Функция нескольких реальных переменных

Сюда перенаправляются "многомерная функция" и "многомерная функция". Для получения информации о функциях нескольких сложных переменных см. Функции нескольких сложных переменных. Для функций нескольких переменных в информатике см. Функция переменных.

Функция
х ↦ е  ( х)
Примеры доменов и кодоменов
Классы / свойства
Постоянный Личность Линейный Полиномиальный Рациональный Алгебраический Аналитический Гладкий; плавный Непрерывный Измеримый Инъекционный Сюръективный Биективный
Конструкции
Ограничение Состав λ Обратный
Обобщения
Частичное Многозначный Скрытый
v т е

В математическом анализе его применения функция нескольких вещественных переменных или реальной многомерной функции является функцией с более чем одним аргументом, все аргументы, будучи реальным переменными. Эта концепция расширяет идею функции действительной переменной до нескольких переменных. «Входные» переменные принимают действительные значения, а «выходные», также называемые «значением функции», могут быть действительными или сложными. Однако изучение комплексных функций может быть легко сведено к изучению действительных функций путем рассмотрения действительной и мнимой частей комплексной функции; поэтому, если явно не указано иное, в этой статье будут рассматриваться только функции с действительным знаком.

Домен функции от п переменных является подмножество из R ^п, для которых функция определена. Как обычно, предполагается, что область определения функции нескольких действительных переменных содержит непустое открытое подмножество R ⁿ.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Общее определение
  • 1.1 Изображение
  • 1.2 Домен
  • 1.3 Алгебраическая структура
  • 1.4 Функции одной переменной, связанные с функцией многих переменных
  • 1.5 Непрерывность и ограничение
• 2 Симметрия
• 3 Функциональный состав
• 4 Исчисление
  • 4.1 Частные производные
  • 4.2 Многопараметрическая дифференцируемость
  • 4.3 Классы дифференцируемости
  • 4.4 Множественная интеграция
  • 4.5 Теоремы
  • 4.6 Векторное исчисление
• 5 Неявные функции
• 6 Комплексная функция нескольких действительных переменных
• 7 приложений
  • 7.1 Примеры действительных функций нескольких действительных переменных
  • 7.2 Примеры комплексных функций нескольких действительных переменных
• 8 См. Также
• 9 ссылки

Общее определение

п = 1 п = 2 п = 3 Функции f ( x 1, x 2,…, x n) от n переменных, построенные в виде графиков в пространстве R ^{n + 1}. Домены представляют собой красные n -мерные области, изображения - фиолетовые n -мерные кривые.

Вещественная функция п вещественных переменных является функцией, которая принимает в качестве входных п действительных чисел, обычно представленных переменных х 1, х 2,..., х п, для получения другого действительного числа, то значение функции, обычно обозначается f ( x 1, x 2,…, x n). Для простоты в этой статье действительная функция нескольких вещественных переменных будет называться просто функцией. Чтобы избежать двусмысленности, будут явно указаны другие типы функций, которые могут возникнуть.

Некоторые функции определены для всех реальных значений переменных (один говорит, что они определены везде), но некоторые другие функции определены только в том случае, если значение переменной берется в подмножестве X из R ⁿ, области определения функции, который всегда должен содержать открытое подмножество R ⁿ. Другими словами, действительная функция n вещественных переменных - это функция

${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$

такая, что его область определения X является подмножеством R ⁿ, содержащим непустое открытое множество.

Элемент Х будучи п - кортеж ( х 1, х 2,..., х п) (обычно ограничены круглыми скобками), общее обозначение для обозначения функции будет п (( х 1, х 2,..., х п)). Обычное использование, намного старше, чем общее определение функций между наборами, состоит в том, чтобы не использовать двойные круглые скобки и просто писать f ( x 1, x 2,…, x n).

Также принято сокращать n -набор ( x 1, x 2,…, x n) с использованием обозначений, аналогичных обозначениям векторов, например, жирным шрифтом x, подчеркиванием x или стрелкой x →. В этой статье будет использоваться жирный шрифт.

Простым примером функции с двумя переменными может быть:

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; V: X \ to \ mathbb {R} \\ amp; X = \ left \ {(A, h) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid Agt; 0, h gt; 0 \ right \} \\ amp; V (A, h) = {\ frac {1} {3}} А \ end {выровнено}}}$

который является объем V из конуса с площадью основания A и высотой ч, измеренной перпендикулярно от основания. Область ограничивает все переменные положительными, так как длины и площади должны быть положительными.

Для примера функции от двух переменных:

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; z: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} \\ amp; z (x, y) = ax + by \ end {align}}}$

где a и b - действительные ненулевые константы. Использование трехмерной декартовой системе координат, где ху плоскость является областью R ² и ось Z является кообласть R, можно визуализировать изображение, чтобы быть двумерная плоскость, с наклоном от в положительном направлении х и наклон b в положительном направлении y. Функция хорошо определена во всех точках ( х, у) в R ². Предыдущий пример можно легко расширить на более высокие измерения:

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; z: \ mathbb {R} ^ {p} \ to \ mathbb {R} \\ amp; z (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {p}) = a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {p} x_ {p} \ end {выровнено}}}$

для p ненулевых вещественных констант a 1, a 2,…, a p, которая описывает p -мерную гиперплоскость.

Евклидова норма :

${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) = \ | {\ boldsymbol {x}} \ | = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} }}}$

также является функцией n переменных, которая везде определена, в то время как

${\ displaystyle g ({\ boldsymbol {x}}) = {\ frac {1} {f ({\ boldsymbol {x}})}}}$

определено только для x ≠ (0, 0,…, 0).

Для нелинейного примера функции с двумя переменными:

${\ Displaystyle {\ begin {align} amp; z: X \ to \ mathbb {R} \\ amp; X = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \,: \, x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 8 \,, \, x \ neq 0 \,, \, y \ neq 0 \ right \} \\ amp; z (x, y) = {\ frac {1} { 2xy}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ конец {выровнено}}}$

которая принимает во всех точках X, на диске радиуса √ 8 «проколоты» в начале координат ( х, у) = (0, 0) в плоскости R ², и возвращает точку в R. Функция не включает начало координат ( x, y) = (0, 0), если бы это было так, тогда f было бы некорректно определено в этой точке. Используя трехмерную декартову систему координат с плоскостью xy в качестве области R ² и осью z в ​​качестве области R, изображение можно визуализировать как искривленную поверхность.

Функция может быть вычислена в точке ( x, y) = (2, √ 3) в X:

${\ displaystyle z \ left (2, {\ sqrt {3}} \ right) = {\ frac {1} {2 \ cdot 2 \ cdot {\ sqrt {3}}}} {\ sqrt {\ left (2 \ right) ^ {2} + \ left ({\ sqrt {3}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {4 {\ sqrt {3}}}} {\ sqrt {7 }} \,,}$

Однако функция не может быть оценена, скажем,

${\ displaystyle (x, y) = (65, {\ sqrt {10}}) \, \ Rightarrow \, x ^ {2} + y ^ {2} = (65) ^ {2} + ({\ sqrt {10}}) ^ {2}gt; 8}$

поскольку эти значения x и y не удовлетворяют правилу домена.

Изображение

Изображение некоторой функции F ( х 1, х 2,..., х п) является множество всех значений F, когда п -кратного ( х 1, х 2,..., х п) работает в всей области F. Для непрерывной (см. Определение ниже) действительной функции, которая имеет связанную область, изображение представляет собой либо интервал, либо одно значение. В последнем случае функция является постоянной функцией.

Прообразом данного вещественного числа с, называется множество уровня. Это множество решений уравнения f ( x 1, x 2,…, x n) = c.

Домен

Домен функции нескольких вещественных переменных является подмножеством R ^п, что иногда, но не всегда, четко определены. В самом деле, если ограничить область Х некоторой функции F на подмножество Y ⊂ X, каждый получает формально другую функцию, то ограничение на F к Y, который обозначается. На практике часто (но не всегда) не вредно идентифицировать f и, а ограничитель | Y. ${\ displaystyle f | _ {Y}}$${\ displaystyle f | _ {Y}}$

И наоборот, иногда возможно естественным образом расширить область определения данной функции, например, путем непрерывности или аналитического продолжения.

Более того, многие функции определены таким образом, что трудно явно указать их область применения. Например, для функции f может быть трудно указать область определения функции. Если f является многомерным многочленом (который имеет в качестве области определения), даже трудно проверить, является ли область определения g такой же. Это эквивалентно проверке того, всегда ли многочлен положительный, и является ли он объектом активных исследований (см. Положительный многочлен ). ${\ displaystyle g ({\ boldsymbol {x}}) = 1 / f ({\ boldsymbol {x}}).}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Алгебраическая структура

Обычные арифметические операции с вещественными числами можно распространить на действительные функции нескольких вещественных переменных следующим образом:

• Для каждого вещественного числа г, тем постоянная функция $${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto r}$$ везде определено.
• Для каждого действительного числа r и каждой функции f функция: $${\ displaystyle rf: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto rf (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$$ имеет ту же область определения, что и f (или определяется везде, если r = 0).
• Если f и g - две функции соответствующих областей X и Y такие, что X ∩ Y содержит непустое открытое подмножество R ⁿ, то $${\ Displaystyle f \, g: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \, g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$$ а также $${\ displaystyle g \, f: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \, f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$$ являются функциями, которые имеют область, содержащую X ∩ Y.

Отсюда следует, что функции n переменных, которые определены всюду, и функции n переменных, которые определены в некоторой окрестности данной точки, образуют коммутативные алгебры над вещественными числами ( R -алгебры). Это прототипный пример функционального пространства.

Аналогичным образом можно определить

${\ displaystyle 1 / f: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto 1 / f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),}$

которая является функцией, только если набор точек ( x 1,…, x n) в области определения f таких, что f ( x 1,…, x n) ≠ 0, содержит открытое подмножество R ⁿ. Это ограничение означает, что указанные выше две алгебры не являются полями.

Функции с одними переменными, связанные с функцией с несколькими переменными

Можно легко получить функцию от одной действительной переменной, задав постоянное значение всем переменным, кроме одной. Например, если ( 1,..., п) является точкой внутренней части области функции F, можно зафиксировать значения х 2,..., х п к в 2,..., п соответственно, чтобы получить функцию с одной переменной

${\ displaystyle x \ mapsto f (x, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}),}$

домен которого содержит интервал с центром в виде 1. Эту функцию также можно рассматривать как ограничение функции f на линию, определяемую уравнениями x i = a i для i = 2,…, n.

Другие функции с одной переменной могут быть определены путем ограничения f любой строкой, проходящей через ( a 1,…, a n). Это функции

${\ displaystyle x \ mapsto f (a_ {1} + c_ {1} x, a_ {2} + c_ {2} x, \ ldots, a_ {n} + c_ {n} x),}$

где c i - действительные числа, не все равные нулю.

В следующем разделе мы покажем, что, если функция многих переменных является непрерывной, то же самое и со всеми этими функциями одной переменной, но обратное не всегда верно.

Преемственность и предел

До второй половины XIX века математики рассматривали только непрерывные функции. В то время понятие непрерывности было разработано для функций одной или нескольких действительных переменных задолго до формального определения топологического пространства и непрерывного отображения между топологическими пространствами. Поскольку непрерывные функции нескольких действительных переменных широко распространены в математике, стоит определить это понятие без ссылки на общее понятие непрерывных отображений между топологическим пространством.

Для определения непрерывности полезно рассмотреть функцию расстояния от R ⁿ, которая является всюду определенной функцией 2 n вещественных переменных:

${\ displaystyle d ({\ boldsymbol {x}}, {\ boldsymbol {y}}) = d (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) = {\ sqrt {(x_ {1} -y_ {1}) ^ {2} + \ cdots + (x_ {n} -y_ {n}) ^ {2}}}}$

Функция F является непрерывной в точке а = ( 1,..., п), которая является интерьер в своей области, если для любого положительного вещественного числа е, существует положительное действительное число φ такое, что | f ( x) - f ( a) | lt; ε для всех x таких, что d ( x a) lt; φ. Другими словами, φ можно выбрать достаточно малым для того, чтобы изображение с помощью f шара радиуса φ с центром в a содержалось в интервале длины 2 ε с центром в f ( a). Функция является непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.

Если функция непрерывна в f ( a), то все одномерные функции, которые получаются путем фиксации всех переменных x i, кроме одной в значении a i, являются непрерывными в f ( a). Обратное неверно; это означает, что все эти функции одной переменной могут быть непрерывными для функции, которая не является непрерывной в точке f ( a). В качестве примера рассмотрим функцию f такую, что f (0, 0) = 0, а иначе определяется как

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {x ^ {2} y} {x ^ {4} + y ^ {2}}}.}$

Функции x ↦ f ( x, 0) и y ↦ f (0, y) постоянны и равны нулю, а значит, непрерывны. Функция f не является непрерывной в (0, 0), потому что, если ε lt;1/2 и y = x ² ≠ 0, мы имеем f ( x, y) = 1/2, даже если | х | очень маленький. Хотя эта функция и не является непрерывной, она обладает еще одним свойством, заключающимся в том, что все функции одной переменной, полученные ограничением ее прямой, проходящей через (0, 0), также являются непрерывными. Фактически у нас есть

${\ Displaystyle е (х, \ лямбда х) = {\ гидроразрыва {\ лямбда х} {х ^ {2} + \ лямбда ^ {2}}}}$

при λ ≠ 0.

Предел в точке вещественной функции нескольких действительных переменных определяется следующим образом. Пусть a = ( a 1, a 2,…, a n) - точка топологического замыкания области X функции f. Функция f имеет предел L, когда x стремится к a, обозначенный

${\ displaystyle L = \ lim _ {{\ boldsymbol {x}} \ to {\ boldsymbol {a}}} f ({\ boldsymbol {x}}),}$

если выполняется следующее условие: для любого положительного действительного числа ε gt; 0 существует положительное действительное число δ gt; 0 такое, что

${\ Displaystyle | е ({\ boldsymbol {x}}) - L | lt;\ varepsilon}$

для всех x в области таких, что

${\ displaystyle d ({\ boldsymbol {x}}, {\ boldsymbol {a}}) lt;\ delta.}$

Если предел существует, он уникален. Если a находится внутри области, предел существует тогда и только тогда, когда функция непрерывна в a. В этом случае мы имеем

${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {a}}) = \ lim _ {{\ boldsymbol {x}} \ to {\ boldsymbol {a}}} f ({\ boldsymbol {x}}).}$

Когда a находится на границе области определения f, и если f имеет предел в a, последняя формула позволяет «расширить по непрерывности» область определения f до a.

Симметрия

Симметричная функция является функцией F, которая не изменяется, когда две переменные х я и х J поменять местами:

${\ Displaystyle е (\ ldots, x_ {i}, \ ldots, x_ {j}, \ ldots) = f (\ ldots, x_ {j}, \ ldots, x_ {i}, \ ldots)}$

где i и j каждое из 1, 2,…, n. Например:

${\ displaystyle f (x, y, z, t) = t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}$

симметрично по х, у, г, так как перестановке любой пары х, у, г листьев F без изменений, но не является симметричным в каждом из х, у, г, т, так как перестановкой т с х или у или г дает другую функцию.

Состав функций

Предположим, что функции

${\ displaystyle \ xi _ {1} = \ xi _ {1} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}), \ quad \ xi _ {2} = \ xi _ {2 } (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}), \ ldots \ xi _ {m} = \ xi _ {m} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}),}$

или более компактно ξ = ξ ( х), все определены на области X. Поскольку n -набор x = ( x 1, x 2,…, x n) изменяется в X, подмножестве R ⁿ, m -набор ξ = ( ξ 1, ξ 2,…, ξ m) изменяется в другом область Ξ подмножество R ^m. Чтобы повторить это:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ xi}}: от X \ до \ Xi.}$

Тогда функция ζ из функций £, ( х), определенная на £,,

${\ Displaystyle {\ begin {align} amp; \ zeta: \ Xi \ to \ mathbb {R}, \\ amp; \ zeta = \ zeta (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ ldots, \ xi _ {m}), \ end {align}}}$

является композиция функций, определенных на X, в других терминах отображение

${\ Displaystyle {\ begin {align} amp; \ zeta: X \ to \ mathbb {R}, \\ amp; \ zeta = \ zeta (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ ldots, \ xi _ {m}) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}). \ end {align}}}$

Обратите внимание, что числа m и n не обязательно должны быть равными.

Например, функция

${\ Displaystyle е (х, у) = е ^ {ху} [\ грех 3 (ху) - \ соз 2 (х + у)]}$

всюду определенная на R ² может быть переписано путем введения

${\ Displaystyle (\ альфа, \ бета, \ гамма) = (\ альфа (х, у), \ бета (х, у), \ гамма (х, у)) = (ху, ху, х + у)}$

который также всюду определен в R ^3, чтобы получить

${\ Displaystyle е (х, у) = \ дзета (\ альфа (х, у), \ бета (х, у), \ гамма (х, у)) = \ дзета (\ альфа, \ бета, \ гамма) = e ^ {\ alpha} [\ sin (3 \ beta) - \ cos (2 \ gamma)] \,.}$

Композицию функций можно использовать для упрощения функций, что полезно для выполнения множественных интегралов и решения уравнений в частных производных.

Исчисление

Элементарное исчисление - это исчисление действительных функций одной действительной переменной, и основные идеи дифференцирования и интегрирования таких функций могут быть распространены на функции более чем одной действительной переменной; это расширение - многомерное исчисление.

Частные производные

Основная статья: Неполная производная

Частные производные могут быть определены по каждой переменной:

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial x_ {1}}} f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \,, \ quad {\ frac {\ partial } {\ partial x_ {2}}} f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {n}) \,, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}} } f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}).}$

Сами частные производные являются функциями, каждая из которых представляет скорость изменения f параллельно одной из осей x 1, x 2,…, x n во всех точках области (если производные существуют и непрерывны - см. Также ниже). Первая производная положительна, если функция увеличивается в направлении соответствующей оси, отрицательна, если она уменьшается, и равна нулю, если нет увеличения или уменьшения. Оценка частной производной в определенной точке в области дает действительное число, скорость изменения функции в этой точке в направлении, параллельном определенной оси.

Для действительных функций действительной переменной y = f ( x) ее обычная производная dy / dx геометрически представляет собой градиент касательной линии к кривой y = f ( x) во всех точках области. Частные производные распространяют эту идею на касательные гиперплоскости к кривой.

Частные производные второго порядка могут быть вычислены для каждой пары переменных:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \,, \ quad {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {1} x_ {2}}} f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {n}) \,, \ ldots, {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {n} ^ {2}}} f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}).}$

Геометрически они связаны с локальной кривизной изображения функции во всех точках области. В любой точке, где функция четко определена, функция может увеличиваться по некоторым осям и / или уменьшаться по другим осям, и / или не увеличиваться или не уменьшаться вообще по другим осям.

Это приводит к множеству возможных стационарных точек : глобальных или локальных максимумов, глобальных или локальных минимумов и седловых точек - многомерного аналога точек перегиба для реальных функций одной действительной переменной. Матрица Гесса представляет собой матрицу из всех вторых частных производных, которые используются для исследования стационарных точек функции, важной для математической оптимизации.

В общем случае частные производные более высокого порядка p имеют вид:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {p}} {\ partial x_ {1} ^ {p_ {1}} \ partial x_ {2} ^ {p_ {2}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ {p_ {n}}}} f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ Equ {\ frac {\ partial ^ {p_ {1}}} {\ partial x_ {1 } ^ {p_ {1}}}} {\ frac {\ partial ^ {p_ {2}}} {\ partial x_ {2} ^ {p_ {2}}}} \ cdots {\ frac {\ partial ^ { p_ {n}}} {\ partial x_ {n} ^ {p_ {n}}}} f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$

где p 1, p 2,…, p n - целые числа от 0 до p такие, что p 1 + p 2 + ⋯ + p n = p, используя определения нулевых частных производных в качестве тождественных операторов :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {0}} {\ partial x_ {1} ^ {0}}} f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = f ( x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \,, \ quad \ ldots, \, {\ frac {\ partial ^ {0}} {\ partial x_ {n} ^ {0} }} f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \,.}$

Число возможных частных производных увеличивается с ростом p, хотя некоторые смешанные частные производные (относящиеся к более чем одной переменной) излишни из-за симметрии частных производных второго порядка. Это уменьшает количество частных производных, которые необходимо вычислить для некоторого p.

Многопараметрическая дифференцируемость

Основная статья: дифференцируемая функция

Функция F ( х) является дифференцируемой в окрестности точки а, если существует п -кратного чисел зависит от в общем, () = ( 1 (), 2 (),..., A n ( a)), так что:

${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) = f ({\ boldsymbol {a}}) + {\ boldsymbol {A}} ({\ boldsymbol {a}}) \ cdot ({\ boldsymbol {x} } - {\ boldsymbol {a}}) + \ alpha ({\ boldsymbol {x}}) | {\ boldsymbol {x}} - {\ boldsymbol {a}} |}$

где α → 0 при | х - а | → 0. Это означает, что если f дифференцируема в точке a, то f непрерывна в x = a, хотя обратное неверно - непрерывность в области не означает дифференцируемости в области. Если f дифференцируема в a, то частные производные первого порядка существуют в a и:

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial f ({\ boldsymbol {x}})} {\ partial x_ {i}}} \ right | _ {{\ boldsymbol {x}} = {\ boldsymbol {a }}} = A_ {i} ({\ boldsymbol {a}})}$

для i = 1, 2,…, n, которые можно найти из определений индивидуальных частных производных, поэтому частные производные f существуют.

Предполагая n- мерный аналог прямоугольной декартовой системы координат, эти частные производные можно использовать для формирования векторного линейного дифференциального оператора, называемого градиентом (также известного как « набла » или « дель ») в этой системе координат:

${\ displaystyle \ nabla f ({\ boldsymbol {x}}) = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {2}) }}, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} \ right) f ({\ boldsymbol {x}})}$

широко используется в векторном исчислении, поскольку он полезен для построения других дифференциальных операторов и компактной формулировки теорем в векторном исчислении.

Затем замена градиента ∇ f (вычисленного при x = a) с небольшой перестановкой дает:

${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) - f ({\ boldsymbol {a}}) = \ nabla f ({\ boldsymbol {a}}) \ cdot ({\ boldsymbol {x}} - {\ boldsymbol {a}}) + \ alpha | {\ boldsymbol {x}} - {\ boldsymbol {a}} |}$

где обозначает скалярное произведение. Это уравнение представляет собой наилучшее линейное приближение функции f во всех точках x в окрестности a. Для бесконечно малых изменений в е и х а х →:

${\ displaystyle df = \ left. {\ frac {\ partial f ({\ boldsymbol {x}})} {\ partial x_ {1}}} \ right | _ {{\ boldsymbol {x}} = {\ boldsymbol {a}}} dx_ {1} + \ left. {\ frac {\ partial f ({\ boldsymbol {x}})} {\ partial x_ {2}}} \ right | _ {{\ boldsymbol {x} } = {\ boldsymbol {a}}} dx_ {2} + \ dots + \ left. {\ frac {\ partial f ({\ boldsymbol {x}})} {\ partial x_ {n}}} \ right | _ {{\ boldsymbol {x}} = {\ boldsymbol {a}}} dx_ {n} = \ nabla f ({\ boldsymbol {a}}) \ cdot d {\ boldsymbol {x}}}$

который определяется как полный дифференциал или просто дифференциал функции f в точке a. Это выражение соответствует полному бесконечно малому изменению f путем добавления всех бесконечно малых изменений f во всех направлениях x i. Кроме того, df можно рассматривать как ковектор с базисными векторами как бесконечно малыми dx i в каждом направлении и частными производными f в качестве компонентов.

Геометрически ∇ f перпендикулярно множествам уровня f, заданным формулой f ( x) = c, которая для некоторой константы c описывает ( n - 1) -мерную гиперповерхность. Дифференциал константы равен нулю:

${\ displaystyle df = (\ nabla f) \ cdot d {\ boldsymbol {x}} = 0}$

в котором d x является бесконечно малым изменением x в гиперповерхности f ( x) = c, и поскольку скалярное произведение ∇ f и d x равно нулю, это означает, что ∇ f перпендикулярно d x.

В произвольных криволинейных системах координат в n измерениях явное выражение для градиента не было бы таким простым - были бы масштабные коэффициенты в терминах метрического тензора для этой системы координат. Для приведенного выше случая, используемого в этой статье, метрика - это просто дельта Кронекера, а все масштабные коэффициенты равны 1.

Классы дифференцируемости

Если все частные производные первого порядка вычисляются в точке a в области:

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} f ({\ boldsymbol {x}}) \ right | _ {{\ boldsymbol {x}} = {\ boldsymbol {a }}} \,, \ quad \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {2}}} f ({\ boldsymbol {x}}) \ right | _ {{\ boldsymbol {x}} = {\ boldsymbol {a}}} \,, \ ldots, \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} f ({\ boldsymbol {x}}) \ right | _ {{\ boldsymbol {x}} = {\ boldsymbol {a}}}}$

существуют и непрерывны для всех a в области, f имеет класс дифференцируемости C ¹. В общем, если все частные производные порядка p вычисляются в точке a:

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial ^ {p}} {\ partial x_ {1} ^ {p_ {1}} \ partial x_ {2} ^ {p_ {2}} \ cdots \ partial x_ { n} ^ {p_ {n}}}} f ({\ boldsymbol {x}}) \ right | _ {{\ boldsymbol {x}} = {\ boldsymbol {a}}}}$

существуют и непрерывны, где p 1, p 2,…, p n и p такие же, как указано выше, для всех a в области, тогда f дифференцируема до порядка p во всей области и имеет класс дифференцируемости C ^p.

Если f имеет класс дифференцируемости C ^∞, f имеет непрерывные частные производные всех порядков и называется гладкой. Если f - аналитическая функция и равна ее ряду Тейлора относительно любой точки в области, обозначение C ^ω обозначает этот класс дифференцируемости.

Множественная интеграция

Основная статья: Множественная интеграция

Определенное интегрирование может быть расширено до множественного интегрирования по нескольким действительным переменным с обозначениями;

${\ displaystyle \ int _ {R_ {n}} \ cdots \ int _ {R_ {2}} \ int _ {R_ {1}} f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n }) \, dx_ {1} dx_ {2} \ cdots dx_ {n} \ Equiv \ int _ {R} f ({\ boldsymbol {x}}) \, d ^ {n} {\ boldsymbol {x}} }$

где каждая область R 1, R 2,…, R n является подмножеством или всей реальной линией:

${\ Displaystyle R_ {1} \ substeq \ mathbb {R} \,, \ quad R_ {2} \ substeq \ mathbb {R} \,, \ ldots, R_ {n} \ substeq \ mathbb {R},}$

а их декартово произведение дает область для интеграции как единый набор:

${\ Displaystyle R = R_ {1} \ times R_ {2} \ times \ dots \ times R_ {n} \,, \ quad R \ substeq \ mathbb {R} ^ {n} \,,}$

п - мерный гиперобъем. При вычислении определенный интеграл является действительным числом, если интеграл сходится в области интегрирования R (результат определенного интеграла может расходиться до бесконечности для данной области, в таких случаях интеграл остается неопределенным). Переменные рассматриваются как «фиктивные» или «связанные» переменные, которые заменяются числами в процессе интегрирования.

Интеграл от действительной функции действительной переменной y = f ( x) относительно x имеет геометрическую интерпретацию как площадь, ограниченную кривой y = f ( x) и осью x. Множественные интегралы расширяют размерность этого понятия: предполагая n- мерный аналог прямоугольной декартовой системы координат, указанный выше определенный интеграл имеет геометрическую интерпретацию как n -мерный гиперобъем, ограниченный f ( x) и x 1, x 2, …, Оси x n, которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, в зависимости от интегрируемой функции (если интеграл сходится).

Хотя ограниченный гиперобъем - полезная идея, более важная идея определенных интегралов состоит в том, что они представляют общие величины в пространстве. Это имеет значение в прикладной математике и физике: если е некоторое скалярная плотность поле и х являются положение вектора координаты, то есть какой - то скалярной величины на единицу п - мерный гиперобъем, то интегрирование по области R дает общее количество в количестве R. Более формальные понятия гиперобъема являются предметом теории меры. Выше мы использовали меру Лебега, дополнительную информацию по этой теме см. В разделе « Интеграция Лебега».

Теоремы

С помощью определений множественного интегрирования и частных производных можно сформулировать ключевые теоремы, включая фундаментальную теорему исчисления в нескольких вещественных переменных (а именно теорему Стокса ), интегрирование по частям в нескольких вещественных переменных, симметрию высших частных производных и теорему Тейлора. для функций с несколькими переменными. Вычисление смеси интегралов и частных производных может быть выполнено с помощью дифференцирования теорем под знаком интеграла.

Векторное исчисление

Можно собрать ряд функций, каждая из нескольких реальных переменных, скажем

${\ displaystyle y_ {1} = f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \,, \ quad y_ {2} = f_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \,, \ ldots, y_ {m} = f_ {m} (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots x_ {n})}$

в m -наборку или иногда как вектор-столбец или вектор-строку соответственно:

${\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {m}) \ leftrightarrow {\ begin {bmatrix} f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ { n}) \\ f_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots x_ {n}) \\\ vdots \\ f_ {m} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ end {bmatrix}} \ leftrightarrow {\ begin {bmatrix} f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) amp; f_ {2} (x_ { 1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) amp; \ cdots amp; f_ {m} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ end {bmatrix}}}$

все обрабатываются на том же основании, что и m -компонентное векторное поле, и используют любую удобную форму. Все указанные выше обозначения имеют общее компактное обозначение y = f ( x). Исчислением таких векторных полей является векторное исчисление. Для получения дополнительной информации об обработке векторов-строк и векторов-столбцов функций с несколькими переменными см. Матричное исчисление.

Неявные функции

Вещественнозначная неявная функция нескольких вещественных переменных не записывается в виде « у = е (...) ». Вместо этого отображается отображение из пространства R ^{n + 1} в нулевой элемент в R (просто обычный ноль 0):

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ phi: \ mathbb {R} ^ {n + 1} \ to \ {0 \} \\ amp; \ phi (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, х_ {п}, у) = 0 \ конец {выровнено}}}$

является уравнением со всеми переменными. Неявные функции - это более общий способ представления функций, поскольку если:

${\ displaystyle y = f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$

тогда мы всегда можем определить:

${\ displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, y) = yf (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = 0}$

но обратное не всегда возможно, т.е. не все неявные функции имеют явную форму.

Например, используя обозначение интервалов, пусть

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ phi: X \ to \ {0 \} \\ amp; \ phi (x, y, z) = \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {z} {c}} \ right) ^ {2} -1 = 0 \\ amp; X = [- a, a] \ times [-b, b] \ times [-c, c] = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \,: \, - a \ leq x \ leq a, -b \ leq y \ leq b, -c \ leq z \ leq c \ right \}. \ end {align}}}$

Выбирая трехмерную (3D) декартову систему координат, эта функция описывает поверхность трехмерного эллипсоида с центром в начале координат ( x, y, z) = (0, 0, 0) с постоянными большими полуосями a, b, c, вдоль положительных осей x, y и z соответственно. В случае a = b = c = r у нас есть сфера радиуса r с центром в начале координат. Другие примеры конических сечений, которые можно описать аналогичным образом, включают гиперболоид и параболоид, в более общем смысле, любую двумерную поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Приведенный выше пример может быть решен для x, y или z ; однако гораздо проще написать его в неявной форме.

Для более сложного примера:

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ phi: \ mathbb {R} ^ {4} \ to \ {0 \} \\ amp; \ phi (t, x, y, z) = Ctze ^ {tx-yz } + A \ sin (3 \ omega t) \ left (x ^ {2} z-By ^ {6} \ right) = 0 \ end {align}}}$

для ненулевых вещественных констант A, B, C, ω эта функция хорошо определена для всех ( t, x, y, z), но не может быть решена явно для этих переменных и записывается как " t = ", " x = "и т. д.

Теорема о неявной функции более двух действительных переменных имеет дело с непрерывностью и дифференцируемостью функции следующим образом. Пусть ϕ ( x 1, x 2,…, x n) - непрерывная функция с непрерывными частными производными первого порядка, и пусть ϕ вычисляется в точке ( a, b) = ( a 1, a 2,…, a n, б) равняться нулю:

${\ displaystyle \ phi ({\ boldsymbol {a}}, b) = 0;}$

и пусть первая частная производная ϕ по y, вычисленная в ( a, b), не равна нулю:

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial \ phi ({\ boldsymbol {x}}, y)} {\ partial y}} \ right | _ {({\ boldsymbol {x}}, y) = ( {\ boldsymbol {a}}, b)} \ neq 0.}$

Тогда существует интервал [ y 1, y 2 ], содержащий b, и область R, содержащая ( a, b), такие, что для каждого x в R существует ровно одно значение y в [ y 1, y 2 ], удовлетворяющее ϕ ( x, y) = 0, а y - непрерывная функция от x, так что ϕ ( x, y ( x)) = 0. В полных дифференциалах функций являются:

${\ displaystyle dy = {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} dx_ {1} + {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {2}}} dx_ {2} + \ точки + {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {n}}} dx_ {n};}$

${\ displaystyle d \ phi = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} dx_ {1} + {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {2}}} dx_ { 2} + \ dots + {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {n}}} dx_ {n} + {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial y}} dy.}$

Подстановка dy в последний дифференциал и приравнивание коэффициентов дифференциалов дает частные производные первого порядка от y по x i в терминах производных исходной функции, каждая из которых является решением линейного уравнения

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {i}}} + {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ { i}}} = 0}$

для i = 1, 2,…, n.

Комплексная функция нескольких действительных переменных

Комплексная функция нескольких действительных переменных может быть определена путем ослабления в определении действительных функций ограничения области значений действительными числами и разрешения комплексных значений.

Если f ( x 1,…, x n) является такой комплексной функцией, ее можно разложить как

${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) + ih (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),}$

где g и h - действительные функции. Другими словами, изучение комплексных функций легко сводится к изучению пар действительных функций.

Это сокращение работает для общих свойств. Однако для явно заданной функции, например:

${\ displaystyle z (x, y, \ alpha, a, q) = {\ frac {q} {2 \ pi}} \ left [\ ln \ left (x + iy-ae ^ {i \ alpha} \ right) - \ ln \ left (x + iy + ae ^ {- i \ alpha} \ right) \ right]}$

вычисление действительной и мнимой частей может быть затруднено.

Приложения

Функции многих переменных от вещественных переменных неизбежно возникают в технике и физике, потому что наблюдаемые физические величины являются действительными числами (с соответствующими единицами измерения и измерениями ), и любая физическая величина, как правило, будет зависеть от ряда других величин.

Примеры действительных функций нескольких действительных переменных

Примеры в механике сплошной среды включают в себя локальную плотность массы ρ распределения массы, скалярное поле, которое зависит от координат пространственного положения (здесь декартовы для примера), r = ( x, y, z) и времени t:

${\ Displaystyle \ rho = \ rho (\ mathbf {r}, t) = \ rho (x, y, z, t)}$

То же самое для плотности электрического заряда для электрически заряженных объектов и множества других скалярных потенциальных полей.

Другим примером является поле скорости, векторное поле, которое имеет компоненты скорости v = ( v x, v y, v z), каждая из которых является многомерной функцией пространственных координат и времени аналогично:

${\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {v} (x, y, z, t) = [v_ {x} (x, y, z, t), v_ { y} (x, y, z, t), v_ {z} (x, y, z, t)]}$

Аналогично для других физических векторных полей, таких как электрические и магнитные поля, а также поля векторных потенциалов.

Другим важным примером является уравнение состояния в термодинамике, уравнение, связывающее давление P, температуру T и объем V жидкости, в общем, оно имеет неявную форму:

${\ displaystyle f (P, V, T) = 0}$

Самый простой пример - это закон идеального газа :

${\ Displaystyle f (P, V, T) = PV-nRT = 0}$

где n - число молей, постоянное для фиксированного количества вещества, а R - газовая постоянная. Эмпирическим путем были получены гораздо более сложные уравнения состояния, но все они имеют указанную выше неявную форму.

Действительные функции нескольких реальных переменных широко используются в экономике. В основе теории потребителей полезность выражается как функция количества различных потребляемых товаров, причем каждое количество является аргументом функции полезности. Результатом максимизации полезности является набор функций спроса, каждая из которых выражает величину спроса на конкретный товар в зависимости от цен на различные товары и дохода или богатства. В теории производителей обычно предполагается, что фирма максимизирует прибыль как функцию количества различных произведенных товаров и количества используемых факторов производства. Результатом оптимизации является набор функций спроса для различных факторов производства и набор функций предложения для различных продуктов; каждая из этих функций имеет в качестве аргументов цены товаров и факторов производства.

Примеры комплексных функций нескольких действительных переменных

Некоторые «физические величины» могут иметь комплексные значения, такие как комплексный импеданс, комплексная диэлектрическая проницаемость, комплексная проницаемость и комплексный показатель преломления. Это также функции реальных переменных, таких как частота или время, а также температура.

В двумерной механике жидкости, в частности в теории потенциальных потоков, используемых для описания движения жидкости в 2d, комплексный потенциал

${\ Displaystyle F (x, y, \ ldots) = \ varphi (x, y, \ ldots) + я \ psi (x, y, \ ldots)}$

является комплексной функцией двух пространственных координат x и y и других вещественных переменных, связанных с системой. Действительная часть - это потенциал скорости, а мнимая часть - функция тока.

Эти сферические гармоники происходят в физике и инженерии, как решение уравнения Лапласа, а также собственные функции в г -компонентного оператора углового момента, которые являются комплекснозначными функциями вещественных сферических полярных углов :

${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} = Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ phi)}$

В квантовой механике, то волновая функция обязательно -комплекснозначная, но является функцией реальных пространственных координат (или импульса компонентов), а также время т:

${\ Displaystyle \ Psi = \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ Psi (x, y, z, t) \,, \ quad \ Phi = \ Phi (\ mathbf {p}, t) = \ Фи (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}, t)}$

где каждый связан преобразованием Фурье.

Смотрите также

• Реальное координатное пространство
• Реальный анализ
• Комплексный анализ
• Функция нескольких сложных переменных
• Скалярные поля

использованная литература

• Ф. Эйрес, Э. Мендельсон (2009). Исчисление. Серия набросков Шаума (5-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN   978-0-07-150861-2.
• Р. Вреде, MR Spiegel (2010). Продвинутое исчисление. Серия набросков Шаума (3-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN   978-0-07-162366-7.
• У. Ф. Хьюз, Дж. А. Брайтон (1999). Гидродинамика. Серия набросков Шаума (3-е изд.). Макгроу Хилл. п.  160. ISBN   978-0-07-031118-3.
• Р. Пенроуз (2005). Дорога в реальность. Винтажные книги. ISBN   978-00994-40680.
• С. Дайнин (2001). Многомерное исчисление и геометрия. Серия «Математика бакалавриата Springer» (2-е изд.). Springer. ISBN   185-233-472-Х.
• Н. Бурбаки (2004). Функции действительной переменной: элементарная теория. Springer. ISBN   354-065-340-6.
• М.А. Московиц, Ф. Палиогианнис (2011). Функции нескольких действительных переменных. World Scientific. ISBN   978-981-429-927-5.
• В. Флеминг (1977). Функции нескольких переменных. Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.). Springer. ISBN   0-387-902-066.