Упорядоченная пара

В математике упорядоченная пара (a, b) представляет собой пару объекты. Порядок, в котором объекты появляются в паре, имеет значение: упорядоченная пара (a, b) отличается от упорядоченной пары (b, a), если a = b. (Напротив, неупорядоченная пара {a, b} равна неупорядоченной паре {b, a}.)

Упорядоченные пары также называются кортежами из двух частей, или последовательности (иногда списки в контексте информатики) длины 2. Упорядоченные пары скаляров иногда называют двумерными векторами. (Технически это злоупотребление нотацией, поскольку упорядоченная пара не обязательно должна быть элементом векторного пространства.) Записи упорядоченной пары могут быть другими упорядоченными парами, что позволяет рекурсивное определение порядка n-кортежи (упорядоченные списки n объектов). Например, упорядоченная тройка (a, b, c) может быть определена как (a, (b, c)), то есть как одна пара, вложенная в другую.

В упорядоченной паре (a, b) объект a называется первой записью, а объект b - второй записью пары. В качестве альтернативы объекты называются первым и вторым компонентами, первой и второй координатами или левой и правой проекциями упорядоченной пары.

Декартовы произведения и бинарные отношения (и, следовательно, функции ) определены в терминах упорядоченных пар.

• 1 Общие положения
• 2 Неформальные и формальные определения
• 3 Определение упорядоченной пары с помощью теории множеств
  • 3.1 Определение Винера
  • 3.2 Определение Хаусдорфа
  • 3.3 Определение Куратовски
    • 3.3.1 Варианты
    • 3.3.2 Доказательство того, что определения удовлетворяют характеристическому свойству
  • 3.4 Определение Куайна – Россера
  • 3.5 Определение Кантора – Фреге
  • 3.6 Определение Морса
• 4 Теория категорий
• 5 Ссылки

Пусть $(a\; 1,\; b\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},\; b\_\; \{1\})\}$и $(a\; 2,\; b\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{2\},\; b\_\; \{2\})\}$быть упорядоченными парами. Тогда характеристическое (или определяющее) свойство упорядоченной пары:

$(a\; 1,\; b\; 1)\; =\; (a\; 2,\; b\; 2)\; тогда\; и\; только\; тогда,\; когда\; a\; 1\; =\; a\; 2\; и\; b\; 1\; =\; b\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},\; b\_\; \{1\})\; =\; (a\_\; \{2\},\; b\_\; \{2\})\; \{\backslash \; text\; \{тогда\; и\; только\; тогда,\; когда\}\}\; a\_\; \{1\}\; =\; a\_\; \{2\}\; \{\backslash \; text\; \{и\; \}\}\; b\_\; \{1\}\; =\; b\_\; \{2\}.\}$

Набор всех упорядоченных пар, первая запись которых находится в некотором наборе A, а вторая запись находится в некотором наборе B, называется Декартово произведение A и B, записанное A × B. Бинарное отношение между наборами A и B является подмножеством из A × B.

Обозначение (a, b) может использоваться для других целей, в первую очередь для обозначения открытых интервалов в строке действительных чисел. В таких ситуациях контекст обычно дает понять, какое значение имеется в виду. Для дополнительного пояснения упорядоченная пара может быть обозначена обозначением варианта $⟨a,\; b⟩\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; langle\; a,\; b\; \backslash \; rangle\}$, но это обозначение имеет и другие применения.

Левая и правая проекции пары p обычно обозначают π 1 (p) и π 2 (p) или π ℓ (p) и π r (p), соответственно. В контекстах, где рассматриваются произвольные n-кортежи, π. i(t) является общепринятым обозначением i-го компонента n-кортежа t.

В некоторых вводных учебниках математики дается неформальное (или интуитивное) определение упорядоченной пары, например

Для любых двух объектов a и b упорядоченная пара (a, b) - обозначение, определяющее два объекта a и b в указанном порядке.

Обычно за этим следует сравнение с набором из двух элементов; указывая на то, что в наборе a и b должны быть разными, но в упорядоченной паре они могут быть равными и что, хотя порядок перечисления элементов набора не имеет значения, в упорядоченной паре изменяется порядок отдельных записей. заказанная пара.

Это «определение» неудовлетворительно, потому что оно носит только описательный характер и основано на интуитивном понимании порядка. Однако, как иногда указывается, использование этого описания не принесет никакого вреда, и почти каждый думает об упорядоченных парах таким образом.

Более удовлетворительный подход состоит в том, чтобы заметить, что характерное свойство упорядоченных пар, приведенное выше это все, что требуется для понимания роли упорядоченных пар в математике. Следовательно, упорядоченную пару можно рассматривать как примитивное понятие , связанная аксиома которого является характеристическим свойством. Таков был подход Н. Группа Бурбаки в своей Теории множеств, опубликованной в 1954 году. Однако этот подход также имеет свои недостатки, так как существование упорядоченных пар и их характерное свойство должны приниматься аксиоматически.

Другой способ строго разобраться с упорядоченными парами - это определить их формально в контексте теории множеств. Это можно сделать несколькими способами, и то преимущество, что существование и характеристическое свойство может быть доказано с помощью аксиом, определяющих теорию множеств. Одна из наиболее цитируемых версий этого определения принадлежит Куратовски (см. Ниже), и его определение было использовано во втором издании Теории множеств Бурбаки, опубликованной в 1970 году. Даже те математические учебники, которые дают неформальное определение упорядоченных пар, часто упомяните формальное определение Куратовского в упражнении.

Если кто-то согласен с тем, что теория множеств является привлекательной основой математики, тогда все математические объекты должны быть определенный как устанавливает какой-либо тип. Следовательно, если упорядоченная пара не считается примитивной, она должна быть определена как набор. Ниже приводится несколько теоретико-множественных определений упорядоченной пары.

Определение Винера

Норберт Винер предложил первое теоретическое определение множеств упорядоченной пары в 1914 году:

$(a,\; b):\; =\; \{\{\{a\},\; \varnothing \},\; \{\{\; б\}\}\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (a,\; b\; \backslash \; right):\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; \backslash \; \{a\; \backslash \; right\; \backslash \},\; \backslash ,\; \backslash \; emptyset\; \backslash \; right\; \backslash \},\; \backslash ,\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; \backslash \; \{b\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Он заметил, что это определение позволяет определять типы из Principia Mathematica как наборы. Principia Mathematica взяла типы и, следовательно, отношения всех арностей, поскольку примитив.

Винер использовал {{b}} вместо {b}, чтобы сделать определение совместимым с теорией типов . где все элементы в классе должны быть одного «типа». Если b вложен в дополнительный набор, его тип равен $\{\{a\},\; \varnothing \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; \{a\; \backslash \},\; \backslash \; emptyset\; \backslash \}\}$.

Определение Хаусдорфа

Примерно в то же время, что и Винер (1914), Феликс Хаусдорф предложил свое определение:

$(a,\; b):\; =\; \{\{a,\; 1\},\; \{b,\; 2\}\}\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b):\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; \{a,\; 1\; \backslash \},\; \backslash \; \{b,\; 2\; \backslash \}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

", где 1 и 2 - это два разных объекта, отличных от a и b ».

Определение Куратовского

В 1921 году Казимеж Куратовский предложил теперь принятое определение упорядоченной пары (a, b):

$(a,\; b)\; K:\; =\; \{\{a\},\; \{a,\; b\}\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; \backslash \; b)\; \_\; \{K\}\; \backslash ;:\; =\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; \{a\; \backslash \},\; \backslash \; \backslash \; \{a,\; \backslash \; b\; \backslash \}\; \backslash \}.\}$

Обратите внимание, что это определение используется, даже если первая и вторая координаты идентичны:

$(x,\; x)\; K\; =\; \{\{x\},\; \{x,\; x\}\}\; =\; \{\{x\},\; \{x\}\}\; =\; \{\{x\}\}\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; x,\; \backslash \; x)\; \_\; \{K\}\; =\; \backslash \; \{\backslash \; \{x\; \backslash \},\; \backslash \; \{x,\; \backslash \; x\; \backslash \}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{\backslash \; \{x\; \backslash \},\; \backslash \; \backslash \; \{x\; \backslash \}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{\backslash \; \{\; x\; \backslash \}\; \backslash \}\}$

Для некоторой упорядоченной пары p свойство «x является первой координатой p» можно сформулировать как:

$\forall \; Y\; \in \; p:\; x\; \in \; Y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; Y\; \backslash \; in\; p:\; x\; \backslash \; in\; Y.\}$

Свойство «x - вторая координата p» можно сформулировать как:

$(\exists \; Y\; \in \; p:\; x\; \in \; Y)\; \wedge \; (\; \forall \; Y\; 1,\; Y\; 2\; \in \; p:\; Y\; 1\; \ne \; Y\; 2\; \to \; (x\; \notin \; Y\; 1\; \vee \; x\; \notin \; Y\; 2)).\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; существует\; Y\; \backslash \; in\; p:\; x\; \backslash \; in\; Y)\; \backslash \; land\; (\backslash \; forall\; Y\_\; \{1\},\; Y\_\; \{2\}\; \backslash \; in\; p:\; Y\_\; \{1\}\; \backslash \; neq\; Y\_\; \{2\}\; \backslash \; rightarrow\; (x\; \backslash \; notin\; Y\_\; \{1\}\; \backslash \; lor\; x\; \backslash \; notin\; Y\_\; \{2\})).\}$

В случае, если левая и правая координаты идентичны, правое соединяется $(\forall \; Y\; 1,\; Y\; 2\; \in \; п:\; Y\; 1\; \ne \; Y\; 2\; \to \; (Икс\; \notin \; Y\; 1\; \vee \; Икс\; \notin \; Y\; 2))\; \{\backslash \; Displaystyle\; (\backslash \; forall\; Y\_\; \{1\},\; Y\_\; \{2\}\; \backslash \; in\; p:\; Y\_\; \{1\}\; \backslash \; neq\; Y\_\; \{2)\; \}\; \backslash \; rightarrow\; (x\; \backslash \; notin\; Y\_\; \{1\}\; \backslash \; lor\; x\; \backslash \; notin\; Y\_\; \{2\}))\}$тривиально верно, поскольку Y 1 ≠ Y 2 Никогда не бывает.

Вот как мы можем извлечь первую координату пары (используя обозначение для произвольного пересечения и произвольного объединения ):

$\pi \; 1\; (p)\; =\; \bigcup \; \bigcap \; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (p)\; =\; \backslash \; bigcup\; \backslash \; bigcap\; p.\}$

Вот как можно извлечь вторую координату:

$\pi \; 2\; (p)\; =\; \bigcup \; \{x\; \in \; \bigcup \; p\; |\; \bigcup \; p\; \ne \; \bigcap \; p\; \to \; x\; \notin \; \bigcap \; p\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\}\; (p)\; =\; \backslash \; bigcup\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.x\; \backslash \; in\; \backslash \; bigcup\; p\; \backslash ,\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,\; \backslash \; bigcup\; p\; \backslash \; neq\; \backslash \; bigcap\; p\; \backslash \; rightarrow\; x\; \backslash \; notin\; \backslash \; bigcap\; p\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Варианты

Приведенное выше определение Куратовского упорядоченной пары «адекватно» в том смысле, что оно удовлетворяет характеристическому свойству, которому должна удовлетворять упорядоченная пара, а именно тому, что $(a,\; б)\; знак\; равно\; (Икс,\; Y)\; \leftrightarrow \; (А\; =\; Икс)\; \wedge \; (В\; =\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (а,\; б)\; =\; (х,\; у)\; \backslash \; leftrightarrow\; (а\; =\; х)\; \backslash \; земля\; (б\; =\; у)\}$. В частности, он адекватно выражает «порядок» в том смысле, что $(a,\; b)\; =\; (b,\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; =\; (b,\; a)\}$ложно, если $b\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; a\}$. Существуют и другие определения аналогичной или меньшей сложности, которые одинаково адекватны:

• $(a,\; b)\; reverse:\; =\; \{\{b\},\; \{a,\; b\}\};\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; \_\; \{\backslash \; text\; \{reverse\}\}:\; =\; \backslash \; \{\backslash \; \{b\; \backslash \},\; \backslash \; \{a,\; b\; \backslash \}\; \backslash \};\}$
• $(a,\; b)\; короткое:\; =\; \{a,\; \{a,\; b\}\};\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; \_\; \{\backslash \; text\; \{short\}\}:\; =\; \backslash \; \{a,\; \backslash \; \{a,\; b\; \backslash \}\; \backslash \};\}$
• $(a,\; b)\; 01:\; =\; \{\{0,\; a\},\; \{1,\; b\}\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; \_\; \{\backslash \; text\; \{01\}\}:\; =\; \backslash \; \{\backslash \; \{0,\; a\; \backslash \},\; \backslash \; \{1,\; b\; \backslash \}\; \backslash \}.\}$

Обратный Определение - всего лишь тривиальный вариант определения Куратовского и как таковое не представляет самостоятельного интереса. Определение short называется так, потому что для него требуется две, а не три пары скобок . Для доказательства того, что short удовлетворяет характеристическому свойству, требуется теория множеств Цермело – Френкеля аксиома регулярности. Более того, если использовать теоретико-множественную конструкцию фон Неймана натуральных чисел, то 2 определяется как множество {0, 1} = {0, {0}}, которое неотличимо от пары ( 0, 0) короткий. Еще одним недостатком пары short является тот факт, что даже если a и b одного типа, элементы пары short не являются. (Однако, если a = b, тогда версия short по-прежнему будет иметь мощность 2, чего можно было бы ожидать от любой «пары», включая любую «упорядоченную пару». Также обратите внимание, что short используется в теории множеств Тарского – Гротендика, на которой основана система Мицара.)

Доказательство того, что определения удовлетворяют характеристическому свойству

Докажите: (a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d.

Куратовский :. Если. Если a = c и b = d, то {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Таким образом (a, b) K = (c, d) K.

Только если. Два случая: a = b и a ≠ b.

Если a = b:

(a, b) K = {{a}, {a, b}} = {{a}, {a, a}} = {{a}}.

(c, d) K = {{c}, {c, d}} = {{a}}.

Таким образом, {c} = {c, d} = {a}, откуда a = c и a = d. По условию a = b. Следовательно, b = d.

Если a ≠ b, то (a, b) K = (c, d) K влечет {{a}, {a, b} } = {{c}, {c, d}}.

Предположим, {c, d} = {a}. Тогда c = d = a, и поэтому {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, a}} = {{a}, {a}} = {{a}}. Но тогда {{a}, {a, b}} также будут равны {{a}}, так что b = a, что противоречит a ≠ b.

Предположим, {c} = {a, b}. Тогда a = b = c, что также противоречит a ≠ b.

Следовательно, {c} = {a}, так что c = a и {c, d} = {a, b}.

Если d = a были истинными, то {c, d} = {a, a} = {a} ≠ {a, b}; противоречие. Таким образом, d = b, так что a = c и b = d.

Reverse :. (a, b) reverse = {{b}, {a, b}} = {{b}, {b, a}} = (b, a) K.

Если. Если (a, b) обратный = (c, d) обратный, (b, a) K = (d, c) K. Следовательно, b = d и a = c.

Только если. Если a = c и b = d, то {{b}, {a, b}} = {{d}, {c, d}}. Таким образом (a, b) reverse = (c, d) reverse.

Краткое:

Если: Если a = c и b = d, то {a, {a, b }} = {c, {c, d}}. Таким образом (a, b) short = (c, d) short.

Только если: Предположим, {a, {a, b}} = {c, {c, d}}. Тогда a находится в левой части, а значит, в правой части. Поскольку равные множества имеют одинаковые элементы, должно быть одно из значений a = c или a = {c, d}.

Если a = {c, d}, то по тем же соображениям, что и выше, {a, b} находится в правой части, поэтому {a, b} = c или {a, b} = {c, d }.

Если {a, b} = c, тогда c находится в {c, d} = a и a находится в c, и эта комбинация противоречит аксиоме регулярности, поскольку {a, c} не имеет минимального элемента в отношении "element of."

Если {a, b} = {c, d}, то a является элементом a, из a = {c, d} = {a, b}, снова противоречит регулярности.

Следовательно, должно выполняться a = c.

Опять же, мы видим, что {a, b} = c или {a, b} = {c, d}.

Вариант {a, b} = c и a = c подразумевает, что c является элементом c, что противоречит регулярности.

Итак, мы имеем a = c и {a, b} = {c, d}, и поэтому: {b} = {a, b} \ {a} = {c, d} \ {c} = {d}, поэтому b = d.

Определение Куайна – Россера

Россер (1953) использовал определение упорядоченной пары из-за Куайна, которое требует предварительного определения натуральных чисел. Пусть $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$будет набором натуральных чисел и определит первое

$\sigma \; (x):\; =\; \{x,\; если\; x\; \notin \; N,\; x\; +\; 1,\; если\; x\; \in \; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (x):\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; x,\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; x\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\},\; \backslash \backslash \; x\; +\; 1,\; \{\backslash \; text\; \{if\}\; \}\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}.\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Функция $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$увеличивает свой аргумент, если это натуральное число, и оставляет его как иначе; число 0 не отображается как функциональное значение $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$. Поскольку $x\; \setminus \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; smallsetminus\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$- это набор элементов $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$не в $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$продолжить с

$\phi \; (x):\; =\; \sigma \; [x]\; =\; \{\sigma \; (\alpha )\; \mid \; \alpha \; \in \; x\}\; =\; (x\; \setminus \; N)\; \cup \; \{n\; +\; 1:\; n\; \in \; (x\; \cap \; N)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x):\; =\; \backslash \; sigma\; [x]\; =\; \backslash \; \{\backslash \; sigma\; (\backslash \; alpha)\; \backslash \; mid\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; x\; \backslash \}\; =\; (x\; \backslash \; smallsetminus\; \backslash \; mathbb\; \{N\})\; \backslash \; чашка\; \backslash \; \{n\; +\; 1:\; n\; \backslash \; in\; (x\; \backslash \; cap\; \backslash \; mathbb\; \{N\})\; \backslash \}.\}$

Это изображение набора набора $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$под $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$, также иногда обозначается как $\sigma \; ″\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \text{'}\text{'}\; \text{'}x\}$. Применение функции $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$к набору x просто увеличивает каждое натуральное число в нем. В частности, $\phi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x)\}$никогда не содержит числа 0, так что для любых наборов x и y

$\phi \; (x)\; \ne \; \{\; 0\}\; \cup \; \phi \; (y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x)\; \backslash \; neq\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; cup\; \backslash \; varphi\; (y).\}$

Далее, определите

$\psi \; (x):\; =\; \sigma \; [x]\; \cup \; \{0\}\; =\; \phi \; (\; х)\; \cup \; \{0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x):\; =\; \backslash \; sigma\; [x]\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; =\; \backslash \; varphi\; (x)\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{0\; \backslash \}.\}$

Таким образом, $\psi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x)\}$всегда содержит число 0.

Наконец, определите упорядоченную пару (A, B) как непересекающееся объединение

$(A,\; B):\; =\; \phi \; [A]\; \cup \; \psi \; [B]\; =\; \{\phi \; (a):\; a\; \in \; A\}\; \cup \; \{\phi \; (b)\; \cup \; \{0\}:\; b\; \in \; B\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; B):\; =\; \backslash \; varphi\; [A]\; \backslash \; cup\; \backslash \; psi\; [B]\; =\; \backslash \; \{\backslash \; varphi\; (a):\; a\; \backslash \; in\; A\; \backslash \}\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{\backslash \; varphi\; (b)\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{\; 0\; \backslash \}:\; b\; \backslash \; in\; B\; \backslash \}.\}$

(то есть $\phi \; ″\; A\; \cup \; \psi \; ″\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \text{'}\text{'}\; A\; \backslash \; cup\; \backslash \; psi\; \text{'}\text{'}\; B\}$в альтернативных обозначениях).

Извлечение всех элементов пары, которые не содержат 0, и отмена $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$возвращает A. Аналогично, B может быть восстановлен из элементов пара, содержащая 0.

Например, пара $(\{\{a,\; 0\},\; \{b,\; c,\; 1\}\},\; \{\{d,\; 2\},\; \{e,\; f,\; 3\; \}\})\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; \{\backslash \; \{a,\; 0\; \backslash \},\; \backslash \; \{b,\; c,\; 1\; \backslash \}\; \backslash \},\; \backslash \; \{\backslash \; \{d,\; 2\; \backslash \},\; \backslash \; \{e,\; f,\; 3\; \backslash \}\; \backslash \})\}$кодируется как $\{\{a,\; 1\},\; \{b,\; c,\; 2\},\; \{d,\; 3,\; 0\},\; \{e,\; f,\; 4,\; 0\}\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; \{a,\; 1\; \backslash \},\; \backslash \; \{b,\; c,\; 2\; \backslash \},\; \backslash \; \{d,\; 3,0\; \backslash \},\; \backslash \; \{e,\; f,\; 4,0\; \backslash \}\; \backslash \}\}$при условии $a,\; b,\; c,\; d,\; e,\; f\; \notin \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b,\; c,\; d,\; e,\; f\; \backslash \; notin\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$.

В теории типов и в ее отростках, таких как аксиоматическая теория множеств NF, пара Куайна – Россера имеет тот же тип, что и ее проекции, и, следовательно, называется упорядоченной парой «уровня типа». Следовательно, это определение имеет то преимущество, что позволяет функции , определенной как набор упорядоченных пар, иметь тип только на 1 выше, чем тип ее аргументов. Это определение работает, только если набор натуральных чисел бесконечен. Это имеет место в NF, но не в теории типов или в NFU. Дж. Баркли Россер показал, что существование такой упорядоченной пары на уровне типов (или даже упорядоченной пары «повышение типа на 1») подразумевает аксиому бесконечности. Подробное обсуждение упорядоченной пары в контексте теорий множеств Квиниана см. В Holmes (1998).

Определение Кантора – Фреге

На раннем этапе развития теории множеств, до того, как возникли парадоксы. Кантор вслед за Фреге определил упорядоченную пару из двух множеств как класс всех отношений, которые выполняются между этими множествами, предполагая, что понятие отношения является примитивным:

$(x,\; y)\; =\; \{R:\; x\; R\; y\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; \{R:\; xRy\; \backslash \}.\}$

Это определение недопустимо в большинстве современных формализованных теорий множеств и методологически похоже на определение кардинала множества как класс всех множеств, равноправных с данным множеством.

определение Морса

теория множеств Морса – Келли свободно использует собственные классы. определение Морса упорядоченная пара, так что ее проекции могут быть собственными классами, а также множествами. (Определение Куратовского не допускает этого.) Он сначала определил упорядоченные пары, проекции которых являются множествами в манере Куратовского. Затем он переопределил пару

$(x,\; y)\; =\; (\{0\}\; \times \; s\; (x))\; \cup \; (\{1\}\; \times \; s\; (y))\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; =\; (\backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; times\; s\; (x))\; \backslash \; cup\; (\backslash \; \{1\; \backslash \}\; \backslash \; times\; s\; (y))\}$

где компонентные декартовы произведения - это пары множеств Куратовского и где

$s\; (x)\; =\; \{\varnothing \}\; \cup \; \{\{t\}\; \mid \; t\; \in \; x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (x)\; =\; \backslash \; \{\backslash \; emptyset\; \backslash \}\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{\backslash \; \{t\; \backslash \}\; \backslash \; mid\; t\; \backslash \; in\; x\; \backslash \}\}$

Это отображает возможные пары, проекции которых правильные классы. Приведенное выше определение Куайна – Россера также допускает собственные классы в качестве проекций. Аналогичным образом тройка определяется как тройка следующим образом:

$(x,\; y,\; z)\; =\; (\{0\}\; \times \; s\; (x))\; \cup \; (\{1\}\; \times \; s\; (y))\; \cup \; (\{2\}\; \times \; s\; (z))\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y,\; z)\; =\; (\backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; times\; s\; (x))\; \backslash \; cup\; (\backslash \; \{1\; \backslash \}\; \backslash \; times\; s\; (y))\; \backslash \; cup\; (\backslash \; \{\; 2\; \backslash \}\; \backslash \; times\; s\; (z))\}$

Использование одноэлементного набора $s\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (x)\}$, в который вставлен пустой набор, позволяет кортежам обладают свойством уникальности: если a - это набор из n, а b - это набор из m и a = b, то n = m. Упорядоченные тройки, которые определены как упорядоченные пары, не обладают этим свойством по отношению к упорядоченным парам.

Теоретико-категориальный продукт A × B в категории множеств представляет набор упорядоченных пар, причем первый элемент поступает из A, а второй - из B. В этом контексте характеристическое свойство, указанное выше, является следствием универсального свойства продукта и того факта, что элементы множество X можно идентифицировать с помощью морфизмов от 1 (набор из одного элемента) до X. Хотя разные объекты могут иметь универсальное свойство, все они естественно изоморфны.