Ноль функции

Элемент области, в котором значение функции равно нулю График функции $cos\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (x)\}$для $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[-\; 2\; \pi ,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [-\; 2\; \backslash \; pi,\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; right]\}$, с нулями в $-\; 3\; \pi \; 2,\; -\; \pi \; 2,\; \pi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{2\}\},\; \backslash ;\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}$и $3\; \pi \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{2\}\},\}$отмечены красным.

В математике, ноль (также иногда называемый корнем ) из действительного -, комплексного - или, как правило, векторная функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, является членом $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$из домен из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$такой, что $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$исчезает в $Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\}$; то есть функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$достигает значения 0 в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$или, что эквивалентно, $x\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\}$- это решение уравнения $f\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; 0\}$. Таким образом, «ноль» функции - это входное значение, которое дает на выходе $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$.

A корень из полинома, являющийся нулем соответствующего полиномиальная функция. Фундаментальная теорема алгебры показывает, что любой ненулевой многочлен имеет количество корней, не более равное его степени, и что количество корней и степени равны, если рассматривать комплексные корни (или, в более общем смысле, корни в алгебраически замкнутом расширении ), подсчитанные с их кратностями. Например, многочлен $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$второй степени, определяемый как

$f\; (x)\; =\; x\; 2–5\; x\; +\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; -5x\; +\; 6\}$

имеет два корня $2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$и $3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\}$, поскольку

$е\; (2)\; =\; 2\; 2–5\; \cdot \; 2\; +\; 6\; =\; 0\; и\; f\; (3)\; =\; 3\; 2–5\; \cdot \; 3\; +\; 6\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (2)\; =\; 2\; ^\; \{2\}\; -5\; \backslash \; cdot\; 2\; +\; 6\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; textrm\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; f\; (3)\; =\; 3\; ^\; \{2\}\; -5\; \backslash \; cdot\; 3\; +\; 6\; =\; 0\}$.

Если функция преобразует действительные числа в действительные числа, тогда его нули - это $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$-координаты точек, где его график пересекает ось x. Альтернативное имя для такой точки $(x,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; 0)\}$в данном контексте - $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$-перехват.

• 1 Решение уравнения
• 2 Полиномиальные корни
  • 2.1 Основная теорема алгебры
• 3 Вычисление корней
• 4 Установка нуля
  • 4.1 Приложения
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Каждое уравнение в unknown $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$можно переписать как

$f\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; 0\}$

путем перегруппировки всех терминов в левой части. Отсюда следует, что решения такого уравнения - это в точности нули функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$. Другими словами, «нуль функции» - это в точности «решение уравнения, полученное приравниванием функции к 0», а изучение нулей функций в точности совпадает с изучением решений уравнений.

Каждый действительный полином нечетной степени имеет нечетное количество действительных корней (с учетом кратностей ); аналогично действительный многочлен четной степени должен иметь четное число действительных корней. Следовательно, действительные нечетные многочлены должны иметь по крайней мере один действительный корень (поскольку наименьшее нечетное целое число равно 1), тогда как четные многочлены могут не иметь ни одного. Этот принцип может быть доказан ссылкой на теорему о промежуточном значении : поскольку полиномиальные функции непрерывны, значение функции должно пересекать ноль в процессе изменения с отрицательного на положительное или наоборот. (что всегда бывает с нечетными функциями).

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$имеет $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$комплексные корни с учетом их кратностей. Неверные корни многочленов с действительными коэффициентами входят в сопряженных пар. Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.

Вычисление корней функций, например, полиномиальных функций, часто требует использования специализированных или приближенных методов (например, Метод Ньютона ). Однако некоторые полиномиальные функции, в том числе все функции степени не более 4, могут иметь все корни, выраженные алгебраически через их коэффициенты (подробнее см. алгебраическое решение ).

В различных областях математики установка нуля функции функции представляет собой набор всех ее нулей. Точнее, если $f:\; X\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$является функцией с действительным знаком (или, в более общем смысле, функция, принимающая значения в некоторой аддитивной группе ), ее нулевой набор равен $f\; -\; 1\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (0)\}$, обратное изображение из $\{0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\}$в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

Обычно используется термин "нулевой набор" когда нулей бесконечно много, и они обладают некоторыми нетривиальными топологическими свойствами. Например, набор уровней функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является нулевым набором $f\; -\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; fc\}$. набор нулевых значений из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является дополнением нулевого набора $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$(т. Е. Подмножество $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, на котором $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$не равно нулю).

Приложения

В алгебраической геометрии первое определение алгебраической разновидности - это нулевые множества. В частности, аффинное алгебраическое множество является пересечением нулевых наборов нескольких полиномов в кольце многочленов $k\; [x\; 1,\dots ,\; xn\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; left\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right]\}$над полем. В этом контексте нулевое множество иногда называют нулевым локусом.

В анализе и геометрии любое закрытое подмножество из $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \}$- это нулевой набор гладкой функции, определенной на всем $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$. Это распространяется на любое гладкое многообразие как следствие паракомпактности.

В дифференциальной геометрии наборы нулей часто используются для определения многообразий. Важным частным случаем является случай, когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является гладкой функцией из $R\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{p\; \}\}$до $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$. Если ноль является обычным значением из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, то нулевой набор для $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$равен гладкое многообразие размерности $m\; =\; p\; -\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; pn\}$по теореме о регулярном значении.

. Например, единица $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \}$-сфера в $R\; m\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}$- нулевой набор действительной функции $f\; (x)\; =\; \Vert \; x\; \Vert \; 2-1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; Vert\; x\; \backslash \; Vert\; ^\; \{2\}\; -1\}$.

• теорема Мардена
• алгоритм поиска корней
• Гипотеза Сендова
• Исчезновение на бесконечности
• Пересечение нуля
• Нули и полюсы

• Вайсштейн, Эрик У. «Корень». MathWorld.