Непрерывная дробь

редактировать

Представление последовательности последовательностей сложений и инверсий (обычно бесконечной)

a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 ⋱ + 1 и {\ displaystyle a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {\ ddots + {) \ cfrac {1} } {a_ {n}}}}}}}}}

a_0 + \ cfrac {1} {a_1 + \ cfrac {1} {a_2 + \ cfrac {1} {\ ddots + \ cfrac {1} {a_n}}}}

Конечная цепная дробь, где

n {\ displaystyle n}

n

- целое неотрицательное число,

a 0 {\ displaystyle a_ {0}}

a_ {0}

- целое число, а

ai {\ displaystyle a_ {i}}

a_ {i}

- положительное целое число, для

i = 1,…, n {\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

i = 1, \ ldots, n

В математике непрерывная дробь - это выражение полученный посредством итеративного процесса представления числа как его целой части и обратного другого числа, а затем записи этого другого числа как его целая часть и другая обратная и так далее. В конечной непрерывной дроби (или завершенной непрерывной дроби ) итерация / рекурсия завершается после конечного числа шагов с использованием целого числа вместо другой непрерывной дроби.. Напротив, бесконечная цепная дробь - это бесконечное выражение. В любом случае все целые числа в вернуться, кроме первого, должны быть положительными. Целые числа $ai {\ displaystyle a_ {i}}$ $a_ {i}$ называются коэффициентами или членами непрерывной дроби.

Продолжение дроби обладают рядом замечательных свойств, связанных с алгоритмом Евклида для целых или вещественных чисел. Каждое имеет рациональное число $p {\ displaystyle p}$ $p$ / $q {\ displaystyle q}$ $q$ два связанных выражения в виде конечной цепной дроби, коэффициенты, которые a i можно определить применив алгоритм Евклида к $(p, q) {\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ . Числовое значение бесконечной непрерывной дроби: иррациональное ; он определяет из своей бесконечной последовательности целых чисел как предел установить значения для конечных цепных дробей. Выполнение конечной непрерывной дробь получается с использованием конечного префикса обеспечивающей конечную непрерывную дробь последовательность. Более того, каждое иррациональное число $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ является величиной уникальной бесконечной цепной дроби, коэффициенты которой могут быть найдены с помощью неокончательной версии алгоритма Евклида, примененного к несоизмеримые значения $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ и 1. Такой способ выражения действительных чисел (рациональных и иррациональных) называется их представлением в виде непрерывной дроби.

Обычно, что числитель всех дробей равен 1. Если произвольные значения и / или функции используются вместо или нескольких числители или целые числа в знаменателях, результирующее выражение будет обобщенной непрерывной дробью. Когда необходимо отличить первую форму от обобщенных непрерывных дробей, первая может быть названа простой или правильный непрерывной дробью или представлена в канонической форме .

Термин непрерывная дробь может также относиться к представлениям рациональных функций, обладающих в их аналитической теории. Об использовании этого термина см. приближение Паде и рациональные функции Чебышева.

Содержание

1 Мотивация и обозначения
2 Основная формула
3 Вычисление дробчислений представлений непрерывной обозначи
4 Обозначения
5 Конечные непрерывные дроби
6 Обратных дробей
7 Бесконечные непрерывные дроби и подходящие дроби
- 7.1 Свойства
- 7.2 Некоторые полезные теоремы
8 Полуконвергенты
9 Наилучшие рациональные приближения
- 9.1 Наилучшее рациональное решение в интервале
- 9.2 Интервал для сходящейся дроби
10 Сравнение
11 Разложение непрерывной дроби π
12 Обобщенная непрерывная дробь
13 Другие расширения непрерывной дроби
- 13.1 Периодические непрерывные дроби
- 13.2 Свойство золотого сечения φ
- 13.3 Регулярные образцы в непрерывных дробях
- 13.4 Типичные непрерывные дроби
14 Приложения
- 14.1 Квадратные корни
- 14.2 Уравнение Пелла
- 14.3 Динамические системы
- 14.4 Собственные значения и собственные значения
- 14,5 Сетевые приложения
15 Примеры рациональных и иррациональных чисел
16 История
17 См. также
18 Примечания
19 Ссылки
20 Внешние ссылки

Мотивация и обозначения

Рассмотрим, например, рациональное число 415/93, что составляет около 4, 4624. В качестве первого приближения начните с 4, которое является целой частью ; 415/93 = 4 + 43/93. Дробная часть - это , обратная для 93/43, что составляет около 2,1628. Используйте целую часть 2 как приближение обратной величины, чтобы получить второе приближение 4 + 1/2 = 4,5; 93/43 = 2 + 7/43. Оставшаяся дробная часть, 7/43, является обратной величиной 43/7, а 43/7 составляет около 6,1429. Используйте 6 как приближение, чтобы получить 2 + 1/6 как приближение для 93/43 и 4 + 1/2 + 1/6, около 4,4615, как третье приближение; 43/7 = 6 + 1/7. Наконец, дробная часть 1/7 является обратной величиной 7, поэтому ее аппроксимация в этой схеме 7 точной (7/1 = 7 + 0/1) и дает точное выражение 4 + 1/2 + 1. / 6 + 1/7 для 415/93.

Выражение 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 называется представлением непрерывной дроби 415/93. Это может быть представлено сокращенным обозначением 415/93 = [4; 2, 6, 7]. (Принято заменять только первую запятую точку с запятой.) В некоторых старых учебниках все запятые в (n + 1) -наборе, например [4, 2, 6, 7].

Если начальное число рационально, то этот процесс в точности повторяет алгоритм Евклида. В частности, он должен заканчиваться и представление числа в виде конечной непрерывной дроби. Если начальное число иррационально, то процесс продолжается бесконечно. Это дает подходящие последовательности, которые используются в качестве подходящего числа для начального в качестве предела. Это представление числа в виде (бесконечной) цепной дроби. Примеры представлений иррациональных чисел в виде цепной дроби:

√19 = [4; 2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...] (последовательность A010124 в OEIS ). Шаблон повторяется бесконечно с периодом 6.
e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...] (последовательность A003417 в OEIS ). Шаблон повторяется бесконечно с периодом 3, за исключением того, что 2 добавляется к одному из членов в каждом цикле.
π = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...] (последовательность A001203 в OEIS ). В этом представлении не было обнаружено ни одного шаблона.
ϕ = [1; 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] (последовательность A000012 в OEIS ). золотое сечение, иррациональное число которое, "труднее всего" подобрать рационально. См.: Свойство золотого сечения φ.

Непрерывные дроби в некотором смысле являются более "математически естественными" представлениями действительного числа, чем другие представления, такие как десятичные представления, и у них есть несколько желаемых свойств:

Представление непрерывной дроби для рационального числа конечно, и только эффективное число имеет конечное представление. Напротив, эффективное представление рационального числа может быть конечным, например, 137/1600 = 0,085625, или бесконечным повторяющимся циклом, например 4/27 = 0,148148148148...
Каждое рациональное число имеет самое единственное представление цепной дроби. Каждое рациональное число может быть представлено двумя способами так как [a 0;a1,... a n - 1,an] = [a 0;a1,... a n - 1, (a n -1), 1]. Обычно в качестве канонического представления.
используется первое, более короткое представление..
Представление непрерывной дроби иррационального числа является уникальным.
Действующие числа, непрерывная дробь которых в конечном итоге повторяется, соответствует точности квадратичной иррациональные. Например, повторяющаяся цепная дробь [1; 1,1,1,...] - это золотое сечение, повторяющаяся цепная дробь [1; 2,2,2,...] - квадратный корень из 2. Напротив, десятичные представления квадратичных иррациональных чисел, по-видимому, случайны. Квадратные корни всех (положительных) целых чисел, которые не являются точными квадратами, являются квадратичными иррациональными числами, следовательно, являются уникальными периодическими непрерывными дробями.
Последовательные приближения, генерируемые при воспроизведении представления числа в виде непрерывной дроби, то есть, путем усреднения непрерывного дроби, используются в определенном смысле (описанном ниже) "наилучшим возможным".

Основная формула

Непрерывная дробь - это выражение вида

a 0 + b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 + ⋱ {\ displaystyle a_ {0} + {\ cfrac {b_ {1}} {a_ {1} + {\ cfrac {b_ {2}} {a_ {2})} + {\ cfrac {b_ {3}} {a_ {3} + {_ {\ ddots} }}}}}}}

{\ displaystyle a_ {0} + {\ cfrac {b_ {1}} {a_ {1} + {\ cfrac {b_ {2}} {a_ {2} + {\ cfrac {b_ {3}} {a_ {3} + {_ {\ ddots}}}}}}}}}

, где a i и b i может быть любым комплексным числом. Обычно они должны быть целыми числами. Если b i = 1 для всех i, выражение называется простой цепной дробью. Если выражение содержит конечное число членов, оно называется конечной цепной дробью. Если выражение содержит бесконечное количество членов, оно называется бесконечной цепной дробью.

