Абсолютное значение (алгебра)

редактировать

В алгебре, абсолютное значение(также называемое оценка, величинаили норма, хотя «норма » обычно относится к определенному типу абсолютного значения в поле ) - это функция , которая измеряет «размер» элементов в поле или области целостности. Точнее, если D является областью целостности, то абсолютное значение- это любое отображение | x | от D до действительных чисел R, удовлетворяющих:

•	$\| х \| ≥ 0 {\ displaystyle \ left \| x \ right \| \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ left \| x \ right \| \ geq 0}$	(неотрицательность)
•	$\| х \| = 0 {\ displaystyle \ left \| x \ right \| = 0}$ ${\ displaystyle \ left \| x \ right \| = 0}$ тогда и только тогда, когда $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$	(положительная определенность )
•	$\| х у \| = \| х \| \| y \| {\ Displaystyle \ left \| xy \ right \| = \ left \| x \ right \| \ left \| y \ right \|}$ ${\ displaystyle \ left \| xy \ right \| = \ left \| x \ right \| \ left \| y \ right \|}$	(мультипликативность)
•	$\| х + у \| ≤ \| х \| + \| y \| {\ displaystyle \ left \| x + y \ right \| \ leq \ left \| x \ right \| + \ left \| y \ right \|}$ ${\ displaystyle \ left \| x + y \ right \| \ leq \ left \| x \ right \| + \ left \| y \ right \|}$	(неравенство треугольника )

Из этих аксиом следует, что | 1 | = 1 и | -1 | = 1. Кроме того, для любого положительного целого n,

| n | = | 1 + 1 +... + 1 (n раз) | = | −1 - 1 -... - 1 (n раз) | ≤ n.

Классическое «абсолютное значение » - это функция, в которой, например, | 2 | = 2, но многие другие функции удовлетворяют указанным выше требованиям, например, квадратный корень классического абсолютного значения (но не его квадрат).

Абсолютное значение индуцирует метрику (и, следовательно, топологию ) посредством $d (f, g) = | f - g |. {\ displaystyle d (f, g) = | fg |.}$ ${\ displaystyle d (f, g) = | fg |.}$

Содержание

1 Примеры
2 Типа абсолютного значения
3 Разряда
4 Оценки
5 Завершенных
6 Поля и целые области
7 Примечания
8 Ссылки

Примеры

Стандартное абсолютное значение для целых чисел.
Стандартное абсолютное значение для комплексных чисел.
p-адическое абсолютное значение на рациональных числах.
Если R является полем рациональных функций над полем F и $p (x) {\ displaystyle p (x)}$ $п (x)$ является фиксированным неприводимым элементом R, тогда следующее определяет абсолютное значение на R: for $f (x) {\ displaystyle f (x )}$ $f (x)$ в R определить $| f | {\ displaystyle | f |}$ $| f |$ должно быть $2 - n {\ displaystyle 2 ^ {- n}}$ $2 ^ {- n}$ , где $f (x) = p (x ) ng (x) час (x) {\ displaystyle f (x) = p (x) ^ {n} {\ frac {g (x)} {h (x)}}}$ ${\ displaystyle f (x) = p (x) ^ {n} {\ frac {g (x)} {h (x)}}}$ и $gcd (g (x), p (x)) = 1 = gcd (h (x), p (x)). {\ displaystyle gcd (g (x), p (x)) = 1 = gcd (h (x), p (x)).}$ ${\ displaystyle gcd (g (x), p (x)) = 1 = gcd (h (x), p (x)).}$

Типы абсолютного значения

тривиальныйабсолютное значение - это абсолютное значение с | x | = 0, когда x = 0, и | x | = 1 в противном случае. Каждая область целостности может иметь хотя бы тривиальное абсолютное значение. Тривиальное значение - единственное возможное абсолютное значение в конечном поле, потому что любой ненулевой элемент может быть возведен в некоторую степень, чтобы получить 1.

Если абсолютное значение удовлетворяет более сильному свойству | х + у | ≤ max (| x |, | y |) для всех x и y, то | x | называется ультраметрическим или неархимедовым абсолютным значением, в противном случае - архимедовым абсолютным значением.

Размещает

Если | x | 1 и | x | 2 - два абсолютных значения в одной и той же области целостности D, тогда два абсолютных значения эквивалентны, если | x | 1< 1 if and only if |x|2< 1 for all x. If two nontrivial absolute values are equivalent, then for some exponent e we have |x|1= | x | 2 для всех х. Увеличение абсолютного значения до степени меньше 1 приводит к другому абсолютному значению, но повышение до степени больше 1 не обязательно приводит к абсолютному значению. (Например, возведение в квадрат обычного абсолютного значения действительных чисел дает функцию, которая не является абсолютной величиной, потому что она нарушает правило | x + y | ≤ | x | + | y |.) Абсолютные значения с точностью до эквивалентности или в другими словами, класс эквивалентности абсолютных значений называется местом .

Теорема Островского утверждает, что нетривиальные места рациональных чисел Qявляются обычное абсолютное значение и p-адическое абсолютное значение для каждого простого числа p. Для данного простого числа p любое рациональное число q можно записать как p (a / b), где a и b - целые числа, не делящиеся на p, а n - целое число. P-адическое абсолютное значение q равно

| п н а б | р = р - п. {\ displaystyle \ left | p ^ {n} {\ frac {a} {b}} \ right | _ {p} = p ^ {- n}.}

\ left | p ^ {n} { \ frac {a} {b}} \ right | _ {p} = p ^ {{- n}}.

Поскольку обычное абсолютное значение и p-адический Абсолютные значения - это абсолютные значения согласно приведенному выше определению, они определяют места.

Оценки

Если для некоторого ультраметрического абсолютного значения и любого основания b>1, мы определяем ν (x) = −log b | x | для x ≠ 0 и ν (0) = ∞, где ∞ упорядочено так, чтобы оно было больше всех действительных чисел, тогда мы получаем функцию от D до R∪ {∞} со следующими свойствами:

ν (x) = ∞ ⇒ x = 0,
ν (xy) = ν (x) + ν (y),
ν (x + y) ≥ min (ν (x), ν (y)).

Такая функция известна как оценка в терминологии Бурбаки, но другие авторы используют термин оценка для обозначения абсолютной стоимости и затем скажите экспоненциальная оценка вместо оценки.

Завершение

Учитывая область целостности D с абсолютным значением, мы можем определить последовательности Коши элементов D относительно абсолютного значения, требуя, чтобы это для каждого ε>0 существует такое натуральное число N, что для всех целых m, n>N имеется | x m - x n| < ε. Cauchy sequences form a кольцо при поточечном сложении и умножении. Можно также определить нулевые последовательности как последовательности (a n ) элементов D, такие что | a n | сходится к нулю. Нулевые последовательности - это первичный идеал в кольце последовательностей Коши, и поэтому фактор-кольцо является областью целостности. Область D вложена в это фактор-кольцо, что называется завершением D по абсолютному значению | x |.

Поскольку поля являются целостными областями, это также конструкция для завершения поля по абсолютному значению. Чтобы показать, что результатом является поле, а не просто область целостности, мы можем либо показать, что нулевые последовательности образуют максимальный идеал, либо напрямую построить обратное. Последнее легко сделать, взяв для всех ненулевых элементов факторкольца последовательность, начинающуюся с точки за последним нулевым элементом последовательности. Любой ненулевой элемент факторкольца будет отличаться от такой последовательности нулевой последовательностью, и, выполняя поточечную инверсию, мы можем найти представительный обратный элемент.

Другая теорема Александра Островского гласит, что любое поле, завершенное по абсолютному значению архимеда, изоморфно либо действительному, либо комплексные числа, и оценка эквивалентна обычной. Теорема Гельфанда-Торнхеймаутверждает, что любое поле с архимедовой оценкой изоморфно подполю из C, причем оценка эквивалентна обычному абсолютному значению на C.

Поля и области целостности

Если D является областью целостности с абсолютным значением | x |, то мы можем расширить определение абсолютного значения до поля дробей числа D, установив

| х / у | = | х | / | y |. {\ displaystyle | x / y | = | x | / | y |. \,}

| x / y | = | x | / | y |. \,

С другой стороны, если F - поле с ультраметрическим абсолютным значением | x |, то набор элементов F такой, что | x | ≤ 1 определяет кольцо оценки , которое является подкольцом D кольца F такое, что для каждого ненулевого элемента x из F по крайней мере один из x или x принадлежит D. Поскольку F является Поле D не имеет делителей нуля и является областью целостности. Он имеет единственный максимальный идеал, состоящий из всех x таких, что | x | < 1, and is therefore a локальное кольцо.

Примечания

Ссылки