Универсальное свойство

редактировать

В математике свойства, применимые для «типичных» примеров, называются универсальными свойствами . Например, универсальное свойство класса функций - это свойство, которое истинно для «почти всех» этих функций, как в утверждениях «Универсальный многочлен не имеет корня в нуле» или «Общая квадратная матрица является обратимой ». В качестве другого примера, общее свойство пространства - это свойство, которое выполняется «почти во всех» точках пространства, как в утверждении: «Если f: M → N - гладкая функция между гладкими многообразиями, то общая точка N не является критическим значением f. " (Это соответствует теореме Сарда.)

В математике существует множество различных понятий «общий» (что означает «почти все») с соответствующими двойственными понятиями из «почти нет» (незначительный набор ); два основных класса:

В теории меры родовое свойство - это свойство, которое содержит почти всюду, с двойным понятием null set, что означает «с вероятностью 0».
В топологии и алгебраической геометрии родовое свойство - это свойство, которое сохраняется на плотном открытом набор, или, в более общем смысле, на остаточном наборе, при этом двойная концепция - это нигде не плотный набор, или, в более общем смысле, скудный набор.

. естественные примеры, когда эти понятия не равны. Например, набор чисел Лиувилля является общим в топологическом смысле, но имеет нулевую меру Лебега.

Содержание

1 В теории меры
- 1.1 В вероятности
2 В дискретном математика
3 В топологии
- 3.1 В функциональных пространствах
4 В алгебраической геометрии
- 4.1 Алгебраические многообразия
- 4.2 Общая точка
- 4.3 Общее положение
5 В вычислимости
6 Универсальность results
7 Ссылки

В теории меры

В теории меры родовое свойство - это свойство, которое выполняется почти везде. Двойная концепция - это нулевой набор, то есть набор нулевой меры.

С вероятностью

С вероятностью родовое свойство - это событие, которое происходит почти наверняка, что означает, что оно происходит с вероятностью 1. Например, закон больших чисел означает, что среднее значение выборки почти наверняка сходится к среднему значению генеральной совокупности. Это определение в случае теории меры, специализированной для вероятностного пространства.

В дискретной математике

В дискретной математике термин почти все используется для обозначения cofinite (все, кроме конечного many), coountable (все, кроме счетного множества), для достаточно больших чисел или, иногда, асимптотически почти наверняка. Эта концепция особенно важна при изучении случайных графов.

В топологии

В топологии и алгебраической геометрии общее свойство - это свойство, которое на плотном открытом множестве или, в более общем смысле, на остаточном множестве (счетное пересечение плотных открытых множеств), при этом двойственная концепция является замкнутым нигде не плотным множеством, или, в более общем смысле, скудное множество (счетное объединение нигде не плотных замкнутых множеств).

Однако одной плотности недостаточно для характеристики общего свойства. Это можно увидеть даже в вещественных числах, где и рациональные числа, и их дополнение, иррациональные числа, плотны. Поскольку не имеет смысла говорить, что и набор, и его дополнение демонстрируют типичное поведение, и рациональные, и иррациональные числа не могут быть примерами наборов, достаточно больших, чтобы быть типичными. Следовательно, мы полагаемся на более сильное определение, приведенное выше, из которого следует, что иррациональные числа типичны, а рациональные - нет.

Для приложений, если свойство удерживается на остаточном наборе, оно может не выполняться для каждой точки, но его небольшое возмущение, как правило, приведет к попаданию одного свойства в остаточный набор (нигде плотность компоненты скудного набора), и, таким образом, это наиболее важный случай, который нужно рассматривать в теоремах и алгоритмах.

В функциональных пространствах

Свойство является общим в C, если набор, содержащий это свойство, содержит остаточное подмножество в топологии C. Здесь C - это функциональное пространство, членами которого являются непрерывные функции с r непрерывными производными от многообразия M до многообразия N.

Пространство C (M, N) отображений C между M и N является пространством Бэра, следовательно, любой остаточный набор является плотным. Это свойство функционального пространства делает типичными общие свойства.

В алгебраической геометрии

Алгебраические многообразия

Свойство неприводимого алгебраического многообразия X называется истинным в общем случае, если оно выполняется за исключением собственного Замкнутое по Зарискому подмножество X, другими словами, если оно выполняется на непустом открытом по Зарисском подмножестве. Это определение согласуется с топологическим, приведенным выше, поскольку для неприводимых алгебраических многообразий любое непустое открытое множество плотно.

Например, для регулярности общая точка многообразия над полем нулевой характеристики является гладкой. (Это утверждение известно как общая гладкость.) Это верно, потому что критерий Якоби может быть использован для нахождения уравнений для негладких точек: это именно те точки, в которых матрица Якоби точки X не имеет полного ранга. В нулевой характеристике эти уравнения нетривиальны, поэтому они не могут быть верными для каждой точки в многообразии. Следовательно, множество всех нерегулярных точек X является собственным замкнутым по Зарискому подмножеством X.

Вот еще один пример. Пусть f: X → Y - регулярное отображение между двумя алгебраическими многообразиями. Для каждой точки y на Y рассмотрим размерность слоя f над y, то есть dim f (y). Обычно это число постоянно. Он не обязательно везде постоянный. Если, скажем, X - это раздутие Y в точке, а f - естественная проекция, тогда относительная размерность f равна нулю, за исключением точки, которая взорвана, где она тусклая Y - 1.

Говорят, что некоторые свойства имеют очень общий характер. Часто это означает, что основное поле является несчетным и что свойство истинно, за исключением счетного объединения собственных замкнутых по Зарискому подмножеств (т.е. свойство сохраняется на плотном множестве Gδ ). Например, это очень общее понятие возникает при рассмотрении рациональной связности. Однако другие определения очень общего могут встречаться и встречаются в других контекстах.

Общая точка

В алгебраической геометрии общая точка алгебраического многообразия - это точка, координаты которой не удовлетворяют никакому другому алгебраическому соотношению, кроме те, кто удовлетворен каждым пунктом разнообразия. Например, общая точка аффинного пространства над полем k - это точка, координаты которой алгебраически независимы над k.

В теории схем, где точки являются подмногообразиями, общая точка многообразия - это точка, замыкание которой для топологии Зарисского является всем многообразием.

Общее свойство - это свойство общей точки. Для любого разумного свойства оказывается, что свойство истинно в общем на подмногообразии (в смысле истинности на открытом плотном подмножестве) тогда и только тогда, когда свойство истинно в общей точке. Такие результаты часто подтверждаются с использованием методов пределов аффинных схем, разработанных в EGA IV 8.

Общая позиция

Родственная концепция в алгебраической теории. геометрия - это общее положение, точное значение которого зависит от контекста. Например, на евклидовой плоскости три точки общего положения не коллинеарны. Это связано с тем, что свойство не быть коллинеарным является общим свойством конфигурационного пространства трех точек в R.

В вычислимости

В вычислимости и алгоритмическая случайность, бесконечная строка натуральных чисел $f ∈ ω ω {\ displaystyle f \ in \ omega ^ {\ omega}}$ ${\ displaystyle f \ in \ omega ^ {\ omega}}$ называется 1-общий, если для каждого в. установить $W ⊆ ω < ω {\displaystyle W\subseteq \omega ^{<\omega }}$ ${\ displaystyle W \ substeq \ omega ^ {<\ omega}}$ , либо $f {\ displaystyle f}$ $f$ имеет начальный сегмент $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ в $W {\ displaystyle W}$ $W$ или $f {\ displaystyle f}$ $f$ имеет начальный сегмент $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ такое, что каждое расширение $τ ≽ σ {\ displaystyle \ tau \ succcurlyeq \ sigma}$ ${\ displaystyle \ tau \ succcurlyeq \ sigma}$ не входит в W. 1-генерики важны для вычислимости, так как многие конструкции можно упростить, учитывая соответствующий 1-родовой. Вот некоторые ключевые свойства:

1-родовое число содержит каждое натуральное число как элемент;
Ни один 1-родовой тип не вычислим (или даже не ограничен вычислимой функцией);
Все 1 -generics $f {\ displaystyle f}$ $f$ обобщены low : $f ′ ≡ T f ⊕ ∅ ′ {\ displaystyle f '\ Equiv _ {\ mathrm { T}} f \ oplus \ varnothing '}$ $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$ .

1-типичность связана с топологическим понятием «общий» следующим образом. Бэровское пространство $ω ω {\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$ $\ omega ^ {\ omega}$ имеет топологию с базовыми открытыми наборами $[σ] = {е: σ ≼ е} {\ displaystyle [\ sigma] = \ {f: \ sigma \ preccurlyeq f \}}$ ${\ displaystyle [\ sigma] = \ {f: \ sigma \ preccurlyeq f \}}$ для каждой конечной строки натуральных чисел $σ ∈ ω < ω {\displaystyle \sigma \in \omega ^{<\omega }}$ ${\ displaystyle \ sigma \ in \ omega ^ {<\ omega}}$ . Тогда элемент $f ∈ ω ω {\ displaystyle f \ in \ omega ^ {\ omega}}$ ${\ displaystyle f \ in \ omega ^ {\ omega}}$ является 1-общим тогда и только тогда, когда он не находится на границе какого-либо открытого множества. В частности, для каждого плотного открытого множества требуются 1-генерики (хотя это строго более слабое свойство, называемое слабо 1-генерическим).

Результаты универсальности

Теорема Сарда : Если $f: M → N {\ displaystyle f \ двоеточие M \ to N}$ $f \ двоеточие M \ to N$ является гладкой функцией между гладких многообразий, то общая точка N не является критическим значением f - критические значения f - это нулевое множество в N.
/ общая гладкость : общая точка многообразия над полем нулевой характеристики является гладким.
Управляемость и наблюдаемость линейных нестационарных во времени систем являются общими как в топологическом смысле, так и в смысле теории меры.

Ссылки

Стивен Уиггинс (2003), Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978- 0-387-00177-7
Гриффитс, Филип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Wiley Classics Library, Нью-Йорк: John Wiley Sons, doi : 10.1002 / 9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523