Аргумент (комплексный анализ)

редактировать

Рисунок 1. Эта диаграмма Аргана представляет комплексное число, лежащее на плоскости. Для каждой точки на плоскости arg - это функция, которая возвращает угол φ.

В математике (особенно в комплексном анализе ) аргумент равен многозначная функция, работающая с ненулевыми комплексными числами. Когда комплексные числа z визуализируются как точка на комплексной плоскости , аргументом z является угол между положительной действительной осью и линия, соединяющая точку с началом координат, обозначенная как φ на рисунке 1 и обозначенная arg z. Для определения однозначной функции используется главное значение аргумента (иногда обозначается как Arg z). Часто выбирается уникальное значение аргумента, лежащее в интервале (–π, π].

Содержание

1 Определение
2 Основное значение
- 2.1 Обозначение
3 Вычисление из действительная и мнимая части
4 Тождества
- 4.1 Пример
- 4.2 Использование комплексного логарифма
5 Ссылки
6 Библиография
7 Внешние ссылки

Определение

Рисунок 2. Два выбор аргумента φ

Аргумент комплексного числа z = x + iy, обозначаемый arg (z), определяется двумя эквивалентными способами:

Геометрически, в комплексе плоскость, как двумерный полярный угол φ от положительной действительной оси до вектора, представляющего z. Числовое значение задается углом в радианах и является положительным, если измерено против часовой стрелки.
Алгебраически, как любая действительная величина φ такая, что

z = r (cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ) = rei φ {\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = re ^ {i \ varphi}}

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi)=re^{i\varphi }

для некоторого положительного действительного числа r (см. формулу Эйлера ). Величина r является модулем (или абсолютным значением) z, обозначенным | z |:

r = x 2 + y 2. {\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Имена величина для модуля и фаза, в качестве аргумента иногда используются эквивалентно.

Согласно обоим определениям можно видеть, что аргумент любого ненулевого комплексного числа имеет много возможных значений: во-первых, как геометрический угол, ясно, что вращение всего круга не меняет точку, поэтому углы, различающиеся на целое число, кратное 2π радиан (полный круг), такие же, как показано на рисунке 2 справа. Аналогичным образом, из периодичности для sin и cos второе определение также имеет это свойство. Нулевой аргумент обычно остается неопределенным.

Главное значение

Рис. 3. Главное значение Arg синей точки в точке 1 + i равно π / 4. Красная линия здесь - это разрез ветви и соответствует двум красным линиям на рисунке 4, которые видны вертикально друг над другом).

Поскольку полный поворот вокруг начала координат оставляет неизменным комплексное число, есть много вариантов, которые можно сделать для φ, обойдя начало координат любое количество раз. Это показано на рисунке 2, представляющем многозначную (многозначную) функцию $f (x, y) = arg ⁡ (x + iy) {\ displaystyle f (x, y) = \ arg (x + iy)}$ $f(x,y)=\arg(x+iy)$ , где вертикальная линия (не показанная на рисунке) разрезает поверхность на высоте, представляющей все возможные варианты угла для этой точки.

Когда требуется четко определенная функция, то обычный выбор, известный как главное значение, - это значение в интервале открыт-закрыт . (−π rad, π rad], то есть от −π до π радиан, исключая сам −π rad (эквивалент, от −180 до +180 градусов, за исключением самого -180 °). Это представляет собой угол до половины полного круга от положительной действительной оси в любом направлении.

Некоторые авторы определяют диапазон главного значения как находящийся в закрытом-открытом интервале [0, 2π).

Обозначение

Главное значение иногда имеет начальную букву с заглавной буквы, как в Arg z, особенно когда также рассматривается общая версия аргумента. Обратите внимание, что обозначения различаются, поэтому arg и Arg могут меняться местами в разных текстах.

Множество всех возможных значений аргумента можно записать в терминах Arg как:

arg ⁡ (z) ∈ {Arg ⁡ (z) + 2 π n | n ∈ Z}. {\ displaystyle \ operatorname {arg} (z) \ in \ {\ operatorname {Arg} (z) +2 \ pi n \; | \; n \ in \ mathbb {Z} \}.}

\operatorname {arg} (z)\in \{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\;|\;n\in \mathbb {Z} \}.

Аналогично

Arg ⁡ (z) = arg ⁡ (z) - 2 π n | n ∈ Z ∧ - π < arg ⁡ ( z) − 2 π n ≤ π. {\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\operatorname {arg} (z)-2\pi n\;|\;n\in \mathbb {Z} \ \land -\pi <\operatorname {arg} (z)-2\pi n\leq \pi.}

\operatorname {Arg} (z)=\operatorname {arg} (z)-2\pi n\;|\;n\in \mathbb {Z} \ \land -\pi <\operatorname {arg} (z)-2\pi n\leq \pi.

Вычисление из действительной и мнимой частей

Если комплексное число известно в терминах его действительной и мнимой частей, то функция, вычисляющая главное значение Arg, называется функция арктангенса с двумя аргументами atan2 :

Arg ⁡ (x + iy) = atan2 ⁡ (y, x) {\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x)}

\operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)

Функция atan2 (также называемая arctan2 или другими синонимами) доступна в математических библиотеках многих языков программирования и обычно возвращает значение в диапазоне (−π, π].

Многие В текстах говорится, что значение задается как arctan (y / x), поскольку y / x - это наклон, а arctan преобразует наклон в угол. Это верно только тогда, когда x>0, поэтому частное определяется, а угол лежит между −π / 2 и π / 2, но расширение этого определения на случаи, когда x не является положительным, относительно сложно. В частности, можно определить главное значение аргумента отдельно на двух полуплоскостях x>0 и x < 0 (separated into two quadrants if one wishes a branch cut on the negative x-axis), y>0, y < 0, and then patch together.

Арг ⁡ (x + iy) = atan2 ⁡ (y, x) = {arctan ⁡ (yx), если x>0, arctan ⁡ (yx) + π, если x < 0 and y ≥ 0, arctan ⁡ ( y x) − π if x < 0 and y < 0, + π 2 if x = 0 and y>0, - π 2, если x = 0 и y < 0, undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right){\text{if }}x>0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) + \ pi {\ text {if}} x <0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi {\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0, \\ - {\ frac {\ pi} {2}} {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y <0,\\{\text{undefined}}{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}

\operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right){\text{if }}x>0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) + \ pi {\ text {if} } x <0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi {\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0, \\ - {\ frac {\ pi} {2}} {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y <0,\\{\text{undefined}}{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}

Компактное выражение с 4 перекрывающимися половинами -плоскости - это

Arg ⁡ (x + iy) = atan2 ⁡ (y, x) = {arctan ⁡ (yx), если x>0, π 2 - arctan (xy), если y>0, - π 2 - arctan ⁡ (xy), если y < 0, arctan ⁡ ( y x) ± π if x < 0, undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right){\text{if }}x>0, \\ {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) {\ text {если }} y>0, \\ - {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) {\ text {if}} y <0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\pm \pi {\text{if }}x<0,\\{\text{undefined}}{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}

\operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right){\text{if }}x>0, \\ {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) {\ text {if}} y>0, \\ - {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) {\ text {if}} y <0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\pm \pi {\text{if }}x<0,\\{\text{undefined}}{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}

Для варианта, где Arg определен как лежат в интервале [0, 2π), значение можно найти, прибавив 2π к значению выше, когда оно отрицательно.

В качестве альтернативы, главное значение может быть вычислено единообразно с использованием формулы касательного полуугла, причем функция определяется на комплексной плоскости, но без начала координат:

Arg ⁡ (x + iy) = {2 arctan ⁡ (yx 2 + y 2 + x), если x>0 или y ≠ 0, π, если x < 0 and y = 0, undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right){\text{if }}x>0 {\ text {или}} y \ neq 0, \\\ pi {\ text {if}} x <0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}

\operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right){\text{if }}x>0 {\ text {или}} y \ neq 0, \\\ pi {\ text {if}} x <0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}

Это основано на параметризации окружность (кроме отрицательной оси абсцисс) рациональными функциями. Эта версия Arg недостаточно стабильна для вычислительного использования с плавающей запятой (так как она может переполняться около области x < 0, y = 0), but can be used in символьного вычисления.

Вариант последней формулы, который позволяет избежать переполнения, иногда используется в высоких вычисление точности:

Arg ⁡ (x + iy) = {2 arctan ⁡ (x 2 + y 2 - xy), если y ≠ 0, 0, если x>0 и y = 0, π, если x < 0 and y = 0, undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}2\arctan \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{y}}\right){\text{if }}y\neq 0,\\0{\text{if }}x>0 { \ text {and}} y = 0, \\\ pi {\ text {if}} x <0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}

\operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}2\arctan \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{y}}\right){\text{if }}y\neq 0,\\0{\text{if }}x>0 {\ text {and}} y = 0, \\\ pi {\ text {if}} x <0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}

Тождества

Одним из основных мотивов для определения главного значения Arg является возможность записывать комплексные числа в форме модуля-аргумента. Следовательно, для любого комплексного числа z

z = | z | ei Arg ⁡ z. {\ displaystyle z = \ left | z \ right | e ^ {i \ operatorname {Arg} z}.}

z=\left|z\right|e^{{i\operatorname {Arg}z}}.

Это действительно верно, только если z не равно нулю, но может считаться допустимо для z = 0, если Arg (0) рассматривается как неопределенная форма - а не как неопределенная.

Далее следуют некоторые дополнительные идентичности. Если z 1 и z 2 - два ненулевых комплексных числа, n

Арг ⁡ (z 1 z 2) ≡ Арг ⁡ (z 1) + Арг ⁡ (z 2) (mod (- π, π]), {\ displaystyle \ operatorname {Arg} (z_ {1} z_ {2}) \ Equiv \ operatorname {Arg} (z_ {1}) + \ operatorname {Arg} (z_ {2}) {\ pmod {(- \ pi, \ pi]}},}

\operatorname {Arg}(z_{1}z_{2})\equiv \operatorname {Arg}(z_{1})+\operatorname {Arg}(z_{2}){\pmod {(-\pi,\pi ]}},

Arg ⁡ (z 1 z 2) ≡ Arg ⁡ ( z 1) − Arg ⁡ ( z 2) ( mod ( − π, π ]). {\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\biggr)}\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi,\pi ]}}.}

\operatorname {Arg}{\biggl (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\biggr)}\equiv \operatorname {Arg}(z_{1})-\operatorname {Arg}(z_{2}){\pmod {(-\pi,\pi ]}}.

If z ≠ 0 and n is any integer, then

Arg ⁡ ( z n) ≡ n Arg ⁡ ( z) ( mod ( − π, π ]). {\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {(-\pi,\pi ]}}.}

\operatorname {Arg}\left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg}(z){\pmod {(-\pi,\pi ]}}.

Example

Arg ⁡ ( − 1 − i i) = Arg ⁡ ( − 1 − i) − Arg ⁡ ( i) = − 3 π 4 − π 2 = − 5 π 4 {\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr)}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}}

\operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr)}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}

Using the complex logarithm

From $z = | z | e i θ {\displaystyle z=|z|e^{i\theta }}$ $z=|z|e^{i\theta }$ , it easily follows that $Arg ⁡ ( z) = − i ln ⁡ z | z | {\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=-i\ln {\frac {z}{|z|}}}$ $\operatorname {Arg} (z)=-i\ln {\frac {z}{|z|}}$ . This is useful when one has the complex logarithm available.

References

Bibliography

External links

Argument at Encyclopedia of Mathematics.