Главное значение

редактировать

Значения по одной ветви многозначной функции, чтобы однозначный

В математике, в частности комплексном анализе, основные значения многозначной функции - это значения вдоль одной выбранной ветви этой функции, так что это однозначная оценено. Простейший случай возникает при извлечении квадратного корня из положительного действительного числа. Например, у 4 два квадратных корня: 2 и –2; из них положительный корень 2 считается главным корнем и обозначается как $4. {\ displaystyle {\ sqrt {4}}.}$ ${\ sqrt {4}}.$

Содержание

1 Мотивация
2 Общий случай
- 2.1 Основные значения стандартных функций
  - 2.1.1 Функция логарифма
  - 2.1.2 Квадратный корень
  - 2.1.3 Комплексный аргумент
3 См. Также

Мотивация

Рассмотрим комплексный логарифм функции log z. Он определяется как комплексное число w такое, что

e w = z. {\ displaystyle e ^ {w} = z.}

{\ displaystyle е ^ {w} = z.}

Теперь, например, мы хотим найти журнал i. Это означает, что мы хотим решить

e w = i {\ displaystyle e ^ {w} = i}

{\ displaystyle e ^ {w} = i}

для w. Ясно, что iπ / 2 - решение. Но разве это единственное решение?

Конечно, есть и другие решения, о чем свидетельствует рассмотрение положения i в комплексной плоскости и, в частности, его аргумента arg i. Мы можем повернуть против часовой стрелки на π / 2 радиан от 1, чтобы сначала достичь i, но если мы повернем еще на 2π, мы снова достигнем i. Итак, мы можем заключить, что i (π / 2 + 2π) также является решением для log i. Становится ясно, что мы можем добавить любое кратное 2πi к нашему начальному решению, чтобы получить все значения для log i.

Но это имеет следствие, которое может быть неожиданным при сравнении функций с действительными значениями: log i не имеет одного определенного значения! Для log z имеем

log ⁡ z = ln ⁡ | z | + i (a r g z) = ln ⁡ | z | + я (A rgz + 2 π К) {\ Displaystyle \ журнал {z} = \ ln {| z |} + я \ влево (\ mathrm {arg} \ z \ right) = \ ln {| z |} + i \ left (\ mathrm {Arg} \ z + 2 \ pi k \ right)}

{\ displaystyle \ log {z } = \ ln {| z |} + i \ left (\ mathrm {arg} \ z \ right) = \ ln {| z |} + i \ left (\ mathrm {Arg} \ z + 2 \ pi k \ справа)}

для целого числа k, где Arg z - (главный) аргумент z, определенный как лежащий в интервал $(- π, π] {\ displaystyle (- \ pi, \ \ pi]}$ ${\ displaystyle (- \ pi, \ \ pi]}$ . Поскольку главный аргумент уникален для данного комплексного числа z, $- π {\ displaystyle - \ pi}$ $- \ pi$ не включается в интервал. Каждое значение k определяет то, что известно как ветвь (или лист), однозначное компонент многозначной функции журнала.

Ветвь, соответствующая k = 0, известна как основная ветвь, и вдоль этой ветви значения, которые принимает функция, известны как главные значения.

Общий случай

В общем случае, если f (z) многозначно, главная ветвь f обозначается

pvf (z) {\ displaystyle \ mathrm {pv} \, f (z)}

{\ displaystyle \ mathrm {pv} \, f (z)}

такая, что для z в области функции f pv f (z) однозначно.

Принцип Все значения стандартных функций

Комплексные значения элементарные функции могут быть многозначными в некоторых областях. Главное значение некоторых из этих функций может быть получено путем разложения функции на более простые, при этом главное значение простых функций легко получить.

Функция логарифма

Мы рассмотрели функцию логарифма выше, то есть

log ⁡ z = ln ⁡ | z | + я (а г г г). {\ displaystyle \ log {z} = \ ln {| z |} + i \ left (\ mathrm {arg} \ z \ right).}

\ log {z} = \ ln {| z |} + i \ left (\ mathrm {arg} \ z \ right).

Теперь arg z по своей сути многозначен. Часто аргумент некоторого комплексного числа определяется как между $- π {\ displaystyle - \ pi}$ $- \ pi$ (исключая) и $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ (включительно), поэтому мы принимаем это за главное значение аргумента и записываем функцию аргумента на этой ветви Arg z (с ведущей заглавной A). Используя Arg z вместо arg z, мы получаем главное значение логарифма и записываем

p v log ⁡ z = L o g z = ln ⁡ | z | + я (A r g z). {\ displaystyle \ mathrm {pv} \ log {z} = \ mathrm {Log} \, z = \ ln {| z |} + i \ left (\ mathrm {Arg} \, z \ right).}

{\ displaystyle \ mathrm {pv } \ log {z} = \ mathrm {Log} \, z = \ ln {| z |} + i \ left (\ mathrm {Arg} \, z \ right).}

Квадратный корень

Для комплексного числа $z = re ϕ i {\ displaystyle z = re ^ {\ phi i} \,}$ ${\ displaystyle z = re ^ {\ phi i} \,}$ главное значение квадратный корень равен:

pvz = rei ϕ / 2 {\ displaystyle \ mathrm {pv} {\ sqrt {z}} = {\ sqrt {r}} \, e ^ {i \ phi / 2} }

{\ displaystyle \ mathrm {pv} {\ sqrt {z}} = {\ sqrt {r}} \, e ^ {i \ phi / 2}}

с аргументом $- π < ϕ ≤ π. {\displaystyle -\pi <\phi \leq \pi.}$ ${\ displaystyle - \ pi <\ phi \ leq \ pi.}$

Сложный аргумент

сравнение функций atan и atan2

Главное значение аргумент комплексного числа, измеренный в радианах, может быть определен как:

значения в диапазоне $[0, 2 π) {\ displaystyle [0,2 \ pi)}$ $[0,2 \ pi)$
значения в диапазоне $(- π, π] {\ displaystyle (- \ pi, \ pi]}$ ${\ displaystyle (- \ пи, \ пи]}$

Для вычисления этих значений можно использовать функции:

atan2 с главным значением в диапазоне $(- π, π] {\ displaystyle (- \ pi, \ pi]}$ ${\ displaystyle (- \ пи, \ пи]}$
atan с главным значением в диапазоне $(- π 2, π 2] {\ displaystyle ({\ tfrac {- \ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}}]}$ ${\ displaystyle ({\ tfrac {- \ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}}]}$

См. также