Набор уровней

подмножества домена функции, на котором его значение равно Указывает на постоянные срезы x 2 = f (x 1). Линии на постоянных срезах x 3 = f (x 1, x 2). Плоскости с постоянными срезами x 4 = f (x 1, x 2, x 3).(n - 1) -мерные наборы уровней для функций вида f (x 1, x 2,..., x n) = a 1x1+ a 2x2+... + a nxn, где a 1, a 2,..., a n - константы в (n + 1) -мерном евклидовом пространстве для n = 1, 2, 3. Точки на постоянных срезах of x 2 = f (x 1). Контурные кривые на постоянных срезах x 3 = f (x 1, x 2). Изогнутые поверхности на постоянные срезы x 4 = f (x 1, x 2, x 3).(n - 1) -мерные наборы уровней нелинейных функций f (x 1, x 2,..., x n) в (n + 1) -мерном евклидовом пространстве для n = 1, 2, 3.

В математике, набор уровней действительной -значной функции f n вещественных переменных является набором формы

$L\; c\; (f)\; =\; \{(x\; 1,\; \cdots ,\; xn)\; \mid \; f\; (x\; 1,\; \cdots ,\; xn)\; =\; c\},\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{c\}\; (f)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash ,\; \backslash \; mid\; \backslash ,\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; x\_\; \{n\})\; =\; c\; \backslash \; right\; \backslash \}\; ~,\}$

то есть, набор, в котором функция принимает заданное постоянное значение c.

Когда количество переменных равно двум, набор уровней обычно представляет собой кривую, называемую кривой уровня, контурной линией или изолинией. Таким образом, кривая уровня - это набор всех действительных решений уравнения с двумя переменными x 1 и x 2. Когда n = 3, набор уровней называется поверхностью уровня (см. Также isosurface ), а для более высоких значений n набор уровней является гиперповерхностью уровня. Таким образом, поверхность уровня - это набор всех действительных корней уравнения с тремя переменными x 1, x 2 и x 3, а также уровнем гиперповерхность - это множество всех действительных корней уравнения от n (n>3) переменных.

Набор уровней - это частный случай волокна.

• 1 Альтернативные названия
• 2 Примеры
• 3 Наборы уровней по сравнению с градиентом
• 4 Подуровень и суперуровень устанавливает
• 5 См. также
• 6 Ссылки

Пересечения поверхностей уровня функции координат с узлом-трилистником. Красные кривые расположены ближе всего к зрителю, а желтые - дальше всего.

Наборы уровней отображаются во многих приложениях, часто под разными именами.

Например, неявная кривая является кривой уровня, которая рассматривается независимо от ее соседних кривых, подчеркивая, что такая кривая определяется неявным уравнением . Аналогично, ровная поверхность иногда называется неявной поверхностью или изоповерхностью.

. Также используется название изоконтур, что означает контур одинаковой высоты. В различных областях применения изоконтуры получили специфические имена, которые часто указывают на характер значений рассматриваемой функции, такие как изобара, изотерма, изогон, изохрона, изокванта и кривая безразличия.

Рассмотрим двумерное евклидово расстояние:

$d\; (x,\; y)\; =\; x\; 2\; +\; Y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\}$Набор уровней $L\; r\; (d)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{r\}\; (d)\}$этой функции состоит из тех точек, которые лежат на расстоянии $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$от начала координат, иначе известное как круг. Например, $(3,\; 4)\; \in \; L\; 5\; (d)\; \{\backslash \; displaystyle\; (3,4)\; \backslash \; in\; L\_\; \{5\}\; (d)\}$, потому что $d\; (3,\; 4)\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (3,4)\; =\; 5\}$. Геометрически это означает, что точка $(3,\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; (3,4)\}$лежит на окружности радиуса 5 с центром в начале координат. В более общем смысле, сфера в метрическом пространстве $(M,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; (M,\; m)\}$с радиусом $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$с центром в $x\; \in \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; M\}$может быть определен как набор уровней $L\; r\; (y\; \mapsto \; m\; (\; x,\; y))\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{r\}\; (y\; \backslash \; mapsto\; m\; (x,\; y))\}$.

Второй пример - это график функции Химмельблау, показанный на рисунке справа. Каждая показанная кривая представляет собой кривую уровня функции, и они разнесены логарифмически: если кривая представляет $L\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{x\}\}$, кривая непосредственно «внутри» представляет $L\; x\; /\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{x\; /\; 10\}\}$, а кривая непосредственно «снаружи» представляет $L\; 10\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{10x\}\}$.

с логическим интервалом график кривой уровня функции Химмельблау Рассмотрим функцию f, график которой выглядит как холм. Синие кривые - это наборы уровней; красные кривые соответствуют направлению градиента. Осторожный путешественник следует синими тропинками; смелый путешественник следует красными тропами. Обратите внимание, что синий и красный пути всегда пересекаются под прямым углом.

Теорема : Если функция f дифференцируема, градиент f в точке равен либо ноль, либо перпендикулярно уровню f в этой точке.

Чтобы понять, что это означает, представьте, что два туриста находятся в одном месте на горе. Один из них смелый, и он решает пойти в том направлении, где склон самый крутой. Другой более осторожен; он не хочет ни подниматься, ни спускаться, выбирая путь, который удержит его на той же высоте. В нашей аналогии, приведенная выше теорема гласит, что два туриста отправятся в направлениях, перпендикулярных друг другу.

Следствием этой теоремы (и ее доказательства) является то, что если f дифференцируема, то набор уровня - это гиперповерхность и многообразие вне критической точки из ф. В критической точке набор уровней может быть уменьшен до точки (например, в локальном экстремуме f) или может иметь особенность , такую ​​как самопересечение точка или куспид.

Набор вида

$L\; c\; -\; (f)\; =\; \{(x\; 1,\; 1,\; xn)\; \mid \; f\; (\; Икс\; 1,\; \cdots ,\; xn)\; \le \; c\}\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{c\}\; ^\; \{-\}\; (f)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(x\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash ,\; \backslash \; mid\; \backslash ,\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; leq\; c\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

называется набором подуровней f (или, альтернативно, набором нижнего уровня или траншея из f). Набор строгого подуровня для f равен

Аналогично

$L\; c\; +\; (f)\; =\; \{\; (Икс\; 1,\; \cdots ,\; xn)\; \mid \; е\; (Икс\; 1,\; \cdots ,\; xn)\; \ge \; c\}\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{c\}\; ^\; \{+\}\; (f)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(x\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; x\_)\; \{n\})\; \backslash ,\; \backslash \; mid\; \backslash ,\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; geq\; c\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

называется набором суперуровня f. И аналогично набор строгих суперуровней для f равен

$\{(x\; 1,\; \cdots ,\; xn)\; \mid \; f\; (x\; 1,\; \cdots ,\; xn)>c\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(x\_\; \{\; 1\},\; \backslash \; cdots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash ,\; \backslash \; mid\; \backslash ,\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; x\_\; \{n\})>c\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

В наборах подуровней важны теория минимизации. ограниченность некоторого непустого множества подуровней и полунепрерывность снизу функции подразумевают, что функция достигает своего минимума, посредством Теорема Вейерштрасса. выпуклость всех множеств подуровней характеризует квазивыпуклые функции.

• Эпиграф
• Метод множества уровней
• Набор уровней (структуры данных)