Дискретное кольцо оценки

редактировать

В абстрактной алгебре, кольцо дискретной оценки (DVR ) является областью главных идеалов (PID) с ровно одним ненулевым максимальным идеалом.

. Это означает, что DVR является областью целостности R, которая удовлетворяет любому следующих эквивалентных условий:

  1. R является локальным доменом главного идеала, а не полем.
  2. R является кольцом оценки с группой значений, изоморфной добавляемым целым числам.
  3. R - это local домен Дедекинда, а не поле.
  4. R - это Нётериан локальный домен, максимальный идеальный которого является главным, а не полем.
  5. R является интегрально closed Нётериан локальное кольцо с размерностью Крулля единица.
  6. R - область главных идеалов с уникальным ненулевым простой идеал.
  7. R - область главных идеалов с единственным неприводимым элементом (до умножение на единиц ).
  8. R - это уникальная область факторизации с уникальным несократимым элементом (с точностью до умножения на единицы).
  9. R - нётерово, а не поле , и каждый ненулевой дробный идеал кольца R является неприводимым в том смысле, что его нельзя записать как конечное пересечение дробных идеалы, должным образом содержащие его.
  10. Существует некоторая дискретная оценка ν в поле дробей K числа R такая, что R = {0} ∪ {\ displaystyle \ cup}\ чашка {x ∈ {\ displaystyle \ in}\ in K: ν (x) ≥ 0}.

Содержание

  • 1 Примеры
    • 1.1 Алгебраический
      • 1.1.1 Локализация дедекиндовских колец
      • 1.1.2 Целые p-адические числа
      • 1.1.3 Целые 2-адические числа
      • 1.1.4 Формальный степенной ряд
      • 1.1.5 Кольцо в функции поле
    • 1.2 Теоретическая схема
      • 1.2.1 Гензелевский признак
      • 1.2.2 Локализация точки на кривой
  • 2 Параметр унификации
  • 3 Топология
  • 4 См. также
  • 5 Ссылки

Примеры

Алгебраи c

Локализация колец Дедекинда

Любая локализация домена Дедекинда в ненулевом простом идеале является дискретное оценочное кольцо; на практике часто возникают дискретные кольца оценки. В частности, мы можем определить кольца

Z (p): = {z n | Z, N ∈ Z, п ∤ N} {\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)}: = \ left. \ left \ {{\ frac {z} {n}} \, \ right | z, n \ in \ mathbb {Z}, p \ nmid n \ right \}}{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)}: = \ left. \ Left \ {{\ frac {z} {n}} \, \ right | z, n \ in \ mathbb {Z}, p \ nmid n \ right \}}

для любого простого p в полной аналогии.

p-адические целые числа

кольцо Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}\ mathbb {Z} _ {p} of p-адические целые числа - это DVR для любого prime p {\ displaystyle p}p . Здесь p {\ displaystyle p}p - неприводимый элемент ; оценка присваивает каждому p {\ displaystyle p}p -adic integer x {\ displaystyle x}x наибольшее целое число k {\ displaystyle k}k такой, что pk {\ displaystyle p ^ {k}}p ^ {k} делит x {\ displaystyle x}x .

2-адические целые числа

Пусть Z(2) : = {z / n: z, n ∈ Z, n odd}. Тогда поле дробей Z(2) равно Q . Теперь для любого ненулевого элемента r из Q мы можем применить уникальную факторизацию к числителю и знаменателю r, чтобы записать r как 2 z / n, где z, n и k являются целые числа с нечетным z и n. В этом случае положим ν (r) = k. Тогда Z(2) - кольцо дискретного нормирования, соответствующее ν. Максимальный идеал Z(2) - это главный идеал, порожденный 2, а "уникальный" неприводимый элемент (до единиц) равен 2.

Обратите внимание, что Z(2) - это локализация домена Дедекиндапервичном идеале, сгенерированном с помощью 2.

Формальный степенной ряд

Еще одним важным примером цифрового видеорегистратора является кольцо формальных степенных рядов R = k [[T]] {\ displaystyle R = k [[T]]}{\ displaystyle R = k [[T]]} в одна переменная T {\ displaystyle T}T над некоторым полем k {\ displaystyle k}k . «Уникальный» неприводимый элемент - это T {\ displaystyle T}T , максимальный идеал R {\ displaystyle R}R- это главный идеал, порожденный T {\ displaystyle T}T , а оценка ν {\ displaystyle \ nu}\ nu присваивает каждому степенному ряду индекс (то есть степень) первого ненулевого коэффициент.

Если мы ограничимся действительными или комплексными коэффициентами, мы можем рассмотреть кольцо степенных рядов от одной переменной, сходящихся в окрестности 0 (с окрестностью в зависимости от силового ряда). Это кольцо дискретной оценки. Это полезно для построения интуиции с помощью оценочного критерия правильности.

Кольцо в функциональном поле

В качестве примера более геометрического характера возьмите кольцо R = {f / g: f, g полиномы в R [X] и g (0) ≠ 0}, рассматриваемые как подкольцо поля рациональных функций R(X) в переменной X. R можно отождествить с кольцом всех действительных рациональных функций, определенных (т.е. конечных) в окрестности нуля на вещественной оси (с окрестностью, зависящей от функции). Это кольцо дискретной оценки; «уникальный» неприводимый элемент - это X, и оценка присваивает каждой функции f порядок (возможно, 0) нуля функции f в 0. Этот пример предоставляет шаблон для изучения общих алгебраических кривых вблизи неособых точек, алгебраической кривой в в данном случае это настоящая линия.

Теоретическая схема

Гензелевская черта

Для цифрового видеорегистратора R {\ displaystyle R}Rобычно записывают поле дроби как K = Frac (R) {\ displaystyle K = {\ text {Frac}} (R)}{\ displaystyle K = {\ text {Frac}} (R)} и κ = R / m {\ displaystyle \ kappa = R / {\ mathfrak {m}}}{\ displaystyle \ kappa = R / {\ mathfrak {m}}} поле остатка. Они соответствуют общим и закрытым точкам Spec (R) {\ displaystyle {\ text {Spec}} (R)}{\ displaystyle {\ text {Spec}} (R)} . Например, закрытая точка Spec (Z p) {\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} _ {p})}{\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} _ {p })} равна F p { \ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}\ mathbb {F} _ {p} , а общая точка - Q p {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}\ mathbb {Q} _ {p} . Иногда это обозначается как

η → S ← s {\ displaystyle \ eta \ to S \ leftarrow s}{\ displaystyle \ eta \ to S \ leftarrow s}

, где η {\ displaystyle \ eta}\ eta - общая точка, а s {\ displaystyle s}s - закрытая точка.

Локализация точки на кривой

Дана алгебраическая кривая (X, OX) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}(X, {\ mathcal {O}} _ { X}) , локальное кольцо OX, p {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, {\ mathfrak {p}}} }{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, {\ mathfrak {p}}}} в точке сглаживания p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}{\ mathfrak {p}} - это кольцо дискретной оценки, потому что это главное кольцо оценки. Обратите внимание, поскольку точка p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}{\ mathfrak {p}} гладкая, завершение локального кольца равно изоморфен завершению локализации из A 1 {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}{\ mathbb {A}} ^ {1} в какой-то момент q {\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}{\ mathfrak {q}} .

Параметр унификации

Для DVR R любой неприводимый элемент R является генератором единственного максимального идеала R, и наоборот. Такой элемент также называется униформизирующим параметром R (или униформизирующим элементом, униформизатором или простым элементом ).

Если мы зафиксируем униформизирующий параметр t, то M = (t) будет единственным максимальным идеалом R, а любой другой ненулевой идеал является степенью M, т.е. имеет вид (t) для некоторого k≥0. Все степени t различны, как и степени M. Каждый ненулевой элемент x из R может быть записан в форме αt, где α является единицей в R и k≥0, оба однозначно определяются x. Оценка дается формулой ν (x) = kv (t). Итак, чтобы полностью понять кольцо, нужно знать группу единиц R и то, как единицы аддитивно взаимодействуют со степенями t.

Функция v также превращает любое дискретное кольцо оценки в евклидову область.

Топология

Каждое дискретное кольцо оценки, будучи локальным кольцом, несет естественная топология и является топологическим кольцом. Мы также можем дать ему структуру метрического пространства , где расстояние между двумя элементами x и y можно измерить следующим образом:

| х - у | = 2 - ν (x - y) {\ displaystyle | x-y | = 2 ^ {- \ nu (x-y)}}| xy | = 2 ^ {{- \ ню (ху)}}

(или с любым другим фиксированным действительным числом>1 вместо 2). Интуитивно: элемент z "мал" и "близок к 0" , если его оценка ν (z) велика. Функция | x-y |, дополненная | 0 | = 0, является ограничением абсолютного значения, определенного на [[поле дроби]] s кольца дискретной оценки.

DVR является компактным тогда и только тогда, когда он завершен и его поле остатка R / M является конечным полем.

Примеры полных DVR включают

  • кольцо p-адических целых чисел и
  • кольцо формальных степенных рядов над любым полем

Для данного DVR часто проходит до его завершения, полный DVR, содержащий данное кольцо, которое часто легче изучать. Эту процедуру завершения можно геометрически представить как переход от рациональных функций к степенному ряду или от рациональных чисел к reals.

Возвращаясь к нашим примерам: кольцо всех формальных степенных рядов от одной переменной с действительными коэффициентами - это пополнение кольца рациональных функций, определенных (т.е. конечных) в окрестности 0 на действительной прямой; это также завершение кольца всех вещественных степенных рядов, сходящихся около нуля. Завершение Z (p) = Q ∩ Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)} = \ mathbb {Q} \ cap \ mathbb {Z} _ {p}}{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)} = \ mathbb {Q} \ cap \ mathbb {Z} _ {p}} (которое можно рассматривать как набор всех рациональных чисел, которые являются p-адическими целыми числами) - это кольцо всех p-адических целых чисел Zp.

См. Также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-17 08:48:19
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте