Абсолютное значение

редактировать

Неотрицательное число с той же величиной, что и данное число

График функции абсолютного значения для вещественные числа Абсолютное значение числа можно рассматривать как расстояние от нуля.

В математике, абсолютное значениеили модульдействительного числа x, обозначенное | x |, является неотрицательным значением x безотносительно его знака. А именно | x | = x, если x положительно, и | x | = −x, если x отрицательно (в этом случае −x положительно), и | 0 | = 0. Например, абсолютное значение 3 равно 3, а абсолютное значение −3 также равно 3. Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля.

Обобщения абсолютного значения для действительных чисел происходят в самых разных математических условиях. Например, абсолютное значение также определено для комплексных чисел, кватернионов, упорядоченных колец, полей и вектора. пробелы. Абсолютное значение тесно связано с понятиями величина, расстояние и норма в различных математических и физических контекстах.

Содержание

1 Терминология и обозначения
2 Определение и свойства
- 2.1 Действительные числа
- 2.2 Комплексные числа
  - 2.2.1 Доказательство комплексного неравенства треугольника
3 Функция абсолютного значения
- 3.1 Связь со знаковой функцией
- 3.2 Производная
- 3.3 Первообразная
4 Расстояние
5 Обобщения
- 5.1 Упорядоченные кольца
- 5.2 Поля
- 5.3 Векторные пространства
- 5.4 Композиция алгебры
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Терминология и обозначения

В 1806 году Жан-Робер Арган ввел термин модуль, означающий единицу измерения мера на французском языке, особенно для комплексного абсолютного значения, и она была заимствована на английском языке в 1866 году как латинский эквивалент модуля. Термин «абсолютная величина» используется в этом смысле по крайней мере с 1806 г. на французском языке и с 1857 г. на английском языке. Обозначение | x | с вертикальной чертой на каждой стороне было введено Карлом Вейерштрассом в 1841 году. Другие названия абсолютного значения включают числовое значение и величину. В языках программирования и пакетах вычислительного программного обеспечения абсолютное значение x обычно представлено как abs (x)или аналогичным выражением.

Обозначение вертикальной черты также появляется в ряде других математических контекстов: например, когда применяется к набору, оно обозначает его мощность ; когда применяется к матрице , он обозначает ее определитель . Вертикальные полосы обозначают абсолютное значение только для алгебраических объектов, для которых определено понятие абсолютного значения, в частности, элемента алгебры нормированного деления, например действительного числа, комплексного числа или кватерниона. Близко связанное, но отличное обозначение - использование вертикальных полос для евклидовой нормы или sup norm вектора в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R } ^ {n}$ , хотя двойные вертикальные полосы с нижними индексами ( $| | ⋅ | | 2 {\ displaystyle || \ cdot || _ {2}}$ $|| \ cdot | | _ {2}$ и $| | ⋅ | | ∞ {\ displaystyle || \ cdot || _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle || \ cdot || _ {\ infty}}$ соответственно) являются более распространенным и менее неоднозначным обозначением.

Определение и свойства

Действительные числа

Для любого действительного числа x, абсолютное значениеили модульx обозначается | x | (вертикальная черта на каждой стороне количества) и определяется как

| х | = {x, если x ≥ 0 - x, если x < 0. {\displaystyle |x|=\left\{{\begin{array}{rl}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{array}}\right.}

{\ displaystyle | x | = \ left \ {{\ begin {array} {rl} x, & {\ text {if}} x \ geq 0 \\ - x, & {\ text {if} } x <0. \ end {array}} \ right.}

Таким образом, абсолютное значение x всегда либо положительное, либо нулевое, но никогда отрицательное : когда сам x отрицателен (x < 0), then its absolute value is necessarily positive (|x| = −x >0).

С точки зрения аналитической геометрии абсолютное значение действительного числа - это расстояние этого числа от нуля вдоль линии вещественных чисел, и в более общем смысле абсолютная величина разности двух действительных чисел - это расстояние между ними. Действительно, понятие абстрактной функции расстояния в математике можно рассматривать как обобщение абсолютного значения разности (см. «Расстояние» ниже).

Поскольку символ квадратного корня представляет уникальный положительный квадратный корень (в применении к положительному числу), отсюда следует, что

| х | = x 2 {\ displaystyle | x | = {\ sqrt {x ^ {2}}}}

| x | = \ sqrt {x ^ 2}

эквивалентно определению, приведенному выше, и может использоваться как альтернативное определение абсолютного значения действительных чисел.

Абсолютное значение имеет следующие четыре основных свойства (a, b - действительные числа), которые используются для обобщения этого понятия на другие области:

$\| а \| ≥ 0 {\ displaystyle \| a \| \ geq 0}$ $\| a \| \ geq 0$	Неотрицательность
$\| а \| Знак равно 0 ⟺ a = 0 {\ displaystyle \| a \| = 0 \ iff a = 0}$ $\| a \| = 0 \ iff a = 0$	Положительная определенность
$\| а б \| = \| а \| \| б \| {\ displaystyle \| ab \| = \| a \| \, \| b \|}$ ${\ displaystyle \| ab \| = \| a \| \, \| b \|}$	Мультипликативность
$\| а + б \| ≤ \| а \| + \| б \| {\ displaystyle \| a + b \| \ leq \| a \| + \| b \|}$ $\| a + b \| \ leq \| a \| + \| b \|$	Субаддитивность, в частности, неравенство треугольника

Неотрицательность, положительная определенность и мультипликативность легко очевидны из определение. Чтобы убедиться, что субаддитивность верна, сначала отметим, что одна из двух альтернатив принятия s как –1 или +1 гарантирует, что $s ⋅ (a + b) = | а + б | ≥ 0. {\ displaystyle s \ cdot (a + b) = | a + b | \ geq 0.}$ ${\ displaystyle s \ cdot (a + b) = | a + b | \ geq 0.}$ Теперь, поскольку $- 1 ⋅ x ≤ | х | {\ displaystyle -1 \ cdot x \ leq | x |}$ ${\ displaystyle - 1 \ cdot x \ leq | x |}$ и $+ 1 ⋅ x ≤ | х | {\ displaystyle +1 \ cdot x \ leq | x |}$ ${\ displaystyle +1 \ cdot x \ leq | x | }$ , отсюда следует, что, какое бы значение s ни было, у каждого есть $s ⋅ x ≤ | х | {\ displaystyle s \ cdot x \ leq | x |}$ ${\ displayst yle s \ cdot x \ leq | x |}$ для всех реальных $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Следовательно, $| а + б | = s ⋅ (a + b) = s ⋅ a + s ⋅ b ≤ | а | + | б | {\ displaystyle | a + b | = s \ cdot (a + b) = s \ cdot a + s \ cdot b \ leq | a | + | b |}$ ${\ displaystyle | a + b | = s \ cdot (a + b) = s \ cdot a + s \ cdot b \ leq | a | + | b |}$ по желанию. (Для обобщения этого аргумента на комплексные числа см. «Доказательство неравенства треугольника для комплексных чисел» ниже.)

Некоторые дополнительные полезные свойства приведены ниже. Это либо непосредственные следствия определения, либо подразумеваемые четырьмя фундаментальными свойствами, указанными выше.

$\| \| а \| \| = \| а \| {\ displaystyle {\ big \|} \, \| a \| \, {\ big \|} = \| a \|}$ ${\big \| }\,\|a\|\,{\big \|}=\|a\|$	Idempotence (абсолютное значение абсолютного значения является абсолютным значением)
$\| - а \| = \| а \| {\ displaystyle \| -a \| = \| a \|}$ $\| -a \| = \| a \|$	Ровность (симметрия отражения графика)
$\| а - б \| = 0 ⟺ a = b {\ displaystyle \| a-b \| = 0 \ iff a = b}$ $\| ab \| = 0 \ iff a = b$	Идентичность неразличимых (эквивалент положительной определенности)
$\| а - б \| ≤ \| а - с \| + \| c - b \| {\ displaystyle \| a-b \| \ leq \| a-c \| + \| c-b \|}$ $\|a-b\|\leq \|a-c\|+\|c-b\|$	Неравенство треугольника (эквивалент субаддитивности)
$\| а б \| = \| а \| \| б \| {\ displaystyle \ left \| {\ frac {a} {b}} \ right \| = {\ frac {\| a \|} {\| b \|}} \}$ $\ left \| {\ frac {a} {b}} \ right \| = {\ frac {\| a \|} {\| b \|}} \$ (если $b ≠ 0 {\ displaystyle b \ neq 0}$ $b \ neq 0$ )	Сохранение деления (эквивалент мультипликативности)
$\| a - b \| ≥ \| \| a \| - \| b \| \| {\ displaystyle \| ab \| \ geq {\ big \|} \, \| a \| - \| b \| \, {\ big \|}}$ ${\ displaystyle \| ab \| \ geq {\ big \|} \, \| a \| - \| b \| \, {\ big \|}}$	Обратное неравенство треугольника (эквивалент субаддитивности)

Два других полезных свойства, касающихся неравенств:

| a | ≤ b ⟺ - b ≤ a ≤ b {\ displaystyle | a | \ leq b \ iff -b \ leq a \ leq b}

| a | \ leq b \ iff -b \ leq a \ leq b

| a | ≥ b ⟺ a ≤ - b {\ displaystyle | a | \ geq b \ iff a \ leq -b \}

| a | \ geq b \ iff a \ leq -b \

или

a ≥ b {\ displaystyle a \ geq b}

{\ displaystyle a \ geq b}

Эти отношения могут использоваться для решения неравенств, включающих абсолютные значения. Например:

$\| x - 3 \| ≤ 9 {\ displaystyle \| x-3 \| \ leq 9}$ $\| x-3 \| \ leq 9$	$>- 9 ≤ x - 3 ≤ 9 {\ displaystyle \ iff -9 \ leq x-3 \ leq 9}$ $\ iff -9 \ leq x-3 \ leq 9$
	$⟺ - 6 ≤ x ≤ 12 {\ displaystyle \ iff -6 \ leq x \ leq 12}$ $\ iff -6 \ leq x \ leq 12$

Абсолютное значение, как «расстояние от нуля», используется для определения абсолютной разницы между произвольными вещественные числа, стандартная метрика на реальные числа.

Комплексные числа

Абсолютное значение комплексного числа

z {\ displaystyle z}

z

- это расстояние

r {\ displaystyle r}

r

из

z {\ displaystyle z}

z

от начала координат. На рисунке также видно, что

z {\ displaystyle z}

z

и его комплексное сопряжение

z ¯ {\ displaystyle {\ bar {z}}}

{\ bar {z}}

имеют одинаковое абсолютное значение.

Поскольку комплексные числа не упорядочены, определение реального абсолютного значения, данное вверху, не может быть непосредственно применено к сложные числа. Однако геометрическая интерпретация абсолютного значения действительного числа как расстояния от 0 может быть обобщена. Абсолютное значение комплексного числа определяется евклидовым расстоянием до соответствующей точки на комплексной плоскости от исходной точки . Это можно вычислить с помощью теоремы Пифагора : для любого комплексного числа

z = x + iy, {\ displaystyle z = x + iy,}

z = x + iy,

где x и y - действительные числа, абсолютное значениеили модульz обозначается | z | и определяется как

| z | Знак равно [R e (z)] 2 + [I m (z)] 2 = x 2 + y 2, {\ displaystyle | z | = {\ sqrt {[\ mathrm {Re} (z)] ^ {2} + [\ mathrm {Im} (z)] ^ {2}}} = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {[\ mathrm {Re} (z)] ^ {2} + [\ mathrm {Im} (z)] ^ {2}}} = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

где Re (z) = x и Im ( z) = y обозначают действительную и мнимую части z соответственно. Когда мнимая часть y равна нулю, это совпадает с определением абсолютного значения действительного числа x.

Когда комплексное число z выражается в его полярной форме как

z = rei θ, {\ displaystyle z = re ^ {i \ theta},}

z=re^{i\theta },

с $р = [р е (z)] 2 + [я м (z)] 2 ≥ 0 {\ displaystyle r = {\ sqrt {[\ mathrm {Re} (z)] ^ {2} + [\ mathrm {Im} (z)] ^ {2}}} \ geq 0}$ ${\ displaystyle r = {\ sqrt {[\ mathrm {Re} (z)] ^ {2} + [ \ mathrm {Im} (z)] ^ {2}}} \ geq 0}$ (и θ ∈ arg (z) - это аргумент (или фаза) z), его абсолютное значение

| z | = r {\ displaystyle | z | = r}

| z | = r

Поскольку произведение любого комплексного числа z на его комплексное сопряжение $z ¯ = x - iy, {\ displaystyle {\ bar {z }} = x-iy,}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}} =x-iy,}$ с тем же абсолютным значением, всегда является неотрицательным действительным числом $(x 2 + y 2) {\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2})}$ ${\ d isplaystyle (x ^ {2} + y ^ {2})}$ , абсолютное значение комплексного числа можно удобно выразить как

| z | знак равно z ⋅ z ¯, {\ displaystyle | z | = {\ sqrt {z \ cdot {\ overline {z}}}},}

|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}},

напоминающий альтернативное определение для вещественных чисел: $| х | = х ⋅ х. {\ displaystyle | x | = {\ sqrt {x \ cdot x}}.}$ ${\ displaystyle | x | = {\ sqrt {x \ cdot x}}.}$

Комплексное абсолютное значение разделяет четыре основных свойства, приведенных выше для реального абсолютного значения.

На языке теории групп мультипликативное свойство можно перефразировать следующим образом: абсолютное значение - это гомоморфизм группы из мультипликативной группы комплексных чисел на группу при умножении положительных действительных чисел.

. Важно отметить свойство субаддитивности («неравенство треугольника ») распространяется на любой конечный набор из n комплексных чисел $(zk) k = 1 n {\ textstyle (z_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}}$ ${\ textstyle (z_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}}$ как

| ∑ k = 1 n z k | ≤ ∑ k = 1 n | z k |. (*) {\ Displaystyle {\ Bigg |} \ сумма _ {k = 1} ^ {n} z_ {k} {\ Bigg |} \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} | z_ {k } |. \ quad \ quad (*)}

{\ displaystyle {\ Bigg |} \ sum _ {k = 1} ^ {n} z_ {k} {\ Bigg |} \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} | z_ {k} |. \ quad \ quad (*)}

Это неравенство также применяется к бесконечным семействам при условии, что бесконечный ряд $∑ k = 1 ∞ zk {\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} z_ {k}}$ ${\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} z_ {k}}$ абсолютно сходится. Если интегрирование Лебега рассматривается как непрерывный аналог суммирования, то этому неравенству аналогично подчиняются комплексные измеримые функции $f: R → C {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$ при интегрировании по измеримому подмножеству $E {\ displaystyle E}$ $E$ :

| ∫ E f d x | ≤ ∫ E | f | d x. (* *) {\ Displaystyle {\ Bigg |} \ int _ {E} f \ dx {\ Bigg |} \ leq \ int _ {E} | f | \ dx. \ Quad \ quad (**)}

{\ displaystyle {\ Bigg |} \ int _ {E} f \ dx {\ Bigg | } \ Leq \ int _ {E} | е | \ dx. \ quad \ quad (**)}

(Сюда входят интегрируемые по Риману функции на ограниченном интервале $[a, b] {\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ как частный случай.)

Доказательство комплексного неравенства треугольника

Неравенство треугольника, заданное формулой $(∗) {\ displaystyle (*)}$ $(*)$ , можно продемонстрировать, применив три простых проверенные свойства комплексных чисел: а именно, для каждого комплексного числа $z ∈ C {\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ $z \ in \ mathbb {C}$ ,

(i): существует

c ∈ C {\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}

{\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}

такой, что

| c | = 1 {\ displaystyle | c | = 1}

{\ displaystyle | c | = 1}

| z | знак равно с ⋅ Z {\ displaystyle | z | = c \ cdot z}

|z|=c\cdot z

;

(ii):

R e (z) ≤ | z | {\ displaystyle \ mathrm {Re} (z) \ leq | z |}

{ \ displaystyle \ mathrm {Re} (z) \ leq | z |}

Кроме того, для семейства комплексных чисел $(wk) k = 1 n {\ displaystyle (w_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}}$ ${\ displaystyle (w_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}}$ , $∑ kwk = ∑ К R е (нед) + я ∑ К I m (wk) {\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} = \ sum _ {k} \ mathrm {Re} (w_ {k}) + i \ sum _ {k} \ mathrm {Im} (w_ {k})}$ ${\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} = \ sum _ {k} \ mathrm {Re} (w_ {k}) + i \ sum _ {k} \ mathrm {Im} (w_ {k})}$ . В частности,

(iii): если

∑ kwk ∈ R {\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} \ in \ mathbb {R}}

{\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} \ in \ mathbb {R}}

, то

∑ kwk = ∑ К R e (wk) {\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} = \ sum _ {k} \ mathrm {Re} (w_ {k})}

{\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} = \ sum _ {k} \ mathrm {Re} (w_ {k})}

Доказательство $(∗) {\ displaystyle (*)}$ $(*)$ :Выберите $c ∈ C {\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}$ так, чтобы $| c | = 1 {\ displaystyle | c | = 1}$ ${\ displaystyle | c | = 1}$ и $| ∑ k z k | знак равно с (∑ kzk) {\ textstyle {\ big |} \ sum _ {k} z_ {k} {\ big |} = c {\ big (} \ sum _ {k} z_ {k} {\ big) }}$ ${\ textstyle {\ big |} \ sum _ {k} z_ {k} {\ big |} = c {\ big (} \ sum _ {k } z_ {k} {\ big)}}$ (суммировано по $k = 1,…, n {\ displaystyle k = 1, \ ldots, n}$ $к знак равно 1, \ ldots, п$ ). Следующее вычисление дает желаемое неравенство:

| ∑ k z k | = (i) c (∑ k z k) = ∑ k c z k = (i i i) ∑ k R e (c z k) ≤ (i i) ∑ k | c z k | = ∑ k | c | | z k | = ∑ k | z k | {\ displaystyle {\ Big |} \ sum _ {k} z_ {k} {\ Big |} \; {\ overset {(i)} {=}} \; c {\ Big (} \ sum _ {k } z_ {k} {\ Big)} = \ sum _ {k} cz_ {k} \; {\ overset {(iii)} {=}} \; \ sum _ {k} \ mathrm {Re} (cz_ {k}) \; {\ overset {(ii)} {\ leq}} \; \ sum _ {k} | cz_ {k} | = \ sum _ {k} | c || z_ {k} | = \ sum _ {k} | z_ {k} |}

{\ displaystyle {\ Big |} \ sum _ {k} z_ {k} {\ Big |} \; {\ overset {(i) } {=}} \; c {\ Big (} \ sum _ {k} z_ {k} {\ Big)} = \ sum _ {k} cz_ {k} \; {\ overset {(iii)} { =}} \; \ sum _ {k} \ mathrm {Re} (cz_ {k}) \; {\ overset {(ii)} {\ leq}} \; \ sum _ {k} | cz_ {k} | = \ sum _ {k} | c || z_ {k} | = \ sum _ {k} | z_ {k} |}

Из этого доказательства ясно, что равенство выполняется в $(∗) {\ displaystyle (*)}$ $(*)$ точно, если все $czk {\ displaystyle cz_ {k}}$ ${\ displaystyle cz_ {k}}$ - неотрицательные действительные числа, что, в свою очередь, происходит точно, если все ненулевые $zk {\ displaystyle z_ {k}}$ $z_ {k}$ имеют тот же аргумент , то есть $zk = ak ζ {\ displaystyle z_ {k} = a_ {k} \ zeta}$ ${\ displaystyle z_ {k} = a_ {k} \ zeta}$ для комплексной константы $ζ { \ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ и действительные константы $ak ≥ 0 {\ displaystyle a_ {k} \ geq 0}$ ${\ displaystyle a_ {k} \ geq 0}$ для $1 ≤ k ≤ n {\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$ ${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$ .

Поскольку $f {\ displaystyle f}$ $f$ измеримость подразумевает, что $| f | {\ displaystyle | f |}$ $| f |$ также поддается измерению, доказательство неравенства $(∗ ∗) {\ displaystyle (**)}$ $(** )$ проводится с использованием той же техники, замена $∑ К (⋅) {\ textstyle \ sum _ {k} (\ cdot)}$ ${\ textstyle \ sum _ {к} (\ cdot)}$ на $∫ E (⋅) dx {\ textstyle \ int _ {E} (\ cdot) \, dx}$ ${\ textstyle \ int _ {E} (\ cdot) \, dx}$ и $zk {\ displaystyle z_ {k}}$ $z_ {k}$ с $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ .

Функция абсолютного значения

График функции абсолютного значения для действительных чисел Состав абсолютного значения с кубической функцией в разных порядках

Реальный функция абсолютного значения непрерывна везде. Оно дифференцируемо везде, кроме x = 0. Оно монотонно убывает на интервале (−∞, 0] и монотонно возрастает на интервале [0, + ∞). Поскольку действительное число и его противоположное имеют одинаковое абсолютное значение, это четная функция и, следовательно, не обратимая. Действительная функция абсолютного значения - это кусочно-линейная, выпуклая функция.

И действительная, и комплексная функции идемпотентны.

Связь со знаковой функцией

Функция абсолютного значения действительного числа возвращает его значение независимо от его знака, тогда как функция знака (или знака) возвращает знак числа независимо от его значения. Следующие уравнения показывают взаимосвязь между этими двумя функциями:

| х | = x sgn ⁡ (x), {\ displaystyle | x | = x \ operatorname {sgn} (x),}

| x | = x \ operatorname {sgn} (x),

или

| х | sgn ⁡ (x) = x, {\ displaystyle | x | \ operatorname {sgn} (x) = x,}

| x | \ operatorname {sgn} (x) = x,

и для x ≠ 0,

sgn ⁡ (x) = | х | х = х | х |. {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = {\ frac {| x |} {x}} = {\ frac {x} {| x |}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} ( x) = {\ frac {| x |} {x}} = {\ frac {x} {| x |}}.}

Производная

вещественная функция абсолютного значения имеет производную для каждого x ≠ 0, но не дифференцируемой при x = 0. Ее производная для x ≠ 0 задается ступенчатой функцией :

d | х | d x = x | х | = {- 1 х < 0 1 x >0. {\ displaystyle {\ frac {d | x |} {dx}} = {\ frac {x} {| x |}} = {\ begin {cases} -1 & x <0\\1&x>0. \ end {ases}}}

{\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0. \ end {ases}}

Функция реального абсолютного значения является примером непрерывной функции, которая достигает глобального минимума там, где производная не существует.

Субдифференциал | x | при x = 0 - интервал [−1,1].

комплексная функция абсолютного значения непрерывна везде, но комплексно дифференцируемая нигде, потому что она нарушает уравнения Коши – Римана.

Вторая производная | x | по x равна нулю везде, кроме нуля, где она не существует. Как обобщенная функция, вторая производная может быть взято как удвоенное дельта-функция Дирака.

Первообразная

первообразная (неопределенный интеграл) функции действительного абсолютного значения n равно

∫ | х | d x = x | х | 2 + C, {\ displaystyle \ int | x | dx = {\ frac {x | x |} {2}} + C,}

\ int | x | dx = {\ frac {x | x |} {2}} + C,

, где C - произвольная константа интегрирования. Это не комплексное первообразное, поскольку сложные первообразные могут существовать только для комплексно-дифференцируемых (голоморфных ) функций, а комплексная функция абсолютного значения не является.

Расстояние

Абсолютное значение тесно связано с идеей расстояния. Как отмечалось выше, абсолютное значение действительного или комплексного числа - это расстояние от этого числа до начала координат, вдоль линии действительного числа для действительных чисел или в комплексной плоскости для комплексных чисел, и В более общем смысле, абсолютная величина разности двух действительных или комплексных чисел - это расстояние между ними.

Стандартное евклидово расстояние между двумя точками

a = (a 1, a 2,…, an) {\ displaystyle a = (a_ {1}, a_ {2} , \ точки, a_ {n})}

a = (a_ {1}, a_ {2} , \ точки, a_ {n})

b = (b 1, b 2,…, bn) {\ displaystyle b = (b_ {1}, b_ {2}, \ dots, b_ {n})}

b = (b_ {1}, b_ {2}, \ точек, b_ {n})

в евклидовом n-пространстве определяется как:

∑ i = 1 n (ai - bi) 2. {\ displaystyle {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}

{\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.

Это можно рассматривать как обобщение , поскольку для $a 1 {\ displaystyle a_ {1}}$ $a_ {1}$ и $b 1 {\ displaystyle b_ {1}}$ $b_ {1}$ реально, то есть в 1-пробеле , согласно альтернативному определению абсолютного значения,

| a 1 - b 1 | знак равно (a 1 - b 1) 2 = ∑ я = 1 1 (ai - bi) 2, {\ displaystyle | a_ {1} -b_ {1} | = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1) }) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {1} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}},}

{\ displaystyle | a_ {1} -b_ {1} | = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2 }}} = {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {1} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}},}

и для $a = a 1 + ia 2 {\ displaystyle a = a_ {1} + ia_ {2}}$ $a = a_ {1} + ia_ {2}$ и $b = b 1 + ib 2 {\ displaystyle b = b_ { 1} + ib_ {2}}$ $b = b_ {1} + ib_ {2}$ комплексные числа, то есть в двойном пробеле,

$\| а - б \| {\ displaystyle \| a-b \|}$ $\| ab \|$	$= \| (a 1 + i a 2) - (b 1 + i b 2) \| {\ displaystyle = \| (a_ {1} + ia_ {2}) - (b_ {1} + ib_ {2}) \|}$ $= \| (a_ {1} + ia_ {2}) - (b_ {1} + ib_ {2}) \|$
	$= \| (a 1 - b 1) + i (a 2 - b 2) \| {\ displaystyle = \| (a_ {1} -b_ {1}) + i (a_ {2} -b_ {2}) \|}$ $= \| (a_ {1} -b_ {1}) + i (a_ {2} -b_ {2}) \|$
	$= (a 1 - b 1) 2 + (a 2 - b 2 ) 2 знак равно ∑ i = 1 2 (ai - bi) 2. {\ displaystyle = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {2} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}$ $={\sqrt {(a_{1}-b_{1 })^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Выше показано, что «абсолютное значение» - расстояние для действительных и комплексных чисел, согласуется со стандартным евклидовым расстоянием, которое они наследуют в результате рассмотрения их как одномерного и двумерного евклидова пространства соответственно.

Свойства абсолютного значения разности двух действительных или комплексных чисел: неотрицательность, тождество неразличимых, симметрия и неравенство треугольника, данные выше, можно рассматривать как мотивирующие более общее понятие функцию расстояния следующим образом:

Действительнозначная функция d на множестве X × X называется метрикой (или функцией расстояния) на X, если она удовлетворяет следующие четыре аксиомы:

$d (a, b) ≥ 0 {\ displaystyle d (a, b) \ geq 0}$ $d (a, b) \ geq 0$	неотрицательность
$d (a, b) = 0 ⟺ a = b { \ displaystyle d (a, b) = 0 \ iff a = b}$ $d (a, b) = 0 \ iff a = b$	Идентичность неразличимых
$d (a, b) = d (b, a) {\ displaystyle d (a, b) = d ( b, a)}$ $d (a, b) = d (b, a)$	Симметрия
$d (a, b) ≤ d (a, c) + d (c, b) {\ displaystyle d (a, b) \ leq d (a, c) + d (c, b)}$ $d (a, b) \ leq d (a, c) + d (c , б)$	Неравенство треугольника

Обобщения

Упорядоченные кольца

Определение абсолютного значения, данное для действительных чисел выше, может быть распространено на любое упорядоченное кольцо. То есть, если a является элементом упорядоченного кольца R, то абсолютное значение элемента a, обозначенное | a |, определяется как:

| а | = {a, если a ≥ 0 - a, если a < 0. {\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.}

{\ displaystyle | a | = \ left \ {{\ begin {array} {rl} a, & {\ text {if}} a \ geq 0 \\ - a, & {\ text {if}} a <0. \ end {array}} \ right.}

, где -a - аддитивная инверсия a, 0 - аддитивная идентичность, а < and ≥ have the usual meaning with respect to the ordering in the ring.

Поля

Четыре основных свойства абсолютного значения для действительных чисел могут использоваться для обобщения понятия абсолютного значения на произвольное поле следующим образом.

Действительная функция v в поле F называется абсолютным значением (также модулем, величиной, значением или оценкой), если она удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

$v (a) ≥ 0 {\ displaystyle v (a) \ geq 0}$ $v (a) \ geq 0$	неотрицательность
$v (a) = 0 ⟺ a = 0 {\ displaystyle v (a) = 0 \ iff a = \ mathbf {0}}$ $v (a) = 0 \ iff a = \ mathbf {0}$	Положительная определенность
$v (ab) = v (a) v (b) {\ displaystyle v (ab) = v (a) v (b)}$ $v (ab) = v (a) v (b)$	Мультипликативность
$v (a + b) ≤ v (a) + v (b) {\ displaystyle v (a + b) \ leq v (a) + v (b)}$ $v (a + b) \ leq v (a) + v (b)$	Субаддитивность или неравенство треугольника

где 0обозначает аддитивное тождество F. Из положительной определенности и мультипликативности следует, что v (1) = 1, где 1обозначает мультипликативную идентичность F. Определенные выше действительные и комплексные абсолютные значения являются примерами абсолютных значений для произвольного поля.

Если v - абсолютное значение на F, то функция d на F × F, определенная как d (a, b) = v (a - b), является метрикой, и следующие эквиваленты:

d удовлетворяет ультраметрическому неравенству $d (x, y) ≤ max (d (x, z), d (y, z)) {\ displaystyle d (x, y) \ leq \ max (d (x, z), d (y, z))}$ $d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))$ для всех x, y, z в F.
${v (∑ k = 1 n 1): n ∈ N} {\ displaystyle {\ big \ {} v {\ Big (} {\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n}} \ mathbf {1} {\ Big)}: п \ in \ mathbb { N} {\ big \}}}$ ${\ big \ {} v {\ Big (} {\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n}} \ mathbf {1} {\ Big)}: п \ in \ mathbb {N} {\ big \}}$ ограничено в R.
$v (∑ k = 1 n 1) ≤ 1 {\ displaystyle v {\ Big (} {\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n}} \ mathbf {1} {\ Big)} \ leq 1 \}$ $v {\ Big (} {\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n}} \ mathbf {1} {\ Big)} \ leq 1 \$ для каждого $n ∈ N. {\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}.}$ $n \ in \ mathbb {N}.$
$v (a) ≤ 1 ⇒ v (1 + a) ≤ 1 {\ displaystyle v (a) \ leq 1 \ Rightarrow v (1 + a) \ leq 1 \}$ $v (a) \ leq 1 \ Rightarrow v (1 + a) \ leq 1 \$ для всех $a ∈ F. {\ displaystyle a \ in F.}$ $a \ in F.$
$v (a + b) ≤ max {v (a), v (b)} {\ displaystyle v (a + b) \ leq \ mathrm {max} \ {v (a), v (b) \} \}$ $v (a + b) \ leq \ mathrm {max} \ {v (a), v (b) \} \$ для всех $a, b ∈ F. {\ displaystyle a, b \ in F.}$ $a, b \ in F.$

Абсолютное значение, которое удовлетворяет любому (следовательно, всем) из вышеперечисленных условий, называется неархимедовым, в противном случае считается, что оно Архимед.

Векторные пространства

Снова можно использовать фундаментальные свойства абсолютного значения для действительных чисел, с небольшими изменениями, чтобы обобщить понятие на произвольное векторное пространство.

Действительнозначная функция в векторном пространстве V над полем F, представленная как || · ||, называется абсолютным значением, но чаще нормой, если оно удовлетворяет следующим аксиомам:

Для всех a в F и v, uв V,

$‖ v ‖ ≥ 0 {\ displaystyle \ \| \ mathbf {v} \ \| \ geq 0}$ $\ \| \ mathbf {v} \ \| \ geq 0$	неотрицательность
$‖ v ‖ = 0 ⟺ v = 0 {\ displaystyle \ \| \ mathbf {v} \ \| = 0 \ iff \ mathbf {v} = 0}$ $\ \| \ mathbf {v} \ \| = 0 \ iff \ mathbf {v} = 0$	Положительная определенность
$‖ av ‖ = \| а \| ‖ V ‖ {\ displaystyle \ \| a \ mathbf {v} \ \| = \| a \| \ \| \ mathbf {v} \ \|}$ $\ \| a \ mathbf {v} \ \| = \| a \| \ \| \ mathbf {v} \ \|$	Положительная однородность или положительная масштабируемость
$‖ v + u ‖ ≤ ‖ v ‖ + ‖ U ‖ {\ displaystyle \ \| \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ \| \ leq \ \| \ mathbf {v} \ \| + \ \| \ mathbf {u} \ \|}$ $\ \| \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ \| \ leq \ \| \ mathbf {v} \ \| + \ \| \ mathbf {u} \ \|$	Субаддитивность или неравенство треугольника

Норма вектора также называется его длиной или величиной.

В случае евклидова пространства Rфункция, определенная как

‖ (x 1, x 2,…, xn) ‖ = ∑ i = 1 nxi 2 {\ displaystyle \ | (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ | = {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}} }}

\|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}

- это норма, называемая евклидовой нормой. Когда действительные числа Rрассматриваются как одномерное векторное пространство R, абсолютное значение - это norm и p-норма (см. L пробел ) для любого p. Фактически абсолютное значение является «единственной» нормой на Rв том смысле, что для каждой нормы || · || на R, || x || = || 1 || ⋅ | х |. Комплексное абсолютное значение - это частный случай нормы во внутреннем пространстве продукта . Она идентична евклидовой норме, если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью R.

композиционные алгебры

Каждая композиционная алгебра A имеет инволюцию x → x * называется его сопряжением. Произведение в A элемента x и его сопряженного x * записывается как N (x) = xx * и называется нормой x.

Действительные числа ℝ, комплексные числа ℂ и кватернионы ℍ - все это композиционные алгебры. с нормами, заданными определенными квадратичными формами. Абсолютное значение в этих алгебрах с делением дается квадратным корнем нормы композиционной алгебры.

Обычно нормой композиционной алгебры может быть квадратичная форма, которая не является определенной и имеет нулевые векторы. Однако, как и в случае алгебр с делением, когда элемент x имеет ненулевую норму, тогда x имеет мультипликативный обратный, задаваемый x * / N (x).

Примечания

Ссылки

Бартл; Шерберт; Введение в реальный анализ (4-е изд.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
Nahin, Paul J.; Воображаемая сказка; Издательство Принстонского университета; (твердый переплет, 1998 г.). ISBN 0-691-02795-1.
Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07 -148754-2.
О'Коннор, Дж. Дж. и Робертсон, E.F.; «Жан Роберт Арган».
Шехтер, Эрик; Справочник по анализу и его основам, стр. 259–263, «Абсолютные значения», Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8.

Внешние ссылки

$\| а - б \| {\ displaystyle \| a-b \|}$ $\| ab \|$	$= \| (a 1 + i a 2) - (b 1 + i b 2) \| {\ displaystyle = \| (a_ {1} + ia_ {2}) - (b_ {1} + ib_ {2}) \|}$ $= \| (a_ {1} + ia_ {2}) - (b_ {1} + ib_ {2}) \|$
	$= \| (a 1 - b 1) + i (a 2 - b 2) \| {\ displaystyle = \| (a_ {1} -b_ {1}) + i (a_ {2} -b_ {2}) \|}$ $= \| (a_ {1} -b_ {1}) + i (a_ {2} -b_ {2}) \|$
	$= (a 1 - b 1) 2 + (a 2 - b 2 ) 2 знак равно ∑ i = 1 2 (ai - bi) 2. {\ displaystyle = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {2} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}$ $={\sqrt {(a_{1}-b_{1 })^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$