Уравнение

Равенство двух математических выражений Первое использование знака равенства, эквивалентного 14x + 15 = 71 в современных обозначениях. Из Точильный камень Витте Роберта Рекорда из Уэльса (1557).

В математике, уравнение - это утверждение, которое утверждает равенство двух выражений, которые связаны знаком равно "=". Слово уравнение и его родственные в других языках могут иметь несколько другие значения; например, в французском уравнение определяется как содержащее одну или несколько переменных, а в английском любое равенство является уравнением.

Решение уравнения, содержащий переменные, состоит из определения, какие значения переменных делают равенство истинным. Переменные также называются неизвестными, а значения неизвестных, удовлетворяющих равенству, называются решениями уравнения. Есть два вида уравнений: тождества и условные уравнения. Идентичность истинна для всех значений переменной. Условное уравнение верно только для определенных значений переменных.

Уравнение записывается в виде двух выражений, связанных знаком равно ("="). Выражения на двух сторонах знака равенства называются "левой частью" и "правой частью" уравнения.

Самый распространенный тип уравнения - это алгебраическое уравнение, в котором двумя сторонами являются алгебраические выражения. Каждая сторона алгебраического уравнения будет содержать один или несколько членов. Например, уравнение

$A\; x\; 2\; +\; B\; x\; +\; C\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; Ax\; ^\; \{2\}\; +\; Bx\; +\; C\; =\; y\}$

имеет левую часть $A\; x\; 2\; +\; B\; x\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; Ax\; ^\; \{2\}\; +\; Bx\; +\; C\}$, в котором есть три члена, и правая часть $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, состоящая из всего один срок. Неизвестными являются x и y, а параметрами - A, B и C.

Уравнение аналогично шкале, в которую помещены веса. Когда одинаковые веса чего-либо (например, зерна) помещаются в две чаши, эти два веса приводят к тому, что весы уравновешиваются и считаются равными. Если некоторое количество зерна удаляется из одной чаши весов, такое же количество зерна необходимо удалить из другой чаши, чтобы поддерживать весы в равновесии. В более общем смысле, уравнение остается сбалансированным, если с обеих его сторон выполняется одна и та же операция.

В геометрии уравнения используются для описания геометрических фигур. Поскольку рассматриваемые уравнения, такие как неявные уравнения или параметрические уравнения, имеют бесконечно много решений, цель теперь иная: вместо того, чтобы давать решения явно или подсчитывать их, что является невозможно, уравнения используются для изучения свойств фигур. Это исходная идея алгебраической геометрии, важной области математики.

Алгебра изучает два основных семейства уравнений: полиномиальные уравнения и, среди них, частный случай линейных уравнений. Когда есть только одна переменная, полиномиальные уравнения имеют вид P (x) = 0, где P - полином , а линейные уравнения имеют вид ax + b = 0, где a и b <332.>параметры. Для решения уравнений из любого семейства используются алгоритмические или геометрические методы, которые берут начало в линейной алгебре или математическом анализе. Алгебра также изучает диофантовы уравнения, в которых коэффициенты и решения - целые числа. Используемые методы различны и взяты из теории чисел. Эти уравнения в общем сложны; часто ищут только наличие или отсутствие решения и, если они существуют, подсчитывают количество решений.

Дифференциальные уравнения - это уравнения, которые включают одну или несколько функций и их производные. Они решаются путем нахождения выражения для функции, не содержащего производных. Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, которые включают скорость изменения переменной, и используются в таких областях, как физика, химия, биология и экономика.

Символ «= », который встречается в каждом уравнении, был изобретен в 1557 году Робертом Рекордом, который считал, что ничто не может быть равнее параллельных прямых линий. одинаковой длины.

• 1 Введение
  • 1.1 Аналогичная иллюстрация
  • 1.2 Параметры и неизвестные
  • 1.3 Тождества
• 2 Свойства
• 3 Алгебра
  • 3.1 Полиномиальные уравнения
  • 3.2 Системы линейных уравнений
• 4 Геометрия
  • 4.1 Аналитическая геометрия
  • 4.2 Декартовы уравнения
  • 4.3 Параметрические уравнения
• 5 Теория чисел
  • 5.1 Диофантовы уравнения
  • 5.2 Алгебраические и трансцендентные числа
  • 5.3 Алгебраическая геометрия
• 6 Дифференциальные уравнения
  • 6.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
  • 6.2 Уравнения с частными производными
• 7 Типы уравнений
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Аналогичная иллюстрация

Иллюстрация простого уравнения; x, y, z - действительные числа, аналогичные весам.

Уравнение аналогично весам, весам или качелям.

Каждая сторона уравнения соответствует одной стороне баланса. На каждой стороне могут быть размещены разные величины: если веса на обеих сторонах равны, весы уравновешиваются, и по аналогии, равенство, которое представляет собой весы, также уравновешивается (если нет, то отсутствие баланса соответствует неравенство, представленное неравенством ).

На иллюстрации x, y и z - это разные величины (в данном случае действительные числа ), представленные в виде круговых весов, и каждый из x, y и z имеет свой вес.. Сложение соответствует добавлению веса, а вычитание - удалению веса из того, что уже есть. При равенстве общий вес с каждой стороны одинаков.

Параметры и неизвестные

Уравнения часто содержат термины, отличные от неизвестных. Эти другие члены, которые считаются известными, обычно называются константами, коэффициентами или параметрами.

Пример уравнения, в котором x и y являются неизвестными, а параметр R равен

$x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; R\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; R\; ^\; \{2\}.\}$

Если для R выбрано значение 2 (R = 2), это уравнение будет распознано в Декартовы координаты как уравнение для окружности радиуса 2 вокруг начала координат. Следовательно, уравнение с неуказанным R является общим уравнением для окружности.

Обычно неизвестные обозначаются буквами в конце алфавита, x, y, z, w,..., а коэффициенты (параметры) обозначаются буквами в начале, a, b, CD,.... Например, общее квадратное уравнение обычно записывается как ax + bx + c = 0.

Процесс поиска решений или, в случае параметров, выражения неизвестных через параметры, называется решением уравнения. Такие выражения решений через параметры также называются решениями.

A система уравнений представляет собой совокупность одновременных уравнений, обычно с несколькими неизвестными, для которых ищутся общие решения. Таким образом, решение системы - это набор значений для каждой из неизвестных, которые вместе образуют решение каждого уравнения в системе. Например, система

$3\; x\; +\; 5\; y\; =\; 2\; 5\; x\; +\; 8\; y\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 3x\; +\; 5y\; =\; 2\; \backslash \backslash \; 5x\; +\; 8y\; =\; 3\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

имеет уникальное решение x = −1, y = 1.

Тождества

Тождество - это уравнение, которое истинно для всех возможных значений переменной (s) он содержит. Многие тождества известны в алгебре и математике. В процессе решения уравнения тождество часто используется для упрощения уравнения, что делает его более легко решаемым.

В алгебре примером идентичности является разность двух квадратов :

$x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; (x\; +\; y)\; (x\; -\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\; =\; (x\; +\; y)\; (xy)\}$

что верно для всех x и y.

Тригонометрия - это область, в которой существует множество идентичностей; они полезны при управлении или решении тригонометрических уравнений. Две из многих функций, которые включают функции синус и косинус :

$sin\; 2\; \; (\theta )\; +\; cos\; 2\; \; (\theta )\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\; \}\; (\backslash \; theta)\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; theta)\; =\; 1\}$

и

$sin\; \; (2\; \theta )\; =\; 2\; sin\; \; (\theta )\; cos\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\; 2\; \backslash \; theta)\; =\; 2\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\}$

, которые верны для всех значений θ.

Например, чтобы найти значение θ, которое удовлетворяет уравнению:

$3\; sin\; \; (\theta )\; cos\; \; (\theta )\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; =\; 1\; \backslash ,,\}$

где θ ограничено диапазоном от 0 до 45 градусов, можно использовать указанное выше тождество для произведения, чтобы получить:

$3\; 2\; sin\; \; (2\; \theta )\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; theta)\; =\; 1\; \backslash ,,\}$

, что дает следующее решение для θ:

$\theta \; =\; 1\; 2\; arcsin\; \; (2\; 3)\; \approx \; 20,9\; \circ .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; arcsin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; приблизительно\; 20,9\; ^\; \{\backslash \; circ\}.\}$

Поскольку синус функция является периодической функцией, существует бесконечно много решений, если нет ограничений на θ. В этом примере ограничение θ между 0 и 45 градусами ограничило бы решение только одним числом.

Два уравнения или две системы уравнений эквивалентны, если они имеют одинаковый набор решений. Следующие операции преобразуют уравнение или систему уравнений в эквивалентное - при условии, что операции имеют смысл для выражений, к которым они применяются:

• Добавление или вычитание одинаковой величины для обоих стороны уравнения. Это показывает, что каждое уравнение эквивалентно уравнению, в котором правая часть равна нулю.
• Умножение или деление обеих сторон уравнения на ненулевую величину.
• Применение тождества для преобразования одной стороны уравнения. Например, расширение продукта или факторизация суммы.
• Для системы: добавление к обеим сторонам уравнения соответствующей части другого уравнения, умноженной на то же самое количество.

Если некоторая функция применяется к обеим сторонам уравнения, результирующее уравнение будет содержать решения исходного уравнения среди своих решений, но может иметь дальнейшие решения, называемые сторонними решениями. Например, уравнение $x\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 1\}$имеет решение $x\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 1.\}$Повышение обоих сторон экспоненты 2 (что означает применение функции $f\; (s)\; =\; s\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (s)\; =\; s\; ^\; \{2\}\}$к обеим сторонам уравнения) изменяется уравнение $x\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$, которое не только имеет предыдущее решение, но и вводит постороннее решение, $x\; =\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -1.\}$Более того, если функция не определена при некоторых значениях (например, 1 / x, который не определен для x = 0), решения, существующие при этих значениях, могут быть потерянный. Таким образом, следует проявлять осторожность при применении такого преобразования к уравнению.

Вышеупомянутые преобразования являются основой большинства элементарных методов для решения уравнений, а также некоторых менее элементарных, таких как Гауссовское исключение.

Полиномиальные уравнения

Решения –1 и 2 полиномиального уравнения x - x + 2 = 0 - это точки, в которых график квадратичной функции y = x - x + 2 пересекает ось x.

Как правило, алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение представляет собой уравнение вида

$P\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; 0\}$, или

$P\; =\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; Q\}$

где P и Q - многочлены с коэффициентами в некотором поле (например, рациональные числа, действительные числа, комплексные числа ). Алгебраическое уравнение является одномерным, если оно включает только одну переменную. С другой стороны, полиномиальное уравнение может включать несколько переменных, и в этом случае оно называется многомерным (несколько переменных, x, y, z и т. Д.). Термин полиномиальное уравнение обычно предпочитается алгебраическому уравнению.

Например,

$x\; 5\; -\; 3\; x\; +\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{5\}\; -3x\; +\; 1\; =\; 0\}$

- одномерное алгебраическое (полиномиальное) уравнение с целыми коэффициентами. и

$y\; 4\; +\; xy\; 2\; =\; x\; 3\; 3\; -\; xy\; 2\; +\; y\; 2\; -\; 1\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{4\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{xy\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\; \}\}\; \{3\}\}\; -\; xy\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{7\}\}\}$

- многомерное полиномиальное уравнение над рациональными числами.

Некоторые (но не все) полиномиальные уравнения с рациональными коэффициентами имеют решение, которое представляет собой алгебраическое выражение, с конечным числом операций, включающих только эти коэффициенты (т. Е., ее можно решить алгебраически ). Это может быть сделано для всех таких уравнений степени один, два, три или четыре; но для уравнений пятой степени и более она может быть решена для некоторых уравнений, но, как показывает теорема Абеля – Руффини, не для всех.

Большое количество исследований было посвящено вычислению эффективных и точных приближений действительных или сложных решений одномерного алгебраического уравнения (см. Корневой вывод полиномы ) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений ).

Системы линейных уравнений

Девять глав по математике - анонимная китайская книга, предлагающая метод разрешения линейных уравнений.

A система линейных уравнений (или линейных system) представляет собой набор линейных уравнений, включающих тот же набор переменных. Например,

$3\; x\; +\; 2\; y\; -\; z\; =\; 1\; 2\; x\; -\; 2\; y\; +\; 4\; z\; =\; -\; 2\; -\; x\; +\; 1\; 2\; y\; -\; z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{7\}\; 3x\; \backslash \; ;\; +\; \backslash ;\; 2y\; \backslash ;\; -\; \backslash ;\; z\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; 1\; \backslash \backslash \; 2x\; \backslash ;\; -\; \backslash ;\; 2y\; \backslash ;\; +\; \backslash ;\; 4z\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; -\; 2\; \backslash \backslash \; -\; x\; \backslash ;\; +\; \backslash ;\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; y\; \backslash ;\; -\; \backslash ;\; z\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$

- это система трех уравнений с тремя переменными x, y, z. Решение линейной системы - это присвоение чисел переменным таким образом, чтобы все уравнения выполнялись одновременно. решение указанной выше системы задается выражением

$x\; =\; 1\; y\; =\; -\; 2\; z\; =\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{2\}\; x\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 1\; \backslash \backslash \; y\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; -\; 2\; \backslash \backslash \; z\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; -\; 2\; \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$

, поскольку это делает все три уравнения действительными. Слово «система» означает, что уравнения следует рассматривать вместе, а не по отдельности.

В математике теория линейных систем является основой и фундаментальной частью линейной алгебры, предмета, который используется в большинстве частей современной математики. Вычислительные алгоритмы для поиска решений являются важной частью числовой линейной алгебры и играют важную роль в физике, инженерии, химия, информатика и экономика. Система нелинейных уравнений часто может быть аппроксимирована линейной системой (см. линеаризация ), что является полезным методом при создании математической модели или компьютерное моделирование относительно сложной системы.

Аналитическая геометрия

A коническое сечение - это пересечение плоскости и конуса вращения.

В евклидовой геометрии это можно связать набор координат с каждой точкой в ​​пространстве, например, с помощью ортогональной сетки. Этот метод позволяет характеризовать геометрические фигуры уравнениями. Плоскость в трехмерном пространстве может быть выражена как набор решений уравнения вида $ax\; +\; by\; +\; cz\; +\; d\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; +\; by\; +\; cz\; +\; d\; =\; 0\}$, где $a,\; b,\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b,\; c\}$и $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$- действительные числа, а $x,\; y,\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y,\; z\}$- неизвестные, которые соответствуют координатам точки в системе, заданной ортогональной сеткой. Значения $a,\; b,\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b,\; c\}$- это координаты вектора, перпендикулярного плоскости, определяемой уравнением. Линия выражается как пересечение двух плоскостей, то есть как набор решений одного линейного уравнения со значениями в $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$или как набор решений двух линейных уравнений со значениями в $R\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}.\}$

A коническое сечение - это пересечение конуса с уравнением $x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; z\; ^\; \{2\}\}$и самолет. Другими словами, в пространстве все коники определяются как множество решений уравнения плоскости и уравнения только что данного конуса. Этот формализм позволяет определять положение и свойства фокусов коники.

Использование уравнений позволяет обратиться к большой области математики для решения геометрических вопросов. Система декартовых координат преобразует геометрическую задачу в задачу анализа, как только фигуры преобразуются в уравнения; отсюда и название аналитическая геометрия. Эта точка зрения, изложенная Декартом, обогащает и изменяет тип геометрии, задуманный древнегреческими математиками.

В настоящее время аналитическая геометрия обозначает активный раздел математики. Хотя он по-прежнему использует уравнения для описания фигур, он также использует другие сложные методы, такие как функциональный анализ и линейная алгебра.

Декартовы уравнения

A Декартова система координат - это система координат, которая задает каждую точку однозначно на плоскости с помощью пары числовых координат, которые являются расстояние со знаком от точки до двух фиксированных перпендикулярных направленных линий, которые помечены с использованием одной и той же единицы длины.

. Можно использовать тот же принцип, чтобы указать положение любой точки в трехмерное мерное пространство с использованием трех декартовых координат, которые представляют собой расстояния со знаком до трех взаимно перпендикулярных плоскостей (или, что эквивалентно, его перпендикулярной проекции на три взаимно перпендикулярные линии).

Декартова система координат с окружностью радиуса 2 с центром в начале координат, отмеченной красным. Уравнение окружности (x - a) + (y - b) = r, где a и b - координаты центра (a, b), а r - радиус.

Изобретение декартовых координат в 17 век Рене Декарт (латинизированное имя: Cartesius) произвел революцию в математике, обеспечив первую систематическую связь между евклидовой геометрией и алгеброй. Используя декартову систему координат, геометрические формы (такие как кривые ) могут быть описаны декартовыми уравнениями : алгебраическими уравнениями, включающими координаты точек, лежащих на форме. Например, окружность радиуса 2 на плоскости с центром в конкретной точке, называемой началом координат, может быть описана как набор всех точек, координаты x и y которых удовлетворяют уравнению x + y = 4.

Параметрические уравнения

A параметрическое уравнение для кривой выражает координаты точек кривой как функции переменной, называемой параметр. Например,

$x\; =\; cos\; \; ty\; =\; sin\; \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; =\; \backslash \; cos\; t\; \backslash \backslash \; y\; =\; \backslash \; sin\; t\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

являются параметрическими уравнениями для единичный круг, где t - параметр. Вместе эти уравнения называются параметрическим представлением кривой.

Понятие параметрического уравнения было обобщено на поверхности, многообразия и алгебраические разновидности более высокой размерности, с число параметров, равное размерности многообразия или многообразия, и число уравнений, равное размерности пространства, в котором рассматривается многообразие или многообразие (для кривых размерность равна единице и используется один параметр, для размеры поверхностей два и два параметра и т. д.).

Диофантовы уравнения

A Диофантовы уравнения - это полиномиальное уравнение от двух или более неизвестных, для которых только целое число решения ищутся (целочисленное решение - это решение, в котором все неизвестные принимают целые значения). линейное диофантово уравнение - это уравнение между двумя суммами одночленов степени ноль или один. Примером линейного диофантова уравнения является ax + by = c, где a, b и c - константы. Экспоненциальное диофантово уравнение - это уравнение, для которого показатели членов уравнения могут быть неизвестны.

Диофантовы задачи содержат меньше уравнений, чем неизвестные переменные, и включают поиск целых чисел, которые правильно работают для всех уравнений. Говоря более техническим языком, они определяют алгебраическую кривую, алгебраическую поверхность или более общий объект и спрашивают о точках решетки на нем.

Слово Диофантин относится к эллинистическому математику 3 века, Диофанту из Александрии, который изучал такие уравнения и был один из первых математиков, который ввел символизм в алгебру. Математическое исследование диофантовых проблем, начатое Диофантом, теперь называется диофантовым анализом .

алгебраическими и трансцендентными числами

алгебраическим числом - числом, которое является решением не- нулевое полиномиальное уравнение от одной переменной с рациональными коэффициентами (или эквивалентно - по очищающим знаменателям - с целочисленными коэффициентами). Такие числа, как π, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными. Почти все действительные и комплексные числа трансцендентны.

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия - это раздел математики, классически изучающий решения полиномиальных уравнений. Современная алгебраическая геометрия основана на более абстрактных методах абстрактной алгебры, особенно коммутативной алгебры, с языком и проблемами геометрии.

. Фундаментальные объекты изучения в алгебраической геометрия - это алгебраические разновидности, которые являются геометрическими проявлениями решений систем полиномиальных уравнений. Примеры наиболее изученных классов алгебраических разновидностей: плоские алгебраические кривые, которые включают прямые, окружности, параболы, эллипсы, гиперболы, кубические кривые, такие как эллиптические кривые и кривые четвертой степени, такие как лемнискаты и овалы Кассини. Точка на плоскости принадлежит алгебраической кривой, если ее координаты удовлетворяют заданному полиномиальному уравнению. Основные вопросы включают изучение точек особого интереса, таких как особые точки, точки перегиба и точки на бесконечности. Более сложные вопросы касаются топологии кривой и отношений между кривыми, заданных различными уравнениями.

A странный аттрактор, возникающий при решении определенного дифференциального уравнения

A дифференциальное уравнение - это математическое уравнение, которое связывает некоторые функция с ее производными. В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные представляют скорости их изменения, а уравнение определяет взаимосвязь между ними. Поскольку такие отношения чрезвычайно распространены, дифференциальные уравнения играют важную роль во многих дисциплинах, включая физику, инженерию, экономику и биологию.

. чистая математика, дифференциальные уравнения изучаются с нескольких разных точек зрения, в основном связанных с их решениями - набором функций, которые удовлетворяют уравнению. Только простейшие дифференциальные уравнения решаются по явным формулам; однако некоторые свойства решений данного дифференциального уравнения могут быть определены без нахождения их точного вида.

Если замкнутая формула для решения недоступна, решение может быть численно аппроксимировано с помощью компьютеров. Теория динамических систем делает упор на качественный анализ систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в то время как многие численные методы были разработаны для определения решений с заданной степенью точности.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

обыкновенное дифференциальное уравнение или ODE - это уравнение, содержащее функцию одной независимой переменной и его производные. Термин «обыкновенный» используется в отличие от термина уравнение в частных производных, которое может относиться к более чем одной независимой переменной.

Линейные дифференциальные уравнения, решения которых можно складывать и умножать на коэффициенты, четко определены и понятны, и получены точные решения в замкнутой форме. Напротив, ОДУ, в которых отсутствуют аддитивные решения, являются нелинейными, и их решение намного сложнее, поскольку их редко можно представить с помощью элементарных функций в замкнутой форме: вместо этого точные и аналитические решения ОДУ находятся в последовательном или интегральная форма. Графические и численные методы, применяемые вручную или с помощью компьютера, могут приближать решения ОДУ и, возможно, давать полезную информацию, часто достаточную при отсутствии точных аналитических решений.

Уравнения в частных производных

A Уравнение в частных производных (PDE ) - это дифференциальное уравнение, которое содержит неизвестные функции многих переменных и их частные производные. (В этом отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, которые имеют дело с функциями одной переменной и их производными.) УЧП используются для формулирования задач, включающих функции нескольких переменных, и либо решаются вручную, либо используются для создания соответствующей компьютерной модели.

PDE могут использоваться для описания широкого спектра явлений, таких как звук, тепло, электростатика, электродинамика, поток жидкости, упругость или квантовая механика. Эти, казалось бы, различные физические явления могут быть формализованы аналогичным образом в терминах PDE. Так же, как обыкновенные дифференциальные уравнения часто моделируют одномерные динамические системы, уравнения в частных производных часто моделируют многомерные системы. PDE находят свое обобщение в стохастических уравнениях с частными производными.

Уравнения можно классифицировать по типам операций и задействованным количествам. К важным типам относятся:

• алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение - это уравнение, в котором обе части являются полиномами (см. Также систему полиномиальных уравнений ). Они дополнительно классифицируются по степени :
  • линейному уравнению для первой степени
  • квадратному уравнению для второй степени
  • кубическому уравнению для третьей степени
  • уравнению четвертой степени для четвертой степени
  • уравнение пятой степени для пятой степени
  • шестое уравнение для шестой степени
  • септическое уравнение для седьмой степени
  • октическое уравнение для восьмой степени
• A Диофантово уравнение - это уравнение, в котором неизвестные должны быть целыми числами
• A трансцендентное уравнение - это уравнение, включающее трансцендентную функцию его неизвестных
• A параметрическое уравнение - это уравнение, в котором решения для переменных выражаются как функции некоторых других переменных, называемых параметрами, фигурирующими в уравнениях
• A функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестные функции, а не простые величины
• Уравнения, включающие производные, интегралы и конечные разности:
  • A дифференциальное уравнение - это функциональное уравнение, включающее ing производные неизвестных функций, где функция и ее производные вычисляются в одной и той же точке, например $f\; \text{'}(x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\text{'}\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$. Дифференциальные уравнения подразделяются на обыкновенные дифференциальные уравнения для функций одной переменной и уравнения в частных производных для функций нескольких переменных
  • интегральное уравнение - функциональное уравнение, включающее первообразные неизвестных функций. Для функций одной переменной такое уравнение отличается от дифференциального уравнения, прежде всего, заменой переменной, заменяющей функцию ее производной, однако это не тот случай, когда интеграл берется по открытой поверхности
  • An интегро-дифференциальное уравнение представляет собой функциональное уравнение, включающее как производные, так и первообразные неизвестных функций. Для функций одной переменной такое уравнение отличается от интегральных и дифференциальных уравнений аналогичной заменой переменной.
  • A функционально-дифференциальное уравнение из дифференциальное уравнение запаздывания - это функциональное уравнение, включающее производные неизвестных функций, вычисленных в нескольких точках, например $f\; \prime \; (x)\; =\; f\; (x\; -\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; =\; f\; (x-2)\}$
  • A разница уравнение - это уравнение, в котором неизвестным является функция f, которая встречается в уравнении через f (x), f (x − 1),..., f (x − k) для некоторого целого числа k, называемого порядок уравнения. Если x ограничен целым числом, разностное уравнение совпадает с рекуррентным соотношением
  • A стохастическое дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением, в котором один или несколько членов являются стохастическим процессом.

• Формула
• История алгебры
• Неопределенное уравнение
• Список уравнений
• Список научных уравнений, названных в честь людей
• Термин (логика)
• Теория уравнений
• Отмена

• Winplot : плоттер общего назначения, который может рисовать и анимировать 2D и 3D математические уравнения.
• Плоттер уравнений : веб-страница для создания и загрузки графиков pdf или postscript наборов решений для уравнений и неравенств с двумя переменными (x и y).