Войти
В алгебраической геометрия, общая точка P алгебраического многообразия X, грубо говоря, точка, в которой все общие свойства истинны, общее свойство является свойством, которое истинно для почти для каждой точки.
В классической алгебраической геометрии общая точка аффинного или проективного алгебраического многообразия размерности d - это точка, в которой поле, порожденное ее координатами, имеет степень трансцендентности d над полем, порожденным коэффициентами уравнений многообразия.
В теории схем, спектр области целостности имеет уникальную общую точку, которая является минимальным простым идеалом. Поскольку замыкание этой точки для топологии Зариского представляет собой весь спектр, определение было расширено до общей топологии, где общая точка из топологическое пространство X - точка, закрытие которой равно X.
Общая точка топологического пространства X - это точка P, замыкание которой является всем X, то есть точкой, плотной в X.
Терминология возникает из случая топологии Зарисского на множестве подмногообразий в алгебраическом множестве : алгебраическое множество неприводимо (то есть это не объединение двух собственных алгебраических подмножеств) тогда и только тогда, когда топологическое пространство подмногообразий имеет общую точку.
В основополагающем подходе Андре Вейля, разработанном в его «Основах алгебраической геометрии», общие точки играли важную роль, но обрабатывались по-другому. Для алгебраического многообразия V над полем K общие точки V были целым классом точек V, принимающих значения в Ω, алгебраически замкнутым полем, содержащим K, но также и бесконечным поставка свежих индетерминатов. Этот подход работал без необходимости иметь дело непосредственно с топологией V (то есть топологией K-Зарисского), потому что все специализации могли обсуждаться на полевом уровне (как в подходе теории оценки к алгебраическая геометрия, популярная в 1930-е годы).
Это было ценой огромной коллекции одинаково общих точек. Оскар Зариски, коллега Вейля из Сан-Паулу сразу после Второй мировой войны, всегда настаивал на том, что общие очки должны быть уникальными. (Это можно выразить в терминах топологов: идея Вейля не дает пространства Колмогорова, и Зариский мыслит в терминах частного Колмогорова.)
быстрые фундаментальные изменения 1950-х годов подход Вейля устарел. Однако в теории схем с 1957 года вернулись общие моменты: на этот раз в духе Зарисского. Например, для R кольцо дискретной оценки, Spec (R) состоит из двух точек, общей точки (исходящей из простого идеала {0}) и замкнутой точки. или особая точка, исходящая из единственного максимального идеала. Для морфизмов в Spec (R) слой над специальной точкой является специальным слоем, важным понятием, например, в редукции по модулю p, теории монодромии и другие теории о вырождении. Общий слой также является слоем выше общей точки. Геометрия вырождения в значительной степени связана с переходом от общих к специальным волокнам, или, другими словами, как влияет на значение специализация параметров. (Для дискретного оценочного кольца рассматриваемое топологическое пространство - это пространство Серпинского топологов. Другие локальные кольца имеют уникальные общие и особые точки, но более сложный спектр, поскольку они представляют собой общий Для этих целей случай дискретной оценки очень похож на сложный единичный диск.)
