Степень многочлена

В математике степень многочлена - это наивысшая из степеней одночленов многочлена (отдельных членов) с ненулевыми коэффициентами. Степень члена - это сумма показателей степени переменных, которые в нем появляются, и, следовательно, является неотрицательным целым числом. Для одномерного полинома степень полинома - это просто наивысший показатель степени, встречающийся в полиноме. Термин порядок использовался как синоним степени, но в настоящее время может относиться к нескольким другим концепциям (см. порядок многочлена (значения) ).

Например, многочлен $7\; x\; 2\; y\; 3\; +\; 4\; x\; -\; 9,\; \{\backslash \; displaystyle\; 7x\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{3\}\; +\; 4x-9,\}$которое также можно записать как $7\; x\; 2\; y\; 3\; +\; 4\; x\; 1\; y\; 0\; -\; 9\; x\; 0\; y\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 7x\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{3\}\; +\; 4x\; ^\; \{1\}\; y\; ^\; \{0\; \}\; -9x\; ^\; \{0\}\; y\; ^\; \{0\},\}$имеет три члена. Первый член имеет степень 5 (сумма степеней 2 и 3), второй член имеет степень 1, а последний член имеет степень 0. Следовательно, многочлен имеет степень степень 5, которая является высшей степенью любого термина.

Чтобы определить степень многочлена, не входящего в стандартную форму, например $(x\; +\; 1)\; 2\; -\; (x\; -\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\; -\; (x-1)\; ^\; \{2\}\}$, его можно представить в стандартной форме, расширив продукты (с помощью дистрибутивности ) и объединив похожие термины; например, $(x\; +\; 1)\; 2\; -\; (x\; -\; 1)\; 2\; =\; 4\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\; -\; (x-1)\; ^\; \{2\}\; =\; 4x\}$имеет степень 1, хотя каждое слагаемое имеет степень 2. Однако в этом нет необходимости, когда многочлен записан как произведение многочленов в стандартной форме, потому что степень произведения является суммой степеней факторы.

Содержание

• 1 Имена многочленов по степени
• 2 Примеры
• 3 Поведение при полиномиальных операциях
  • 3.1 Сложение
  • 3.2 Умножение
  • 3.3 Состав
• 4 Степень нулевого многочлена
• 5 Вычисляется из значений функции
• 6 Расширение до многочленов с двумя или более переменными
• 7 Степенная функция в абстрактной алгебре
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Имена многочленов по степени

Найдите Приложение: Степени английских многочленов в Wiktionary, бесплатном словаре.

Следующие имена присвоены многочленам в соответствии с до их степени:

• Особый случай - ноль (см. § Степень нулевого многочлена ниже)
• Степень 0 - ненулевое константа
• Степень 1 - линейная
• Степень 2 - квадратичная
• Степень 3 - кубическая
• Степень 4 - четверная (или, если все члены имеют четные степень, биквадратная )
• степень 5 - квинтическая
• степень 6 - секстическая (или, реже y, гексик)
• Степень 7 - септический (или, реже, гептический)

Для более высоких степеней имена иногда предлагались, но они используются редко:

• Степень 8 - октическая
• Степень 9 - ноническая
• Степень 10 - децитическая

Имена для ступеней выше трех основаны на латинских порядковых числах и оканчиваются на -ic. Это следует отличать от имен, используемых для количества переменных, arity, которые основаны на латинских распределительных числах и оканчиваются на -ary. Например, многочлен второй степени от двух переменных, такой как $x\; 2\; +\; xy\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; xy\; +\; y\; ^\; \{2\}\}$, называется «двоично-квадратичный»: двоичный по двум переменным, квадратичный по степени два. Также есть названия для количества терминов, которые также основаны на латинских распределительных числах, оканчивающихся на -номиал; общие: мономиальный, биномиальный и (реже) трехчлен ; таким образом, $x\; 2\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}$является «двоичным квадратичным двучленом».

Примеры

Многочлен $(y\; -\; 3)\; (2\; y\; +\; 6)\; (-\; 4\; y\; -\; 21)\; \{\backslash \; displaystyle\; (y-3)\; (2y\; +\; 6)\; (\; -4y-21)\}$- кубический многочлен: после умножения и сбора членов той же степени он становится $-\; 8\; y\; 3\; -\; 42\; y\; 2\; +\; 72\; y\; +\; 378\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; 8y\; ^\; \{3\}\; -42y\; ^\; \{2\}\; +\; 72y\; +\; 378\}$, со старшим показателем 3.

Многочлен $(3\; z\; 8\; +\; z\; 5\; -\; 4\; z\; 2\; +\; 6)\; +\; (-\; 3\; z\; 8\; +\; 8\; z\; 4\; +\; 2\; z\; 3\; +\; 14\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (3z\; ^\; \{8\}\; +\; z\; ^\; \{5\}\; -4z\; ^\; \{2\}\; +6)\; +\; (-\; 3z\; ^\; \{8\}\; +\; 8z\; ^\; \{4\}\; +\; 2z\; ^\; \{3\}\; +\; 14z)\}$- многочлен пятой степени: при объединении одинаковых членов два члена степени 8 сокращаются, оставляя $z\; 5\; +\; 8\; z\; 4\; +\; 2\; z\; 3\; -\; 4\; z\; 2\; +\; 14\; z\; +\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{5\}\; +\; 8z\; ^\; \{4\}\; +\; 2z\; ^\; \{3\}\; -4z\; ^\; \{2\}\; +\; 14z\; +\; 6\}$с наивысшим показателем 5.

Поведение при полиномиальных операциях

Степень суммы, произведения или композиции двух полиномов сильно зависит от степени входных полиномов.

Сложение

Степень суммы (или разности) двух поли номиналы меньше или равны большей из их степеней; то есть

$deg\; \; (P\; +\; Q)\; \le \; max\; \{deg\; \; (P),\; deg\; \; (Q)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (P\; +\; Q)\; \backslash \; leq\; \backslash \; max\; \backslash \; \{\backslash \; deg\; (P),\; \backslash \; deg\; (Q)\; \backslash \}\}$и $deg\; \; (P\; -\; Q)\; \le \; max\; \{deg\; \; (P),\; deg\; \; (Q)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (PQ)\; \backslash \; leq\; \backslash \; max\; \backslash \; \{\backslash \; deg\; (P),\; \backslash \; deg\; (Q)\; \backslash \}\}$.

Например, степень $(x\; 3\; +\; x)\; -\; (x\; 3\; +\; x\; 2)\; =\; -\; x\; 2\; +\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{3\}\; +\; x)\; -\; (x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; ^\; \{2\})\; =\; -\; x\; ^\; \{2\}\; +\; x\}$равно 2, а 2 ≤ max { 3, 3}.

Равенство всегда выполняется, если степени полиномов различны. Например, степень $(x\; 3\; +\; x)\; +\; (x\; 2\; +\; 1)\; =\; x\; 3\; +\; x\; 2\; +\; x\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{3\}\; +\; x)\; +\; (x\; ^\; \{2\; \}\; +1)\; =\; x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; +\; 1\}$равно 3, а 3 = max {3, 2}.

Умножение

Степень произведения полинома на ненулевой скаляр равна степени полинома; то есть

$deg\; \; (c\; P)\; =\; deg\; \; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (cP)\; =\; \backslash \; deg\; (P)\}$.

Например, степень $2\; (x\; 2\; +\; 3\; x\; -\; 2)\; =\; 2\; x\; 2\; +\; 6\; x\; -\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; 3x-2)\; =\; 2x\; ^\; \{2\}\; +\; 6x-4\}$равно 2, что равен степени $x\; 2\; +\; 3\; x\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 3x-2\}$.

Таким образом, набор многочленов (с коэффициентами из заданного поле F), степени которого меньше или равны заданному числу n, образует векторное пространство ; для получения дополнительной информации см. Примеры векторных пространств.

В более общем смысле, степень произведения двух многочленов над полем или областью целостности является суммой их степеней :

$deg\; \; (PQ)\; =\; deg\; \; (P)\; +\; deg\; \; (Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (PQ)\; =\; \backslash \; deg\; (P)\; +\; \backslash \; deg\; (Q)\}$.

Например, степень из $(x\; 3\; +\; x)\; (x\; 2\; +\; 1)\; =\; x\; 5\; +\; 2\; x\; 3\; +\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{3\}\; +\; x)\; (x\; ^\; \{2\}\; +1)\; =\; x\; ^\; \{\; 5\}\; +\; 2x\; ^\; \{3\}\; +\; x\}$равно 5 = 3 + 2.

Для многочленов над произвольным кольцом приведенные выше правила могут быть недействительными., из-за сокращения, которое может произойти при умножении двух ненулевых констант. Например, в кольце $Z\; /\; 4\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; 4\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$из целых чисел по модулю 4, один имеет это $deg\; \; (2\; x)\; =\; deg\; \; (1\; +\; 2\; x)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (2x)\; =\; \backslash \; deg\; (1\; +\; 2x)\; =\; 1\}$, но $deg\; \; (2\; Икс\; (1\; +\; 2\; Икс))\; =\; град\; \; (2\; Икс)\; =\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; deg\; (2x\; (1\; +\; 2x))\; =\; \backslash \; deg\; (2x)\; =\; 1\}$, что не равно сумме степеней факторов.

Состав

Степень композиции двух непостоянных многочленов $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$и $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$над полем или областью целостности есть произведение их степеней:

$deg\; \; (P\; \circ \; Q)\; =\; deg\; \; (P)\; deg\; \; (Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (P\; \backslash \; circ\; Q)\; =\; \backslash \; deg\; (P)\; \backslash \; deg\; (Q)\}$.

Например:

• Если $P\; =\; (x\; 3\; +\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; (x\; ^\; \{3\}\; +\; x)\}$, $Q\; =\; (x\; 2\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; (x\; ^\; \{2\}\; +1)\}$, тогда $P\; \circ \; Q\; =\; P\; \circ \; (x\; 2\; +\; 1)\; =\; (x\; 2\; +\; 1)\; 3\; +\; (x\; 2\; +\; 1)\; =\; x\; 6\; +\; 3\; x\; 4\; +\; 4\; x\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; circ\; Q\; =\; P\; \backslash \; circ\; (x\; ^\; \{2\}\; +1)\; =\; (x\; ^\; \{\; 2\}\; +1)\; ^\; \{3\}\; +\; (x\; ^\; \{2\}\; +1)\; =\; x\; ^\; \{6\}\; +\; 3x\; ^\; \{4\}\; +\; 4x\; ^\; \{2\}\; +2\}$, имеющий степень 6.

Обратите внимание, что для многочленов над произвольным кольцом это не обязательно верно. Например, в $Z\; /\; 4\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; 4\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$, $deg\; \; (2\; x)\; deg\; \; (1\; +\; 2\; x)\; =\; 1\; \cdot \; 1\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (2x)\; \backslash \; deg\; (1\; +\; 2x)\; =\; 1\; \backslash \; cdot\; 1\; =\; 1\}$, но $deg\; \; (2\; x\; \circ \; (1\; +\; 2\; x))\; =\; deg\; \; (2\; +\; 4\; Икс)\; знак\; равно\; град\; \; (2)\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; deg\; (2x\; \backslash \; circ\; (1\; +\; 2x))\; =\; \backslash \; deg\; (2\; +\; 4x)\; =\; \backslash \; deg\; (2)\; =\; 0\}$.

градус нулевого многочлена

Степень нулевого многочлена либо оставлена ​​неопределенной, либо определена как отрицательная (обычно -1 или $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$).

Как и любое постоянное значение, значение 0 можно рассматривать как (постоянный) многочлен, называемый нулевым многочленом . Он не имеет ненулевых членов, и поэтому, строго говоря, он также не имеет степени. Таким образом, его степень обычно не определена. Предложения для степени сумм и произведений многочленов в предыдущем разделе не применяются, если какой-либо из задействованных многочленов является нулевым многочленом.

Это удобно, однако, чтобы определить степень нулевого многочлена как отрицательную ive бесконечность, $-\; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty,\}$и ввести арифметические правила

$max\; (a,\; -\; \infty )\; =\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; max\; (a,\; -\; \backslash \; infty)\; =\; a,\}$

и

$a\; +\; (-\; \infty )\; =\; -\; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; (-\; \backslash \; infty)\; =\; -\; \backslash \; infty.\}$

Эти примеры иллюстрируют, как это расширение удовлетворяет правилам поведения выше:

• Степень суммы $(x\; 3\; +\; x)\; +\; (0)\; =\; x\; 3\; +\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{3\}\; +\; x)\; +\; (0)\; =\; x\; ^\; \{3\}\; +\; x\}$равно 3. Это удовлетворяет ожидаемым поведение, которое заключается в том, что $3\; \le \; max\; (3,\; -\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; leq\; \backslash \; max\; (3,\; -\; \backslash \; infty)\}$.
• Степень различия $(x)\; -\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (x)\; -\; (x)\; =\; 0\}$равно $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$. Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: $-\; \infty \; \le \; max\; (1,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\; \backslash \; leq\; \backslash \; max\; (1,1)\}$.
• Степень произведения $(0)\; (Икс\; 2\; +\; 1)\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; (0)\; (х\; ^\; \{2\}\; +1)\; =\; 0\}$равно $-\; \infty \; \{\backslash \; Displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$. Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: $-\; \infty \; =\; -\; \infty \; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\; =\; -\; \backslash \; infty\; +2\}$.

Вычисляется из значений функции

Ряд формул Существуют, которые будут оценивать степень полиномиальной функции f. Один, основанный на асимптотическом анализе, равен

$deg\; \; f\; =\; lim\; x\; \to \; \infty \; log\; \; |\; f\; (x)\; |\; log\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; f\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; |\; f\; (x)\; |\}\; \{\backslash \; log\; x\}\}\}$;

это точный аналог метод оценки наклона графика log – log.

Эта формула обобщает понятие степени на некоторые функции, не являющиеся полиномами. Например:

• Степень мультипликативного обратного , $1\; /\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; 1\; /\; x\}$, равна -1.
• Степень квадратного корня, $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\}$, равна 1/2.
• Степень логарифм, $журнал\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; log\; x\}$, равен 0.
• Степень экспоненциальной функции, $exp\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; x\}$, равно $\infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; infty.\}$

Формула также дает разумные результаты для многих комбинаций таких функций, например, степень $1\; +\; xx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \}\; \{x\}\}\}$is $-\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; -1/2\}$.

Другая формула для вычисления степени f по его значениям:

$deg\; \; f\; =\; lim\; x\; \to \; \infty \; xf\; \prime \; (x)\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; f\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{xf\; \text{'}(x)\}\; \{f\; (x)\}\}\}$;

эта вторая формула следует из применения правила Лопиталя к первой формуле. Интуитивно, однако, это больше связано с показом степени d как дополнительного постоянного множителя в производной $dxd\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; ^\; \{d-1\}\}$of $xd\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{d\}\}$.

Более детальное (чем простая числовая степень) описание асимптотики функции может быть получено с помощью нотации большой буквы O. При анализе алгоритмов, например, часто бывает уместно различать темпы роста $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $x\; log\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; log\; x\}$, которые будут иметь одинаковую степень в соответствии с приведенными выше формулами.

Расширение до многочленов с двумя или более переменными

Для многочленов от двух или более переменных степень члена - это сумма показателей степени переменных в члене; степень (иногда называемая общей степенью ) полинома снова является максимальной из степеней всех членов в полиноме. Например, многочлен xy + 3x + 4y имеет степень 4, ту же степень, что и член xy.

Однако многочлен от переменных x и y - это многочлен от x с коэффициентами, которые являются многочленами от y, а также многочлен от y с коэффициентами, которые являются многочленами от x. Многочлен

$x\; 2\; y\; 2\; +\; 3\; x\; 3\; +\; 4\; y\; =\; (3)\; x\; 3\; +\; (y\; 2)\; x\; 2\; +\; (4\; y)\; =\; (x\; 2)\; y\; 2\; +\; (4)\; y\; +\; (3\; x\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; 3x\; ^\; \{3\}\; +\; 4y\; =\; (3)\; x\; ^\; \{3\}\; +\; (y\; ^\; \{2\})\; x\; ^\; \{2\}\; +\; (4y)\; =\; (x\; ^\; \{2\})\; y\; ^\; \{2\}\; +\; (4)\; y\; +\; (3x\; ^\; \{3\})\}$

имеет степень 3 по x и степень 2 по y.

Функция степени в абстрактной алгебре

Дано кольцо R, кольцо многочленов R [x] - это множество всех многочленов от x, которые имеют коэффициенты в R. В частном случае, когда R также является полем, кольцо многочленов R [x] является областью главных идеалов и, что более важно для нашего обсуждения здесь, Евклидова область.

Можно показать, что степень полинома над полем удовлетворяет всем требованиям функции нормы в евклидовой области. То есть, учитывая два полинома f (x) и g (x), степень произведения f (x) g (x) должна быть больше, чем степени f и g по отдельности. На самом деле имеет место нечто более сильное:

deg (f (x) g (x)) = deg (f (x)) + deg (g (x))

Пример того, почему функция степени может не работать. над кольцом, не являющимся полем, рассмотрим следующий пример. Пусть R = $Z\; /\; 4\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 4\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$, кольцо целых чисел по модулю 4. Это кольцо не является полем (и даже не является областью целостности ), потому что 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Следовательно, пусть f (x) = g (x) = 2x + 1. Тогда f (x) g (x) = 4x + 4x + 1 = 1. Таким образом, deg (f⋅g) = 0, что не больше, чем степени f и g (каждая из которых имела степень 1).

Поскольку функция нормы не определена для нулевого элемента кольца, мы считаем, что степень многочлена f (x) = 0 также не определена, так что она следует правилам нормы в евклидовом домен.

См. Также

• Теорема Абеля – Руффини
• Основная теорема алгебры

Примечания

Ссылки

• Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2-е изд.), Springer Science Business Media
• Чайлдс, Линдси Н. (1995), Конкретное введение в высшую алгебру (2-е изд.), Springer Science Business Media
• Чайлдс, Линдси Н. (2009), Конкретное введение в высшую алгебру (3-е изд.), Springer Science Business Media
• Грийе, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer Science Business Media
• Кинг, Р. Брюс (2009), По ту сторону уравнения четверти, Springer Science Business Media
• Mac Lane, Saunders ; Биркофф, Гаррет (1999), Алгебра (3-е изд.), Американское математическое общество
• Шафаревич, Игорь Р. (2003), Дискурсы по алгебре, Springer Science Business Media

Внешние ссылки

• Полиномиальный порядок ; Wolfram MathWorld