Да | Да | Да | Да | Да | Да |
| Идентичность | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | Н / Д | 1 | Н / Д | 0 | 1 |
| Обратный | Н / Д | Н / Д | -a | н / д | -a | н / п | 1 / a | н / д | 0, 2, 1 соответственно | Н / Д, 1, 2 соответственно |
| Ассоциативный | Да | Да | Да | Да | Да | Нет | Да | Нет | Да | Да |
| Коммутативный | Да | Да | Да | Да | Да | Нет | Да | Нет | Да | Да |
| Структура | моноид | моноид | абелева группа | моно id | абелева группа | квазигруппа | абелева группа | квазигруппа | абелева группа | абелева группа (Z2) |
Группы имеют только одну двоичную операция. Чтобы полностью объяснить поведение различных типов чисел, необходимо изучить структуры с двумя операторами. Наиболее важными из них являются кольца, и поля.
A кольцо имеет две бинарные операции (+) и (×), причем × дистрибутивен над +. Под действием первого оператора (+) она образует абелеву группу. Под вторым оператором (×) он ассоциативен, но не должен иметь тождества или обратного, поэтому деление не требуется. Аддитивный (+) единичный элемент записывается как 0, а аддитивный обратный элемент a записывается как -a.
Distributivity обобщает закон распределения для чисел. Для целых чисел (a + b) × c = a × c + b × c и c × (a + b) = c × a + c × b, и × называется дистрибутивным над +.
Целые числа являются примером кольца. Целые числа имеют дополнительные свойства, которые делают его областью целостности.
A поле представляет собой кольцо с дополнительным свойством, что все элементы, за исключением 0, образуют абелеву группу под ×. Мультипликативное (×) тождество записывается как 1, а мультипликативное обратное к a записывается как a.
Рациональные числа, действительные числа и комплексные числа - все это примеры полей.
Портал математики  | Wikiquote has quotations related to: Algebra |
 | Look up algebra in Wiktionary, the free dictionary. |
 | Wikibooks has a book on the topic of: Algebra |
 | Wikisource has the text of the 1911 Encyclopædia Britannica article Algebra. |
