Замыкание (топология)

В математике, замыкание подмножества S точек в топологическое пространство состоит из всех точек в S вместе со всеми предельными точками S. Замыкание S может быть эквивалентно определено как union S и его границы, а также как пересечение всех замкнутых множеств, содержащих S.Интуитивно замыкание можно рассматривать как все точки, которые находятся либо в S, либо "около" S. Точка, которая находится в замыкании S, является точкой замыкания S. Понятие замыкания во многих отношениях двойственно к понятие внутреннее.

• 1 Определения
  • 1.1 Точка закрытия
  • 1.2 Предельная точка
  • 1.3 Закрытие набора
• 2 Примеры
• 3 Оператор закрытия
• 4 Факты о закрытии
• 5 Категориальная интерпретация
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Точка закрытия

Для S подмножество евклидова пространства, x является точкой закрытия S, если каждый открытый шар с центром в x содержит точку из S (эта точка может быть самой x).

Это определение обобщается на любое подмножество S метрического пространства X. Полностью выраженный, для X метрическое пространство с метрикой d, x является точкой замыкания S, если для любого r>0 существует y в S такое, что расстояние d (x, y) < r. (Again, we may have x = y.) Another way to express this is to say that x is a point of closure of S if the distance d(x, S) := inf { d (x, s): s в S} = 0.

Это определение обобщается на топологические пространства путем замены «открытого шара» или «шара» на «окрестности ". Пусть S - подмножество топологического пространства X. Тогда x является точкой замыкания (или точкой соединения ) S, если каждая окрестность x содержит точка S. Обратите внимание, что это определение не зависит от того, должны ли окрестности быть открытыми.

Предельная точка

Определение точки закрытия тесно связано с определением предельной точки. Разница между этими двумя определениями тонкая, но важная - а именно, в определении предельной точки каждая окрестность рассматриваемой точки x должна содержать точку из множества, отличную от самой x. Множество всех предельных точек набора S называется производным набором набора S.

Таким образом, каждая предельная точка является точкой закрытия, но не каждая точка закрытия - это предельная точка. Точка закрытия, которая не является предельной точкой, является изолированной точкой. Другими словами, точка x является изолированной точкой S, если она является элементом S и если существует окрестность x, которая не содержит других точек S, кроме самого x.

Для данного множества S и точка x, x является точкой замыкания S тогда и только тогда, когда x является элементом S или x является предельной точкой S (или обоих).

Замыкание множества

Замыкание подмножества подмножества S топологического пространства (X, τ), обозначаемое cl (S), Cl (S), S или S можно определить с помощью любого из следующих эквивалентных определений:

1. cl (S) - это набор всех точек закрытия S.
2. cl (S) - множество S вместе с всеми его предельными точками.
3. cl (S) - это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих S.
4. cl (S) наименьшее замкнутое множество, содержащее S.
5. cl (S), является объединением S и его границы ∂(S).
6. cl (S) - это множество всех x ∈ X, для которого существует сеть (со значениями) в S, сходящаяся к x в (X, τ).

Замыкание множества обладает следующими свойствами.

• cl (S) является закрытым надмножеством S
• Множество S закрыто тогда и только тогда, когда S = cl (S).
• Если S является подмножество T, то cl (S) является подмножеством cl (T).
• Если A - замкнутое множество, то A содержит S тогда и только тогда, когда A содержит cl (S).

Иногда второе или третье свойство выше рассматривается как определение топологического замыкания, которое все еще имеет смысл при применении к другим типам замыканий (см. ниже).

В пространстве с первым счетом (например, метрическое пространство ), cl (S) - это набор всех пределов всех сходящихся последовательностей точек в S.Для общего топологического пространства это утверждение остается верным, если заменяет «последовательность» на «net » или «фильтр ».

Обратите внимание, что эти свойства также удовлетворяются, если "закрытие", "надмножество", "пересечение", "содержит / содержащий", "наименьший" и "закрытый" заменяются на "внутреннее", "подмножество", «объединение», «содержащийся в», «наибольший» и «открытый». Подробнее об этом см. Ниже в разделе оператор замыкания.

Рассмотрим сферу в 3 измерениях. Неявно есть две области интересов, создаваемые этой сферой; сама сфера и ее внутренность (которая называется открытым 3-шаром). Полезно уметь различать внутреннюю часть 3-шара и поверхность, поэтому мы различаем открытый 3-шар и закрытый 3-шар - закрытие 3-шара. Закрытие открытого 3-шара - это открытый 3-шар плюс поверхность.

В топологическом пространстве :

• В любом пространстве, $\varnothing \; =\; cl\; (\varnothing )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varnothing\; =\; \backslash \; mathrm\; \{cl\}\; (\backslash \; varnothing)\}$.
• В любом пространстве X, X = cl (X).

Придание R и C стандартной (метрической) топологии :

• Если X - евклидово пространство R из действительных чисел, тогда cl ((0, 1)) = [0, 1].
• Если X - евклидово пространство R, то Замыкание набора Q из рациональных чисел представляет собой все пространство R . Мы говорим, что Q является плотным в R.
• . Если X является комплексной плоскостью C= R, то cl ({z in C : | z |>1}) = {z in C : | z | ≥ 1}.
• Если S является конечным подмножеством евклидова пространства, то cl (S) = S. (Для общего топологического пространства это свойство эквивалентно T1аксиома.)

На множество действительных чисел можно поставить другую топологию вместо стандартной.

• Если X = R, где R имеет нижнюю предельная топология, тогда cl ((0, 1)) = [0, 1).
• Если рассматривать на R дискретную топологию, в которой каждое множество замкнуто (открыто), тогда cl ((0, 1)) = (0, 1).
• Если рассматривать на R тривиальную топологию в котором единственными закрытыми (открытыми) множествами являются пустое множество и сам R, тогда cl ((0, 1)) = R.

Эти примеры показывают, что закрытие множества зависит от топологии нижележащее пространство. Последние два примера являются частными случаями следующего.

• В любом дискретном пространстве, поскольку каждое множество закрыто (а также открыто), каждое множество равно своему закрытию.
• В любом недискретном пространстве X, поскольку единственными замкнутыми множествами являются пустое множество и сам X, мы имеем, что закрытие пустого множества является пустым множеством, и для каждого непустого подмножества A из X cl (A) = X. Другими словами, каждое непустое подмножество недискретного пространства плотно.

Замыкание множества также зависит от того, в каком пространстве мы выполняем замыкание. Например, если X - это набор рациональных чисел, с обычной относительной топологией, индуцированной евклидовым пространством R, и если S = ​​{q in Q : q>2, q>0}, тогда S закрывается в Q, и закрытие S в Q равно S; однако замыкание S в евклидовом пространстве R - это набор всех действительных чисел, больших или равных $2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}.\}$

A оператор замыкания для набора X - это отображение набора мощности для X, $P\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (X)\}$, в себя, которое удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского.

Учитывая топологическое пространство $(X,\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{T\}\})\}$, отображение: S → S для всех S ⊆ X является оператором замыкания на X. И наоборот, если c является оператором замыкания на множестве X, топологическое пространство получается путем определения множеств S с c (S) = S как замкнутых множеств (так что их дополнениями являются открытые множества топологии).

Оператор замыкания двойственен оператору внутреннего в смысл, что

S = X \ (X \ S)

, а также

S = X \ (X \ S)

, где X обозначает базовое множество топологического пространства, содержащего S, а обратная косая черта относится к теоретико-множественной разнице.

Следовательно, абстрактная теория операторов замыкания и d аксиомы замыкания Куратовского можно легко перевести на язык внутренних операторов, заменив множества их дополнениями .

В общем случае оператор замыкания не коммутирует с пересечениями. Однако в полном метрическом пространстве верен следующий результат:

Теорема (К. Урсеску) - Пусть X будет полным метрическим пространством и пусть S 1, S 2,... быть последовательностью подмножеств X.

• Если каждый S i замкнут в X, то $cl\; \; (\; \cup \; я\; \in \; N\; int\; \; S\; я)\; знак\; равно\; cl\; \; int\; \; (\cup \; я\; \in \; NS\; я)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{cl\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cup\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{int\}\; S\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{cl\}\; \backslash \; operatorname\; \{int\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cup\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; S\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\}$.
• Если каждое S i открыто в X, тогда $int\; \; (\cap \; i\; \in \; N\; cl\; \; S\; i)\; =\; int\; \; cl\; \; (\cap \; i\; \in \; NS\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{int\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cap\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{cl\}\; S\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{int\}\; \backslash \; operatorname\; \{cl\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cap\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; S\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\}$.

Набор $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$закрыт тогда и только тогда, когда $С\; l\; (S)\; =\; S\; \{\backslash \; Displaystyle\; Cl\; (S)\; =\; S\}$. В частности:

• закрытие пустого набора является пустым набором;
• Само закрытие $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$равно $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.
• Замыкание пересечения множеств всегда является подмножеством (но не обязательно равно) пересечению замыканий множества.
• В union из конечного множества множеств, замыкание объединения и объединение замыканий равны; объединение нулевых множеств - это пустое множество, поэтому это утверждение содержит более раннее утверждение о закрытии пустого множества как особый случай.
• Замыкание объединения бесконечного множества множеств не обязательно равно объединению замыканий, но это всегда надмножество объединения замыканий.

Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является подпространством из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, содержащий $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, затем закрытие $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, вычисленное в $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, равно пересечению $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и замыканию $S\; \{\; \backslash \; displaystyle\; S\}$вычисляется в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$: $C\; l\; A\; (S)\; =\; A\; \cap \; C\; l\; X\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; Cl\_\; \{A\}\; (S)\; =\; A\; \backslash \; cap\; Cl\_\; \{X\}\; (S)\}$. В частности, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$плотно в $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$тогда и только тогда, когда $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является подмножеством $C\; l\; X\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; Cl\_\; \{X\}\; (S)\}$.

Можно элегантно определить оператор замыкания в терминах универсальные стрелки, как показано ниже.