Дифференцируемый коллектор

редактировать
Коллектор, на котором можно выполнять вычисления Недифференцируемый атлас карт для земного шара. Результаты расчетов могут быть несовместимы между диаграммами, если атлас не дифференцируемый. На центральном и правом графике Тропик Рака представляет собой плавную кривую, тогда как на левом графике он имеет острый угол. Понятие дифференцируемого многообразия масштабное понятие, требуя, чтобы функции, преобразующие карты, были дифференцируемыми.

В математике дифференцируемое многообразие (также различное разнообразие ) является типом многообразия, который достаточно похож на линейное пространство, чтобы можно было было выполнять исчисление. Любой коллектор можно описать набором диаграмм, также известным как атлас. Затем можно применить идеи из исчисления, используя отдельный диаграмма, каждая из которых находится в линейном пространстве, к используемым обычным правилам исчисления. Если диаграмма достаточно совместимы (а именно, переход от одной диаграммы к другой является дифференцируемой ), то вычисления, выполненные на одной диаграмме, действующие для любой другой дифференцируемой диаграммы.

Формально, дифференцируемое разнообразие - это топологическое разнообразие глобально стандартное дифференциальной структурой. Любое топологическое многообразие может быть локально задано дифференциальной структурой с помощью гомеоморфизмов в его атласе и стандартной структуре на линейном пространстве. Чтобы вызвать глобальную дифференциальную структуру в локальных системах их координат, индуцированную гомеоморфизмами, композиция на пересечениях карт в атласе должна быть дифференцируемым функциям на соответствующем линейном пространстве. Другими словами, там, где области диаграммы перекрываются, координаты, определяемые каждой картой, должны быть дифференцируемыми относительно координат, определенных каждой картой в атласе. Карты, которые связывают координаты, друг с другом, называются картами перехода.

Дифференцируемость означает разные вещи в разных контекстах, включая: непрерывно дифференцируемый, k раз дифференцируемый, гладкий и голоморфный. Кроме того, способность индуцировать такую ​​трансформацию в абстрактном пространстве позволяет определить глобализацию пространства без систем координат. Дифференциальная структура позволяет определять глобально дифференцируемое пространство касательное пространство, дифференцируемые функции и дифференцируемые тенные и уязвимые поля. Дифференцируемые многообразия очень важны в физике. Особые виды различных видов различных физических теорий классическая механика, общая теория теории и теория Янга - Миллса. Можно разработать исчисление для дифференцируемых разнообразий. Это приводит к такому математическому аппарату, как внешнее исчисление. Изучение исчисления на дифференцируемых разнообразиях известно как дифференциальная геометрия.

Содержание

  • 1 История
  • 2
    • 2.1 Атласы
    • 2.2 Многообразия
    • 2.3 Соединение евклидовых частей для образования многообразия
  • 3 Дифференцируемые функции
    • 3.1 Дифференциация функций
      • 3.1.1 Дифференциация по направлениям
      • 3.1.2 Касательный вектор и дифференциал
      • 3.1.3 Определение касательного пространства и дифференцирование в локальных координатах
    • 3.2 Разбиение единицы
    • 3.3 Дифференцируемость отображений между разнообразиями
  • 4 Связки
    • 4.1 Касательное расслоение
    • 4.2 Кокангенциальное расслоение
    • 4.3 Тензорная связка
    • 4.4 Связка фреймов
    • 4.5 Связки струй
  • 5 Исчисление на многообразиях
    • 5.1 Дифференциальное исчисление функций
    • 5.2 Производственная Ли
    • 5.3 Внешнее исчисление
      • 5.3.1 Внешняя производная
  • 6 Топология дифференцируемых разнообразий
    • 6.1 Связь с топологическими разнообразиями
    • 6.2 Класс определения
  • 7 Структуры на гладких разнообразиях
    • 7.1 (Псевдо) римановы мно гообразия
    • 7.2 Симплектические многообразия
    • 7.3 Группы Ли
  • 8 Альтернативные определения
    • 8.1 Псевдогруппы
    • 8.2 Структурный пучок
      • 8.2.1 Пучки локальных колец
  • 9 Обобщения
    • 9.1 Некоммутативная геометрия
  • 10 См. Также
  • 11 Примечания
  • 12 Ссылки
  • 13 Библиография

История

Появление дифференциальной геометрии как отдельные дисциплины обычно приписывают Карлу Фридриху Гауссу и Бернхарду Риману. Риман впервые описал многообразие своей знаменитой лекции по абилитации перед факультетом Геттингена. Он мотивировал создание пространства интуитивным изменением данного объекта в новом направлении и дальновидно разработал роль систем координат и диаграмм в формальных описаниях:

Построив понятие мира n измерений, и обнаружил, что его истинный характер в том своем, что определение положения в нем может быть сведено к n определениям величины... - Б. Риман

Работы таких физиков, как Джеймс Клерк Максвелл, а математики Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита стимулировали развитие тензорного анализа и концепции ковариации, который идентифицирует внутреннее геометрическое свойство как свойство, инвариантное относительно преобразований координат. Эти идеи нашли применение в теории общей теории относительности Альберта Эйнштейна и лежащем в ее основе принцип эквивалентности. Современное определение двумерного разнообразия было дано Германом Вейлем в его книге 1913 года о римановых поверхностях. Широко принятое общее определение в терминах атласа связано с Хасслер-Уитни.

Определение

Атласы

Пусть M будет топологическое пространство. карта (U, φ) на M состоит из открытого подмножества U в M и гомеоморфизма φ из U в открытое подмножество некоторого евклидова пространства ℝ. Несколько неформально можно ссылаться на карту φ: U → ℝ, означая, что образ φ является открытым подмножеством, и что φ является гомеоморфизмом на его образ; в использовании некоторых авторов это может вместо этого означать, что φ: U → ℝ сам является гомеоморфизмом.

Наличие диаграммы предполагает возможность выполнения дифференциального исчисления на M; например, если дана функция u: M → ℝ и карта (U, φ) на M, можно рассмотреть композицию u ∘ φ, которая является вещественнозначной функцией, область определения является открытым подмножеством евклидова пространства; как таковой, если он оказывается дифференцируемым, можно рассматривать его частные производные.

. Эта ситуация не является полностью удовлетворительной по следующей причине. Рассмотрим вторую карту (V, ψ) на M и предположим, что U и V содержат некоторые общие точки. Две соответствующие функции u ∘ φ и u ∘ ψ связаны в том смысле, что их можно перепараметризовать в друга:

u ∘ φ - 1 = (u ∘ ψ - 1) ∘ (ψ ∘ φ - 1), {\ displaystyle и \ circ \ varphi ^ {- 1} = {\ big (} и \ circ \ psi ^ {- 1} {\ big)} \ circ {\ big (} \ psi \ circ \ varphi ^ {- 1} {\ big)},}{\ displaystyle и \ circ \ varphi ^ {- 1} = {\ big (} и \ circ \ psi ^ {- 1} {\ big)} \ circ {\ big (} \ psi \ circ \ varphi ^ {- 1} {\ big)},}

естественная область определения правой части равна φ (U ∩ V). Φ и - гомеоморфизмы, то ψ ∘ φ - гомеоморфизм из φ (U ∩ V) в ψ (U ∩ V). Следовательно, даже если обе функции u ∘ φ и u ∘ ψ дифференцируемы, их отличительные свойства не обязательно сильно связаны друг с другом, поскольку ψ ∘ φ не обязательно достаточно дифференцируемо, чтобы цепное правило было применимо. Та же проблема обнаруживается, если вместо этого рассматривать функции c: ℝ → M; один приводит к формуле репараметризации

φ ∘ c = (φ ∘ ψ - 1) ∘ (ψ ∘ c), {\ displaystyle \ varphi \ circ c = {\ big (} \ varphi \ circ \ psi ^ {-1 } {\ big)} \ circ {\ big (} \ psi \ circ c {\ big)},}{\ displaystyle \ varphi \ circ c = {\ big (} \ varphi \ circ \ psi ^ {- 1} {\ big)} \ circ {\ big (} \ psi \ circ c {\ big)},}

в этот момент можно сделать то же наблюдение, что и раньше.

Эта проблема решена введением «дифференцируемого атласа» карт, который определяет набор карт на M, для всех карты перехода ψ ∘ φ дифференцируемы. Это делает ситуацию довольно чистой: если u ∘ φ дифференцируемо, то в силу формулы репараметризации отображения u ∘ ψ также дифференцируемо в области ψ (U ∩ V). Более того, производные эти двух карт связаны друг с другом правилом цепочки. По данным атласом, это понятие дифференцируемых отображаемых, область или диапазон которых составляет M, а также понятие производной таких отображений.

Формально слово «дифференцируемый» несколько двусмысленно, так как разные авторы понимают его как разные вещи; иногда это означает наличие первых производных, иногда существование непрерывных первых производных, а иногда существование бесконечного числа производных. Ниже дается формальное определение различных (однозначных) значений «дифференцируемого атласа». «Как правило», «вводящий все возможности, при условии, что k ≥ 1.».

Настоящее топологическое пространство M...{φα: U α → ℝ} α∈Aтаких, что {U α}α∈A покрывает M, и таких, что для всех α и β в A, карта перехода φα∘ φ. β- этоa C карта
гладкий или C-атлас{φα: U α → ℝ} α ∈ Aa гладкое отображение
аналитическое или C-атлас{φα: U α → ℝ} α∈Aa вещественно-аналитическое отображение
голоморфный атлас{φα: U α → ℂ} α∈Aa голоморфная карта
M {\ displaystyle M}M U α {\ displaystyle U _ {\ альфа}}U _ {\ alpha} U β {\ Displaystyle U _ {\ beta}}U _ {\ beta} φ α {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha}}\ varphi _ {\ alpha} φ β {\ displaystyle \ varphi _ {\ бета}}\ varphi _ {\ beta} φ β α {\ displaystyle \ varphi _ {\ beta \ alpha}}\ varphi _ {\ beta \ alpha} φ α β {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta}}\ varphi _ {\ alpha \ beta} R n {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}\ mathbf {R} ^ {n} R n {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}\ mathbf {R} ^ {n} Карта перехода двух диаграмм. φ αβ обозначает φ α ∘ φ. β, а φ βα обозначает φ β ∘ φ. α

Хотя каждый вещественно- аналитическая карта является гладкой, и каждая гладкая карта представляет собой C для любого k, можно видеть, что любой аналитический атлас можно рассматривать как гладкий атлас, и каждый гладкий атлас можно рассматривать как атлас C. с помощью того, что любое голоморфное отображение между открытыми подмножествами может рассматривать как реально-аналитическое отображение между открытыми подмножествами.

Данный дифференцируемый атлас в топологическом визуальном представлении говорят, что карта дифференцируемо соответствие с атласом или дифференцируема относительно данного атласа, если включение диаграммы в коллекцию диаграмм, составляющий дифференцируемый атлас, приводит к дифференцируемому атласу. Дифференцируемый атлас определяет максимальный дифференцируемый атлас, состоящий из всех карт, которые дифференцированно соответствуют с данными атласом. Максимальный атлас всегда очень большой. Например, для любой карты в максимальном атласе ее ограничение на произвольное открытое подмножество ее области также будет содержаться в максимальном атласе. Максимальный гладкий атлас также известен как гладкая структура ; максимальный голоморфный атлас также известен как комплексная структура.

Альтернативное, но эквивалентное определение, подходящее прямое использование максимальных атласов, состоящее в рассмотрении классов эквивалентности эквивалентных атласов, в которых два дифференцируемых атласа считаются, если каждая карта атласа дифференцированно совместима с другим атласом. Неформально это означает, что, имея дело с гладким разнообразием, можно работать с одним дифференцируемым атласом, состоящим из нескольких других диаграмм и дифференцируемых атласов одинаково законны.

Согласно инвариантности области, каждый компонент связности топологического пространства, который имеет дифференцируемый атлас, имеет четко определенную размерность n. Это вызывает небольшую двусмысленность в случае голоморфного атласа, поскольку соответствующее измерение будет составлять половину значения его размерности, если его рассматривать как аналитический, гладкий или C-атлас. По этой причине отдельно упоминаются «реальная» и «комплексная» размер топологического пространства с голоморфным атласом.

Многообразия

A дифференцируемое разнообразие является хаусдорфовым и вторым счетным топологическим пространством M вместе с максимальным дифференцируемым атласом на M. Большая часть основной Теория может быть окружением без необходимости в условиях Хаусдорфа и второй счетности, хотя они жизненно важны для большей части продвинутой теории. По сути, они эквивалентны общему существованию функций выдавливания и разделов единства, которые используются повсеместно.

Понятие C-многообразия идентично понятию топологического многообразия. Однако необходимо сделать заметное различие. Данное топологическое пространство имеет смысл спросить, является ли оно топологическим разнообразием. Напротив, не имеет смысла спрашивать, является ли данное топологическое пространство (например) гладким множеством, как понятие гладкого множества требует спецификации гладкого атласа, который является дополнительной структурой. Однако смысл сказать, что определенному топологическому пространству нельзя придать значение гладкого пространства. Можно переформулировать таким образом, чтобы не было такого дисбаланса; можно начать с множества M (не из топологического пространства M), используя естественный аналог гладкого атласа в этом случае, чтобы определить топологического пространства на M.

Соединение евклидовых частей вместе для образования коллектор

Можно реконструировать приведенные выше определения, чтобы получить одну точку зрения на построение коллекторов. Идея состоит в том, чтобы начать использовать диаграмм и карт переходов и построить исключительно на основе этих данных. Как и в предыдущем обсуждении, мы используем «плавный» контекст, все работает так же хорошо в других настройках.

Для набора индексции A, {\ displaystyle A,}A, пусть V α {\ displaystyle V _ {\ alpha}}V _ {\ alpha} будет набором открытых подмножеств R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} и для каждого α, β ∈ A {\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in A}{\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in A} пусть V α β {\ displaystyle V _ {\ alpha \ beta}}{\ displaystyle V _ {\ alpha \ beta}} будет открытым (возможно, пустым) подмножеством V β {\ displaystyle V_ {\ beta }}V _ {\ beta} и пусть φ α β: V α β → V β α {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta}: V _ {\ alpha \ beta} \ to V_ {\ beta \ alpha}}{\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta}: V_ {\ alpha \ beta} \ to V _ {\ beta \ alpha}} быть гладкой картой. Предположим, что φ α α {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ alpha}}{\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ alpha}} - это карта идентичности, что φ α β ∘ φ β α {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta} \ circ \ varphi _ {\ beta \ alpha}}{\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta } \ circ \ varphi _ {\ beta \ alpha}} - это тождественная карта, и что φ α β ∘ φ β γ ∘ φ γ α {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta} \ circ \ varphi _ {\ beta \ gamma} \ circ \ varphi _ {\ gamma \ alpha}}{\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta } \ circ \ varphi _ {\ beta \ gamma} \ circ \ varphi _ {\ gamma \ alpha}} - карта идентичности. Затем определите отношение эквивалентности на непересекающемся объединении ⨆ α ∈ AV α {\ displaystyle \ textstyle {\ bigsqcup _ {\ alpha \ in A} V _ {\ alpha}}}{\ displaystyle \ textstyle {\ bigsqcup _ {\ alpha \ in A} V _ {\ alpha}}} , p ∈ V α β {\ displaystyle p \ in V _ {\ alpha \ beta}}{\ displaystyle p \ in V _ {\ alpha \ beta}} , чтобы быть эквивалентным φ α β (p) ∈ V β α. {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta} (p) \ in V _ {\ beta \ alpha}.}{\displaystyle \varphi _{ \alpha \beta }(p)\in V_{\beta \alpha }.}Некоторая техническая работа можно показать, что набор классов эквивалентности может быть задан естественным образом топологическая структура, и что карты, используемые при этом, образуют гладкий атлас.

Дифференцируемые

Действительнозначная функция f на n-мерном дифференцируемом множестве M называется дифференцируемой в точке p ∈ M, если она дифференцируема в любой координатной карте определяется около p. Точнее, если (U, φ) {\ displaystyle (U, \ varphi)}{\ displaystyle (U, \ varphi)} - дифференцируемая диаграмма, где U {\ displaystyle U}U является множеством в M {\ displaystyle M}M , содержащим p и φ: U → R n {\ displaystyle \ varphi: U \ to {\ mathbf {R}} ^ {n}}{\ displaystyle \ varphi: U \ to {\ mathbf {R}} ^ {n}} - карта тогда определяющая диаграмму, f дифференцируемо в p тогда и только тогда, когда

f ∘ φ - 1: φ (U) ⊂ R n → R {\ displaystyle f \ circ \ varphi ^ {- 1} \ Colon \ varphi (U) \ subset {\ mathbf {R}} ^ {n} \ to {\ mathbf {R}}}{\ displaystyle f \ circ \ varphi ^ {- 1} \ двоеточие \ varphi (U) \ subset {\ mathbf {R}} ^ {n} \ to {\ mathbf {R}}}

дифференцируемо в φ (p) { \ displaystyle \ varphi (p)}\ varphi (p) , то есть f является дифференцируемой функцией из открытого числа φ (U) {\ displaystyle \ varphi (U)}{\ displaystyle \ varphi (U)} , рассматриваемый как подмножество R n {\ displaystyle {\ mathbf {R}} ^ {n}}{\ displaystyle {\ mathbf {R}} ^ {n}} , до R {\ displaystyle \ mathbf {R}}\ mathbf {R} . В общем, будет много доступных графиков; однако определение дифференцируемости не зависит от выбора карты в п. Из правил цепочки применяется применяемая функция перехода между одной диаграммой и другой, следует, что если f дифференцируема в любой диаграмме в точке p, то она дифференцируема во всех диаграммах в точке p. Аналогичные подходы к определению функций C, гладких функций и аналитических функций.

Дифференциация функций

Существуют различные способы определения производной функции на дифференцируемом разнообразии, наиболее фундаментальной из которых является производная по направлению. Определение производной по направлению усложняется тем фактом, что в многообразии не будет подходящей аффинной структуры, с помощью которой можно определить векторы. Следовательно, производная по направлению смотрит на кривые в многообразии, а не на векторы.

Дифференцирование по направлениям

Для заданной вещественнозначной функции f на n-мерном дифференцируемом многообразии M производная f по направлениям в точке p в M определяется следующим образом. Предположим, что γ (t) - кривая в M с γ (0) = p, которая дифференцируема в том смысле, что ее композиция с любой картой является дифференцируемой кривой в R . Тогда производная по направлению функции f в точке p вдоль γ равна

d d t f (γ (t)) | т = 0. {\ displaystyle \ left. {\ frac {d} {dt}} f (\ gamma (t)) \ right | _ {t = 0}.}\ left. {\ frac {d} {dt}} f (\ gamma (t)) \ right | _ {t = 0}.

Если γ 1 и γ 2 - две кривые, такие что γ 1 (0) = γ 2 (0) = p, и в любой координатной карте φ,

ddt φ ∘ γ 1 (t) | t = 0 = d d t φ ∘ γ 2 (t) | t = 0 {\ displaystyle \ left. {\ frac {d} {dt}} \ varphi \ circ \ gamma _ {1} (t) \ right | _ {t = 0} = \ left. {\ frac {d } {dt}} \ varphi \ circ \ gamma _ {2} (t) \ right | _ {t = 0}}{\ displaystyle \ left. {\ Frac {d} {dt}} \ varphi \ circ \ gamma _ {1} (t) \ right | _ {t = 0} = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ varphi \ circ \ gamma _ {2} (t) \ right | _ {t = 0}}

тогда, по правилу цепочки, f имеет ту же производную по направлению в p вдоль γ 1 как по γ 2. Это означает, что производная по направлению зависит только от касательного вектора кривой в точке p. Таким образом, более абстрактное определение дифференцирования по направлениям, адаптированное к случаю дифференцируемых многообразий, в конечном итоге захватывает интуитивные особенности дифференцирования по направлениям в аффинном пространстве.

Касательный вектор и дифференциальный

A касательный вектор в точке p ∈ M являются классом эквивалентности дифференцируемых кривых γ с γ (0) = p по модулю отношения эквивалентности контакт первого порядка между кривыми. Следовательно,

γ 1 ≡ γ 2 ⟺ d d t φ ∘ γ 1 (t) | t = 0 = d d t φ ∘ γ 2 (t) | T знак равно 0 {\ Displaystyle \ gamma _ {1} \ Equiv \ gamma _ {2} \ iff \ left. {\ frac {d} {dt}} \ varphi \ circ \ gamma _ {1} (t) \ right | _ {t = 0} = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ varphi \ circ \ gamma _ {2} (t) \ right | _ {t = 0}}{\ displaystyle \ gamma _ {1} \ Equiv \ gamma _ {2} \ iff \ left. {\ Frac {d} {dt}} \ varphi \ circ \ gamma _ {1} (t) \ right | _ {t = 0} = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ varphi \ circ \ gamma _ {2} (t) \ right | _ {t = 0}}

по каждой координате диаграмма φ. Следовательно, классы эквивалентности - это кривые, проходящие через точку pс заданным вектором скорости в точке p. Совокупность всех касательных векторов в точке p образует пространство : касательное пространство к M в точке p, обозначенное T p M.

Если X является касательным вектором в точке p и дифференцируемой функцией fa, определенным рядом с точкой p, то дифференцирование f вдоль любой кривой в классе эквивалентности, определяющем X, дает четко определенную производную по направлению вдоль X:

X f (p): = ddtf (γ (t)) | т = 0. {\ Displaystyle Xf (р): = \ влево. {\ frac {d} {dt}} f (\ gamma (t)) \ right | _ {t = 0}.}Xf (p): = \ left. {\ frac {d} {dt}} f (\ gamma (t)) \ right | _ {t = 0}.

И снова цепное правило устанавливает, что это не зависит от свободы выбора γ из класса эквивалентности, поскольку любой кривая с одним и тем же контактом первого порядка будет давать одинаковую производную по направлению.

Если функция f фиксирована, то отображение

X ↦ X f (p) {\ displaystyle X \ mapsto Xf (p)}X \ mapsto Xf (p)

является линейным функционалом на касательном пространстве. Этот линейный функционал часто обозначается df (p) и называется дифференциалом функции f в точке p:

df (p): T p M → R. {\ displaystyle df (p) \ двоеточие T_ {p } M \ to {\ mathbf {R}}.}df (p) \ двоеточие T_ {p} M \ to {\ mathbf {R}}.

Определение касательного пространства и дифференцирования в локальных координатах

Пусть M {\ displaystyle M}M быть топологическим n {\ displaystyle n}n -многообразием с гладким атласом {(U α, φ α)} α ∈ A. {\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ {\ alpha \ in A}.}{\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ {\ alpha \ in A}.} С учетом p ∈ M {\ displaystyle p \ в M}p \ in M ​​пусть A p {\ displaystyle A_ {p}}A_p обозначает {α ∈ A: p ∈ U α}. {\ displaystyle \ {\ alpha \ in A: p \ in U _ {\ alpha} \}.}{\ displaystyle \ {\ alpha \ in A: p \ in U_{\alpha }\}.}A "касательный вектор в p ∈ M {\ displaystyle p \ in M}p \ in M ​​"- это отображение v: A p → R n, {\ displaystyle v: A_ {p} \ to \ mathbb {R} ^ {n},}{\ displaystyle v: A_ {p} \ to \ mathbb {R} ^ { n},} здесь обозначено α ↦ v α, {\ displaystyle \ alpha \ mapsto v _ {\ alpha},}{\ displaystyle \ alpha \ mapsto v _ {\ alpha},} такой, что

v α = D | φ β (п) (φ α ∘ φ β - 1) (v β) {\ Displaystyle v _ {\ alpha} = D {\ Big |} _ {\ varphi _ {\ beta} (p)} (\ varphi _ {\ alpha} \ circ \ varphi _ {\ beta} ^ {- 1}) (v _ {\ beta})}{\ displaystyle v _ {\ alpha} = D {\ Big |} _ {\ varphi _ {\ beta} (p)} (\ varphi _ {\ alpha} \ circ \ varphi _ {\ beta} ^ {- 1}) ( v _ {\ beta})}

для всех α, β ∈ A p. {\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in A_ {p}.}{\ displaystyle \ alpha, \ beta \ в A_ {p}.} Пусть набор касательных векторов в p {\ displaystyle p}p обозначается Т п М. {\ displaystyle T_ {p} M.}{\ displaystyle T_ {p} M.} Для гладкой функции f: M → R {\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}{\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}} определите dfp: T p M → R {\ displaystyle df_ {p}: T_ {p} M \ to \ mathbb {R}}{\ displaystyle df_ {p}: T_ {p} M \ to \ mathbb {R}} путем отправки касательного вектора v: A p → R n { \ displaystyle v: A_ {p} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle v: A_ {p} \ to \ mathbb {R} ^ {n}} к существующему, заданному параметру

D | φ α (п) (е ∘ φ α - 1) (v α), {\ Displaystyle D {\ Big |} _ {\ varphi _ {\ alpha} (p)} (е \ circ \ varphi _ {\ alpha } ^ {- 1}) (v _ {\ alpha}),}{\ displaystyle D {\ Big |} _ {\ varphi _ {\ alpha} (p)} (f \ circ \ varphi _ {\ alpha} ^ {- 1}) (v _ {\ alpha}),}

который из правил цепочки и ограничения в определении касательного события не зависит от выбора α ∈ A p. {\ displaystyle \ alpha \ in A_ {p}.}{\ displaystyle \ alpha \ in A_ {p}.}

Можно проверить, что T p M {\ displaystyle T_ {p} M}T_ {p} M естественно имеет преобразование n {\ displaystyle n}n -мерное реальное векторное пространство, и с этой структурой dfp {\ displaystyle df_ {p}}{\ displaystyle df_ {p}} является линейной картой. Ключевое наблюдение заключается в том, что из-за ограничения, появляющееся в определении касательного тома, значение v β {\ displaystyle v _ {\ beta}}{\ displaystyle v _ {\ beta}} для одного элемента β {\ displaystyle \ beta}\ beta из A p {\ displaystyle A_ {p}}A_p автоматически определяет v α {\ displaystyle v _ {\ alpha}}v _ {\ alpha} для всех α ∈ A. {\ displaystyle \ alpha \ in A.}{\displaystyle \alpha \in A.}

Приведенные выше формальные определения соответствуют более неформальным обозначениям, которые часто встречаются в учебниках, в частности,

vi = v ~ j ∂ xi ∂ x ~ j {\ displaystyle v ^ {i} = {\ widetilde {v}} ^ {j} {\ frac {\ partial x ^ {i}} {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {j}}}}{\ displaystyle v ^ {i} = {\ widetilde {v}} ^ {j} {\ frac {\ partial x ^ {i}} {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {j}}}} и dfp (v) = ∂ f ∂ xivi. {\ displaystyle df_ {p} (v) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} v ^ {i}.}{\ displaystyle df_ {p} (v) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} v ^ {i}.}

Исходя из понимания формальных определений, это сокращение с нотацией для больше целей работать намного проще.

Разбиение единицы

Одно из топологических улучшений различных функций на дифференцируемом множестве состоит в том, что он допускает разбиение единицы. Как правило, это не имеют разбиений на единицу, как правило, не имеют разбиений на единицу.

Предположим, что M - многообразие класса C, где 0 ≤ k ≤ ∞. Пусть {U α } - открытое покрытие M. Тогда разбиение единицы, подчиненное покрытию {U α }, является набором вещественнозначных C-функций φ i на M, удовлетворяющие следующие условия:

∑ i φ i (x) = 1. {\ displaystyle \ sum _ {i} \ varphi _ {i} (x) = 1.}{\ displaystyle \ sum _ {i} \ varphi _ {i} (x) = 1.}

(Обратите внимание, что это последнее условие является конечной суммой в каждой точке из-за конечности носителей φ i.)

Каждое открытое покрытие C-многообразия M имеет C-разбиение единицы. Это позволяет перенести дизайн из топологии C-функций на R в категории разнообразий. В частности, можно обсудить интеграцию, выбрав раздел единицы, подчиненный конкретному координатному атласу, и выполнив интегрирование в каждую диаграмму R . Таким образом, разделение на единое целое позволяет использовать некоторые другие типы пространств функций : например, пространства L, пространства Соболева и другие типы пространств, требующие интеграции..

Дифференцируемость отображаемых между разнообразиями

Предположим, что M и N - два дифференцируемых многообразия с размерами m и n соответственно, а f - функция от M к N. знать, что означает непрерывность f. Но что означает «f есть C (M, N)» для k ≥ 1? Мы знаем, что это означает, когда мы составим функцию между евклидовыми пространствами, поэтому мы составим карту M и карту N так, что мы получим карту, которая идет от евклидова пространства к M к N к евклидову пространству, мы знаем, что это означает, что эта карта должна быть C (R, R). Мы определяем «f is C (M, N)», чтобы означать, что все такие композиции f с картами являются C (R, R). Еще разное правило гарантирует, что идея дифференцируемости не зависит от того, какие карты атласов на M и N выбраны. Однако определение самой производной более тонко. Чтобы сопоставить его с ним, M или N само по себе уже является евклидовым пространством, то нам не нужна карта.

Связки

Касательная связка

Касательное пространство точки состоит из ведущих по направлению в этой точке и имеет то же размер n, как и коллектор. Для набора (неособых) координат x k, локальных для точки, производных координат ∂ k = ∂ ∂ xk {\ displaystyle \ partial _ {k} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}}}\ partial _ {k} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} определяет голономный базис касательного пространства. Совокупность касательных пространств во всех точках, в свою очередь, может быть преобразована в многообразие, касательное расслоение , размерность которого равна 2n. Касательно расслоение - это место, где лежат касательные функции, и оно является дифференцируемым многообразием. Лагранжиан является функцией на касательном расслоении. Также можно определить касательную связку как связку 1- струй от R (действительная линия ) до M.

Можно построить атлас для касательного пучка, состоит из карт на основе U α× R, где U α обозначает одну из карт в атласе для M. Каждая из этих новых карт является касательным пучком для карт U α. Карты переходов в этом атласе определяют из отображений переходов на исходном множестве и сохраняют исходный класс дифференцируемости.

Котангенсное расслоение

двойное пространство Пространство - это набор действующих линейных функций в векторном пространстве. Котангенсное пространство точка является двойным к касательному пространству в этой точке, а кокасательное расслоение - это совокупность всех котасательных пространств.

Как и касательное расслоение, кокасательное расслоение снова является дифференцируемым разнообразием. Гамильтониан является скаляром на кокас расслоении. Тотальное пространство кокасательного расслоения имеет симплектического многообразия. Котангенсные люди иногда называют ковекторами. Также можно определить котангенсный пучок как набор из 1- струй функций от M до R.

. Элементы котангенсного пространства можно представить как бесконечно малые за ущерб: если f равно дифференцируемую функцию, которую мы можем определить в каждой точке папокасательного вектора df p, который отправляет касательный вектор X p к производной f, компонент с X p. Однако не все ковекторные поля можно выразить таким образом. Те, которые могут, называются точными дифференциалами. Для данного набора локальных координат x дифференциалы dx. pобразуют основу котангенсного пространства в точке p.

Тензорный пучок

Тензорный пучок - это прямая сумма всех тензорных произведений касательного пучка и котангенсного пучка. Каждый элемент связки представляет собой тензорное поле , которое может действовать как полилинейный оператор для векторных полей или других тензорных полей.

Тензорное расслоение не является дифференцируемым разнообразием в традиционном смысле, поскольку оно бесконечномерно. Однако это алгебра над кольцом скалярных функций. Каждый тензор показывает своими рангами, которые указывают, сколько тангенсных и котангенсных факторов он имеет. Иногда эти ранги появляются как ковариантные и контравариантные ранги, обозначающие тангенциальный и котангенсный ранги соответственно.

Пакет кадров

Кадр (или, говоря более точно, касательный кадр), является упорядоченным базисом определенного касательного пространства. Точно так же касательный репер - это линейный изоморфизм R к этому касательному пространству. Движущаяся касательная рамка - это упорядоченный вектор списокных полей, которые дают основу в каждой точке своего домена. Можно также рассматривать движущийся фрейм как часть связки фреймов F (M), GL (n, R) основной комплект, состоящий из набора всех фреймов над M. Пачка фреймов полезны, потому что тензорные поля на M можно рассматривать как эквивариантные векторные-функции на F (M).

Расслоения струй

На достаточно гладком разнообразии различные также можно рассматривать виды расслоений струй. Аналогично, касательное расслоение k-го порядка - это совокупность кривых по модулю отношения контакта k-го порядка. Аналогично, касательное расслоение k-ого порядка представляет собой совокупность кривых по модулю отношения эквивалентности контакта первого порядка. является расслоением 1-струй функций на многообразии: расслоение k-струй - это расслоение их k-струй. Эти и другие примеры общей идеи струйных расслоений играют важную роль в изучении дифференциала операторы на многообразиях.

n Понятие каркаса также обобщается на случай струй высших порядков. Определим фрейм k-го порядка как k-струю диффеоморфизма из R в M. Совокупность всех фреймов k-го порядка, F (M), является главное расслоение G над M, где G - группа k-струй ; т.е. группа, составленная из k-струй диффеоморфизмов R, фиксирующих начало координат. Обратите внимание, что GL (n, R ) естественным образом изоморфна G и является подгруппой любой G, k ≥ 2. В частности, секция F (M) дает компоненты каркаса a связность на M. Таким образом, фактор-расслоение F (M) / GL (n, R ) является расслоением симметричных линейных связностей над M.

Исчисление на многообразиях

Многие методы из многомерного исчисления также применяются mutatis mutandis к дифференцируемым многообразиям. Например, можно определить производную по направлению дифференцируемой функции вдоль касательного вектора к многообразию, и это приводит к способу обобщения полной производной функции: дифференциалу. С точки зрения исчисления, производная функции на многообразии ведет себя во многом так же, как обычная производная функции, определенной на евклидовом пространстве, по крайней мере локально. Например, для таких функций существуют версии неявных и теорем об обратных функциях.

Однако есть важные различия в исчислении векторных полей (и тензорных полей в целом). Короче говоря, производная по направлению векторного поля не определена четко или, по крайней мере, не определена прямым образом. Существуют несколько обобщений производной векторного поля (или тензорного поля), которые отражают некоторые формальные особенности дифференцирования в евклидовых пространствах. Основными из них являются:

  • производная Ли, которая однозначно определяется дифференциальной структурой, но не удовлетворяет некоторым обычным характеристикам дифференциации по направлениям.
  • An аффинная связь, которая не определяется однозначно, но более полно обобщает особенности обычного дифференцирования по направлениям. Поскольку аффинное соединение не уникально, это дополнительная часть данных, которая должна быть указана на коллекторе.

Идеи из интегрального исчисления также переносятся на дифференциальные многообразия. Они естественным образом выражаются на языке внешнего исчисления и дифференциальных форм. Основные теоремы интегрального исчисления от нескольких чисел, а именно теорема Грина, теорема о расходимости и теорема Стокса, обобщаются в теорему (также называемую Стокса теорема), связывающая внешнюю производную и интегрирование по подмногообразиям.

Дифференциальное исчисление функций

Дифференцируемые функции между двумя видами необходимы для того, чтобы обозначить подходящие понятия подмногообразий и другие понятия, связанные. Если f: M → N - дифференцируемая функция от дифференцируемого множества M размерности до другого дифференцируемого множества N размерности, то дифференциал функции f является отображением df: TM → TN. Оно также обозначается Tf и называется касательной картой . В каждой точке M это линейное преобразование из одного касательного пространства в другом:

df (p): T p M → T f (p) N. {\ displaystyle df (p) \ двоеточие T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N.}df (p) \ двоеточие T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N.

ранг f в p - это ранг этого линейного преобразования.

Обычно ранг функции является точечным свойством. Однако, если функция имеет максимальный ранг, то ранг останется постоянным в окрестностях точки. Дифференцируемая функция «обычно» имеет максимальный ранг в точном смысле, заданном теоремой Сарда. Заданные ранга в точке называются погружениями и субмерсиями :

  • . Если m ≤ n и f: M → N имеет ранг m в p ∈ M, то f называется погружение на стр. Если погружение во все точки, M является гомеоморфизмом на его образе, то f вложением. Формализуют представление о том, что M является подмногообразием N. В общем, вложение - это погружение без самопересечений и других видов нелокальных топологических неоднородностей.
  • Если m ≥ n и f: M → N имеет ранг n при p ∈ M, то f называется погружение на стр. Теорема о неявной функции утверждает, что если она является субмерсией в точке, то M локально произведено N и R рядом с p. Формально, существуют координаты (y 1,..., y n) в окрестностях f (p) в N и m - n функций x 1,..., x m - n определено в окрестности точки p в M, такое что
(y 1 ∘ f,…, yn ∘ f, x 1,…, xm - n) {\ displaystyle (y_ {1} \ circ f, \ dotsc, y_ {n} \ circ f, x_ {1}, \ dotsc, x_ {mn})}(y_ {1} \ circ f, \ dotsc, y_ {n} \ circ f, x_ {1}, \ dotsc, x_ {mn})
- система локальных координат М в районе п. Погружения составляют основу теории расслоений и пучков волокон.

производной Ли

A производной Ли, названной в честь Софуса Ли, является вывод на алгебре тензорных полей над всеобщим М. Общее пространство всех производных Ли на M образует бесконечную алгебру Ли относительно Ли, определенную как

[A, B]: = LAB = - LBA. {\ displaystyle [A, B]: = {\ mathcal {L}} _ {A} B = - {\ mathcal {L}} _ {B} A.}[A, B]: = { \ mathcal {L}} _ {A} B = - {\ mathcal {L}} _ {B} A.

Производные Ли представленные на поля, как инфинитезимальные генераторы потоковые (активные диффеоморфизмы ) на M. Если посмотреть на это с другой стороны, группа диффеоморфизмов M имеет ассоциированную функцию алгебры Ли производных Ли, прямо аналогичным теории группы группы Ли.

Внешнее исчисление

Внешнее исчисление позволяет обобщить операторы градиент, расхождение и curl.

Связка дифференциальных форм в каждой точке из всех полностью антисимметричных полилинейных отображений на касательных в этой точке. Оно естественным образом делится на n-формы для каждого n, не более чем размерности разнообразия; n-форма - это форма с переменными, также называемая форма n. 1-формы - это котангенс-рекомендации, а 0-формы - просто скалярные функции. В общем случае n-форма - это тензор с кокасательным рангом n и касательным рангом 0. Но такой тензор является формой, поскольку форма должна антисимметричной.

Внешняя производная

Существует отображение скаляров в ковекторы, называемое внешней производной

d: C (M) → T ∗ (M): f ↦ df {\ displaystyle \ mathrm {d} \ двоеточие {\ mathcal {C}} (M) \ to \ mathrm {T} ^ {*} (M): f \ mapsto \ mathrm {d} f}\ mathrm {d} \ двоеточие {\ mathcal {C}} (M) \ to \ mathrm {T} ^ {*} (M): f \ mapsto \ mathrm {d} f

такое, что

df : Т (М) → С (М): V ↦ V (е). {\ displaystyle \ mathrm {d} f \ двоеточие \ mathrm {T} (M) \ to {\ mathcal {C}} (M): V \ mapsto V (f).}\mathrm {d} f\colon \mathrm {T} (M)\to {\mathcal {C}} (M):V\mapsto V(f).

Это карта, которая связывает ковекторы с бесконечно малыми смещениями, упомянутыми выше; некоторые ковекторы являются внешними производными скалярными функциями. Его можно обобщить до отображения n-форм на (n + 1) -формы. Применение этой производной дважды даст нулевую форму. Формы с нулевой производной называются замкнутыми формами, а сами являются внешними производными, известны как точные формы.

Пространство различных форм в точке - это архетипический пример внешней алгебры ; таким образом, он обладает клиновидным произведением, отображающим k-форму и l-форму в (k + l) -форму. Внешняя производная продолжается на эту алгебру и удовлетворяет правила версии произведения :

d (ω ∧ η) = d ω ∧ η + (- 1) d e g ω (ω ∧ d η). {\ displaystyle \ mathrm {d} (\ omega \ wedge \ eta) = \ mathrm {d} \ omega \ wedge \ eta + (- 1) ^ {{\ rm {deg \,}} \ omega} (\ omega \ wedge \ mathrm {d} \ eta).}\ mathrm { d} (\ omega \ wedge \ eta) = \ mathrm {d} \ omega \ wedge \ eta + (- 1) ^ {{\ rm {deg \,}} \ omega} (\ omega \ wedge \ mathrm {d } \ eta).

Из дифференциальных форм и внешней производной можно определить когомологии де Рама многообразия. Группа когомологий ранга n - это фактор-группа замкнутых форм по точным формам.

Топология дифференцируемых разнообразий

Связь с топологическими разнообразиями

Предположим, что M {\ displaystyle M}M является топологическим n { \ displaystyle n}n -многообразие.

Если задан гладкий атлас {(U α, φ α)} α ∈ A {\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ { \ alpha \ in A}}{\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alph a}) \} _ {\ alpha \ in A}} , легко найти гладкий атлас, который определяет другую структуру гладкого разнообразия на M; {\ displaystyle M;}{\ displaystyle M;} рассмотрим гомеморфизм Φ: M → M {\ displaystyle \ Phi: M \ to M}{\ displaystyle \ Phi: M \ to M} , который не является гладким относительно данного атласа; например, можно изменить локализованный негладкий выступ идентификационной карты. Затем рассмотрим новый атлас {(Φ - 1 (U α), φ α ∘ Φ)} α ∈ A, {\ displaystyle \ {(\ Phi ^ {- 1} (U _ {\ alpha}), \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ Phi) \} _ {\ alpha \ in A},}{\ displaystyle \ {(\ Phi ^ {- 1 } (U _ {\ alpha}), \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ Phi) \} _ {\ alpha \ in A},} , который легко проверить как гладкий атлас. Однако диаграммы в новом атласе несовместимы с диаграммами в старом атласе, так как для этого потребуется φ α ∘ Φ ∘ φ β - 1 {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ Phi \ circ \ varphi _ {\ бета} ^ {- 1}}{\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \Phi \circ \varphi _{ \beta }^{-1}}и φ α ∘ Φ - 1 ∘ φ β - 1 {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ Phi ^ {- 1} \ circ \ varphi _ {\ beta} ^ {- 1}}{\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ Phi ^ {-1} \ circ \ varphi _ {\ beta} ^ {- 1}} гладкие для любых α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha и β, {\ displaystyle \ beta, }\beta,, причем эти условия являются точным определением, что и Φ {\ displaystyle \ Phi}\ Phi , и Φ - 1 {\ displaystyle \ Phi ^ {- 1 }}\ Phi ^ {- 1} являются сглаженными, отличием от того, как был выбран Φ {\ displaystyle \ Phi}\ Phi .

Используя это наблюдение в качестве мотивации, можно определить отношение эквивалентности в границ гладких атласов на M {\ displaystyle M}M , объявив эти гладкие атласы {(U α, φ α)} α ∈ A {\ Displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ {\ alpha \ in A}}{\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alph a}) \} _ {\ alpha \ in A}} и { (V β, ψ β)} β ∈ B {\ displaystyle \ {(V _ {\ beta}, \ psi _ {\ beta}) \} _ {\ beta \ in B}}{\displaystyle \{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B}}эквивалентны, если существует гомеоморфизм Φ: M → M {\ displaystyle \ Phi: M \ to M}{\ displaystyle \ Phi: M \ to M} такой, что {(Φ - 1 (U α), φ α ∘ Φ) } α ∈ A {\ Displaystyle \ {(\ Phi ^ {- 1} (U _ {\ alpha}), \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ Phi) \} _ {\ alpha \ in A}}{\ displaystyle \ {(\ Phi ^ {- 1} (U _ {\ alpha}), \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ Phi) \} _ {\ альфа \ in A}} плавно согласов с {(V β, ψ β)} β ∈ B, {\ displaystyle \ {(V _ {\ beta}, \ psi _ {\ beta}) \} _ {\ бета \ in B},}{\ displaystyle \ {(V _ {\ beta}, \ psi _ { \ beta}) \} _ {\ beta \ in B},} и такие, что {(Φ (V β), ψ β ∘ Φ - 1)} β ∈ B {\ displaystyle \ {(\ Phi (V_ { \ beta}), \ psi _ {\ beta} \ circ \ Phi ^ {- 1}) \} _ {\ beta \ in B}}{\ displaystyle \ {(\ Phi (V _ {\ beta}), \ psi _ {\ beta} \ circ \ Phi ^ {- 1}) \} _ {\ beta \ in B}} плавно согласов с {(U α, φ α)} α ∈ A. {\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ {\ alpha \ in A}.}{\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ {\ alpha \ in A}.}

Короче говоря, можно сказать, что два гладких атласа эквивалентны, если существует диффеоморфизм M → M, {\ displaystyle M \ to M,}{\ displaystyle M \ to M, } , в котором один гладкий атлас берется за область, а другой гладкий атлас - за диапазон.

Обратите внимание, что это отношение является уточнением эквивалентности, которое определяет неопределенное разнообразие, поскольку любые два гладко совместимых атласа также соответствуют в данном смысле; в качестве карты идентичности можно принять Φ {\ displaystyle \ Phi}\ Phi .

Если размер M {\ displaystyle M}M равен 1, 2 или 3, тогда существует гладкая структура на M {\ displaystyle M}M , и все гладкие структуры, эквивалентные в указанном выше смысле. Ситуация более сложная в высших измерений, хотя до конца не изучена.

Классификация

Каждое одномерное связное гладкое диффеоморфно либо R {\ displaystyle \ mathbb {R} }\ mathbb {R} или S 1, {\ displaystyle S ^ {1},}{\ displ aystyle S ^ {1},} каждый со своей стандартной гладкой структурой.

Для классификации гладких 2-разий см. поверхность. Конкретный результат состоит в том, что каждое двумерное связное компактное гладкое многообразие диффеоморфно одному из следующих: S 2, {\ displaystyle S ^ {2},}{\ displaystyle S ^ {2},} или (S 1 × S 1) ♯ ⋯ ♯ (S 1 × S 1), {\ displaystyle (S ^ {1} \ times S ^ {1}) \ sharp \ cdots \ sharp (S ^ {1} \ times S ^ {1}), }{\ displaystyle (S ^ {1 } \ times S ^ {1}) \ sharp \ cdots \ sharp (S ^ {1} \ times S ^ {1}),} или RP 2 ♯ ⋯ ♯ RP 2. {\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2} \ sharp \ cdots \ sharp \ mathbb {RP} ^ {2}.}{\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2} \ sharp \ cdots \ sharp \ mathbb {RP} ^ {2}.} Ситуация более нетривиальная, если комплексно -дифференцируемая структура вместо гладкой.

Ситуация в трех измерениях несколько сложнее, а известные результаты более косвенные. Замечательный результат, доказанный в 2002 г. методы дифференциальных уравнений в частных производных, - это гипотеза геометрии, в общих чертах утверждающая, что любое компактное гладкое 3-многообразие можно разбить на различные части, каждую из которых допускает римановы метрики, обладающие многие симметриями. Существуют различные «результаты распознавания» для геометризуемых 3-также многообразий, такие как жесткость Мостова и алгоритм Селы для проблемы изоморфизма для гиперболических групп.

Классификация n-разнообразий для больших чем три, как известно, невозможно, даже с точностью до гомотопической эквивалентности. Для любого конечно представленной группы можно построить замкнутое 4-многообразие, имеющее эту группу в качестве фундаментальной группы. Правила не существует алгоритма решения проблемы изоморфизма для конечно представленных групп, не существует алгоритма для определения того, имеют ли два 4-множества одной и ту же фундаментальную группу. Когда их группы изоморфны, приводится проблема гомеоморфизма для 4-многообразий неразрешима. Кроме того, как даже распознавание тривиальной группы неразрешимо, в общем случае невозможно даже решить, имеет ли множество тривиальную фундаментальную группу, т. Е. односвязно.

Односвязные 4-многообразие были классифицированы до гомеоморфизма с помощью Фридмана с использованием пересечения и инварианта Кирби - Зибенмана. Теория гладких 4-многообразий, как известно, намного сложнее, что демонстрируют экзотические гладкие структуры на R .

Однако ситуация становится более понятной для односвязных гладких размерностей ≥ 5, где теорема о h-кобордизме может сообщить сведения классификации классификации с точностью до гомотопической эквивалентности, и теория хирургии может быть применена. Это было сделано, чтобы обеспечить явную классификацию односвязных 5-множеий Деннисом Барденом.

Структура на гладких разнообразиях

(Псевдо) римановы многообразия

A Риманово многообразие состоит из гладкого разнообразия вместе с положительно определенным скалярным произведением на каждом из отдельных касательных пространств. Этот набор скалярных произведений называется римановой метрикой и, естественно, является симметричным 2-тензорным полем. Эта «метрика» определяет естественный изоморфизм пространства пространства T p M → T p ∗ M {\ displaystyle T_ {p} M \ to T_ {p} ^ {\ ast} M}{\ displaystyle T_ {p} M \ to T_ {p} ^ {\ ast} M} для каждого p ∈ M. {\ displaystyle p \ in M.}{\ displaystyle p \ in M.} На римановом множестве можно определить понятия длины, объема и угла. Любое гладкое многообразие может иметь множество различных римановых метрик.

A псевдориманово многообразие обобщение понятия риманова многообразия, где внутренние могут иметь неопределенную сигнатуру, а не положительно-способ ; они по-прежнему должны быть невырожденными. Каждое гладкое псевдориманово и риманово многообразие определяет ряд связанных кривизны полей, таких как тензор кривизны Римана. Псевдоримановы многообразия сигнатуры (3, 1) являются фундаментальными в общей теории относительности. Не всякому гладкому пространству можно дать (нериманову) псевдориманову структур; на это накладываются топологические ограничения.

A финслерово многообразие - это другое обобщение риманова многообразие, в котором внутреннее произведение заменено на >многообразную норму ; как таковой, это позволяет определять длину, но не угол.

Симплектическое многообразие

A Симплектическое многообразие - это многообразие, снабженное замкнутой, <2>невырожденной 2-формы. Это условие заставляет симплектическое разнообразие быть четномерными из-за того, что кососимметричный (2 n + 1) × (2 n + 1) {\ displaystyle (2n + 1) \ times (2n + 1)}(2n + 1) \ раз (2n + 1) все матрицы имеют нулевой определитель. Вот два основных примера:

  • кокасательные расслоения, которые представляют как фазовые пространства в гамильтоновой механике, являются мотивирующими, поскольку они допускают естественную симплектическую форму.
  • Все ориентированные двумерные Римановы многообразия (M, g) {\ displaystyle (M, g)}(M,g)естественным образом являются симплектическими, если определить форму ω (u, v) = g (u, J (v)) {\ displaystyle \ omega (u, v) = g (u, J (v))}{\ displaystyle \ omega ( и, v) знак равно г (и, J (v))} где для любого v ∈ T p M, {\ displaystyle v \ in T_ {p} M,}{\ displaystyle v \ in T_ {p} M,} J (v) {\ displaystyle J (v)}{\ displaystyle J (v)} обозначает вектор, такой что v, J (v) {\ displaystyle v, J (v)}{\displaystyle v,J(v)}представляет собой ориентированный gp {\ displaystyle g_ {p}}{\ displaystyle g_ {p}} -ортонормальный базис T p M. {\ displaystyle T_ {p} M.}{\ displaystyle T_ {p} M.}

Группы Ли

A Группа Ли состоит из C-многообразия G {\ displaystyle G}G вместе с группой структура на G {\ displaystyle G}G такая, ч то произведение и инверсия отображают m: G × G → G {\ displaystyle m: G \ times G \ to G}{\ displaystyle m: G \ times G \ to G} и i: G → G {\ displaystyle i: G \ to G}i: G \ to G гладкие, как карты разнообразий. Эти объекты часто используются естественным образом при описании (непрерывных) симметрий.

Многие известные в остальном примеры гладких разнообразий, однако, не могут иметь группу Ли, для данной группы Ли G {\ displaystyle G}G и любого g ∈ G {\ displaystyle g \ in G}g \ in G , можно рассмотреть карту m (g, ⋅): G → G {\ displaystyle m (g, \ cdot): G \ to G}{\ displaystyle m (g, \ cdot): G \ to G} , который отправляет элемент идентификации e {\ displaystyle e}e в g {\ displaystyle g}g и, следовательно, с учетом разницы T e G → T g G, {\ displaystyle T_ {e} G \ to T_ {g} G,}{ \ displaystyle T_ {e} G \ to T_ {g} G,} дает естественное отождествление между любыми двумя касательными пространствами группы Ли. В частности, рассматривая произвольный ненулевой вектор в T e G, {\ displaystyle T_ {e} G,}{\ displaystyle T_ {e} G,} , можно использовать эти идентификационные данные для получения гладкого ненулевого поля на Г. {\ displaystyle G.}G. Это показывает, например, что никакая четномерная сфера не может поддерживать структуру группы Ли. Тот же аргумент в более общем плане показывает, что каждая группа Ли должна быть распараллеливаемой.

Альтернативные определения

Псевдогруппы

Понятие псевдогруппы обеспечивает гибкую обобщение атласов, позволяющее единообразно определять множество различных структур разнообразия. Псевдогруппа состоит из топологического пространства S и набора Γ, состоящего из гомеоморфизмов открытых подмножеств S в других открытых подмножествах S таких, что

  1. Если f ∈ Γ и U - открытое подмножество области определения f, то ограничение f | U также находится в Γ.
  2. Если f является гомеоморфизмом из объединения открытых подмножеств S, ∪ i U i {\ displaystyle \ cup _ {i} \, U_ {i}}\ cup _ {i} \, U_ {i} , в открытое подмножество S, тогда f ∈ Γ при условии f | U я ∈ Γ {\ Displaystyle е | _ {U_ {i}} \ in \ Gamma}f | _ {U_ {i}} \ in \ Gamma для каждого i.
  3. Для каждого открытого U ⊂ S тождественное преобразование U равно в Γ.
  4. Если f ∈ Γ, то f ∈ Γ.
  5. Композиция двух элементов Γ находится в Γ.

Эти последние три условия аналогичны определению группа. Обратите внимание, что Γ не обязательно должна быть как функция внимания глобально на S. Например, совокупность всех локальных диффеоморфизмов C на R образует псевдогруппу. Все биголоморфизмы между открытыми множествами в C образуют псевдогруппу. Другие примеры включают: сохраняющие ориентацию карты R, симплектоморфизмов, преобразования Мебиуса, аффинные преобразования и так далее. Таким образом, псевдогруппы группы набора функциональных классов.

Атлас (U i, φ i) гомеоморфизмов φ i из U i ⊂ M, чтобы открыть подмножества топологического пространства S называются совместимыми с псевдогруппой Γ при условии, что функции перехода φ j ∘ φ i : φ i(Ui∩ U j) → φ j(Ui∩ U j) все находятся в Γ.

Тогда дифференцируемое множество является атласом, совместимым с псевдогруппой C-функциями на R . Комплексное многообразие - это атлас, совместимый с биголоморфными функциями на открытых множествах в C . И так далее. Таким образом, псевдогруппы используются единую основу для описания различных структур, важных для дифференциальной геометрии и топологии.

Структурная связка

Иногда может быть полезно использовать альтернативный подход, чтобы снабдить многообразие C-структурой. Здесь k = 1, 2,..., ∞ или ω для вещественно аналитических многообразий. Вместо рассмотрения координатных диаграмм можно начать с функций, определенных на самом многообразии. Структурный пучок алгебры M, обозначаемый C, является своего рода функтором, который определяет для каждого открытого множества U ⊂ M алгебру C (U) непрерывных функций U → R . Говорят, что структурный пучок C придает M структуру C-многообразия размерности n при условии, что для любого p ∈ M существует окрестность U точки p и n функций x,..., x ∈ C (U) такое, что отображение f = (x,..., x): U → R является гомеоморфизмом на открытое множество в R, и такое, что C|Uявляется откатом пучка k-раз непрерывно дифференцируемых функций на R.

В частности, это последнее условие означает, что любая функция h в C (V) вместо V можно однозначно записать как h (x) = H (x (x),..., x (x)), где H - k-раз дифференцируемая функция на f (V) (an открытый набор в R ). Таким образом, теоретико-пучковая точка зрения состоит в том, что функции на дифференцируемом многообразии могут быть выражены в локальных координатах как дифференцируемые функции на R, и а тем более этого достаточно, чтобы охарактеризовать дифференциальную структуру на коллекторе.

Пучки локальных колец

Аналогичный, но более технический подход к определению дифференцируемых многообразий может быть сформулирован с использованием понятия окольцованного пространства. Этот подход находится под сильным влиянием теории схем в алгебраической геометрии, но использует локальные кольца ростков дифференцируемых функций. Это особенно популярно в контексте сложных многообразий.

Начнем с описания связки базовой структуры на R . Если U - открытое множество в R, пусть

O(U) = C (U, R)

состоит из всех k-кратно непрерывно дифференцируемых действительных функций на U. При изменении U это определяет пучок колец на R . Стебель Opдля p ∈ R состоит из ростков функций, близких к p, и является алгеброй над R . В частности, это локальное кольцо, единственный максимальный идеал которого состоит из тех функций, которые обращаются в нуль в точке p. Пара (R, O) является примером локально окольцованное пространство : это топологическое пространство, снабженное пучком, каждый слой которого является локальным кольцом.

Дифференцируемое многообразие (класса C) состоит из пары (M, OM), где M - счетное пространство Хаусдорфа, а OM- пучок локальных R -алгебр, определенных на M, таких, что локально окольцованные пространство (M, OM) локально изоморфно (R, O). Таким образом, дифференцируемые м ногообразия можно рассматривать как схемы, смоделированные на R . Это означает, что t Для каждой точки p ∈ M существует окрестность U точки p и пара функций (f, f), где

  1. f: U → f (U) ⊂ R - гомеоморфизм на открытое множество в R.
  2. f: O|f (U) → f ∗(OM|U) является изоморфизмом пучков.
  3. Локализация f является изоморфизмом локальных колец
ff (p) : Of (p) → OM, p.

Есть ряд важных причин для изучения дифференцируемых многообразий в рамках этой абстрактной структуры. Во-первых, нет априорной причины, по которой пространство модели должно быть R . Например (в частности, в алгебраической геометрии ), можно было бы принять это как пространство комплексных чисел C, снабженное пучком голоморфных функций (таким образом достигая пространств комплексной аналитической геометрии ), или пучка многочленов (таким образом достигая пространств, представляющих интерес в комплексной алгебраической геометрии). В более широком смысле эту концепцию можно адаптировать к любому подходящему понятию схемы (см. теория топосов ). Во-вторых, координаты больше не нужны для конструкции. Аналогом системы координат является пара (f, f), но они просто количественно определяют идею локального изоморфизма, а не занимают центральное место в обсуждении (как в случае диаграмм и атласов). В-третьих, связка OMявно вовсе не является связкой функций. Скорее, он возникает как пучок функций как следствие конструкции (через факторы локальных колец по их максимальным идеалам). Следовательно, это более примитивное определение структуры (см. синтетическая дифференциальная геометрия ).

Последним преимуществом этого подхода является то, что он позволяет естественным образом напрямую описывать многие фундаментальные объекты изучения дифференциальной геометрии и топологии.

Обобщения

В категории гладких многообразий с гладкими отображениями отсутствуют некоторые желаемые свойства, и люди пытались обобщить гладкие многообразия, чтобы исправить это. Диффеологические пространства используют другое понятие диаграммы, известное как «график». Пробелы Фрелихера и орбифолды - это другие попытки.

A выпрямляемый набор обобщает идею кусочно-гладкой или спрямляемой кривой на более высокие измерения; однако спрямляемые множества не являются общими многообразиями.

Банаховы многообразия и многообразия Фреше, в частности многообразия отображений, являются бесконечномерными дифференцируемыми многообразиями.

Некоммутативная геометрия

Для C-многообразия M множество вещественных C-функций на многообразии образует алгебру при поточечном сложение и умножение, называемые алгеброй скалярных полей или просто алгеброй скаляров. Эта алгебра имеет постоянную функцию 1 в качестве мультипликативного тождества и является дифференцируемым аналогом кольца регулярных функций в алгебраической геометрии.

Можно восстановить многообразие по его алгебре скаляров, сначала как множество, но также как топологическое пространство - это применение теоремы Банаха – Стоуна, и более формально известный как спектр C * -алгебры. Во-первых, существует взаимно однозначное соответствие между точками M и гомоморфизмами алгебры φ: C (M) → R, поскольку такой гомоморфизм φ соответствует идеалу коразмерности один в C (M) (а именно ядро ​​φ), которое обязательно является максимальным идеалом. Напротив, каждый максимальный идеал в этой алгебре является идеалом функций, обращающихся в нуль в одной точке, что демонстрирует, что MSpec (Max Spec) C (M) восстанавливает M как точечный набор, хотя на самом деле он восстанавливает M как топологическое пространство.

Можно определить различные геометрические структуры алгебраически в терминах алгебры скаляров, и эти определения часто обобщают на алгебраическую геометрию (геометрическую интерпретацию колец) и теорию операторов (геометрическую интерпретацию банаховых пространств). Например, касательное расслоение к M может быть определено как производное алгебры гладких функций на M.

Эта «алгебраизация» многообразия (замена геометрического объекта алгеброй) приводит к понятию a C * -алгебра - коммутативная C * -алгебра, являющаяся в точности кольцом скаляров многообразия, по Банаху – Стоуну, и позволяет рассматривать некоммутативные C * -алгебры как некоммутативные обобщения многообразий.. Это основа области некоммутативной геометрии.

См. Также

Примечания

Ссылки

Библиография

Последняя правка сделана 2021-05-17 05:43:48
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте