Инфимум и супремум

редактировать

Набор T действительных чисел (полые и темные кружки), подмножество S из T (заполненные кружки) и точная нижняя грань of S. Обратите внимание, что для конечных полностью упорядоченных множеств нижняя грань и минимум равны.

Множество A действительных чисел (синие кружки), набор верхних границ A (красный ромб и кружки), и наименьшая такая верхняя грань, то есть верхняя грань A (красный ромб).

В математике, infimum (сокращенно inf ; множественное число infima ) из подмножества S из частично упорядоченного набора T - это наибольший элемент в T, который меньше или равны всем элементам S, если такой элемент существует. Следовательно, термин наибольшая нижняя граница (сокращенно GLB) также широко используется.

supremum (сокращенно sup ; множественное число suprema ) подмножества S частично упорядоченного множества T является наименьшим элементом в T, который больше или равен всем элементам S, если такой элемент существует. Следовательно, верхняя грань также называется наименьшей верхней границей (или LUB).

Нижняя грань в точном смысле двойственна концепции супремума. Инфима и верхняя граница действительных чисел являются частными частными случаями, которые важны в анализе и особенно в интеграции Лебега. Однако общие определения остаются в силе в более абстрактном контексте теории порядка, где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.

Понятия инфимума и супремума аналогичны минимум и максимум, но более полезны при анализе, поскольку они лучше характеризуют специальные наборы, которые могут не иметь минимума или максимума.. Например, положительные действительные числа ℝ (не включая 0) не имеют минимума, потому что любой заданный элемент ℝ можно просто разделить пополам, что приведет к меньшему числу, которое все еще находится в ℝ. Однако существует ровно одна нижняя грань положительных действительных чисел: 0, которая меньше всех положительных действительных чисел и больше любого другого действительного числа, которое может использоваться в качестве нижней границы.

Содержание

1 Формальное определение
2 Существование и уникальность
3 Отношение к максимальным и минимальным элементам
- 3.1 Минимальные верхние границы
- 3.2 Свойство наименьшей верхней границы
4 Infima и верхняя граница действительных чисел
- 4.1 Свойства
5 Двойственность
6 Примеры
- 6.1 Infima
- 6.2 Верхняя часть
7 См. также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Формальные определение

supremum = наименьшая верхняя граница

Нижняя граница подмножества S частично упорядоченного множества (P, ≤) - это элемент a из P такой, что

a ≤ x для всех x в S.

Нижняя граница a для S называется точной нижней гранью (или точной нижней границей, или встречей) для S, если

для всех нижних границ y для S в P, y ≤ a (a больше или равно любой другой нижняя граница).

Аналогично, верхняя граница подмножества S частично упорядоченного множества (P, ≤) - это элемент b из P такой, что

b ≥ x для всех x в S.

An верхняя граница b для S называется супремумом (или точной верхней границей, или соединением) для S, если

для всех верхних границ z для S в P, z ≥ b (b меньше th любая другая верхняя граница).

Существование и уникальность

Инфима и верхняя граница не обязательно существуют. Существование нижней грани подмножества S из P может потерпеть неудачу, если S вообще не имеет нижней границы или если набор нижних границ не содержит наибольшего элемента. Однако, если нижняя грань или супремум существует, она уникальна.

Следовательно, особенно интересны частично упорядоченные множества, для которых известно, что существует определенная инфима. Например, решетка - это частично упорядоченное множество, в котором все непустые конечные подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу, а полная решетка - это частично упорядоченное множество, в котором все подмножества имеют и супремум, и инфимум. Дополнительную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, которые возникают из таких соображений, можно найти в статье о свойствах полноты.

. Если супремум подмножества S существует, он уникален. Если S содержит наибольший элемент, то этот элемент является супремумом; в противном случае супремум не принадлежит S (или не существует). Точно так же, если нижняя грань существует, она уникальна. Если S содержит наименьший элемент, то этот элемент является точным; в противном случае нижняя грань не принадлежит S (или не существует).

Отношение к максимальному и минимальному элементам

Точная нижняя грань подмножества S частично упорядоченного множества P, при условии, что оно существует, не обязательно принадлежит S. Если да, то это минимальный или наименьший элемент из S. Подобным образом, если верхняя грань S принадлежит S, это максимальный или наибольший элемент из S.

Например, рассмотрим набор отрицательных действительных чисел (исключая ноль). В этом наборе нет наибольшего элемента, поскольку для каждого элемента набора есть другой, более крупный элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа x существует другое отрицательное действительное число $x 2 {\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$ , которое больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, безусловно, является верхней границей этого множества. Следовательно, 0 является наименьшей верхней границей отрицательных вещественных чисел, поэтому супремум равен 0. Это множество имеет супремум, но не имеет наибольшего элемента.

Однако определение максимального и минимального элементов является более общим. В частности, в наборе может быть много максимальных и минимальных элементов, а нижняя и верхняя границы уникальны.

В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, точная нижняя грань и верхняя грань подмножества не обязательно должны быть членами этого подмножества.

Минимальные верхние границы

Наконец, частично упорядоченный набор может иметь много минимальных верхних границ без наименьшей верхней границы. Минимальные верхние границы - это те верхние границы, для которых не существует строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше всех других верхних оценок, это просто не больше. Различие между «минимальным» и «минимальным» возможно только тогда, когда данный заказ не является общим. В полностью упорядоченном наборе, как и в реальных числах, концепции те же.

В качестве примера пусть S - множество всех конечных подмножеств натуральных чисел, и рассмотрим частично упорядоченное множество, полученное путем взятия всех множеств из S вместе с множеством целых чисел ℤ и набор положительных действительных чисел ℝ, упорядоченный по включению подмножества, как указано выше. Тогда ясно, что и ℤ, и ℝ больше всех конечных множеств натуральных чисел. Тем не менее, ни не меньше, ни обратное: оба набора являются минимальными верхними границами, но ни одно из них не является супремумом.

Свойство наименьшей верхней границы

Свойство наименьшей верхней границы является примером вышеупомянутых свойств полноты, которые типичны для набора действительных чисел. Это свойство иногда называют дедекиндовской полнотой.

Если упорядоченное множество S имеет свойство, заключающееся в том, что каждое непустое подмножество S, имеющее верхнюю границу, также имеет наименьшую верхнюю границу, то говорят, что S имеет свойство наименьшей верхней границы. Как отмечалось выше, множество ℝ всех действительных чисел имеет свойство наименьшей верхней границы. Аналогично, множество integ целых чисел обладает свойством наименьшей верхней границы; если S - непустое подмножество ℤ и существует некоторое число n такое, что каждый элемент s из S меньше или равен n, то существует точная верхняя граница u для S, целое число, которое является верхней границей для S и меньше или равно любой другой верхней границе для S. Хорошо упорядоченный набор также имеет свойство наименьшей верхней границы, а пустое подмножество также имеет наименьшую верхнюю границу: минимум всего задавать.

Примером набора, в котором отсутствует свойство наименьшей верхней границы, является ℚ, набор рациональных чисел. Пусть S - множество всех рациональных чисел q таких, что q < 2. Then S has an upper bound (1000, for example, or 6) but no least upper bound in ℚ: If we suppose p ∈ ℚ is the least upper bound, a contradiction is immediately deduced because between any two reals x and y (including √2 и p) существует некоторое рациональное p ′, которое само должно быть наименьшей верхней границей (если p>√2) или член S больше, чем p (если p < √2). Another example is the hyperreals ; не существует наименьшей верхней границы множества положительных бесконечно малых.

Имеется соответствующее «свойство наибольшей-нижней границы»; упорядоченный набор обладает свойством наибольшей нижней границы тогда и только тогда, когда он также обладает свойством наименьшей верхней границы; наименьшая верхняя граница набора нижних границ набора является наибольшей нижней границей, а Наибольшая нижняя граница набора верхних границ набора - наименьшая верхняя граница набора.

Если в частично упорядоченном множестве P каждое ограниченное подмножество имеет верхнюю грань, это также применимо для любой набор X в функциональном пространстве, содержащем все функции от X до P, где f ≤ g тогда и только тогда, когда f (x) ≤ g (x) для всех x в X. Например, это применимо для реальных функций, и, поскольку их можно рассматривать как частные случаи функции ion, для действительных наборов n и последовательностей действительных чисел.

Свойство наименьшей верхней границы является индикатором супремы.

Инфима и верхняя граница действительных чисел

В анализе особенно важны нижняя и верхняя границы подмножеств S действительных чисел. Например, отрицательные действительные числа не имеют наибольшего элемента, а их верхняя грань равна 0 (что не является отрицательным действительным числом). Полнота действительных чисел означает (и эквивалентна), что любое ограниченное непустое подмножество S действительных чисел имеет точную нижнюю грань и верхнюю грань. Если S не ограничена снизу, часто формально пишут inf (S) = −∞. Если S пусто, пишется inf (S) = + ∞.

Свойства

Следующие формулы зависят от записи, которая удобно обобщает арифметические операции на множествах: Пусть множества A, B и скаляр λ ∈ ℝ. Определим

λ · A = {λ · a: a ∈ A}; скалярное произведение набора - это просто скаляр, умноженный на каждый элемент в наборе.
A + B = {a + b: a ∈ A, b ∈ B}; арифметическая сумма двух наборов - это сумма всех возможных пар чисел, по одной из каждого набора.
A · B = {a · b: a ∈ A, b ∈ B}; арифметическое произведение двух наборов - это все произведения пар элементов, по одному из каждого набора.

В тех случаях, когда существуют нижняя и верхняя границы множеств A и B, выполняются следующие тождества:

p = inf A тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует x ∈ A с x < p + ε, and x ≥ p for every x ∈ A.
p = sup A тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует x ∈ A с x>p - ε, и x ≤ p для любого x ∈ A.
Если A ⊆ B, то inf A ≥ inf B и sup A ≤ sup B.

Если λ ≥ 0, то inf (λ · A) = λ · (inf A) и sup (λ · A) = λ · (sup A).
Если λ ≤ 0, то inf (λ · A) = λ · (sup A) и sup (λ · A) = λ · (inf A).
inf (A + B) = (inf A) + (inf B) и sup (A + B) = (sup A) + (sup B).
Если A, B - непустые множества положительных действительных чисел, то inf (A · B) = (inf A) · (inf B); аналогично для супремы.

Двойственность

Если обозначить через P частично упорядоченное множество P с отношением противоположного порядка, то есть

x ≤ y в P тогда и только тогда, когда x ≥ y в P,

тогда точная нижняя грань подмножества S в P равна верхней грани S в P, и наоборот.

Для подмножеств действительных чисел имеет место другой вид двойственности: inf S = −sup (−S), где −S = {−s | s ∈ S}.

Примеры

Infima

Нижняя грань набора чисел {2, 3, 4} равна 2. Число 1 является нижней границей, но не максимальной нижней границей, и следовательно, не точная нижняя грань.
В более общем случае, если набор имеет наименьший элемент, то наименьший элемент является нижним пределом для набора. В этом случае он также называется минимум набора.
$inf {1, 2, 3,…} = 1. {\ displaystyle \ inf \ {1,2,3, \ ldots \} = 1.}$ ${\ displaystyle \ inf \ {1,2,3, \ ldots \} = 1.}$
$inf {x ∈ R ∣ 0 < x < 1 } = 0. {\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} \mid 0$ ${\ displaystyle \ inf \ {x \ in \ mathbb {R} \ середина 0 <Икс <1 \} = 0.}$
$inf {x ∈ Q ∣ x 3>2} = 2 3. {\ displaystyle \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid x ^ {3}>2 \ right \} = {\ sqrt [{3}] {2}}.}$ $\inf \left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{3}>2 \ right \} = {\ sqrt [{3}] {2}}.$
$inf {(- 1) n + 1 n ∣ n = 1, 2, 3,…} = - 1. {\ displaystyle \ inf \ left \ {( -1) ^ {n} + {\ tfrac {1} {n}} \ mid n = 1,2,3, \ ldots \ right \} = - 1.}$ ${\ displaystyle \ inf \ left \ {(- 1) ^ {n} + {\ tfrac {1} {n}} \ mid n = 1,2,3, \ ldots \ right \} = - 1.}$
Если x n - убывающая последовательность с пределом x, тогда inf x n = x.

Suprema

Верхняя грань набора чисел {1, 2, 3} равна 3. Число 4 равно верхняя граница, но это не наименьшая верхняя граница и, следовательно, не супремум.
$sup {x ∈ R ∣ 0 < x < 1 } = sup { x ∈ R ∣ 0 ≤ x ≤ 1 } = 1. {\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0$ ${\ displaystyle \ sup \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid 0 <x <1 \} = \ sup \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid 0 \ leq x \ leq 1 \} = 1.}$
$sup {(- 1) n - 1 n ∣ n = 1, 2, 3,…} = 1. {\ Displaystyle \ sup \ left \ {(- 1) ^ {n} - {\ tfrac {1} {n}} \ mid n = 1,2,3, \ ldots \ right \ } = 1.}$ ${\ displaystyle \ sup \ left \ {(- 1) ^ {n} - {\ tfrac {1} {n}} \ mid n = 1,2, 3, \ ldots \ right \} = 1.}$
$sup {a + b ∣ a ∈ A, b ∈ B} = sup A + sup B. {\ Displaystyle \ sup \ {a + b \ mid a \ in A, b \ in B \} = \ sup A + \ sup B.}$ ${\ displaystyle \ sup \ {a + b \ mid a \ in A, b \ in B \} = \ sup A + \ sup B.}$
$sup {x ∈ Q ∣ x 2 < 2 } = 2. {\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}={\sqrt {2}}.}$ ${\ displaystyle \ sup \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid x ^ {2} <2 \} = {\ sqrt {2}}.}$

В последнем примере супремум множества рациональные числа являются иррациональными, что означает, что рациональные числа неполны.

Одно из основных свойств супремума:

sup {f (t) + g (t) ∣ t ∈ A} ≤ sup {е (t) ∣ t ∈ A} + sup {g (t) ∣ t ∈ A} {\ displaystyle \ sup \ {f (t) + g (t) \ mid t \ in A \} \ leq \ sup \ {f (t) \ mid t \ in A \} + \ sup \ {g (t) \ mid t \ in A \}}

{\ displaystyle \ sup \ {f (t) + g (t) \ mid t \ in A \} \ Leq \ sup \ {е (t) \ mid t \ in A \} + \ sup \ {g (t) \ mid t \ in A \}}

для любых функционалов f и g.

Верхняя грань подмножества S из (ℕ, |), где | обозначает «делит », является наименьшим общим кратным элементов S.

Верхняя грань подмножества S из (P, ⊆), где P - набор мощности некоторого набора, является супремумом по отношению к set (подмножество) подмножества S из P, является объединением элементов S.

См. Также

Викискладе есть медиафайлы, относящиеся к Infimum и supremum.

Ссылки

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Брайтенбах, Джером Р. и Вайсштейн, Эрик У. "Infimum and supremum". MathWorld. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )