Рациональное число

редактировать

Частное двух целых чисел

Рациональные числа (ℚ) включены в вещественные числа (ℝ), включая целые числа (ℤ), которые, в свою очередь, включают натуральные числа (ℕ)

В математике, рациональное число - это число, которое может быть выражено как частное или дробное p / q двух целых чисел, a числитель p и ненулевой знаменатель q. Поскольку q может быть равно 1, каждое целое число является рациональным числом. набор всех рациональных чисел, часто называемых «рациональными числами », поле рациональных чисел или поле рациональных чисел обычно обозначается жирным шрифтом Q (или полужирным шрифтом $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , Unicode 𝐐 / ℚ); Таким образом, в 1895 году он был обозначен как Джузеппе Пеано после quoziente, что по-итальянски означает «частное ».

десятичное раскрытие рационального числа либо заканчивается после конечного числа цифр, либо начинает повторять то же конечное последовательность цифр снова и снова. Более того, любое повторяющееся или завершающееся десятичное число представляет собой рациональное число. Эти утверждения верны не только для с основанием 10, но и с любым другим целым числом с основанием (например, двоичным, шестнадцатеричным ).

A вещественное число, которое не является рациональным, называется иррациональным. Иррациональные числа включают √2, π, e и φ. десятичное разложение иррационального числа продолжается без повторения. Поскольку набор рациональных чисел счетный, а набор действительных чисел несчетный, почти все действительные числа иррациональны.

Рационально числа могут быть формально определены как классы эквивалентности пар целых чисел (p, q) с q ≠ 0, используя отношение эквивалентности, определенное следующим образом:

(p1, q 1) ~ (p 2, q 2) тогда и только тогда, когда p1q2= p 2q1.

С этим формальным определением дробь p / q становится стандартная нотация для класса эквивалентности (p, q).

Рациональные числа вместе с сложением и умножением образуют поле, которое содержит целые числа, и содержится в любом поле, содержащем целые числа. Другими словами, поле рациональных чисел является простым полем, а поле имеет нулевую характеристику тогда и только тогда, когда оно содержит рациональные числа в качестве подполя. Конечные расширения из Q называются полями алгебраических чисел, а алгебраическое замыкание для Q - это поле алгебраических чисел.

. В математическом анализе рациональные числа образуют плотное подмножество действительных чисел. Действительные числа могут быть построены из рациональных чисел путем завершения, с использованием последовательностей Коши, сокращений Дедекинда или бесконечных десятичных знаков (подробнее см. Построение действительных чисел ).

Содержание

1 Терминология
2 Арифметика
- 2.1 Несократимая дробь
- 2.2 Вложение целых чисел
- 2.3 Равенство
- 2.4 Упорядочивание
- 2.5 Добавление
- 2.6 Вычитание
- 2.7 Умножение
- 2.8 Обратное
- 2.9 Деление
- 2.10 Возведение в степень в целую степень
3 Непрерывное представление дробей
4 Другие представления
5 Формальное построение
6 Свойства
7 Действительные числа и топологические свойства
8 p-адические числа
9 См. также
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Терминология

Термин рациональный по отношению к множеству Q относится к тому факту, что рациональное число представляет собой соотношение двух целых чисел. В математике «рациональное» часто используется как существительное, сокращающее «рациональное число». Прилагательное рациональное иногда означает, что коэффициенты являются рациональными числами. Например, рациональная точка - это точка с рациональными координатами (т. Е. Точка, координаты которой являются рациональными числами); рациональная матрица - это матрица рациональных чисел; рациональный многочлен может быть многочленом с рациональными коэффициентами, хотя термин «многочлен над рациональными числами» обычно предпочтительнее, чтобы избежать путаницы между «рациональным выражением » и «рациональной функцией » ( многочлен является рациональным выражением и определяет рациональную функцию, даже если его коэффициенты не являются рациональными числами). Однако рациональная кривая - это не кривая, определенная над рациональными числами, а кривая, которая может быть параметризована рациональными функциями.

Арифметика

Неприводимая дробь

Каждое рациональное число может быть уникальным образом выражено как несократимая дробь a / b, где a и b - взаимно простые целые числа и b>0. Это часто называют канонической формой рационального числа.

Исходя из рационального числа a / b, его каноническая форма может быть получена путем деления a и b на их наибольший общий делитель, и, если b < 0, changing the sign of the resulting numerator and denominator.

вложение целые числа

Любое целое число n может быть выражено как рациональное число n / 1, которое является его канонической формой как рациональное число.

Равенство

ab = cd {\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}

{\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}

тогда и только тогда, когда

ad = bc. {\ displaystyle ad = bc.}

ad = bc.

Если обе дроби имеют каноническую форму, то:

ab = cd {\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d} }}

{\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}

тогда и только тогда, когда

a = c {\ displaystyle a = c}

a = c

b = d {\ displaystyle b = d}

{\ displaystyle b = d}

Порядок

Если оба знаменателя положительны (особенно если обе дроби имеют каноническую форму):

ab < c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}

{\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}}

тогда и только тогда, когда

ad < b c. {\displaystyle ad

ad <bc.

С другой стороны, если любой из знаменателей отрицательный, тогда каждую дробь с отрицательным знаменателем нужно сначала преобразовать в эквивалентную форму с положительным знаменателем, изменив знаки ее числителя и знаменателя.

Сложение

Две дроби складываются следующим образом:

a b + c d = a d + b c b d. {\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + bc} {bd}}.}

{\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + bc} {bd}}.

Если обе дроби имеют каноническую форму, результат имеет каноническую форму тогда и только тогда, когда b и d являются взаимно простыми целыми числами.

Вычитание

ab - cd = ad - bcbd. {\ displaystyle {\ frac {a} {b}} - {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad-bc} {bd}}.}

{\ frac {a} {b}} - {\ frac { c} {d}} = {\ frac {ad-bc} {bd}}.

Если обе дроби имеют каноническую форму, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда b и d являются взаимно простыми целыми числами.

Умножение

Правило умножения:

ab ⋅ cd = acbd. {\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}.}

{\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}.

где результатом может быть приводимая дробь - даже если обе исходные дроби имеют каноническую форму,.

Обратное

Каждое рациональное число a / b имеет аддитивное обратное, часто называемое его противоположностью,

- (a b) = - a b. {\ displaystyle - \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = {\ frac {-a} {b}}.}

{\ displaystyle - \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = {\ frac {-a} {b}}. }

Если a / b находится в канонической форме, то же самое верно для его противоположности.

Ненулевое рациональное число a / b имеет мультипликативное обратное, также называемое обратным,

(a b) - 1 = b a. {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {- 1} = {\ frac {b} {a}}.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {- 1} = { \ frac {b} {a}}.}

Если a / b имеет каноническую форму, то каноническая форма его обратного значения: $b / a {\ displaystyle b / a}$ $b / a$ или $- b / - a {\ displaystyle -b / - \! a}$ ${\ displaystyle -b / - \! A}$ , в зависимости от знака а.

Деление

Если b, c и d не равны нулю, правило деления:

a b c d = a d b c. {\ displaystyle {\ frac {\ frac {a} {b}} {\ frac {c} {d}}} = {\ frac {ad} {bc}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ frac {a} {b}} {\ frac {c} {d}}} = {\ frac {ad} {bc}}.}

Таким образом, разделив a / b на c / d эквивалентно умножению a / b на обратную величину от c / d:

adbc = ab ⋅ dc. {\ displaystyle {\ frac {ad} {bc}} = {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {d} {c}}.}

{\ displaystyle {\ frac {ad} {bc}} = {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {d} {c}}.}

Возведение в степень в целой степени

Если n - неотрицательное целое число, то

(ab) n = anbn. {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {n} = {\ frac {a ^ {n}} {b ^ {n}}}.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {n} = {\ frac {a ^ {n}} {b ^ {n }}}.}

Результат в канонической форме, если то же самое верно для a / b. В частности,

(ab) 0 = 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {0} = 1.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {0} = 1.}

Если a ≠ 0, то

(ab) - n = bnan. {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {- n} = {\ frac {b ^ {n}} {a ^ {n}}}.}

\ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {- n} = { \ frac {b ^ {n}} {a ^ {n}}}.

Если a / b имеет каноническую форму, каноническая форма результата - $bnan {\ displaystyle {\ frac {b ^ {n}} {a ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b ^ {n}} {a ^ {n}}}}$ , если a>0 или n четное. В противном случае каноническая форма результата будет $- b n - a n. {\ displaystyle {\ frac {-b ^ {n}} {- a ^ {n}}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {-b ^ {n}} {- a ^ {n}}}.}$

Представление непрерывной дроби

A конечной непрерывной дроби - это такое выражение, как

a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 ⋱ + 1 an, {\ displaystyle a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac) {1} {\ ddots + {\ cfrac {1} {a_ {n}}}}}}}}},}

a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ { 2} + {\ cfrac {1} {\ ddots + {\ cfrac {1} {a_ {n}}}}}}}}},

где n - целые числа. Каждое рациональное число a / b может быть представлено в виде конечной цепной дроби, коэффициенты anкоторой можно определить, применяя алгоритм Евклида к (a, b).

Другие представления

обыкновенная дробь : $8 3 {\ displaystyle {\ frac {8} {3}}}$ ${\ frac {8} {3}}$
смешанное число : $2 2 3 {\ displaystyle 2 {\ tfrac {2} {3}}}$ $2 \ tfrac {2} {3}$
повторение десятичной дроби с использованием vinculum : $2. 6 ¯ {\ displaystyle 2. {\ Overline {6}}}$ $2. {\ overline {6}}$
повторение десятичной дроби с использованием скобок : $2. (6) {\ displaystyle 2. (6)}$ $2. (6)$
Непрерывная дробь с использованием традиционной типографии: $2 + 1 1 + 1 2 {\ displaystyle 2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2}}}}}$ $2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2} }}}$
непрерывная дробь в сокращенном виде: [2; 1, 2]
египетская дробь : $2 + 1 2 + 1 6 {\ displaystyle 2 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}}}$ ${\ displaystyle 2 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}}}$
разложение по простой степени : $2 3 × 3-1 {\ displaystyle 2 ^ {3} \ times 3 ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {3} \ times 3 ^ {- 1}}$
кавычка : 3! 6

- это разные способы представления одного и того же рационального значения.

Формальная конструкция

Схема, показывающая представление эквивалентных классов пар целых чисел

Рациональные числа могут быть построены как классы эквивалентности из упорядоченных пар из целых чисел.

Точнее, пусть (Z × (Z \ {0})) будет набором пар (m, n) целых чисел, таких n ≠ 0. Отношение эквивалентности определяется на этом наборе с помощью

(m1, n 1) ~ (m 2, n 2) тогда и только тогда, когда m 1n2= m 2n1.

Сложение и умножение можно определить по следующим правилам:

(m 1, n 1) + (m 2, n 2) ≡ (m 1 n 2 + N 1 м 2, N 1 N 2), {\ Displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right) + \ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ Equiv \ left (m_ {1} n_ {2} + n_ {1} m_ {2}, n_ {1} n_ {2} \ right),}

{\ displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right) + \ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ Equiv \ left (m_ {1} n_ {2} + n_ {1} m_ {2}, n_ {1} n_ {2} \ right),}

(m 1, n 1) × (m 2, n 2) ≡ (м 1 м 2, n 1 n 2). {\ displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right) \ times \ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ эквив \ left (m_ {1} m_ {2}, n_ {1} n_ {2} \ right).}

{ \ Displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right) \ times \ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ Equiv \ left (m_ {1} m_ {2}, n_ { 1} n_ {2} \ right).}

Это отношение эквивалентности является отношением конгруэнтности, что означает, что оно совместимо с определенными выше сложением и умножением; набор рациональных чисел Q определяется как фактормножество этим отношением эквивалентности, (Z × (Z \ {0 })) / ~, снабженный сложением и умножением, индуцированным указанными выше операциями. (Это построение может быть выполнено с любой областью целостности и дает его поле дробей.)

Класс эквивалентности пары (m, n) обозначается $мин. {\ displaystyle {\ frac {m} {n}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {m} {n}}.}$ Две пары (m 1, n 1) и (m 2, n 2) принадлежат к одному и тому же классу эквивалентности (то есть эквивалентны) тогда и только тогда, когда $m 1 n 2 = m 2 n 1. {\ displaystyle m_ {1} n_ {2} = m_ {2} n_ {1}.}$ ${\ displaystyle m_ {1} n_ {2} = m_ {2} n_ {1}.}$ это означает, что $m 1 n 1 = m 2 n 2 {\ displaystyle {\ frac { m_ {1}} {n_ {1}}} = {\ frac {m_ {2}} {n_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {m_ {1}} {n_ {1}}} = {\ frac {m_ {2}} {n_ {2}}}}$ тогда и только тогда, когда $m 1 n 2 = m 2 n 1. {\ displaystyle m_ {1} n_ {2} = m_ {2} n_ {1}.}$ ${\ displaystyle m_ {1} n_ {2} = m_ {2} n_ {1}.}$

Каждый класс эквивалентности $mn {\ displaystyle {\ frac {m} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {m} {n}}}$ может быть представлено бесконечным количеством пар, так как

⋯ = - 2 m - 2 n = - m - n = mn = 2 m 2 n = ⋯. {\ displaystyle \ cdots = {\ frac {-2m} {- 2n}} = {\ frac {-m} {- n}} = {\ frac {m} {n}} = {\ frac {2m} { 2n}} = \ cdots.}

{\ displaystyle \ cdots = {\ frac { -2m} {- 2n}} = {\ frac {-m} {- n}} = {\ frac {m} {n}} = {\ frac {2m} {2n}} = \ cdots.}

Каждый класс эквивалентности содержит уникальный канонический репрезентативный элемент. Канонический представитель - это единственная пара (m, n) в классе эквивалентности, такая что m и n взаимно просты и n>0. Это называется представлением в младших терминах рационального числа.

Целые числа можно рассматривать как рациональные числа, идентифицирующие целое число n с рациональным числом $n 1. {\ displaystyle {\ frac {n} {1}}.}$ ${\ displaystyle { \ frac {n} {1}}.}$

A общий порядок может быть определен на рациональных числах, что расширяет естественный порядок целых чисел. Один имеет $m 1 n 1 ≤ m 2 n 2 {\ displaystyle {\ frac {m_ {1}} {n_ {1}}} \ leq {\ frac {m_ {2}} {n_ {2}} }}$ ${\ displaystyle {\ frac {m_ {1}} {n_ {1}}} \ leq {\ frac {m_ {2}} {n_ { 2}}}}$ , если

(m 1 n 2 ≤ n 1 m 2, если n 1 n 2>0) или (m 1 n 2 ≥ n 1 m 2, если n 1 n 2 < 0). {\displaystyle (m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2}\quad {\text{if}}\quad n_{1}n_{2}>0) \ quad {\ text {или}} \ quad (m_ {1} n_ {2} \ geq n_ {1} m_ {2} \ quad {\ text {if}} \ quad n_ {1} n_ {2} <0).}

(m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2}\quad {\text{if}}\quad n_{1}n_{2}>0) \ quad {\ text {или}} \ quad (m_ {1} n_ {2} \ geq n_ {1} m_ {2} \ quad {\ text {if}} \ quad n_ {1} n_ {2} <0).

Свойства

Диаграмма, иллюстрирующая счетность положительных рациональных чисел

Множество Q всех рациональных чисел вместе с операциями сложения и умножения, показанными выше, образует поле.

Qне имеет полевого автоморфизма, кроме идентичности.

В порядке, определенном выше, Q является упорядоченным полем, который не имеет другого подполя, кроме самого себя, и является наименьшим упорядоченным полем в том смысле, что каждое упорядоченное поле содержит уникальное подполе , изоморфное и Q.

Q, является простым полем, которое является полем, у которого нет другого подполя, кроме самого себя. Рациональные числа наименьшее поле с характеристикой ноль. Каждое поле нулевой характеристики содержит уникальное подполе, изоморфное Q.

Q- это поле дробей из целых чисел Z. алгебраическое замыкание элемента Q, то есть поле корней рациональных многочленов, является полем алгебраических чисел.

Набор всех рациональных чисел счетно, а множество всех действительных чисел (а также множество иррациональных чисел) неисчислимо. Поскольку множество рациональных чисел является счетным, это нулевое множество, то есть почти все действительные числа иррациональны в смысле меры Лебега.

Рациональные числа плотно упорядоченный набор : между любыми двумя рациональными числами находится еще один, а значит, бесконечно много других. Например, для любых двух дробей, таких как

ab < c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}

{\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}}

(где $b, d {\ displaystyle b, d}$ $b, d$ положительны), мы имеем

ab < a + c b + d < c d. {\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.}

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {a + c} {b + d}} <{\ frac {c} {d}}.}

Любое полностью упорядоченное множество, которое является счетным, плотным (в указанном выше смысле) и не имеет наименьшего или наибольшего элемента, является порядком, изоморфным рациональным числам.

Действительные числа и топологические свойства

Рациональные числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел: каждое действительное число имеет рациональные числа, произвольно близкие к нему. Связанное с этим свойство состоит в том, что рациональные числа являются единственными числами с конечными разложениями в виде регулярных цепных дробей.

В силу своего порядка рациональные числа имеют топологию порядка . Рациональные числа как подпространство действительных чисел также несут топологию подпространства . Рациональные числа образуют метрическое пространство за счет использования абсолютной разности метрики d (x, y) = | x - y |, и это дает третью топологию на Q . Все три топологии совпадают и превращают рациональные числа в топологическое поле. Рациональные числа - важный пример пространства, которое не локально компактно. Рациональные элементы топологически характеризуются как уникальное счетное метризуемое пространство без изолированных точек. Пространство также полностью отключено. Рациональные числа не образуют полного метрического пространства ; действительные числа являются завершением Q при метрике d (x, y) = | x - y |, описанной выше.

p-адические числа

В дополнение к метрике абсолютного значения, упомянутой выше, существуют другие метрики, которые превращают Q в топологическое поле:

Пусть p будет простым числом, и для любого ненулевого целого числа a пусть | a | p = p, где p - наибольшая степень p деления а.

Дополнительно установить | 0 | p = 0. Для любого рационального числа a / b мы устанавливаем | a / b | p = | a | p / | b | p.

Тогда d p (x, y) = | x - y | p определяет метрику на Q.

Метрическое пространство (Q,dp) не является полным, и его завершением является поле p-адического числа Qp. Теорема Островского утверждает, что любое нетривиальное абсолютное значение на рациональные числа Q эквивалентны либо обычному действительному абсолютному значению, либо p-адическому абсолютному значению.

См. Также

Ссылки

^ Розен, Кеннет. Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
^«Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Проверено 11 августа 2020 г.
^Роуз, Маргарет. «Математические символы». Проверено 1 апреля 2015 г.
^«Рациональное число». Британская энциклопедия. Проверено 11 августа 2020 г.
^Вайсштейн, Эрик У. «Рациональное число». mathworld.wolfram.com. Проверено 11 августа 2020 г.
^Гилберт, Джимми; Линда, Гилберт (2005). Элементы современной алгебры (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс / Коул. С. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
^Сугаккай, Нихон (1993). Математический энциклопедический словарь, том 1. Лондон, Англия: MIT Press. п. 578. ISBN 0-2625-9020-4.
^Бурбаки, Н. (2003). Алгебра II: главы 4 - 7. Springer Science Business Media. п. A.VII.5.

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Рациональными числами.