Хаусдорфово пространство

редактировать
Аксиомы разделения. в топологических пространствах
Колмогоровская классификация
T0 (Колмогоров)
T1 (Фреше)
T2 (Хаусдорф)
T2½ (Урысон)
полностью T 2 (полностью Хаусдорф)
T3 (обычный Хаусдорф)
T3½ (Тихонов)
T4 (нормальный Хаусдорф)
T5 (совершенно нормальный. Хаусдорф)
T6 (совершенно нормальный. Хаусдорф)

В топологии и родственных разделах математики, пространство Хаусдорфа, разделенное пространство или T2пространство - это топологическое пространство, где для любых двух различных точек существуют окрестности каждого из которых не пересекаются друг с другом. Из множества аксиом разделения, которые могут быть наложены на топологическое пространство, «условие Хаусдорфа» (T 2) является наиболее часто используемым и обсуждаемым. Это подразумевает уникальность пределов из последовательностей, сетей и фильтров..

Хаусдорфовы пространства названы в честь Феликса Хаусдорфа, один из основоположников топологии. Первоначальное определение топологического пространства Хаусдорфом (в 1914 г.) включало условие Хаусдорфа как аксиому.

Содержание

  • 1 Определения
  • 2 Эквивалентности
  • 3 Примеры и непримеры
  • 4 Свойства
  • 5 Пререгулярность против регулярности
  • 6 Варианты
  • 7 Алгебра функций
  • 8 Академический юмор
  • 9 См. Также
  • 10 Примечания
  • 11 Ссылки

Определения

Точки x и y, разделенные соответствующими окрестностями U и V.

Точки x {\ displaystyle x}x и y {\ displaystyle y}y в топологическом пробел X {\ displaystyle X}X может быть разделен окрестностями, если существует соседство U {\ displaystyle U}U из x {\ displaystyle x}x и окрестности V {\ displaystyle V}V из y {\ displaystyle y}y так, чтобы U {\ displaystyle U}U и V {\ displaystyle V}V были непересекающимися (U ∩ V = ∅ {\ Displaystyle U \ cap V = \ пусто установить}{\ displaystyle U \ cap V = \ emptyset} ). X {\ displaystyle X}X является пространством Хаусдорфа, если все отдельные точки в X {\ displaystyle X}X попарно разделяются на окрестности. Это условие является третьей аксиомой разделения (после T 0, T 1 {\ displaystyle T_ {0}, T_ {1}}T_ {0}, T_ {1} ), поэтому пространства Хаусдорфа также называется T 2 {\ displaystyle T_ {2}}T_ {2} пробелами. Также используется пробел, разделенный именем.

Родственное, но более слабое понятие - это понятие предрегулярного пространства . X {\ displaystyle X}X является пререгулярным пространством, если любые две топологически различимые точки могут быть разделены непересекающимися окрестностями. Предварительные пробелы также называются R 1 {\ displaystyle R_ {1}}R_ {1} пробелами.

Связь между этими двумя условиями следующая. Топологическое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда одновременно является пререгулярным (т.е. топологически различимые точки разделены окрестностями) и колмогоровским (т.е. различные точки топологически различимы). Топологическое пространство является пререгулярным тогда и только тогда, когда его фактор Колмогорова хаусдорфов.

Эквивалентности

Для топологического пространства X следующие эквиваленты:

Примеры и не примеры

Почти все пробелы, встречающиеся в анализ Хаусдорф; самое главное, действительные числа (в рамках стандартной метрической топологии действительных чисел) являются пространством Хаусдорфа. В более общем смысле все метрические пространства хаусдорфовы. Фактически, для многих пространств, используемых в анализе, таких как топологические группы и топологические многообразия, условие Хаусдорфа явно указано в их определениях.

Простым примером топологии, которая является T1, но не Хаусдорфовой, является кофинитная топология, определенная на бесконечном множестве.

Псевдометрические пространства обычно не являются Хаусдорфа, но они дорегулярны, и их использование в анализе обычно только при построении хаусдорфовых калибровочных пространств. В самом деле, когда аналитики сталкиваются с нехаусдорфовым пространством, оно все еще, вероятно, по крайней мере дорегулярно, а затем они просто заменяют его своим фактором Колмогорова, которым является Хаусдорф.

Напротив, встречаются не-пререгулярные пространства. гораздо чаще в абстрактной алгебре и алгебраической геометрии, в частности, как топология Зарисского на алгебраическом многообразии или в спектре кольца. Они также возникают в теории моделей из интуиционистской логики : каждая полная алгебра Гейтинга является алгеброй открытых множеств некоторого топологического пространства, но это пространство не обязательно должно быть предрегулярным, тем более хаусдорфовым, и на самом деле обычно таковым не является. Связанная концепция области Скотта также состоит из нерегулярных пространств.

Хотя существование уникальных пределов для сходящихся сетей и фильтров подразумевает, что пространство является хаусдорфовым, существуют нехаусдорфовы T 1 пространства, в которых каждая сходящаяся последовательность имеет уникальный предел.

Свойства

Подпространства и произведения хаусдорфовых пространств являются хаусдорфовыми, но факторпространства хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми. Фактически, любое топологическое пространство может быть реализовано как фактор некоторого хаусдорфова пространства.

Хаусдорфовы пространства - это T1, что означает, что все синглтоны замкнуты. Точно так же пререгулярные пространства - это R0.

Еще одно замечательное свойство хаусдорфовых пространств состоит в том, что компакты всегда замкнуты. Это может потерпеть неудачу в нехаусдорфовых пространствах, таких как пространство Серпинского.

В определении хаусдорфова пространства говорится, что точки могут быть разделены окрестностями. Оказывается, из этого следует нечто более сильное: в хаусдорфовом пространстве каждая пара непересекающихся компактов также может быть разделена окрестностями, другими словами, существует окрестность одного множества и окрестность другого, такая, что два окрестности не пересекаются. Это пример общего правила, согласно которому компактные множества часто ведут себя как точки.

Условия компактности вместе с предварительной регулярностью часто подразумевают более сильные аксиомы разделения. Например, любое локально компактное предрегулярное пространство является полностью регулярным. Компактные пререгулярные пространства являются нормальными, что означает, что они удовлетворяют лемме Урысона и теореме о расширении Титце и имеют разбиения единицы подчинены локально конечным открытым крышкам. Хаусдорфовы версии этих утверждений: каждое локально компактное хаусдорфово пространство является Тихоновым, и каждое компактное хаусдорфово пространство является нормальным хаусдорфовым пространством.

Следующие результаты представляют собой некоторые технические свойства, касающиеся отображений (непрерывных и других) в и из пространств Хаусдорфа.

Пусть f: X → Y - непрерывная функция, а Y - хаусдорфова. Тогда график f, {(x, f (x)) ∣ x ∈ X} {\ displaystyle \ {(x, f (x)) \ mid x \ in X \} }\ {( x, f (x)) \ mid x \ in X \} , является замкнутым подмножеством X × Y.

Пусть f: X → Y - функция и пусть ker ⁡ (f) ≜ {(x, x ′) ∣ е (Икс) знак равно е (х ')} {\ Displaystyle \ OperatorName {ker} (е) \ треугольникq \ {(х, х') \ середина f (х) = е (х ') \}}\operatorname {ker} (f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}будет его ядром, рассматриваемым как подпространство X × X.

  • Если f непрерывно, а Y хаусдорфово, то ker (f) замкнуто.
  • Если f является open сюръекция и ker (f) замкнуто, тогда Y хаусдорфово.
  • Если f - непрерывная открытая сюръекция (т.е. открытое фактор-отображение), то Y является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда ker (f) замкнуто.

Если f, g: X → Y - непрерывные отображения, а Y - хаусдорфовы, то уравнитель eq (е, г) знак равно {Икс ∣ е (Икс) = г (х)} {\ Displaystyle {\ t_dv {eq}} (е, г) = \ {х \ середина е (х) = г (х) \ }}{\ t_dv {eq}} (f, g) = \ {x \ mid f (x) = g (x) \} замкнуто в X. Отсюда следует, что если Y хаусдорфово и f и g согласовывают плотное подмножество X, то f = g. Другими словами, непрерывные функции в хаусдорфовых пространствах определяются своими значениями на плотных подмножествах.

Пусть f: X → Y замкнутая сюръекция такая, что f (y) компактно для всех y ∈ Y. Тогда если X хаусдорфово, то Y.

Пусть f: X → Y - фактор-отображение, где X - компактное хаусдорфово пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

Предрегулярность против регулярности

Все регулярные пространства предрегулярны, как и все хаусдорфовы пространства. Есть много результатов о топологических пространствах, справедливых как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты верны для всех предрегулярных пространств; они были перечислены отдельно для регулярных и хаусдорфовых пространств, поскольку идея предрегулярных пространств возникла позже. С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы также к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.

Существует много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (например, паракомпактность или локальная компактность ) будет подразумевать регулярность, если предварительная регулярность удовлетворяется. Такие условия часто бывают двух версий: обычная версия и версия Хаусдорфа. Хотя хаусдорфовы пространства, вообще говоря, не являются регулярными, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, потому что любое хаусдорфово пространство предрегулярно. Таким образом, с определенной точки зрения в таких ситуациях имеет значение скорее предварительная закономерность, чем закономерность. Однако определения обычно все еще формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие более известно, чем предварительная регулярность.

См. История аксиом разделения для получения дополнительной информации по этому вопросу.

Варианты

Термины «Хаусдорф», «разделенный» и «пререгулярный» также могут применяться к таким вариантам топологических пространств, как однородные пространства, Пространства Коши, и. Характеристика, которая объединяет концепцию во всех этих примерах, состоит в том, что пределы сетей и фильтров (если они существуют) уникальны (для разделенных пространств) или уникальны с точностью до топологической неразличимости (для дорегулярных пространств).

Как выясняется, равномерные пространства и, в более общем смысле, пространства Коши всегда являются предрегулярными, поэтому условие Хаусдорфа в этих случаях сводится к условию T 0. Это также те пространства, в которых полнота имеет смысл, и хаусдорфность является естественным спутником полноты в этих случаях. В частности, пространство является полным тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет хотя бы один предел, в то время как пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет не более одного предела (поскольку только сети Коши могут иметь ограничения в первую очередь).

Алгебра функций

Алгебра непрерывных (вещественных или комплексных) функций на компактном хаусдорфовом пространстве является коммутативной C * -алгеброй, и, наоборот, По теореме Банаха – Стоуна топологию пространства можно восстановить, исходя из алгебраических свойств его алгебры непрерывных функций. Это приводит к некоммутативной геометрии, где некоммутативные C * -алгебры рассматриваются как представление алгебр функций на некоммутативном пространстве.

Академический юмор

  • Условие Хаусдорфа иллюстрируется каламбуром, согласно которому в пространствах Хаусдорфа любые две точки могут быть «отделены» друг от друга открытыми множествами.
  • В Институте математики 119>Боннский университет, в котором Феликс Хаусдорф исследовал и читал лекции, есть определенная комната, обозначенная Хаусдорф-Раум . Это каламбур, так как Раум на немецком означает и комнату, и пространство.

См. Также

Примечания

Литература

.

Последняя правка сделана 2021-05-23 03:26:42
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте