Войти
В математике, теория пересечений - это ветвь алгебраической геометрии, где подмногообразия пересекаются на алгебраическое многообразие и алгебраической топологии, где пересечения вычисляются в пределах кольца когомологий. Теория многообразий старше, ее корни в теореме Безу по кривым и теорией исключения. С другой стороны, топологическая теория мо re быстро достигла окончательной формы.
Для подключенного ориентированное многообразие M размерности 2n форма пересечения определяется на n-й группе когомологий (то, что обычно называется «средним измерением») путем вычисления чашечный продукт в фундаментальном классе [M] в H 2n (M, ∂M). Точнее говоря, существует билинейная форма
, заданное как
![\ lambda_M (a, b) = \ langle a \ smile b, [M] \ rangle \ in \ mathbf {Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5224441f15083b73af07a158d2c8f3ddc7e2ce70)
с
Это симметричная форма для четного n (поэтому 2n = 4k дважды четное ), и в этом случае подпись для M определяется как подпись формы, а альтернативная форма для нечетного n (поэтому 2n = 4k + 2 однократно четное ). Их можно равномерно называть ε-симметричными формами, где ε = (−1) = ± 1 соответственно для симметричных и кососимметричных форм. При некоторых обстоятельствах можно уточнить эту форму до ε-квадратичной формы, хотя для этого требуются дополнительные данные, такие как обрамление касательного пучка. Можно отказаться от условия ориентируемости и вместо этого работать с коэффициентами Z/2Z.
Эти формы являются важными топологическими инвариантами. Например, теорема Майкла Фридмана утверждает, что односвязные компактные 4-многообразия (почти) определяются их формами пересечения вверх к гомеоморфизму - см. форма пересечения (4-многообразие).
По двойственности Пуанкаре оказывается, что есть способ думать об этом геометрически. Если возможно, выберите репрезентативные n-мерные подмногообразия A, B для двойственных Пуанкаре к a и b. Тогда λ M (a, b) - это точка A и B, что хорошо определено, поскольку, поскольку размерности A и B суммируются с общей размерностью M, они в общем случае пересекаются в изолированных точках. Это объясняет форму пересечения терминологии.
Уильям Фултон в The Intersection Theory (1984) пишет
... если A и B являются подмногообразиями неособого многообразия X, произведение пересечений A · B должен быть классом эквивалентности алгебраических циклов, тесно связанным с геометрией расположения A ∩ B, A и B в X. Два крайних случая были наиболее известны. Если пересечение собственное, то есть dim (A ∩ B) = dim A + dim B - dim X, то A · B является линейной комбинацией неприводимых компонент A ∩ B, с коэффициентами - кратностями пересечения. С другой стороны, если A = B - неособое подмногообразие, формула самопересечения говорит, что A · B представлено верхним классом Черна нормального расслоения из A в X.
Дать определение в общем случае множественности пересечений было главной задачей книги Андре Вейля «Основы алгебраической геометрии» 1946 года. Работа 1920-х гг. Б. Л. ван дер Варден уже отвечал на этот вопрос; в итальянской школе алгебраической геометрии эти идеи были хорошо известны, но основные вопросы не рассматривались в том же духе.
Хорошо работающий механизм пересечения алгебраических циклов V и W требует большего, чем просто теоретико-множественное пересечение V ∩ W рассматриваемых циклов. Если два цикла находятся в «хорошем положении», то произведение пересечения, обозначенное V · W, должно состоять из теоретико-множественного пересечения двух подмногообразий. Однако циклы могут быть в плохом состоянии, например две параллельные прямые на плоскости или плоскость, содержащая прямую (пересекающуюся в 3-м пространстве). В обоих случаях пересечение должно быть точкой, потому что, опять же, если один цикл перемещается, это будет пересечение. Пересечение двух циклов V и W называется правильным, если коразмерность (теоретико-множественного) пересечения V ∩ W является суммой коразмерностей V и W соответственно, т. Е. "Ожидаемым" значением.
Следовательно, используется концепция движущихся циклов, использующая соответствующие отношения эквивалентности на алгебраических циклах. Эквивалентность должна быть достаточно широкой, чтобы для любых двух циклов V и W существовали эквивалентные циклы V ′ и W ′ такие, что пересечение V ′ ∩ W ′ является собственным. Конечно, с другой стороны, для второго эквивалента V ′ ′ и W ′ ′, V ′ ∩ W ′ должен быть эквивалентен V ′ ′ ∩ W ′ ′.
Для целей теории пересечений рациональная эквивалентность является наиболее важной. Вкратце, два r-мерных цикла на многообразии X рационально эквивалентны, если существует рациональная функция f на (r + 1) -мерном подмногообразии Y, т.е. элемент поля функций k (Y) или, что то же самое, функция f: Y → P, такая что V - W = f (0) - f (∞), где f (⋅) считается с кратностями. Рациональная эквивалентность удовлетворяет описанные выше потребности.
Пересечение прямых и парабола Руководящим принципом при определении кратностей пересечения циклов является в определенном смысле непрерывность. Рассмотрим следующий элементарный пример: пересечение параболы y = x и оси y = 0 должно быть 2 · (0, 0), потому что если один из циклов перемещается (но в неопределенном смысле), есть ровно два пересечения точки, которые обе сходятся к (0, 0), когда циклы приближаются к изображенному положению. (Картина вводит в заблуждение, поскольку кажущееся пустым пересечение параболы и прямой y = −3 пусто, потому что изображены только реальные решения уравнений).
Первое полностью удовлетворительное определение кратностей пересечений было дано Серром : пусть объемлющее многообразие X гладкое (или все локальные кольца регулярны ). Далее, пусть V и W - два (неприводимых редуцированных замкнутых) подмногообразия, такие, что их пересечение собственно. Конструкция локальна, поэтому многообразия могут быть представлены двумя идеалами I и J в координатном кольце X. Пусть Z - неприводимая компонента теоретико-множественного пересечения V ∩ W, а z - его общая точка. Кратность Z в произведении пересечений V · W определяется как
,знакопеременная сумма на длине по локальному кольцу X в z торсионных групп фактор-колец, соответствующих подмногообразиям. Это выражение иногда называют Tor-формулой Серра.
Примечания:
имеет конечный размер Tor.Кольцо Чоу - это группа алгебраических циклов по модулю рациональной эквивалентности вместе со следующим коммутативным произведением пересечений:
всякий раз, когда V и W пересекаются поперечно, где V ∩ W = ∪︀ Z i - разложение теоретико-множественного пересечения на неприводимые компоненты.
Для двух подмногообразий V и W можно взять их пересечение V ∩ W, но также возможно, хотя и более тонко, определить самопересечение одного подмногообразие.
Дана, например, кривая C на поверхности S, ее пересечение с самой собой (как множества) есть только она сама: C ∩ C = C. Это явно правильно, но, с другой стороны, неудовлетворительно: задано любые две различные кривые на поверхности (без общих компонентов), они пересекаются в некотором наборе точек, который, например, можно подсчитать, получив число пересечения, и мы можем пожелать сделать то же самое для данной кривой: аналогия заключается в том, что пересечение различных кривых похоже на умножение двух чисел: xy, а самопересечение похоже на возведение в квадрат одного числа: x. Формально аналогия выражается в виде симметричной билинейной формы (умножение) и квадратичной формы (возведение в квадрат).
Геометрическим решением этой проблемы является пересечение кривой C не с самой собой, а со слегка отодвинутой версией самой себя. На плоскости это просто означает перемещение кривой C в каком-либо направлении, но в целом говорят о том, чтобы взять кривую C ', которая линейно эквивалентна кривой C, и считать пересечение C · C', таким образом получая номер пересечения, обозначенный C · C. Обратите внимание, что в отличие от различных кривых C и D, фактические точки пересечения не определены, потому что они зависят от выбора C ′, но «точки самопересечения C ′ ′ могут быть интерпретируется как k общих точек на C, где k = C · C. Точнее, точка самопересечения C является общей точкой C, взятой с кратностью C · C.
В качестве альтернативы, можно «решить» (или мотивировать) эту проблему алгебраически, дуализируя и рассматривая класс [C] ∪ [C] - это одновременно дает число и поднимает вопрос о геометрической интерпретации. Отметим, что переход к классам когомологий аналогичен замене кривой линейной системой.
Обратите внимание, что число самопересечения может быть отрицательным, как показано в примере ниже.
Рассмотрим прямую L на проективной плоскости P: у нее есть самопересечение номер 1, поскольку все другие линии пересекают ее один раз: можно оттолкнуть L от L ′ И L · L ′ = 1 (для любого выбора) L ′, следовательно, L · L = 1. В терминах форм пересечений мы говорим, что плоскость имеет один из типов x (существует только один класс прямых и все они пересекаются друг с другом).
Обратите внимание, что на аффинной плоскости можно оттолкнуть L до параллельной линии, поэтому (мысля геометрически) количество точек пересечения зависит от выбора отталкивания. Говорят, что «аффинная плоскость не имеет хорошей теории пересечений», а теория пересечений на непроективных многообразиях намного сложнее.
Линия на P× P(которую также можно интерпретировать как неособую квадрику Q в P ) имеет самопересечение 0, поскольку линия можно сдвинуть с себя. (Это линейчатая поверхность.) В терминах форм пересечения мы говорим, что P× Pимеет один из типов xy - есть два основных класса прямых, которые пересекают друг друга в одной точке (xy), но имеют нулевое самопересечение (без членов x или y).
Ключевым примером чисел самопересечения является исключительная кривая раздува, которая является центральной операцией в бирациональной геометрии. Для алгебраической поверхности S, раздутие в точке создает кривую C. Эта кривая C узнаваема по ее роду, равному 0, и числу самопересечения, равному −1. (Это не очевидно.) Обратите внимание, что в качестве следствия P и P× Pявляются минимальными поверхностями (они не являются раздутыми), поскольку они не имеют кривых с отрицательное самопересечение. Фактически, Кастельнуово теорема о сжатии утверждает обратное: каждая (−1) -кривая является исключительной кривой некоторого разрушения (ее можно «сдуть»).