Таким образом, все следующее иллюстрирует допустимые конечные простые непрерывные дроби:

Примеры конечных простых цепных дробей
Формула	Числовое	Примечания
$a 0 { \ displaystyle \ a_ {0}}$ $\ a_ {0}$	$2 {\ displaystyle \ 2}$ $\ 2$	Все числа являются вырожденным регистром
$а 0 + 1 а 1 {\ displaystyle \ a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1}}}}$ $\ a_0 + \ cfrac {1} {a_1}$	$2 + 1 3 {\ displaystyle \ 2 + {\ cfrac {1} {3}}}$ $\ 2 + \ cfrac {1} {3}$	Простейшая возможная дробная форма
$a 0 + 1 а 1 + 1 а 2 {\ displaystyle \ a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2}}}}}}$ $\ a_0 + \ cfrac {1} {a_1 + \ cfrac {1} {a_2}}$	$- 3 + 1 2 + 1 18 {\ displaystyle \ -3 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {18}}}}}$ $\ -3 + \ cfrac {1} {2 + \ cfrac {1} { 18}}$	Первое целое число может быть отрицательным
$a 0 + 1 a 1 + 1 а 2 + 1 а 3 {\ displaystyle \ a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_) {3}}}}}}}}$ $\ a_0 + \ cfrac {1} {a_1 + \ cfrac {1} {a_2 + \ cfrac {1} {a_3}}}$	$1 15 + 1 1 + 1 102 {\ displaystyle \ {\ cfrac {1} {15 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} { 102}}}}}}}$ $\ \ cfrac {1} {15 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {102}}}$	Первое целое число может быть нулем

Расчет представления непрерывной дроби

Рассмотрим действительное число r. Пусть $я = ⌊ р ⌋ {\ displaystyle i = \ lfloor r \ rfloor}$ ${\ displaystyle i = \ lfloor r \ rfloor}$ будет целой частью числа r, и пусть $f = r - i {\ displaystyle f = ri}$ ${\ displaystyle f = ri}$ - дробная часть числа r. Представ r в виде непрерывной дроби будет $[i; а 1, а 2,…] {\ Displaystyle [я; a_ {1}, a_ {2}, \ ldots]}$ ${\ displaystyle [i; a_ {1}, a_ {2}, \ ldots]}$ , где $[a 1; а 2,…] {\ Displaystyle [а_ {1}; a_ {2}, \ ldots]}$ ${\ Displaystyle [а_ {1}; a_ {2}, \ ldots]}$ >Представлять непрерывной дроби $1 / f {\ displaystyle 1 / f}$ $1 / е$ .

Чтобы вычислить представление числа r в виде непрерывной дроби, запишите целую часть ( технически этаж ) числа р. Вычтите эту целую часть из р. Если разница равна 0, остановиться; в случае найти , равный разности, и изложения. Процедура остановится тогда и только тогда, когда r рационально. Этот процесс может быть эффективно реализован с помощью алгоритма Евклида, когда число является рациональным. В таблице ниже можно реализовать эту процедуру для числа 3,245, приводящую к раскрытию непрерывной дроби [3; 4,12,4].

Найдите непрерывную дробь для $3,245 = 649 200 {\ displaystyle 3.245 = {\ frac {649} {200}}}$ ${\ displaystyle 3.245 = {\ frac {649} {200}}}$
Шаг	Действительное число. Число	Целочисленная. часть	Дробная. часть	Упрощенная	Взаимная. от f
1	$r = 649 200 {\ displaystyle r = { \ frac {649} {200}}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {649} {200}}}$	$i = 3 {\ displaystyle i = 3}$ $i = 3$	$f = 649 200 - 3 {\ displaystyle f = {\ frac {649} {200}} - 3}$ ${\ displaystyle f = {\ frac {649} {200}} - 3}$	$= 49 200 {\ displaystyle = {\ frac {49} {200}}}$ ${\ displaystyle = {\ frac {49} {200}}}$	$1 f = 200 49 {\ displaystyle {\ frac {1} {f}} = {\ frac {200} { 49}}}$ ${\ displaystyle { \ frac {1} {f}} = {\ frac {200} {49}}}$
2	$r = 200 49 {\ displaystyle r = {\ frac {200} {49}}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {200} {49}}}$	$i = 4 {\ displaystyle i = 4}$ ${\ displaystyle i = 4}$	$f = 200 49 - 4 { \ displaystyle f = {\ frac {200} {49}} - 4}$ ${\ displaystyle f = {\ frac {200} {49}} - 4}$	$= 4 49 {\ displaystyle = {\ frac {4} {49}}}$ ${\ displaystyle = {\ frac {4} {49}}}$	$1 f = 49 4 {\ displaystyle { \ frac {1} {f}} = {\ frac {49} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {f}} = {\ frac {49} {4}}}$
3	$r = 49 4 {\ displaystyle r = {\ frac {49} {4}}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {49} {4}}}$	$i = 12 {\ displaystyle i = 12}$ ${\ displaystyle i = 12}$	$f = 49 4–12 {\ displaystyle f = {\ frac {49} {4}} - 12}$ ${\ displaystyle f = {\ frac {49} {4}} - 12}$	$= 1 4 {\ di splaystyle = {\ frac {1} {4}}}$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {4}}}$	$1 f = 4 1 {\ displaystyle {\ frac {1} {f}} = {\ frac {4} {1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {f} } = {\ frac {4} {1}}}$
4	$r Знак равно 4 {\ displaystyle r = 4}$ ${\ displaystyle r = 4}$	$i = 4 {\ displaystyle i = 4}$ $i = 4$	$f = 4–4 {\ displaystyle f = 4-4}$ ${\ displaystyle f = 4-4}$	$= 0 {\ displaystyle = 0 }$ ${\ displaystyle = 0}$	STOP
Форма непрерывной дроби для $3,245 = 649 200 = [3; 4, 12, 4] {\ displaystyle 3.245 = {\ frac {649} {200}} = [3; 4,12,4]}$ ${\ displaystyle 3.245 = {\ frac {649} {200}} = [3; 4,12,4]}$ = 3 + 1/4 + 1/12 + 1/4

Обозначения

Целые числа $a 0 {\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ , $а 1 {\ displaystyle a_ {1}}$ $a_ {1}$ и т. Д. Называются коэффициентами или членами непрерывной дроби. Можно сократить непрерывную дробь

x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 {\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} } {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3}}}}}}

x = a_0 + \ cfrac {1} { a_1 + \ cfrac {1} {a_2 + \ cfrac {1} {a_3}}}

в обозначениях Карл Фридрих Гаусс

x = a 0 + K 3 я = 1 1 ai {\ displaystyle x = a_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {3} {\ mathrm {K}}}} ~ {\ frac {1} {a_ {i}}}}

{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {3} {\ mathrm {K}}}} ~ {\ frac {1} {a_ {i}}}}

или как

x = [a 0; а 1, а 2, а 3] {\ Displaystyle х = [а_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}]}

{\ displaystyle x = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}]}

или в записи Pringsheim как

x = a 0 + 1 ∣ ∣ a 1 + 1 ∣ ∣ a 2 + 1 ∣ ∣ a 3, {\ displaystyle x = a_ {0} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid a_ {1}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid a_ {2}} } + {\ frac {1 \ mid} {\ mid a_ {3}}},}

x = a_0 + \ frac {1 \ mid} {\ mid a_1} + \ frac {1 \ mid} {\ mid a_2} + \ frac {1 \ mid} {\ mid a_3},

или другом в родственном обозначении как

x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3. {\ displaystyle x = a_ {0} + {1 \ over a_ {1} + {}} {1 \ over a_ {2} + {}} {1 \ over a_ {3} {}}.}

{\ displaystyle x = a_ {0} + {1 \ over a_ {1} + {}} {1 \ над a_ {2} + {}} {1 \ над a_ {3} {}}.}

Иногда используются угловые скобки, например:

x = ⟨a 0; а 1, а 2, а 3⟩. {\ Displaystyle х = \ влево \ langle a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \ right \ rangle.}

x = \ left \ langle a_0; a_1, a_2, a_3 \ right \ rangle.

Точка с запятой в обозначениях квадратных и угловых скобок иногда заменяется на запятая.

Можно также определить бесконечные непрерывные дроби как пределы :

[a 0; a 1, a 2, a 3,…] = lim n → ∞ [a 0; a 1, a 2,…, a n]. {\ Displaystyle [а_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \, \ ldots] = \ lim _ {n \ to \ infty} [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, \, \ ldots, a_ {n}].}

[a_0; a_1, a_2, a_3, \, \ ldots] = \ lim_ {n \ to \ infty} [a_0; a_1, a_2, \, \ ldots, a_n].

Этот предел существует для любого выбора $a 0 {\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ и положительных целых чисел $a 1, a 2,… {\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}$

Конечные непрерывные дроби

Каждая конечная непрерывная дробь представляет собой рациональное число, и рациональное число может быть представлено разными способами в виде конечной непрерывной дроби с условиями, что первый коэффициент является целым числом, а другие коэффициенты - положительными целыми числами. Эти два заявления согласны, за исключением их окончательных условий. В более длинном представлении последний член в непрерывной дроби равенство 1; более короткое представление отбрасывает конечную единицу, но увеличивает конечный член на 1. Последний элемент в кратком представлении всегда больше 1, если он присутствует. В символах:

[a0; a 1, a 2,..., a n - 1, a n, 1] = [a 0 ; a 1, a 2,..., a n - 1, a n + 1].

[a0; 1] = [a 0 + 1].

Обратных чисел

Представления непрерывной дроби положительного рационального числа и его обратного числа идентичности, за исключением сдвинуть на одно место влево или вправо в зависимости от того, больше ли число или меньше соответственно. Другими словами, числа, представленные $[a 0; a 1, a 2,…, an] {\ displaystyle [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}]}$ ${\ displaystyle [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}]}$ и $[0; a 0, a 1,…, a n] {\ displaystyle [0; a_ {0}, a_ {1}, \ ldots, a_ {n}]}$ ${\ displaystyle [0; a_ {0}, a_ {1}, \ ldots, a_ {n}]}$ являются обратными.

Например, если $a {\ displaystyle a}$ $a$ является целым числом и $x < 1 {\displaystyle x<1}$ $x <1$ , тогда

x = 0 + 1 a + 1 b {\ displaystyle x = 0 + {\ frac {1} {a + {\ frac {1} {b}}}}}

{\ displaystyle x = 0 + {\ frac {1} {a + {\ frac {1} {b}}}}}

1 x = a + 1 b {\ displaystyle {\ frac {1} {x}} = a + {\ frac {1} {b}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} = a + {\ frac {1} {b}}}

Если $x>1 {\ displaystyle x>1}$ $x>1$

x = a + 1 b {\ displaystyle x = a + {\ frac {1} {b}}}

{\ displaystyle x = a + {\ frac {1} {b}}}

1 x = 0 + 1 a + 1 b {\ displaystyle {\ frac {1} {x}} = 0 + {\ frac {1} {a + {\ frac {1} {b}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} = 0 + {\ frac {1} {a + {\ frac {1} { b}}}}}

Последнее число, образующее остаток от непрерывной дроби, одинаково для $x {\ displaystyle x}$ $x$ и его взаимно.

Например,

2.25 = 9 4 = [2; 4] {\ displaystyle 2.25 = {\ frac {9} {4}} = [2; 4]}

{\ displaystyle 2.25 = {\ frac {9} {4}} = [2; 4]}

1 2,25 = 4 9 = [0; 2, 4] {\ displaystyle {\ frac {1} {2.25}} = {\ frac {4} {9}} = [0; 2, 4]}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2.25}} = {\ frac {4} {9}} = [0; 2,4]}

Бесконечные ные цепные дроби и подходящие дроби

каждая бесконечная цепная дробь иррациональная, и каждое иррациональное число может быть точно представлено одним как бесконечная цепная дробь.

Представление бесконечной непрерывной дроби для иррационального числа полезно, потому что его начальные сегменты рационального приближения к продолжительности. Эти рациональные числа называются подходящими дробями непрерывной дроби. Чем больше член в непрерывной дроби, тем ближе соответствующая сходящаяся дробь к приближаемому иррациональному дробь. Такие числа, как π, иногда большие члены своей непрерывной дроби, что позволяет их легко аппроксимировать рациональными числами. Другие, такие как e, имеют только маленькие члены в начале цепной дроби, что затрудняет их рациональное приближение. Золотое сечение ϕ имеет, равные 1 везде - наименьшие возможные значения, что делает ϕ наиболее трудным для рационального приближения число. Следовательно, в этом смысле это «самое иррациональное» из всех иррациональных чисел. Подходящим с четным номером меньше исходного числа.

Для непрерывной дроби [a 0 ; a 1, a 2,...], первые четыре сходящихся (пронумерованные от 0 до 3) равны

a0/ 1, a 1a0+ 1 / a 1, a 2(a1a0+ 1) + a 0/a2a1+ 1, a 3(a2(a1a0+ 1) + a 0) + (a 1a0+ 1) / a 3(a2a1+ 1) + a 1.

Числитель третьего сходящегося элемента формируется путем умножения второго сходящегося элемента на третий коэффициент и добавление числителя первого сходящегося элемента. Знаменатели формируются аналогично. Следовательно, каждая сходящаяся дробь может быть явно выражена в терминах непрерывной дроби как отношение некоторых многомерных многочленов, называемых континуантами.

, если найдены последовательные подходящие дроби, с числителями h 1, h 2,... и знаменатели k 1, k 2,... тогда релевантная рекурсивная связь:

hn= a nhn - 1 + h n - 2,

kn= a nkn - 1 + k n - 2.

Последовательные подходящие дроби задаются формулой

hn/kn= a nhn - 1 + h n - 2 /ankn - 1 + k n - 2.

Таким образом, чтобы включить новый термин в рациональное приближения, необходимы только две предыдущие подходящие. Начальные "сходящиеся" (требуемые для первых двух терминов): ⁄ 1 и ⁄ 0. Например, вот подходящие дроби для [0; 1,5,2,2].

n	−2	−1	0	1	2	3	4
an			0	1	5	2	2
hn	0	1	0	1	5	11	27
kn	1	0	1	1	6	13	32

При использовании вавилонского метода для последовательных приближений квадратного корня из целого числа, если один начинает с наименьшего целого числа в качестве первого приближения, появляются все сгенерированные рациональные числа в списке подходящих дробей. В частности, аппроксиманты появятся всписок подходящих дробей в позициях 0, 1, 3, 7, 15,..., 2-1,... Например, расширение непрерывной дроби для √3 будет [1; 1,2,1,2,1,2,1,2,...]. Сравнение подходящих дробей с аппроксимациями, полученными из вавилонского метода:

n	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7
an			1	1	2	1	2	1	2	1
hn	0	1	1	2	5	7	19	26	71	97
kn	1	0	1	1	3	4	11	15	41	56

x0= 1 = 1/1

x1= 1/2 (1 + 3/1) = 2/1 = 2

x2= 1/2 (2 + 3/2) = 7/4

x3= 1/2 (7/4 + 3/7/4) = 97/56

Свойства

A пространство Бэра - топологическое пространство на бесконечных последовательностях натуральных чисел. Бесконечная цепная дробь обеспечивает гомеоморфизм из пространства Бэра в пространстве иррациональных действительных чисел (с топологией подпространства, унаследованием от обычной топологии вещественных чисел). Бесконечная непрерывная дробь также обеспечивает отображение между квадратичными иррациональными числами и различными рациональными числами, а также между другими иррациональными числами в набор бесконечных строк двоичных чисел (т. Е. набор Кантора ); эта карта называется функцией вопросительного знака Минковского. Отображение обладает интересными самоподобными фрактальными свойствами; они задаются модульной группой , которая является подгруппой преобразователей Мёбиуса, имеющими целые значения в преобразовании. Грубо, подходящие дроби в непрерывной дроби можно рассматривать как преобразование Мёбиуса, действующие на (гиперболической) верхней полуплоскости ; вот что приводит к фрактальной самосимметрии.

Некоторые полезные теоремы

Если $a 0 {\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ , $a 1 {\ displaystyle a_ {1}}$ $a_ {1}$ , $a 2 {\ displaystyle a_ {2}}$ $a_ {2}$ , $… {\ displaystyle \ ldots}$ $\ ldots$ - бесконечная последовательность положительных целых чисел, определите последовательность $hn {\ displaystyle h_ {n}}$ $h_ {n}$ и $kn {\ displaystyle k_ {n}}$ $k_ {n}$ рекурсивно:

$hn = anhn - 1 + hn - 2 {\ displaystyle h_ {n} = a_ {n} h_ {n-1} + h_ {n-2}}$ ${\ displaystyle h_ {n} = a_ {n} h_ {n-1} + h_ {n-2} }$			$h - 1 = 1 {\ displaystyle h _ {- 1} = 1}$ ${\ displaystyle h _ {- 1} = 1 }$		$h - 2 = 0 {\ displaystyle h _ {- 2} = 0}$ ${\ displaystyle h _ {- 2} = 0}$
$kn = ankn - 1 + kn - 2 {\ displaystyle k_ {n} = a_ {n} k_ {n-1} + k_ {n-2}}$ ${\ displaystyle k_ {n} = a_ {n} k_ {n-1} + k_ {n-2}}$			$k - 1 = 0 {\ displaystyle k _ {- 1} = 0}$ ${\ displaystyle k _ {- 1} = 0}$		$k - 2 = 1 {\ displaystyle k _ {- 2} = 1}$ ${\ displaystyle k _ {- 2} = 1}$

Теорема 1. Для любого положительного действительного числа $z {\ displaystyle z}$ $z$

[а 0; a 1,…, a N - 1, Z] знак равно Z час N - 1 + час N - 2 Z К N - 1 + К N - 2. {\ Displaystyle \ left [a_ {0}; a_ {1}, \, \ dots, a_ {n-1}, z \ right] = {\ frac {zh_ {n-1} + h_ {n-2}} {zk_ {n-1} + k_ { n-2}}}.}

\ left [a_0; a_1, \, \ dots, a_ {n-1}, z \ right] = \ frac {z h_ {n-1} + h_ {n-2}} {z k_ {n-1} + k_ {n- 2}}.

Теорема 2. Подходящие числа [ $a 0 {\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ ; $a 1 {\ displaystyle a_ {1}}$ $a_ {1}$ , $a 2 {\ displaystyle a_ {2}}$ $a_ {2}$ , $… {\ displaystyle \ ldots}$ $\ ldots$ ] задаются как

[a 0; a 1,…, a n] = h n k n. {\ displaystyle \ left [a_ {0}; a_ {1}, \, \ dots, a_ {n} \ right] = {\ frac {h_ {n}} {k_ {n}}}.}

\ left [a_0; a_1, \, \ dots, a_n \ right] = \ frac {h_n} {k_n}.

Теорема 3. Если $n {\ displaystyle n}$ $n$ -яящаяся к непрерывной дроби схода величины $hn {\ displaystyle h_ {n}}$ $h_ {n}$ / $kn {\ displaystyle k_ {n}}$ $k_ {n}$ ,

knhn - 1 - kn - 1 hn = (- 1) n. {\ displaystyle k_ {n} h_ {n-1} -k_ {n-1} h_ {n} = (- 1) ^ {n}.}

k_nh_ {n-1} -k_ {n-1} h_n = (- 1) ^ n.

Следствие 1: Каждый конвергент находится в самом низком условия (если бы $hn {\ displaystyle h_ {n}}$ $h_ {n}$ и $kn {\ displaystyle k_ {n}}$ $k_ {n}$ имел нетривиальный общий делитель, он бы разделил $knhn - 1 - kn - 1 hn {\ displaystyle k_ {n} h_ {n-1} -k_ {n-1} h_ {n}}$ ${\ displaystyle k_ {n} h_ {n-1} -k_ {n-1} h_ {n}}$ , что невозможно).

Следствие 2: Разница между последовательными подходящими дробями - это дробь, числитель которой равен единице:

hnkn - hn - 1 kn - 1 = hnkn - 1 - knhn - 1 knkn - 1 = (- 1) n + 1 knkn - 1. {\ displaystyle {\ frac {h_ {n}} {k_ {n}}} - {\ frac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}}}} = { \ frac {h_ {n} k_ {n-1} -k_ {n} h_ {n-1}} {k_ {n} k_ {n-1}}} = {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {k_ {n} k_ {n-1}}}.}

{\ frac {h_ {n}} {k_ {n}}} - {\ frac { h _ {{n-1}}} {k _ {{n-1}}}} = {\ frac {h_ {n} k _ {{n-1}} - k_ {n} h _ {{n -1}}} {k_ {n} k _ {{n-1}}}} = {\ frac {(-1) ^ {{n + 1}}} {k_ {n} k _ {{n- 1}}}}.

Следствие 3: Непрерывная дробь эквивалентна серии чередующихся членов:

a 0 + ∑ n = 0 ∞ (- 1) nknkn + 1. {\ displaystyle a_ {0} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {k_ {n} k_ {n + 1}}}.}

a_0 + \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n}} { k_ {n} k_ {n + 1}}.

Следствие 4: Матрица

[hnhn - 1 knkn - 1] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} h_ {n} h_ {n-1} \\ k_ {n} k_ {n - 1} \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} h_n h_ {n-1} \\ k_n k_ {n-1} \ end {bmatrix}

имеет определитель плюс или минус один, и, таким образом, принадлежит к группе $2 × 2 {\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ times 2$ унимодулярный матрицы $GL (2, Z) {\ displaystyle \ mathrm {GL} (2, \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (2, \ mathbb {Z})}$ .

Теорема 4. Каждая ( $s {\ displaystyle s}$ $s$ th) сходящийся ближе к следующему ( $n {\ displaystyle n}$ $n$ th) конвергент, чем любой предыдущий ( $r {\ displaystyle r}$ $r$ -й) сходящийся. В символах, если $n {\ displaystyle n}$ $n$ -я сходящаяся дробь берется равной $[a 0; а 1,…, а N] = Икс N {\ Displaystyle [а_ {0}; a_ {1}, \ ldots, a_ {n}] = x_ {n}}$ ${\ displaystyle [a_ {0}; a_ {1}, \ ldots, a_ {n}] = x_ {n}}$ , затем

| х г - х п |>| х с - х п | {\ displaystyle \ left | x_ {r} -x_ {n} \ right |>\ left | x_ {s} -x_ {n} \ right |}

\left| x_r - x_n \right|>\ left | x_s - x_n \ right |

<95 для всех

r < s < n {\displaystyle r

{\ displaystyle r <s <n}

Следствие 1 : Четные сходящиеся (до $n {\ displaystyle n}$ $n$ th) постоянно увеличиваются, но всегда меньше, чем $xn {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_{n}$ .

Следствие 2 : Нечетные сходящиеся (до $n {\ displaystyle n}$ $n$ th) постоянно уменьшаются, но всегда больше, чем $xn {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_{n}$ .

Теорема 5.

1 kn (kn + 1 + kn) < | x − h n k n | < 1 k n k n + 1. {\displaystyle {\frac {1}{k_{n}(k_{n+1}+k_{n})}}<\left|x-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}\right|<{\frac {1}{k_{n}k_{n+1}}}.}

\ frac {1} {k_n (k_ {n + 1} + k_n)} <\ left | x- \ frac {h_n} {k_n} \ right | <\ frac {1} {k_nk_ {n + 1}}.

Следствие 1: Сходящая дробь ближе к пределу непрерывной дроби, чем любая дробь, знаменатель которой меньше, чем у сходящейся дроби.

Следствие 2: Сходящаяся дробь, полученная завершением непрерывной дроби непосредственно перед большим членом, близким приближением к пределу непрерывной дроби.

Полуконвергенты

Если

hn - 1 kn - 1, hnkn {\ displaystyle {\ frac {h_ {n-1}} {k_ {n -1}}}, {\ frac {h_ {n}} {k_ {n}}) }}

{\ displaystyle {\ frac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}}}, {\ frac {h_ {n}} {k_ {n}}} }

- последовательные подходящие дроби, тогда любые дроби вида

hn - 1 + mhnkn - 1 + mkn, {\ displaystyle {\ frac {h_ {n-1} + mh_ {n}} {k_ {n -1} + mk_ {n}}},}

{\ displaystyle {\ frac {h_ {n-1} + mh_ {n}} {k_ {n-1} + mk_ {n) }}},}

где $m {\ displaystyle m}$ $m$ - целое число, такое что $0 ≤ m ≤ an + 1 {\ displaystyle 0 \ leq m \ leq a_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq m \ leq a_ {n + 1}}$ , называются полуконвергентами, вторичными конвергентами или промежуточными фракциями. $(m + 1) {\ displaystyle (m + 1)}$ ${\ displaystyle (m + 1)}$ -й полуконвергент равен медианте из $m {\ displaystyle m}$ $m$ -й и сходящийся $hnkn {\ displaystyle {\ tfrac {h_ {n}} {k_ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {h_ {n}} {k_ {n) }}}}$ . Иногда этот термин используется для обозначения того, что быть полуконвергентным исключает возможность сходящимся (т. Е. $0 < m < a n + 1 {\displaystyle 0), а не тем, что сходящийся своего рода полусходящимся.
Отсюда следует, что полуконвергенты представляют собой монотонную последовательность дробей между сходящимися hn - 1 kn - 1 {\ displaystyle {\ tfrac {h_ {n-1}} {k_ { n-1}}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {h_ {n) -1}} {k_ {n-1}}}}$ (соответствует $m = 0 {\ displaystyle m = 0}$ $m = 0$ ) и $hn + 1 kn + 1 {\ displaystyle {\ tfrac {h_ {n + 1}} {k_ {n + 1}}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {h_ {n + 1}} {k_ {n + 1}}}}$ (соответствует $m = an + 1 {\ displaystyle m = a_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle m = a_ {n + 1}}$ ). Последовательные полуконвергенты $ab {\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$ ${\ tfrac {a} {b}}$ и $cd {\ displaystyle {\ tfrac {c} {d}}}$ ${\ tfrac {c} {d}}$ удовлетворяет свойству $ad - bc = ± 1 {\ displaystyle ad-bc = \ pm 1}$ ${\ displaystyle ad-bc = \ pm 1}$ .

Если рациональное приближение $pq {\ displaystyle {\ tfrac {p} {q }}}$ ${\ tfrac {p} {q}}$ до действительного числа $x {\ displaystyle x}$ $x$ таково, что значение $| x - p q | {\ displaystyle \ left | x - {\ tfrac {p} {q}} \ right |}$ ${\ displaystyle \ left | x - {\ tfrac {p} {q}} \ right |}$ меньше, чем у любого приближения с меньшим знаменателем, тогда $pq {\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}} }$ ${\ tfrac {p} {q}}$ является полуконвергентным расширением непрерывной дроби $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Однако обратное неверно.

Наилучшие рациональные приближения

Можно выбрать определение наилучшего рационального приближения к действительному значению x как рациональное число n / d, d>0, которое ближе к x, чем любое приближение с меньшим или равным приближением. Простую непрерывную дробь для x можно использовать для генерации всех наилучших приближений для x, применяя эти правила:

Обрезать непрерывную дробь и уменьшить ее последний член на выбранную функцию (возможно, на ноль).
Сокращенный член не может иметь менее половины своего собственного значения.
Если последний член четный, половина его значения допустима, только если соответствующая полусходящаяся величина лучше, чем предыдущая сходящаяся. (См. Ниже.)

Например, 0,84375 имеет непрерывную дробь [0; 1,5,2,2]. Вот все его лучшие рациональные приближения.

Непрерывная дробь	[0; 1]	[0; 1,3]	[0; 1,4]	[0; 1,5]	[0; 1,5,2]	[0; 1,5,2,1]	[0; 1,5, 2,2]
Рациональное приближение	1	3/4	4/5	5/6	11/13	16/19	27/32
Десятичный эквивалент	1	0,75	0,8	~0,83333	~ 0,84615	~ 0,84211	0,84375
Ошибка	+18.519%	−11.111%	- 5.1852%	−1.2346%	+0.28490%	−0.19493%	0%

Строго монотонное увеличение знаменателей при включении дополнительных членов позволяет алгоритму наложить ограничение либо на размер знаменатель или близость приближения. [a 0 ; a 1,..., a k - 1 ] |>| x - [a 0 ; a 1,..., a k - 1, a k / 2] | Это эквивалент:

[ak; a k - 1,..., a 1 ]>[a k ; a k + 1,...].

Подходящиеся к x являются «наилучшими приближениями» в гораздо более сильном смысле, чем определенное выше. А именно, н / д сходится для x тогда и только тогда, когда | dx - n | имеет наименьшее значение среди аналогичных выражений для всех рациональных приближений m / c с c ≤ d; то есть имеем | dx - n | < |cx − m| so long as c < d. (Note also that |dkx - n k | → 0 при k → ∞.)

Лучшее рациональное в интервале

Рациональное, попадающее в интервал (x, y), для 0 < x < y, can be found with the continued fractions for x and y. When both x and y are irrational and

x = [a 0 ; a 1, a 2,..., a k - 1, a k, a k + 1,...]

y = [a 0 ; a 1, a 2,..., a k - 1, b k, b k + 1,...]

где x и y имеют одинаковые разложения в непрерывную дробь до k - 1, рациональное число, попадающее в интервал (x, y), задается конечным продолжением дробь,

z (x, y) = [a 0 ; a 1, a 2,..., a k - 1, min (a k, b k) + 1]

Это рациональное число будет наилучшим в том смысле, что никакое другое рациональное число в (x, y) не будет иметь меньший числитель или меньший знаменатель.

Если x рационально, оно будет иметь два конечных представления непрерывной дроби, x 1 и x 2, и аналогично рациональное y будет иметь два представления, y 1 и y 2. Коэффициенты за последним в любом из этих представлений следует интерпретировать как + ∞; и наилучшим рациональным будет один из z (x 1, y 1), z (x 1, y 2), z ( x 2, y 1) или z (x 2, y 2).

Например, представительное представление 3,1416 может быть округлено от любого числа в интервале [3,14155, 3,14165). Представление 3,14155 и 3,14165 непрерывной дробью:

3,14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]

3,14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

, и лучшим рациональным аргументом между этими двумя является

[3; 7, 16] = 355/113 = 3,1415929....

Таким образом, 355/113 - лучшее рациональное число, соответствующее округленному десятичному числу 3,1416, в том смысле, что никакое другое рациональное число, округляемое до 3,1416, не будет имеют меньший числитель или меньший знаменатель.

Интервал для сходящейся

Рациональное число, которое может быть выражено конечной непрерывной дробью двумя способами:

z = [a 0 ; a 1,..., a k - 1, a k, 1] = [a 0 ; a 1,..., a k - 1, a k + 1]

будет одной из подходящих дробей для разложения непрерывной дроби число, если и только если число находится строго между

x = [a 0 ; a 1,..., a k - 1, a k, 2] и

y = [a 0 ; a 1,..., a k - 1, a k + 2]

Числа x и y формируются путем увеличения последнего коэффициента в двух представлениях для z. Это тот случай, когда x < y when k is even, and x>y, когда k нечетно.

Например, число 355/113 имеет представление непрерывной дроби

355/113 = [3; 7, 15, 1] = [3; 7, 16]

и, таким образом, 355/113 сходится к любому числу строго между

[3; 7, 15, 2]	=	688/219 ≈ 3,1415525
[3; 7, 17]	=	377/120 ≈ 3,1416667

Сравнение

Рассмотрим x = [a 0 ; a 1,...] и y = [b 0 ; b 1,...]. Если k - наименьший индекс, для которого a k не равно b k, то x < y if (−1)(ak- b k) < 0 and y < x otherwise.

Если такого k нет, но одно раскрытие короче, чем другой, скажем, x = [a 0 ; a 1,..., a n ] и y = [b 0 ; b 1,..., b n, b n + 1,...] с a i = b i для 0 ≤ i ≤ n, тогда x < y if n is even and y < x if n is odd.

Разложение непрерывной дроби числа π

Для вычисления подходящих дробей π мы можем установить 0 = ⌊Π⌋ = 3, определим u 1 = 1 / π - 3 ≈ 7,0625 и a 1 = ⌊u 1 ⌋ = 7, u 2 = 1 / u 1 - 7 ≈ 15,9966 и a 2 = ⌊u 2 ⌋ = 15, u 3 = 1 / u 2 - 15 ≈ 1,0034. Продолжая таким образом, можно определить бесконечную непрерывную дробь числа π как

[3; 7,15,1,292,1,1,...] (последовательность A001203 в OEIS ).

Четвертая сходящаяся дробь π равна [3; 7,15,1] = 355/113 = 3,14159292035..., иногда называемая Milü, что довольно близко к истинному значению π.

Предположим, что найденные частные равны, как указано выше, [3; 7,15,1]. Ниже приводится правило, по которому мы можем сразу записать сходящиеся дроби, которые получаются из этих частных, не развивая непрерывная дробь.

Первое частное, предположительно деленное на единицу, даст первую дробь, которая будет слишком маленькой, а именно 3/1. Затем, умножив числитель и знаменатель этой дроби на второе частное и добавив единицу к числителю, мы получим вторую дробь 22/7, которая будет слишком большой дробь и знаменатель этой дроби на третье число и прибавив к числителю числитель предыдущей дроби, а к знаменателю - знам енатель предыдущей дроби, мы получим третью дробь, которая будет тоже маленький. Таким образом, третье частное равно 15, и для числителя (22 × 15 = 330) + 3 = 333, а для знаменателя (7 × 15 = 105) + 1 = 106. Таким образом, третье сходящееся число равно 333. / 106. Таким же образом поступаем и с четвертым сходящимся. При четвертом частном, равном 1, мы говорим, что 333 умножить на 1 равно 333, а это плюс 22, числитель предшествующей дроби, равно 355; аналогично, если 106 умножить на 1, получится 106, а это плюс 7 равно 113. Таким образом, используя четыре частных [3; 7,15,1], мы получим четыре дроби:

3/1, 22/7, 333/106, 355/113,....

Следующий код Maple сгенерирует расширение непрерывной дроби числа Pi

Подводя итог, можно сказать, что шаблон $N umeratori = N umerator (i - 1) ⋅ Q uotienti + Numerator (i - 2) {\ displaystyle Numerator_ {i} = Numerator _ {(i-1)} \ cdot Quotient_ {i} + Numerator _ {(i-2)}}$ ${\ displaystyle Numerator_ {i} = Numerator_ {(i-1)} \ cdot Quotient_ {i} + Numerator _ {(i- 2)}}$ $D enominatori = D enominator (i - 1) ⋅ Q uotienti + D enominator (i - 2) {\ displaystyle Denominator_ {i} = Знаменатель _ { (i-1)} \ cdot Quotient_ {i} + Denominator _ {(i-2)}}$ ${\ displaystyle Denominator_ {i} = Знаменатель _ {(i-1)} \ cdot Quotient_ {i} + Знаменатель _ {(i-2)}}$

Эти сходящиеся в поперечном направлении меньше и больше, чем истинное значение π, и приближаются все ближе и ближе к π. Разница между данной сходящейся дробью и π меньше величины произведений знаменателей сходящейся и следующей сходящейся дроби. Например, дробь 22/7 больше, чем π, но 22/7 - π меньше 1/7 × 106 = 1/742 (на самом деле, 22/7 - π больше, чем 1/791 = 1/7 × 113).

Демонстрация вышеупомянутых свойств выводится из факта, что если мы ищем разницу между одной из сходящихся дробей и следующей, примыкающей к ней, мы получим дробь, числитель которой всегда равна единице, а знаменатель двухменателей. Таким образом, разница между 22/7 и 3/1 составляет 1/7, сверх; между 333/106 и 22/7, 1/742, дефицит; между 355/113 и 333/106, 1/11978, сверх; и так далее. В результате, используя эту серию разностей, мы можем одним и самым простым способом выразить дроби, которые нас здесь интересуют, с помощью второй серии дробей, числители все равны единице, а знаменатели являются последовательными. по каждых двух смежных знаменателей. Вместо дробей, написанных выше, мы имеем такой образ, ряд:

3/1 + 1/1 × 7 - 1/7 × 106 + 1/106 × 113 -...

Первый член, поскольку мы видим, это первая дробь; первая и вторая вместе дают вторую дробь, 22/7; первая, вторая и третья дают третью дробь 333/106, и так далее с остальными; в результате вся серия эквивалентна исходному значению.

Обобщенная непрерывная дробь

Обобщенная непрерывная дробь - это выражение вида

x = b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 б 4 + ⋱ {\ displaystyle x = b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {) 3}))} {b_ {3} + {\ cfrac {a_ {4}} {b_ {4} + \ ddots \,}}}}}}}

x = b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac { a_ {3}} {b_ {3} + {\ cfrac {a_ {4}} {b_ {4} + \ ddots \,}}}}}}}}

где a n (n>0) - частные числители, b n - частные знаменатели, главный член b 0 называется целой частью непрерывной дроби.

Чтобы проиллюстрировать использование обобщенных цепных дробей, рассмотрим следующий пример. Последовательность частных знаменателей простой непрерывной дроби числа π не демонстрирует очевидной закономерности:

π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1,…] {\ displaystyle \ pi = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3, 1, \ ldots]}

\ pi = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3, 1, \ ldots]

или

π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 3 + 1 1 + ⋱ {\ Displaystyle \ pi = 3 + {\ cfrac {1} {7 + {\ cfrac {1} {15 + {\ cfrac {1 } {1 + {\ cfrac {1} {292 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {)) \ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {3+) {\ cfrac {1} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }

\ pi = 3 + \ cfrac {1} {7+ \ cfrac {1} {15+ \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {292+ \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {1} + \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {2+ \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {3+ \ cfrac {1} {1+ \ ddots}}}}}}} }}}}

Однако несколько обобщенных цепных дробей для π имеют совершенно регулярную структуру, например:

π = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + 7 2 2 + 9 2 2 + ⋱ = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + 4 2 9 + ⋱ знак равно 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + 7 2 6 + 9 2 6 + ⋱ {\ displaystyle \ pi = { \ cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {5 ^ {2}} {2 + {\ cfrac) {7 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {9) ^ {2}} {2+ \ ddots}}}}}}}}} = {\ cfrac {4} {1 + {\ cfrac { 1 ^ {2}} {3 + {\ cfrac {2}) ^ {2}} {5 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {7 + {\ cfrac {4 ^ {2}} {9+ \ ddots}}}}}}}}} = 3+ {\ cfrac {1 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {5 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {7 ^ {2}} {6) + {\ cfrac {9 ^ {2}} {6+ \ ddots}}}}}}}}}}}

\ pi = \ cfrac {4} {1 + \ cfrac {1 ^ 2} {2+ \ cfrac {3 ^ 2} {2+ \ cfrac {5 ^ 2} {2+ \ cfrac {7 ^ 2} {2+ \ cfrac {9 ^ 2} {2 + \ ddots}}}}}} = \ cfrac {4} {1+ \ cfrac {1 ^ 2} {3+ \ cfrac {2 ^ 2} {5+ \ cfrac {3 ^ 2} {7+ \ cfrac {4 ^ 2} {9+ \ ddots}}}}} = 3 + \ cfrac {1 ^ 2} {6+ \ cfrac {3 ^ 2} {6+ \ cfrac {5 ^ 2} {6+ \ cfrac {7 ^ 2} {6+ \ cfrac {9 ^ 2} {6+ \ ddots}}}}}

π = 2 + 2 1 + 1 1/2 + 1 1/3 + 1 1/4 + ⋱ = 2 + 2 1 + 1 ⋅ 2 1 + 2 ⋅ 3 1 + 3 ⋅ 4 1 + ⋱ {\ displaystyle \ displaystyle \ pi = 2 + {\ cfrac {2} {1 + {\ cfrac {1} {1/2 + {\ cfrac {1}) {1 / 3 + {\ cfrac {1} {1/4 + \ ddots}}}}}}}} = 2 + {\ cfrac {2} {1 + {\ cfrac {1 \ cdot 2} {1+ {\ cfrac {2 \ cdot 3} {1 + {\ cfrac {3 \ cdot 4} {1+ \ ddots}}}}}}}}

\ displaystyle \ pi = 2 + \ cfrac {2} {1+ \ cfrac {1} {1/2 + \ cfrac {1} {1/3 + \ cfrac {1 } {1/4 + \ ddots}}}} = 2+ \ cfrac {2} {1+ \ cfrac {1 \ cdot2} {1+ \ cfrac {2 \ cdot3} {1+ \ cfrac {3 \ cdot4} {1+ \ ddots}}}}

π = 2 + 4 3 + 1 ⋅ 3 4 + 3 ⋅ 5 4 + 5 ⋅ 7 4 + ⋱ {\ displaystyle \ displaystyle \ pi = 2 + {\ cfrac {4} {3 + {\ cfrac {1 \ cdot 3} {4 + {\ cfrac {3 \ cdot 5)} { 4 + {\ cfrac {5 \ cdot 7} {4+ \ ddots}}}}}}}}}

\ displaystyle \ pi = 2 + \ cfrac {4} {3+ \ cfrac {1 \ cdot3} {4+ \ cfrac {3 \ cdot5} {4+ \ cfrac {5 \ cdot7} {4+ \ ddots} }}}

Первые два из них являются частными случаями функции арктангенса с π = 4 арктангенса (1).

π = 3 + 1 3 6 + 1 3 + 2 3 6 + 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 6 + 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3 6 + 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3 + 7 3 + 8 3 6 + ⋱ {\ displaystyle \ pi = 3 + {\ cfrac {1 ^ {3}} {6 + {\ cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3}} {6 + {\ cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3}} {6 + {\ cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + 5 ^ {3} + 6 ^ {3}} {6 + {\ cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + 5 ^ {3} + 6 ^ {3} + 7 ^ {3} + 8 ^ {3}} {6+ \ ddots}}} }}}}}}}}

{\ displaystyle \ pi = 3 + {\ cfrac {1 ^ {3}} {6 + {\ cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3}} {6 + {\ cfrac {1 ^) {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3}} {6 + {\ cfrac {1) ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + 5 ^ {3} + 6 ^ {3}} {6 + {\ cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + 5 ^ { 3} + 6 ^ {3} + 7 ^ {3} + 8 ^ {3}} {6+ \ ddots}}}}}}}}}}

Цепная дробь $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , состоящая из кубов, использует серию Нилаканта и эксплойт Леонарда Эйлера.

Другие разложения в цепную дробь

Периодические цепные дроби

Числа с периодом расширением в цепную дробь имеют значение в точности иррациональными решениями квадратными уравнениями с рациональными коэффициентами; Рациональные решения имеют разложения в конечную цепную дробь, как указывалось ранее. Простейшими примерами являются золотое сечение φ = [1; 1,1,1,1,1,...] и √2 = [1; 2,2,2,2,...], а √14 = [3; 1,2,1,6,1,2,1,6...] и √42 = [6; 2,12,2,12,2,12...]. Все иррациональные квадратные корни из целых чисел имеют особую форму для периода; симметричная строка, такая как пустая строка (для √2) или 1,2,1 (для √14), за которой следует двойное значение ведущего целого числа.

Свойство золотого сечения φ

использует множество непрерывных дроби для φ не использует целых чисел больше 1, φ является одним из самых "трудных" «действительных чисел для аппроксимации рациональными числами. Теорема Гурвица утверждает, что любое иррациональное число может быть аппроксимировано бесконечным рациональным использованием с

| к - м н | < 1 n 2 5. {\displaystyle \left|k-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.}

\ left | k - {m \ over n} \ right | <{1 \ над n ^ 2 \ sqrt 5}.

Хотя практически все действующие числа обеспечивают бесконечно много подходящих дробей m / n, расстояние от которых до k значительно меньше этого предела, подходящие дроби для φ (т.е. числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. Д.) Последовательно «придерживайтесь границы», соблюдая расстояние почти $1 n 2 5 {\ displaystyle {\ scriptstyle {1 \ over n ^ {2} {\ sqrt {5} }}}}$ ${\ scriptstyle {1 \ over n ^ 2 \ sqrt 5}}$ вдали от φ, что никогда не дает приближения, почти столь же впечатляющего, как, например, 355/113 для π. Также можно показать, что каждое действительное число вида a + bφ / c + dφ, где a, b, c и d - такие целые числа, что a d - b c = ± 1, разделяет это свойство с золотым сечением φ; и что все остальные действительные числа могут быть более приближены.

Правильные шаблоны в непрерывных дробях

Хотя в разложении простой цепной дроби нет различного шаблона, есть один для e, основание натурального логарифма :

е = е 1 = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1,…], {\ displaystyle e = e ^ {1 } = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1, \ точки],}

e = e ^ 1 = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, \ точки],

, который является частным случаем этого общего выражения для положительного целого числа n:

e 1 / n = [1; n - 1, 1, 1, 3 n - 1, 1, 1, 5 n - 1, 1, 1, 7 n - 1, 1, 1,…]. {\ Displaystyle е ^ {1 / n} = [1; п-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1, \ точки] \, \ !.}

e ^ {1 / n} = [1; n-1, 1, 1, 3n-1, 1, 1, 5n-1, 1, 1, 7n-1, 1, 1, \ dots] \, \ !.

Другой, более сложный образец появляется в этом расширении непрерывной дроби для положительного нечетного n:

e 2 / n = [1; n - 1 2, 6 n, 5 n - 1 2, 1, 1, 7 n - 1 2, 18 n, 11 n - 1 2, 1, 1, 13 n - 1 2, 30 n, 17 n - 1 2, 1, 1,…], {\ displaystyle e ^ {2 / n} = \ left [1; {\ frac {n-1} {2}}, 6n, {\ frac {5n-1} {2}}, 1,1, {\ frac {7n-1} {2}}, 18n, {\ frac {11n-1} {2}}, 1,1, {\ frac {13n-1} {2}}, 30n, {\ frac {17n-1} {2}}, 1,1, \ dots \ right ] \, \ !,}

e ^ {2 / n} = \ left [1; \ frac {n-1} {2}, 6n, \ frac {5n-1} {2}, 1, 1, \ frac {7n-1} {2}, 18n, \ frac {11n-1} {2 }, 1, 1, \ frac {13n-1} {2}, 30n, \ frac {17n-1} {2}, 1, 1, \ dots \ right] \, \!,

со специальным случаем для n = 1:

e 2 = [7; 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, 12, 54, 14, 1, 1…, 3 к, 12 k + 6, 3 k + 2, 1, 1…]. {\ Displaystyle е ^ {2} = [7; 2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12, 54,14,1,1 \ точки, 3k, 12k + 6,3k + 2,1,1 \ dots] \, \ !.}

e ^ 2 = [7; 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, 12, 54, 14, 1, 1 \ точки, 3k, 12к + 6, 3к + 2, 1, 1 \ точки] \, \!.

Другие цепные дроби этого типа:

tanh ⁡ (1 / n) = [0; n, 3 n, 5 n, 7 n, 9 n, 11 n, 13 n, 15 n, 17 n, 19 n,…] {\ displaystyle \ tanh (1 / n) = [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 15n, 17n, 19n, \ dots]}

{\ displaystyle \ tanh (1 / n) = [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 15n, 17n, 19n, \ dots]}

где n - положительное целое число; также для целого n:

tan ⁡ (1 / n) = [0; n - 1, 1, 3 n - 2, 1, 5 n - 2, 1, 7 n - 2, 1, 9 n - 2, 1,…], {\ displaystyle \ tan (1 / n) = [0 ; n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1, \ dots] \, \ !,}

\ tan (1 / n) = [0; n-1, 1, 3n-2, 1, 5n-2, 1, 7n-2, 1, 9n-2, 1, \ dots] \, \ !,

со специальным случаем для n = 1:

загар ⁡ (1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1,…]. {\ Displaystyle \ загар (1) = [1; 1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19, 1, \ точки] \, \ !.}

\ tan (1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, \ точки] \, \ !.

Если I n (x) является модифицированной или гиперболической функцией Бесселя первого рода, мы можем определить функцию рациональных чисел x p / q по

S (p / q) = Я п / q (2 / q) I 1 + п / q (2 / q), {\ displaystyle S (p / q) = {\ frac {I_ {p / q} (2 / q)} {I_ { 1 + p / q} (2 / q)}},}

S (p / q) = \ frac {I_ {p / q} (2 / q)} {I_ {1 + p / q} (2 / q)},

который определен для всех рациональных чисел, с p и q в младших термины. Тогда для всех неотрицательных рациональных чисел

S (p / q) = [p + q; п + 2 q, п + 3 q, p + 4 q,…], {\ displaystyle S (p / q) = [p + q; p + 2q, p + 3q, p + 4q, \ dots],}

S (p / q) = [p + q; p + 2q, p + 3q, p + 4q, \ dots],

с аналогичными формулами для отрицательных рациональных чисел; в частности, мы имеем

S (0) = S (0/1) = [1; 2, 3, 4, 5, 6, 7,…]. {\ Displaystyle S (0) = S (0/1) = [1; 2,3,4,5,6,7, \ dots].}

S (0) = S (0/1) = [1; 2, 3, 4, 5, 6, 7, \ точки].

Многие формулы можно доказать с помощью Гаусса Непрерывная дробь.

Типичные непрерывные дроби

Большинство иррациональных чисел не имеют никакого другого периодического или регулярного поведения при раскрытии их непрерывных дробей. Тем не менее, Хинчин доказал, что для почти все действительные числа x, a i (для i = 1, 2, 3,...) имеют удивительные свойства: их среднее геометрическое стремится к константе (известное как константа Хинчина, K ≈ 2.6854520010...) независимо от значения x. Поль Леви показал, что корень n-й степени знаменателя n-й сходящейся дроби разложения почти всех действующих чисел приближается к асимптотическому пределу, приблизительно 3 27582, известен как константа Леви. Теорема Лохса утверждает, что n-я сходящаяся дробь разложения почти всех действующих чисел определяет число со средней точностью чуть более n десятичных знаков.

Приложения

Квадратные корни

Обобщенные непрерывные дроби используются в методе для вычислений квадратных корней.

Тождество

x = 1 + x - 1 1 + x {\ displaystyle {\ sqrt {x}} = 1 + {\ frac {x-1} {1 + {\ sqrt {x}}}}}

\ sqrt {x } = 1+ \ frac {x-1} {1+ \ sqrt {x}}

(1)

ведет через рекурсию в обобщенную цепную дробь для любого квадратного корня:

x = 1 + x - 1 2 + x - 1 2 + x - 1 2 + ⋱ {\ displaystyle {\ sqrt {x}} = 1 + {\ cfrac {x-1} {2 + {\ cfrac {x-1} {2 + {\ cfrac {x-1} {2 + {\ ddots}}}}}}}}

\ sqrt {x} = 1 + \ cfrac {x-1} {2 + \ cfrac {x-1} {2 + \ cfrac {x-1} {2 + {\ ddots}}}}

(2)

Пеллс уравнение

Непрерывные дроби роль в решении уравнения Пелла. Например, для положительных целых чисел p и q и неквадратного n верно, что если p - nq = ± 1, то p / q сходится к правильной непрерывной дроби для √n. Обратное дроби, если период регулярной цепной дроби для √n равен 1, и в общем случае период указан, какие подходящие дроби дают решения уравнения Пелла.

Динамические системы

Непрерывные дроби также играют роль в исследовании динамических систем, где они связывают воедино фракции Фарея, которые видны в множестве Мандельброта с функция вопросительного знака Минковского и модульная группа Гамма.

Обратный оператор сдвига для непрерывных дробей - это карта h (x) = 1 / x - ⌊1 / x⌋, называемая картой Гаусса, которая отсчитывает цифры расширения непрерывной дроби: h ([0; a 1, a 2, a 3,...]) = [0; a 2, a 3,...]. Оператор передачи эта карта называется оператором Гаусса - Кузьмина - Вирсинга. Распределение цифр в непрерывных дробях задается нулевым собственным вектором этого оператора и называется распределением Гаусса - Кузьмина.

Собственные значения и собственные конструкции

Алгоритм Ланцоша использует расширение Дробной дроби для итерационной аппроксимации собственных значений и собственных векторов большой разреженной матрицы.

Сетевые приложения

Непрерывные дроби также использовались при моделировании задач беспроводной оптимизации сети виртуализация сети для поиска маршрута между вызовом и передачей назначения.

Примеры рациональных и иррациональных чисел


Число	r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
123	ar	123
123	ra	123
12,3	ar	12	3	3
12,3	ra	12	37/3	123/10
1,23	ar	1	4	2	1	7
1,23	ra	1	5/4	11/9	16/13	123/100
0,123	ar	0	8	7	1	2	5
0,123	ra	0	1/8	7/57	8/65	23/187	123/1 000
ϕ =. √5 + 1/2	ar	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
ϕ =. √5 + 1/2	ra	1	2	3/2	5/3	8/5	13/8	21/13	34/21	55/34	89/55	144/89
−ϕ =. −√5 + 1/2	ar	−2	2	1	1	1	1	1	1	1	1	1
−ϕ =. −√5 + 1/2	ra	−2	−3/2	−5/3	−8/5	−13/8	−21/13	−34/21	−55/34	−89/55	−144/89	−233/144
√2	ar	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
√2	ra	1	3/2	7/5	17/12	41/29	99/70	239/169	577/408	1 393/985	3 363/2 378	8 119/5 741
⁄√2	ar	0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2
⁄√2	ra	0	1	2/3	5/7	12/17	29/41	70/99	169/239	408/577	985/1 393	2 378/3 363
√3	ar	1	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
√3	ra	1	2	5/3	7/4	19/11	26/15	71/41	97/56	265/153	362/209	989/571
⁄√3	ar	0	1	1	2	1	2	1	2	1	2	1
⁄√3	ra	0	1	1/2	3/5	4/7	19 ноября	15/26	41 / 71	56/97	153/265	209/362
⁄2	ar	0	1	6	2	6	2	6	2	6	2	6
⁄2	ra	0	1	6/7	13/15	84/97	181/209	1170/1 351	2 521/2 911	16 296/18 817	35113/40 545	226 974/262 087
√2	ar	1	3	1	5	1	1	4	1	1	8	1
√2	ra	1	4/3	5/4	29 / 23	34/27	63/50	286/227	349/277	635/504	5429/4 309	6 064/4 813
e	ar	2	1	2	1	1	4	1	1	6	1	1
e	ra	2	3	8/3	11/4	19/7	87/32	106/39	193/71	1 264/465	1 457/536	2 721/1 001
π	ar	3	7	15	1	292	1	1	1	2	1	3
π	ra	3	22/7	333/106	355/113	103 993/33 102	104 348/33 215	208 341/66 317	312 689/99 532	833 719/265 381	1146 408/364 913	4272943/1 360120
Число	r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

ra: рациональное приближение, полученное расширение непрерывной дроби до r

История

300 г. до н.э. Элементы Евклида содержат алгоритм для наибольшего общего делителя, который генерирует непрерывную дробь как побочный продукт
499 Арьябхатия содержит решение неопределенных решений с использованием непрерывных
1572 Рафаэль Бомбелл i, L'Algebra Opera - методы извлечения квадратных корней, относящихся к непрерывным дробям
1613 Пьетро Катальди, Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri - первое обозначение цепных дробь

Катальди представил цепную дробь как

a 0 {\ displaystyle a_ {0}}

a_ {0}

n 1 d 1 ⋅ {\ displaystyle {\ frac {n_) {1}} {d_ {1} \ cdot}}}

{\ displaystyle {\ frac { n_ {1}} {d_ {1} \ cdot}}}

n 2 d 2 ⋅ {\ displaystyle {\ frac {n_ {2}} {d_ {2} \ cdot}}}

{\ displaystyle {\ frac {n_ {2}) } {d_ {2} \ cdot}}}

n 3 d 3 ⋅ {\ displaystyle {\ frac {n_ {3}} {d_ {3} \ cdot}}}

{\ displaystyle {\ frac {n_ {3}} {d_ {3} \ cdot}}}

с точками, указывающими, куда пошли следующие дроби.

1695 Джон Уоллис, Opera Mathematica - введение термина «непрерывная дробь»
1737 Леонард Эйлер, De Fractionibuscontinis dissertatio - предоставил первое на то время исчерпывающее описание свойств непрерывных дробей и включил первое доказательство того, что число е иррационально.
1748 Euler, Introductio in analysin infinitorum. Vol. I, глава 18 - доказал эквивалентность некоторой формы непрерывного дроби и обобщенного бесконечного ряда, доказал, что дробного дробного числа может быть записано в виде конечной цепной дроби, и доказал, что непрерывная дробь иррационального числа бесконечно.
1761 Иоганн Ламберт - дал первое доказательство иррациональности π, используя непрерывную дробь для tan (x).
1768 Джозеф-Луи Лагранж - предоставил общее решение уравнения Пелла с использованием непрерывных дробей, аналогичных
Лагранжа Бомбелли. 1770 - доказал, что квадратичные иррациональные числа расширяются до периодических непрерывных дроби.
1813 Карл Фридрих Гаусс, Werke, Vol. 3, pp. 134–138 - получили очень общую комплексную цепную цепную дробь с помощью хитроумного тождества, включающего гипергеометрическую функцию
1828 Эварист Галуа доказал периодичность непрерывных дроби для квадратичных иррациональные числа.
1892 Анри Паде определил аппроксимацию Паде
1972 Билл Госпер - Первые точные алгоритмы для арифметики непрерывных дробей.

См. Также

Примечания

Ссылки

Зибек, Х. (1846). "Ueber periodische Kettenbrüche". J. Reine Angew. Математика. 33 . С. 68–70.
Хейлерманн, Дж. Б. Х. (1846). "Ueber die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche". J. Reine Angew. Математика. 33 . С. 174–188.
Магнус, Арне (1962). «Непрерывные дроби, связанные с таблицей Паде». Математика. З. 78 . стр. 361–374.
Чен, Чен-Фань; Ши, Леанг-Сан (1969). «Непрерывное обращение дроби по алгоритму Рауса». IEEE Trans. Теория схем. 16 (2). С. 197–202. doi : 10.1109 / TCT.1969.1082925.
Грэгг, Уильям Б. (1974). «Матричные интерпретации и приложения алгоритма цепной дроби». Скалистые горы J. Math. 4 (2). п. 213. doi : 10.1216 / RJM-1974-4-2-213.
Джонс, Уильям Б.; Трон, В. Дж. (1980). Непрерывные дроби: аналитическая теория и приложения. Энциклопедия математики и ее приложений. 11. Чтение. Массачусетс: издательство Издательство Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-13510-8.
Хинчин, А. Я. (1964) [Первоначально опубликовано на русском языке, 1935]. Целые дроби. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-486-69630-8.
Лонг, Кальвин Т. (1972), Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.), Лексингтон: Д. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
Перрон, Оскар (1950). Die Lehre von den Kettenbrüchen. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Chelsea Publishing Company.
Петтофреццо, Энтони Дж.; Биркит, Дональд Р. (1970), Элементы теории чисел, Энглвудские скалы: Прентис Холл, LCCN 77-81766
Рокетт, Эндрю М.; Szüsz, Питер (1992). Целые дроби. Мировая научная пресса. ISBN 981-02-1047-7.
H. С. Уолл, Аналитическая теория непрерывных дробей, Д. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ISBN 0-8284-0207-8
Cuyt, A.; Brevik Petersen, V.; Вердонк, Б.; Waadeland, H.; Джонс, В. Б. (2008). Справочник по непрерывным дробям для специальных функций. Springer Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2.
Ригер, Дж. Дж. (1982). «Новый подход к действительным числам (на основе непрерывных дробей)». Abh. Брауншвейг, Висс. Ges. 33 . С. 205–217.

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Введение в непрерывную дробь
Линас Вепстас Непрерывные дроби и пробелы ( 2004) рассматривают хаотические структуры в непрерывных дробях.
Непрерывные дроби на дереве Штерна-Броко в разрубить узел
Антикиферский механизм I: Механизм соотношения и непрерывные дроби
Калькулятор непрерывных дробей, WIMS.
Арифметика непрерывных дробей Первая неопубликованная статья Госпера о непрерывных дробях. Кэшировано на Wayback Machine Internet Archive
Weisstein, Eric W. "Continued Fraction". MathWorld.
Непрерывные дроби Стивен Вольфрам и Аппроксимации непрерывных дробей касательной функции Майкла Тротта, Wolfram Demonstrations Project.
OEIS последовательность A133593 («Точная» непрерывная дробь для Pi)
Представление «дробной интерполяции» непрерывной дроби {1; 1, 1, 1,...}
Наилучшее рациональное приближение через непрерывные дроби

Найдите непрерывную дробь в Викисловаре, бесплатном результатов.