В абстрактной алгебре, кольцо дискретной оценки (DVR ) является областью главных идеалов (PID) с ровно одним ненулевым максимальным идеалом.
. Это означает, что DVR является областью целостности R, которая удовлетворяет любому следующих эквивалентных условий:
Любая локализация домена Дедекинда в ненулевом простом идеале является дискретное оценочное кольцо; на практике часто возникают дискретные кольца оценки. В частности, мы можем определить кольца
для любого простого p в полной аналогии.
кольцо of p-адические целые числа - это DVR для любого prime . Здесь - неприводимый элемент ; оценка присваивает каждому -adic integer наибольшее целое число такой, что делит .
Пусть Z(2) : = {z / n: z, n ∈ Z, n odd}. Тогда поле дробей Z(2) равно Q . Теперь для любого ненулевого элемента r из Q мы можем применить уникальную факторизацию к числителю и знаменателю r, чтобы записать r как 2 z / n, где z, n и k являются целые числа с нечетным z и n. В этом случае положим ν (r) = k. Тогда Z(2) - кольцо дискретного нормирования, соответствующее ν. Максимальный идеал Z(2) - это главный идеал, порожденный 2, а "уникальный" неприводимый элемент (до единиц) равен 2.
Обратите внимание, что Z(2) - это локализация домена Дедекинда Zв первичном идеале, сгенерированном с помощью 2.
Еще одним важным примером цифрового видеорегистратора является кольцо формальных степенных рядов в одна переменная над некоторым полем . «Уникальный» неприводимый элемент - это , максимальный идеал - это главный идеал, порожденный , а оценка присваивает каждому степенному ряду индекс (то есть степень) первого ненулевого коэффициент.
Если мы ограничимся действительными или комплексными коэффициентами, мы можем рассмотреть кольцо степенных рядов от одной переменной, сходящихся в окрестности 0 (с окрестностью в зависимости от силового ряда). Это кольцо дискретной оценки. Это полезно для построения интуиции с помощью оценочного критерия правильности.
В качестве примера более геометрического характера возьмите кольцо R = {f / g: f, g полиномы в R [X] и g (0) ≠ 0}, рассматриваемые как подкольцо поля рациональных функций R(X) в переменной X. R можно отождествить с кольцом всех действительных рациональных функций, определенных (т.е. конечных) в окрестности нуля на вещественной оси (с окрестностью, зависящей от функции). Это кольцо дискретной оценки; «уникальный» неприводимый элемент - это X, и оценка присваивает каждой функции f порядок (возможно, 0) нуля функции f в 0. Этот пример предоставляет шаблон для изучения общих алгебраических кривых вблизи неособых точек, алгебраической кривой в в данном случае это настоящая линия.
Для цифрового видеорегистратора обычно записывают поле дроби как и поле остатка. Они соответствуют общим и закрытым точкам . Например, закрытая точка равна , а общая точка - . Иногда это обозначается как
, где - общая точка, а - закрытая точка.
Дана алгебраическая кривая , локальное кольцо в точке сглаживания - это кольцо дискретной оценки, потому что это главное кольцо оценки. Обратите внимание, поскольку точка гладкая, завершение локального кольца равно изоморфен завершению локализации из в какой-то момент .
Для DVR R любой неприводимый элемент R является генератором единственного максимального идеала R, и наоборот. Такой элемент также называется униформизирующим параметром R (или униформизирующим элементом, униформизатором или простым элементом ).
Если мы зафиксируем униформизирующий параметр t, то M = (t) будет единственным максимальным идеалом R, а любой другой ненулевой идеал является степенью M, т.е. имеет вид (t) для некоторого k≥0. Все степени t различны, как и степени M. Каждый ненулевой элемент x из R может быть записан в форме αt, где α является единицей в R и k≥0, оба однозначно определяются x. Оценка дается формулой ν (x) = kv (t). Итак, чтобы полностью понять кольцо, нужно знать группу единиц R и то, как единицы аддитивно взаимодействуют со степенями t.
Функция v также превращает любое дискретное кольцо оценки в евклидову область.
Каждое дискретное кольцо оценки, будучи локальным кольцом, несет естественная топология и является топологическим кольцом. Мы также можем дать ему структуру метрического пространства , где расстояние между двумя элементами x и y можно измерить следующим образом:
(или с любым другим фиксированным действительным числом>1 вместо 2). Интуитивно: элемент z "мал" и "близок к 0" , если его оценка ν (z) велика. Функция | x-y |, дополненная | 0 | = 0, является ограничением абсолютного значения, определенного на [[поле дроби]] s кольца дискретной оценки.
DVR является компактным тогда и только тогда, когда он завершен и его поле остатка R / M является конечным полем.
Примеры полных DVR включают
Для данного DVR часто проходит до его завершения, полный DVR, содержащий данное кольцо, которое часто легче изучать. Эту процедуру завершения можно геометрически представить как переход от рациональных функций к степенному ряду или от рациональных чисел к reals.
Возвращаясь к нашим примерам: кольцо всех формальных степенных рядов от одной переменной с действительными коэффициентами - это пополнение кольца рациональных функций, определенных (т.е. конечных) в окрестности 0 на действительной прямой; это также завершение кольца всех вещественных степенных рядов, сходящихся около нуля. Завершение (которое можно рассматривать как набор всех рациональных чисел, которые являются p-адическими целыми числами) - это кольцо всех p-адических целых чисел Zp.