Волокно (математика)

редактировать

В математике термин волокно (или волокно в британском английском ) может иметь два значения в зависимости от контекста:

  1. В теории наивных множеств, волокно элемента y в наборе Y на карте f: X → Y - это инверсное изображение для одиночного элемента {y} {\ displaystyle \ {y \}}\ {y \} под f.
  2. В алгебраической геометрии понятие слоя морфизма из схем необходимо определять более тщательно, потому что, как правило, не каждая точка закрывается.

Содержание

  • 1 Определения
    • 1.1 Волокно в теории наивных множеств
    • 1.2 Волокно в алгебраической геометрии
  • 2 См. Также

Определения

Волокно в теории наивных множеств

Пусть f: X → Y будет картой. волокно элемента y ∈ Y, {\ displaystyle y \ in Y,}{\ displaystyle y \ in Y,} обычно обозначается f - 1 (y), {\ displaystyle f ^ {- 1} (y),}{\ displaystyle f ^ {- 1} (y),} определяется как

f - 1 (y): = {x ∈ X ∣ f (x) = y}. {\ displaystyle f ^ {- 1} (y): = \ {x \ in X \ mid f (x) = y \}.}{\ displaystyle f ^ {- 1} (y): = \ {x \ in X \ mid f (x) = y \}.} То есть слой y под f - это набор элементов в область определения f, которая отображается в y.

обратное изображение или прообраз f - 1 (A) {\ displaystyle f ^ {- 1} (A)}f ^ {- 1} (A) обобщает концепцию волокна на подмножества A ⊆ Y {\ displaystyle A \ substeq Y}{\ displaystyle A \ substeq Y} кодомена. Обозначение f - 1 (y) {\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}f ^ {- 1} (y) все еще используется для обозначения волокна, так как волокно элемента y является прообразом одноэлементный набор {y} {\ displaystyle \ {y \}}\ {y \} , как в f - 1 ({y}) {\ displaystyle f ^ {- 1} (\ { y \})}{\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \})} . То есть волокно можно рассматривать как функцию от codomain до powerset домена: f - 1: Y → P (X), {\ displaystyle f ^ {- 1} : Y \ to {\ mathcal {P}} (X),}{\ displaystyle f ^ {- 1}: Y \ to {\ mathcal {P}} (X),} , в то время как прообраз обобщает это на функцию между наборами степеней: f - 1: P (Y) → P (X). {\ displaystyle f ^ {- 1}: {\ mathcal {P}} (Y) \ to {\ mathcal {P}} (X).}{\ displaystyle f ^ {- 1}: {\ mathcal {P}} (Y) \ to {\ mathcal {P }} (X).}

Если f отображается в действительные числа, поэтому y ∈ R {\ displaystyle y \ in \ mathbb {R}}y \ in \ mathbb {R} - это просто число, тогда волокно f - 1 (y) {\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}f ^ {- 1} (y) также называется набором уровней y при f: L y (f). {\ displaystyle L_ {y} (f).}{\ displaystyle L_ {y} (f).} Если f является непрерывной функцией и y находится в изображении f, тогда набор уровней y под f - кривая в 2D, поверхность в 3D и, в более общем смысле, гиперповерхность с размером размер d - 1.

Волокно в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии, если f: X → Y является морфизмом схем, слой из точки p в Y - это продукт волокна схем

X × Y Spec ⁡ k (p) {\ displaystyle X \ times _ {Y} \ operatorname {Spec } k (p)}{\ displaystyle X \ times _ {Y} \ operatorname {Spec} k (p)}

где k (p) - это поле остатка в p.

См. Также

Последняя правка сделана 2021-05-20 14:57:12
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте