Обратные тригонометрические функции

В математике, обратные тригонометрические функции (иногда также называемые функции дуги, антитригонометрические функции или циклометрические функции ) - это функции, обратные для тригонометрических функций (с соответствующим ограничением домены ). В частности, они являются обратными значениями синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и функции косеканса и используются для получения угла из любого из тригонометрических используемых угла. Обратные тригонометрические функции широко используются в инженерии, навигации, физике и геометрии.

• 1 Обозначение
• 2 Базовые свойства
  • 2.1 Основные значения
  • 2.2 Общие решения
    • 2.2.1 Равные идентичные тригонометрические функции
  • 2.3 Связи между тригонометрическими функциями и обратными тригонометрическими функциями
  • 2.4 Связи между обратными тригонометрическими функциями
  • 2.5 Арктангенс сложение
• 3 В исчислении
  • 3.1 Производные обратные тригонометрические функции
  • 3.2 Выражение в виде определенных интегралов
  • 3.3 Бесконечный ряд
    • 3.3.1 Непрерывные дроби для арктангенса
  • 3.4 Неопределенные интегралы обратных тригонометрических функций
    • 3.4.1 Пример
• 4 Расширение до комплексной плоскости
  • 4.1 Логарифмические формы
    • 4.1.1 Обобщение
    • 4.1.2 Пример доказательства
• 5 Приложения
  • 5.1 Приложение: поиск угла прямоугольного треугольника
  • 5.2 В информ атангенса и техники
    • 5.2.1 Двухаргументный вариант от арктангенса
    • 5.2.2 арктангенса с параметром местоположения
    • 5.2.3 Числовая точность
• 6 См. также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Существуют несколько обозначений для обратных тригонометрических функций. Наиболее распространенным соглашением является обозначение обратных тригонометрических функций с использованием префикса arc-: arcsin (x), arccos (x), arctan (x) и т. Д. (Это соглашение используется в этой статье). Это обозначение происходит из следующих геометрических отношений: при измерении в радианах угол θ радиан будет соответствовать дуге, длина которой равна rθ, где r - радиус круга. Таким образом, в единичном круге «дуга, косинус равенства x», совпадает с «углом, косинус которого равен x», потому что длина дуги окружности в радиусах равна измеренной углу в радианах. На языках компьютерного программирования обратные тригонометрические функции обычно называются сокращенными формами asin, acos, atan.

Обозначения sin (x), cos (x), tan (x) и т. Д. автор Джон Гершель в 1813 году, также используются в русскоязычных источниках - соглашениях, часто с обозначением обратной функции . Это может логически противоречить общей семантике для таких выражений, как sin (x), которые относятся к числовой мощности, и не к композициям функций, и поэтому могут привести к путанице между мультипликативным обратным обратным или обратным и композиционная инверсия. Путаница несколько смягчается тем фактом, что каждая из взаимных тригонометрических функций имеет имя, например, (cos (x)) = sec (x). Тем не менее некоторые авторы не рекомендуют использовать его из-за его двусмысленности. Еще одно соглашение, используемое другим авторами, заключается в использовании первой буквы верхнего регистра вместе с надстрочным индексом: Sin (x), Cos (x), Tan (x) и т. Д. Это позволяет избежать путаницы с мультипликативным инверсия, которая должна быть представлена ​​как sin (x), cos (x) и т. д.

С 2009 года в стандарте ISO 80000-2 указан только префикс "arc" для обратные функции.

Основные значения

Ни одна из шести тригонометрических функций не является взаимно однозначной, они должны быть ограничены, чтобы иметь обратные функции. Следовательно, диапазоны обратных функций являются собственными подмножествами доменов исходных функций.

Например, используя функцию в смысле многозначных функций, точно так же, как квадратный корень функция y = √x может быть определена из y = x, функция y = arcsin (x) определяется так, что sin (y) = x. Для данного действительного числа x с −1 ≤ x ≤ 1 существует несколько (фактически, счетно бесконечных) чисел y, таких что sin (y) = x; например, sin (0) = 0, но также sin (π) = 0, sin (2π) = 0 и т. д. Когда требуется только одно значение, функция может быть ограничена его главной ветвью. С ограничением для каждого x в домене выражение arcsin (x) будет оценивать только одно значение, называемое его основным значением. Эти свойства применяются ко всем обратным тригонометрическим функциям.

Таблица инверсии в следующей таблице.

Имя	Обычное обозначение	Определение	Домен x для реального результата	Диапазон обычного основного значения. (радиан )	Диапазон обычного главного значения. (градусов )
арксинус	y = arcsin (x)	x = sin (y)	−1 ≤ x ≤ 1	−π / 2 ≤ y ≤ π / 2	−90 ° ≤ y ≤ 90 °
arccosine	y = arccos (x)	x = cos (y)	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0 ° ≤ y ≤ 180 °
арктангенс	y = arctan (x)	x = tan (y)	все действительные числа	- π / 2 < y < π/2	−90 ° < y < 90°
арккотангенс	y = arccot ​​(x)	x = кроватка (y)	все действительные числа	0 < y < π	0 ° < y < 180°
арксеканс	y = arcsec (x)	x = sec (y)	x ≤ - 1 или 1 ≤ x	0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π	0 ° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
аркосеканс	y = arccsc (x)	x = csc (y)	x ≤ −1 или 1 ≤ x	−π / 2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2	−90 ° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

(Примечание: некоторые авторы определяют диапазон арксеканса как (0 ≤ y < π/2 or π ≤ y < 3π/2), because the tangent function is nonnegative on this domain. This makes some computations more consistent. For example, using this range, tan(arcsec(x)) = √x − 1, whereas with the range ( 0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π), we would have to write tan(arcsec(x)) = ±√x − 1, since tangent is nonnegative on 0 ≤ y < π/2, but nonpositive on π/2 < y ≤ π. For a similar reason, the same authors define the range of arccosecant to be −π < y ≤ −π/2 or 0 < y ≤ π/2.)

) Если x разрешено быть комплексным числом, тогда диапазон y применя только к его действующей части.

Общие решения

Каждая из тригонометрических функций периодична в действующей части своего аргумента, дважды перебирая все свои значения в каждом интервале 2π:

• Синус и косеканс начинают свой период на 2πk - π / 2 (где k - целое число), закончить его на 2πk + π / 2, а затем повернуть себя на 2πk + π / 2 в 2πk + 3π / 2.
• Начало косинуса и секанса их период равен 2πk, закончить его на 2πk + π, а затем повернуть себя на 2πk + π к 2πk + 2π.
• Касательная начинает свой период на 2πk - π / 2, заканчивает на 2πk + π / 2, а затем повторяет его (вперед) от 2πk + π / 2 до 2πk + 3π / 2.
• Котангенс начинает свой период с 2πk, заканчивает его на 2πk + π, а затем повторяет его (вперед) на 2πk + π до 2πk + 2π.

Эта периодичность отражается в общих обратных случаях, где k - некоторое целое число.

В следующей таблице показано, как обратные тригонометрические функции могут быть приняты решениями, включающими шесть стандартных тригонометрических функций, в соответствии с резолюцией, что r, s, x и y находятся в соответствующем диапазоне.

Условие		Решение	где...
sin θ = y	⇔	θ = (-1) arcsin (y) + π k	для некоторого k ∈ ℤ
	⇔	θ = arcsin (y) + 2 π k или. θ = - arcsin (y) + 2 π k + π	для некоторого k ∈ ℤ
csc θ = r	⇔	θ = (-1) arccsc (r) + π k	для некоторого k ∈ ℤ
	⇔	θ = arccsc (y) + 2 π k или. θ = - arccsc (y) + 2 π k + π	для некоторого k ∈ ℤ
cos θ = x	⇔	θ = ± arccos (x) + 2 π k	для некоторого k ∈ ℤ
	⇔	θ = arccos (x) + 2 π k или. θ = - arccos (x) + 2 π k + 2 π	для некоторого k ∈ ℤ
sec θ = r	⇔	θ = ± arcsec (r) + 2 π k	для некоторого k ∈ ℤ
	⇔	θ = arcsec (x) + 2 π k или. θ = - arcsec (x) + 2 π k + 2 π	для некоторого k ∈ ℤ
tan θ = s	⇔	θ = arctan (s) + π k	для некоторого k ∈ ℤ
кроватка θ = r	⇔	θ = arccot ​​(r) + π k	для некоторого k ∈ ℤ

Равно идентичные тригонометрические функции

В таблице ниже мы показываем, как два угла θ и φ должн ы быть связаны, если их значения при заданной тригонометрической равны или отрицательны Активы друг друга.

Равенство				Решение							где...	Также решение
sin θ	=	sin φ	⇔	θ =	(-1)	φ	+		π k		для некоторого k ∈ ℤ	csc θ = csc φ
cos θ	=	cos φ	⇔	θ =	±	φ	+	2	π k		для некоторого k ∈ ℤ	сек θ = сек φ
tan θ	=	tan φ	⇔	θ =		φ	+		π k		для некоторого k ∈ ℤ	детская кроватка θ = детская кроватка φ
- sin θ	=	sin φ	⇔	θ =	(-1)	φ	+		π k		для некоторого k ∈ ℤ	csc θ = - csc φ
- cos θ	=	cos φ	⇔	θ =	±	φ	+	2	π k	+ π	для некоторого k ∈ ℤ	сек θ = - sec φ
- tan θ	=	tan φ	⇔	θ =	-	φ	+		π k		для некоторого k ∈ ℤ	детская кроватка θ = - детская кроватка φ
| грех θ |	=	| sin φ |	⇔	θ =	±	φ	+		π k		для некоторого k ∈ ℤ	| tan θ | = | tan φ |
	⇕											| csc θ | = | csc φ |
| cos θ |	=	| cos φ |										| сек θ | = | сек φ |
												| детская кроватка θ | = | детская кроватка φ |

Соотношения между тригонометрическими функциями и обратными тригонометрическими функциями

Тригонометрические функции обратных тригонометрических функций, представленных в таблице ниже. Быстрый способ - рассмотреть геометрию прямоугольного треугольника, одна сторона которого равна 1, а другая - длина x, применить теорему Пифагора и определения тригонометрических источников. Чисто алгебраические производные длиннее.

$\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$	$грех\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}$	$cos\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\}$	$загар\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; (\backslash \; theta)\}$	Диаграмма
$arcsin\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arcsin\; (x)\}$	$грех\; \; (arcsin\; \; (Икс))\; знак\; равно\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; грех\; (\backslash \; arcsin\; (х))\; =\; х\}$	$соз\; \; (arcsin\; \; (х))\; =\; 1\; -\; х\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; cos\; (\backslash \; arcsin\; (x))\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -x\; ^\; \{2\}\}\}\}$	$загар\; \; (arcsin\; \; (x))\; =\; x\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; (\backslash \; arcsin\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$
$arccos\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; (x)\}$	$sin\; \; (arccos\; \; (x))\; =\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\backslash \; arccos\; (x))\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}$	$соз\; \; (arccos\; \; (x))\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (\backslash \; arccos\; (х))\; =\; х\; \}$	$загар\; \; (arccos\; \; (х))\; =\; 1\; -\; х\; 2\; х\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; (\backslash \; arccos\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\; \{x\; \}\}\}$
$arctan\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arctan\; (x)\}$	$грех\; \; (arctan\; \; (x))\; =\; x\; 1\; +\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\backslash \; arctan\; (x))\; знак\; равно\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$	$соз\; \; (arctan\; \; (x))\; =\; 1\; 1\; +\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (\backslash \; arctan\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$	$загар\; \; (arctan\; \; (x))\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; (\backslash \; arctan\; (x))\; знак\; равно\; x\}$
$arccot\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (x)\}$	$грех\; \; (arccot\; \; (x))\; =\; 1\; 1\; +\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$	$соз\; \; (arccot\; \; (x))\; =\; x\; 1\; +\; икс\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (\backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$	$загар\; \; (arccot\; \; (\; х))\; знак\; равно\; 1\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; загар\; (\backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\}$
$arcsec\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (\; x)\}$	$грех\; \; (arcsec\; \; (x))\; =\; x\; 2\; -\; 1\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\backslash \; operatorname\; \{arcsec)\}\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; \{x\}\}\}$	$cos\; \; (arcsec\; \; (x))\; =\; 1\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (\backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \}$	$загар\; \; (arcsec\; \; (x))\; =\; x\; 2\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; (\backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (x))\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\}$
$arccsc\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operat\; orname\; \{arccsc\}\; (x)\; \}$	$грех\; \; (arccsc\; \; (x))\; =\; 1\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\}$	$соз\; \; (arccsc\; \; (x))\; знак\; равно\; x\; 2\; -\; 1\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (\backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; \{x\}\}\}$	$загар\; \; (arccsc\; \; (x))\; =\; 1\; x\; 2\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; (\backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \}\}\}$

Отношения между обратными тригонометрическими функциями

Обычные главные значения функций arcsin (x) (красный) и arccos (x) (синий), отображаемые на декартовой плоскости. Обычные главные значения функций arctan (x) и arccot ​​(x), отображаемые на декартовой плоскости. Основные значения функций arcsec (x) и arccsc (x), отображаемые на декартовой плоскости.

Дополнительные углы:

$arccos\; \; (x)\; =\; \pi \; 2\; -\; arcsin\; \; (x)\; arccot\; \; (x)\; =\; \pi \; 2\; -\; arctan\; \; (x)\; arccsc\; \; (x)\; =\; \pi \; 2\; -\; arcsec\; \; (х)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; arccos\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; arcsin\; (x)\; \backslash \backslash \; [0.5em]\; \backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; arctan\; (x)\; \backslash \backslash \; [0.5em]\; \backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; operatorname\; \{\; arcsec\}\; (x)\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$

Отрицательные аргументы:

$arcsin\; \; (-\; x)\; =\; -\; arcsin\; \; (x)\; arccos\; \; (-\; x)\; =\; \pi \; -\; arccos\; \; (x)\; arctan\; \; (-\; x)\; =\; -\; arctan\; \; (x)\; arccot\; \; (-\; x)\; =\; \pi \; -\; arccot\; \; (x)\; arcsec\; \; (-\; x)\; =\; \pi \; -\; arcsec\; \; (x)\; arccsc\; \; (-\; x)\; =\; -\; arccsc\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \backslash \; arcsin\; (-x)\; =\; -\; \backslash \; arcsin\; (x)\; \backslash \backslash \backslash \; arccos\; (-x)\; =\; \backslash \; pi\; -\; \backslash \; arccos\; (x)\; \backslash \backslash \backslash \; arctan\; (-x)\; =\; -\; \backslash \; arctan\; (x)\; \backslash \; \backslash \backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (-\; x)\; =\; \backslash \; pi\; -\; \backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (x)\; \backslash \backslash \backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (-\; x)\; =\; \backslash \; pi\; -\; \backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (x)\; \backslash \backslash \backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (-\; x)\; =\; -\; \backslash \; operatorname\; \{arcc\; sc\}\; (x)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Взаимные аргументы:

П олезные соединения, если есть только фрагмент таблицы синусов:

$arccos ⁡ (x) = arcsin ⁡ (1 - x 2), если 0 ≤ x ≤ 1, из которого вы получите arccos (1 - x 2 1 + x 2) = arcsin ⁡ (2 x 1 + x 2), если 0 ≤ x ≤ 1 arccos ⁡ (x) = 1 2 arccos ⁡ (2 x 2 - 1), если 0 ≤ x ≤ 1 arcsin ⁡ (x) = 1 2 arccos ⁡ (1-2 x 2), если 0 ≤ x ≤ 1 arcsin ⁡ (x) = arctan ⁡ (x 1 - x 2) arctan ⁡ (x) = arcsin ⁡ (x 1 + x 2) arccot ​​⁡ (х) = arccos ⁡ (x 1 + x 2) {\ displaystyle {\ начать {выровнено} \ arccos (x) = \ arcsin \ left ({\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right) \,, {\ text {if}} 0 \ leq x \ leq 1 {\ text {, из которого вы получаете}} \\\ arccos \ left ({\ frac {1-x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {2x} {1 + x ^ {2}}} \ right) \,, {\ text {if}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arccos (x) = {\ frac {1} {2}} \ arccos \ left (2x ^ {2} -1 \ right) \,, {\ text {if}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arcsin (x) = {\ frac {1} {2}} \ arccos \ left (1-2x ^ {2} \ right) \,, {\ text {if}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ дуги in (x) = \ arctan \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ right) \\\ arctan (x) = \ arcsin \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}} \ right) \\\ operatorname {arccot} (x) = \ arccos \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}} \ right) \ end {align}}}$

Всякий раз, когда здесь используется квадратный корень из комплексного числа, мы выбираем корень с положительной действительной частью (или положительной мнимой части, если квадрат был отрицательным действительным).

Полезная форма, которая следует непосредственно из приведенной выше таблицы, -

$arctan\; \; (x)\; =\; arccos\; \; (1\; 1\; +\; x\; 2),\; если\; x\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,,\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; x\; \backslash \; geq\; 0\}$.

Это получается путем признания того, что $соз\; \; (arctan\; \; (x))\; =\; 1\; 1\; +\; x\; 2\; =\; cos\; \; (arccos\; \; (1\; 1\; +\; x\; 2))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{1\})\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$.

Из формулы полуугла, $tan\; \; (\theta \; 2)\; =\; sin\; \; (\theta )\; 1\; +\; cos\; \; (\theta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; загар\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}\; \{1+\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\}\}\}$, получаем:

Формула сложения арктангенса

$arctan\; \; (u)\; \pm \; arctan\; \; (v)\; =\; arctan\; \; (u\; \pm \; v\; 1\; \mp \; uv)\; (mod\; \pi ),\; УФ\; \ne \; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; arctan\; (u)\; \backslash \; pm\; \backslash \; arctan\; (v)\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{u\; \backslash \; pm\; v\}\; \{1\; \backslash \; mp\; uv\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; pmod\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; uv\; \backslash \; neq\; 1\; \backslash ,.\}$

Это выводится из касательной сложения

$tan\; \; (\alpha \; \pm \; \beta )\; =\; tan\; \; (\alpha )\; \pm \; tan\; \; (\; \beta )\; 1\; \mp \; загар\; \; (\alpha )\; загар\; \; (\beta ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; загар\; (\backslash \; альфа\; \backslash \; пм\; \backslash \; бета)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; загар\; (\backslash \; альфа)\; \backslash \; пм\; \backslash \; загар\; (\backslash \; бета)\}\; \{1\; \backslash \; mp\; \backslash \; загар\; (\backslash \; alpha)\; \backslash \; tan\; (\backslash \; beta)\}\}\; \backslash ,,\}$

, полагая

$\alpha \; =\; arctan\; \; (u),\; \beta \; =\; arctan\; \; (v).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; arctan\; (u)\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; beta\; =\; \backslash \; arctan\; (v)\; \backslash ,.\}$

Производные обратные тригонометрические функции

The производные для комплексных значений z имеют следующий вид:

$ddz arcsin ⁡ (z) = 1 1 - z 2; z ≠ - 1, + 1 d d z arccos ⁡ (z) = - 1 1 - z 2; z ≠ - 1, + 1 d d z arctan ⁡ (z) = 1 1 + z 2; z ≠ - i, + i d d z arccot ​​⁡ (z) = - 1 1 + z 2; z ≠ - i, + i d d z arcsec ⁡ (z) = 1 z 2 1 - 1 z 2; z ≠ - 1, 0, + 1 d d z arccsc ⁡ (z) = - 1 z 2 1 - 1 z 2; z ≠ - 1, 0, + 1 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dz}} \ arcsin (z) {} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \ ;; z {} \ neq -1, + 1 \\ {\ frac {d} {dz}} \ arccos (z) {} = - {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2 }}}} \ ;; z {} \ neq -1, + 1 \\ {\ frac {d} {dz}} \ arctan (z) {} = {\ frac {1} {1 + z ^ {2}}} \ ;; z {} \ neq -i, + i \\ {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {arccot} (z) {} = - {\ frac {1} {1 + z ^ {2 }}} \ ;; z {} \ neq -i, + i \\ {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {arcsec} (z) {} = {\ frac {1} {z ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}}}} \ ;; z {} \ neq -1, 0, + 1 \\ {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {arccsc} (z) {} = - {\ frac {1} {z ^ {2 } {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}}}} \ ;; z {} \ neq -1,0, + 1 \ end {align}}}$

Только для реальных значений x:

$ddx\; arcsec\; \; (x)\; =\; 1\; |\; х\; |\; х\; 2\; -\; 1;\; |\; х\; |>1\; d\; d\; x\; arccsc\; \; (x)\; =\; -\; 1\; |\; х\; |\; х\; 2\; -\; 1;\; |\; х\; |>1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (x)\; \{\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{|\; х\; |\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\}\}\; \backslash \; ;;\; |\; x\; |>1\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x)\; \{\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{|\; х\; |\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\}\; \backslash \; ;;\; |\; x\; |>1\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$

Для примера вывода: если $\theta \; =\; arcsin\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; arcsin\; (x)\}$, мы получаем:

$d\; arcsin\; \; (x)\; dx\; знак\; равно\; d\; \theta \; d\; грех\; \; (\theta )\; знак\; равно\; d\; \theta \; соз\; \; (\theta )\; d\; \theta \; =\; 1\; соз\; \; (\theta )\; =\; 1\; 1\; -\; грех\; 2\; \; (\theta )\; =\; 1\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; arcsin\; (x)\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{d\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; theta)\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Выражение в виде определенных интегралов

Интегрирование деформаций и фиксация значений в одной точке дает выражение для обратной тригонометрической функции в виде определенного интеграла:

$arcsin ⁡ (x) = ∫ 0 x 1 1 - z 2 dz, | х | ≤ 1 arccos ⁡ (x) = ∫ x 1 1 1 - z 2 dz, | х | ≤ 1 arctan ⁡ (Икс) знак равно ∫ 0 Икс 1 Z 2 + 1 dz, arccot ​​⁡ (x) = ∫ x ∞ 1 z 2 + 1 dz, arcsec ⁡ (x) = ∫ 1 x 1 zz 2 - 1 dz = π + ∫ x - 1 1 zz 2 - 1 dz, x ≥ 1 arccsc ⁡ (x) знак равно ∫ x ∞ 1 zz 2 - 1 dz = ∫ - ∞ x 1 zz 2 - 1 dz, x ≥ 1 {\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin (x) { } = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \, dz \;, | х | {} \ leq 1 \\\ arccos (x) {} = \ int _ {x} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \, dz \ ;, | х | {} \ leq 1 \\\ arctan (x) {} = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {z ^ {2} +1}} \, dz \ ;, \ \\ operatorname {arccot} (x) {} = \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {1} {z ^ {2} +1}} \, dz \ ;, \\\ имя оператор {arcsec} (x) {} = \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, dz = \ pi + \ int _ {x} ^ {- 1} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, dz \;, x {} \ geq 1 \\\ operatorname {arccsc} (x) {} = \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2 } - 1}}}} \, dz = \ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, dz \ ;, x {} \ geq 1 \\\ end {align}}}$

Когда x равно 1, интегралы с ограниченной областью определения являются несобственными интегралами, но все же четко определены.

Бесконечный ряд

Подобно функциям синуса и косинуса, обратные тригонометрические функции также могут быть вычислены с использованием степенного ряда следующим образом. Для арксинуса может быть получен путем раскрытия его производной, $1\; 1\; -\; z\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-z\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$, как биномиальный ряд, интегрированное почленно (используя определение интеграла, как указано выше). Аналогичным образом можно получить ряд для арктангенса, расширив его производную $1\; 1\; +\; z\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; z\; ^\; \{2\}\}\}\}$в геометрический ряд, и применяя приведенное выше определение интеграла (см. ряд Лейбница ).

$arcsin\; \; (z)\; =\; z\; +\; (1\; 2)\; z\; 3\; 3\; +\; (1\; \cdot \; 3\; 2\; \cdot \; 4)\; z\; 5\; 5\; +\; (1\; \cdot \; 3\; \cdot \; 5\; 2\; \cdot \; 4\; \cdot \; 6)\; z\; 7\; 7\; +\; \cdots \; =\; \sum \; п\; знак\; равно\; 0\; \infty \; (2\; п\; -\; 1)!\; !\; (2\; п)!\; !\; Z\; 2\; N\; +\; 1\; 2\; N\; +\; 1\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; (2\; N)!\; (2\; N\; N!)\; 2\; Z\; 2\; N\; +\; 1\; 2\; N\; +\; 1;\; |\; z\; |\; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; arcsin\; (z)\; =\; z\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\; \backslash \; cdot\; 3\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; 4\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{5\}\}\; \{5\}\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 5\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; 4\; \backslash \; cdot\; 6\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{7\}\}\; \{7\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(2n-1)\; !!\}\; \{(2n)\; !!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(2n)!\}\; \{(2\; ^\; \{n\}\; n!)\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \backslash ,;\; \backslash \; qquad\; |\; z\; |\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$arctan\; \; (z)\; =\; z\; -\; z\; 3\; 3\; +\; z\; 5\; 5\; -\; z\; 7\; 7\; +\; \cdots \; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; nz\; 2\; n\; +\; 1\; 2\; n\; +\; 1;\; |\; z\; |\; \le \; 1\; Z\; \ne \; я,\; -\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arctan\; (z)\; =\; z\; -\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{5\}\}\; \{5\}\}\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{7\}\}\; \{7\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\; z\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \backslash ,;\; \backslash \; qquad\; |\; z\; |\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \; qquad\; z\; \backslash \; neq\; i,\; -i\}$

Ряды для других обратных тригонометрических функций могут быть заданы в терминах этих функций в соответствии с приведенными выше соотношениями. Например, $arccos\; \; (x)\; =\; \pi \; /\; 2\; -\; arcsin\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; (x)\; =\; \backslash \; pi\; /\; 2-\; \backslash \; arcsin\; (x)\}$, $arccsc\; \; (x)\; =\; arcsin\; \; (1\; /\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x)\; =\; \backslash \; arcsin\; (1\; /\; x)\}$и так далее. Другой ряд определяется выражением:

$2\; (arcsin\; \; (x\; 2))\; 2\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; x\; 2\; n\; n\; 2\; (2\; n\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; left\; (\backslash \; arcsin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; x\; ^\; \{2n\}\}\; \{n\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; binom\; \{2n\}\; \{n\}\}\}\}.\}$

Леонард Эйлер нашел ряд для арктангенса, который сходится быстрее, чем его Тейлор ряд :

$arctan\; \; (z)\; =\; z\; 1\; +\; z\; 2\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; \prod \; k\; =\; 1\; n\; 2\; kz\; 2\; (2\; k\; +\; 1)\; (1\; +\; z\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arctan\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{1\; +\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{2kz\; ^\; \{2\}\}\; \{(2k\; +\; 1)\; (1\; +\; z\; ^\; \{2\})\}\}.\}$

(Член в сумме для n = 0 - это пустой продукт, то же самое и 1.)

В качестве альтернативы это можно выразить как

$arctan\; \; (z)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 2\; 2\; n\; (n!)\; 2\; (2\; n\; +\; 1)!\; г\; 2\; п\; +\; 1\; (1\; +\; г\; 2)\; п\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arctan\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{2n\}\; (n!)\; ^\; \{2\}\}\; \{(2n\; +\; 1)!\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{(1\; +\; z\; ^\; \{2\})\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}.\}$

Другой ряд для функции арктангенса задается как

$arctan\; \; (z)\; знак\; равно\; я\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; 1\; 2\; N\; -\; 1\; (1\; (1\; +\; 2\; я\; /\; z)\; 2\; N\; -\; 1-1\; (1-2\; я\; /\; z)\; 2\; N\; -\; 1),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; arctan\; (г)\; =\; i\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2n-1\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1\; +\; 2i\; /\; z)\; ^\; \{2n-1\; \}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1-2i\; /\; z)\; ^\; \{2n-1\}\}\}\; \backslash \; right),\}$

где $i\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{-1\}\}\}$- мнимая единица.

Непрерывные дроби для арктангенса

Две альтернативы степенному ряду для арктангенса: эти обобщенные непрерывные дроби :

$arctan\; \; (z)\; =\; z\; 1\; +\; (1\; z)\; 2\; 3\; -\; 1\; z\; 2\; +\; (3\; z)\; 2\; 5\; -\; 3\; z\; 2\; +\; (5\; z)\; 2\; 7\; -\; 5\; z\; 2\; +\; (7\; z)\; 2\; 9\; -\; -\; 7\; Z\; 2\; +\; \ddots \; знак\; равно\; Z\; 1\; +\; (1\; Z)\; 2\; 3\; +\; (2\; Z)\; 2\; 5\; +\; (3\; Z)\; 2\; 7\; +\; (4\; Z)\; 2\; 9\; +\; \ddots \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; arctan\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{(1z)\; ^\; \{2\}\}\; \{3-1z\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{(3z)\; ^\; \{2\}\}\; \{5-3z\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{(5z)\; ^\; \{2\}\}\; \{7-5z\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{(7z)\; ^\; \{2\}\}\; \{9-7z\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; ddots\; \}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{(1z)\; ^\; \{2\}\}\; \{3\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{(2z)\; ^\; \{2\}\}\; \{5+\; \{\backslash \; cfrac\; \{(3z)\; ^\; \{2\}\}\; \{7\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{(4z)\; ^\; \{2\}\}\; \{9+\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

Второй из них действительно в разрезе комплексной плоскости. Есть два разреза: от - i до бесконечно удаленной точки по мнимой оси и от i до бесконечно удаленной точки по той же оси. Он лучше всего работает для действительных чисел от -1 до 1. Частичные знаменатели - это нечетные натуральные числа, а частичные числители (после первого) равны (nz), причем каждый полный квадрат встречается один раз. Первый был разработан Леонардом Эйлером ; второй - Карл Фридрих Гаусс, использующий гипергеометрический ряд Гаусса.

Неопределенные интегралы обратных тригонометрических функций

Для действительных и комплексных значений z:

$∫ arcsin ⁡ ( z) dz = z arcsin ⁡ (z) + 1 - z 2 + C ∫ arccos ⁡ (z) dz = z arccos ⁡ (z) - 1 - z 2 + C ∫ arctan ⁡ (z) dz = z arctan ⁡ ( z) - 1 2 ln ⁡ (1 + z 2) + C ∫ arccot ​​⁡ (z) dz = z arccot ​​⁡ (z) + 1 2 ln ⁡ (1 + z 2) + C ∫ arcsec ⁡ (z) dz = z arcsec ⁡ (z) - ln ⁡ [z (1 + z 2 - 1 z 2)] + C ∫ arccsc ⁡ (z) dz = z arccsc ⁡ (z) + ln ⁡ [z (1 + z 2 - 1) z 2)] + С {\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ arcsin (z) \, dz {} = z \, \ arcsin (z) + {\ sqrt {1-z ^ {2}}} + C \\\ int \ arccos (z) \, dz {} = z \, \ arccos (z) - {\ sqrt {1-z ^ {2}}} + C \\\ int \ arctan (z) \, dz {} = z \, \ arctan (z) - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + z ^ {2} \ right) + C \\\ int \ operatorname {arccot } (z) \, dz {} = z \, \ operatorname {arccot} (z) + {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + z ^ {2} \ right) + C \ \\ int \ operatorname {arcsec} (z) \, dz {} = z \, \ operatorname {arcsec} (z) - \ ln \ left [z \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {z ^ {2} -1} {z ^ {2}}}} \ right) \ right] + C \\\ int \ operatorname {arccsc} (z) \, dz {} = z \, \ operatorname {arccsc} (z) + \ ln \ left [z \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {z ^ {2} -1}) {z ^ {2}}}} \ right) \ right] + C \ end {align}}}$

Для действительного x ≥ 1:

$\int \; arcsec\; \; (x)\; dx\; =\; x\; arcsec\; \; (x)\; -\; пер\; \; (Икс\; +\; Икс\; 2-1)\; +\; С\; \int \; arccsc\; \; (Икс)\; dx\; =\; Икс\; arccsc\; \; (х)\; +\; пер\; (х\; +\; х\; 2-1)\; +\; С\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \backslash \; int\; \backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \{\}\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (x)\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C\; \backslash \backslash \backslash \; int\; \backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \{\}\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x)\; +\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Для всех действительных x не между -1 и 1:

$\int \; arcsec\; \; (x)\; dx\; =\; x\; arcsec\; \; (x)\; -\; sgn\; \; (x)\; ln\; \; (|\; х\; +\; х\; 2\; -\; 1\; |)\; +\; C\; \int \; arccsc\; \; (x)\; dx\; =\; x\; arccsc\; \; (x)\; +\; sgn\; \; (x)\; ln\; \; (|\; x\; +\; x\; 2-1\; |)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \{\}\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (x)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (x)\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\})\; -1\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right)\; +\; C\; \backslash \backslash \backslash \; int\; \backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \{\}\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x)\; +\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (x)\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right)\; +\; C\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Абсолютное значение необходимо для компенсации как отрицательных и положительные значения функций арксеканса и арккосеканса. Знаковая функция также необходима из-за абсолютных значений в производных двух функций, которые создают два разных решения для положительных и отрицательных значений x. Их можно дополнительно упростить, используя логарифмические определения обратных гиперболических функций :

$\int \; arcsec\; \; (x)\; dx\; =\; x\; arcsec\; \; (x)\; -\; arcosh\; \; (|\; x\; |)\; +\; C\; \int \; arccsc\; \; (x)\; dx\; знак\; равно\; x\; arccsc\; \; (x)\; +\; arcosh\; \; (|\; x\; |)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \{\}\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{arcsec\; \}\; (x)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{arcosh\}\; (|\; x\; |)\; +\; C\; \backslash \backslash \backslash \; int\; \backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \{\}\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (x)\; +\; \backslash \; operatorname\; \{\; arcosh\}\; (|\; x\; |)\; +\; C\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Абсолютное значение в аргументе функции arcosh создает отрицательную половину ее графика, что делает его идентичным показанной выше знаковой логарифмической функции.

Все эти первообразные могут быть получены с использованием интегрирования по частям и простых производных форм, показанных выше.

Пример

Использование $\int \; udv\; =\; uv\; -\; \int \; vdu\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; u\; \backslash ,\; dv\; =\; uv-\; \backslash \; int\; v\; \backslash ,\; du\}$( т.е. интегрирование по частям ), установите

$u\; =\; arcsin\; \; (x)\; dv\; =\; dxdu\; =\; dx\; 1\; -\; x\; 2\; v\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; u\; =\; \backslash \; arcsin\; (x)\; dv\; =\; dx\; \backslash \backslash \; du\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}\; v\; =\; x\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Тогда

$\int \; arcsin\; \; (x)\; dx\; знак\; равно\; x\; arcsin\; \; (x)\; -\; \int \; x\; 1\; -\; x\; 2\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; arcsin\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; x\; \backslash \; arcsin\; (x)\; -\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\; dx,\}$

которое простой заменой $w\; =\; 1\; -\; x\; 2,\; dw\; =\; -\; 2\; xdx\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; =\; 1-x\; ^\; \{2\},\; \backslash \; dw\; =\; -2x\; \backslash ,\; dx\}$дает окончательный результат:

$\int \; arcsin\; \; (x)\; dx\; =\; x\; arcsin\; \; (x)\; +\; 1\; -\; x\; 2\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; arcsin\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; x\; \backslash \; arcsin\; (x)\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; C\}$

A Римана поверхность в качестве аргумента отношения tan z = x. Оранжевый лист посередине - это основной лист, представляющий арктангенс x. Синий лист выше и зеленый лист ниже смещены на 2π и −2π соответственно.

Поскольку обратные тригонометрические функции являются аналитическими функциями, их можно продолжить с вещественной линии на комплексную плоскость. Это приводит к функциям с несколькими листами и точками ветвления. Один из возможных способов определения расширения:

$arctan\; \; (z)\; =\; \int \; 0\; zdx\; 1\; +\; x\; 2\; z\; \ne \; -\; i,\; +\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arctan\; (z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{z\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; quad\; z\; \backslash \; neq\; -i,\; +\; i\}$

где часть мнимой оси, которая не лежит строго между точками ветвления (−i и + i) - это отрезок ветви между основным листом и другими листами. Путь интеграла не должен пересекать срез ответвления. Если z не находится на разрезе ветки, таким путем является прямой путь от 0 до z. Для z на разрезе ветви путь должен приближаться от Re [x]>0 для верхнего разреза ветви и от Re [x] <0 for the lower branch cut.

Функция арксинуса может быть определена как:

$arcsin\; \; (z)\; =\; arctan\; \; (z\; 1\; -\; z\; 2)\; z\; \ne \; -\; 1,\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arcsin\; (z)\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-z\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; quad\; z\; \backslash \; neq\; -1,\; +\; 1\}$

где (функция квадратного корня имеет разрез по отрицательной действительной оси и) часть действительной оси, которая не лежит строго между -1 и + 1 - ветвь, разрезанная между основным листом арксина и другими листами;

$arccos\; \; (\; z)\; =\; \pi \; 2\; -\; arcsin\; \; (\; z)\; z\; \ne \; -\; 1,\; +\; 1\; \{\backslash displaystyle\; \backslash arccos(z)=\{\backslash frac\; \{\backslash pi\; \}\{2\}\}-\backslash arcsin(z)\backslash quad\; z\backslash neq\; -1,+1\}$

which has the same cut as arcsin;

$arccot\; \; (\; z)\; =\; \pi \; 2\; -\; arctan\; \; (\; z)\; z\; \ne \; -\; i,\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{arccot\}(z)=\{\backslash frac\; \{\backslash pi\; \}\{2\}\}-\backslash arctan(z)\backslash quad\; z\backslash neq\; -i,i\}$

which has the same cut as arctan;

$arcsec\; \; (\; z)\; =\; arccos\; \; (\; 1\; z)\; z\; \ne \; -\; 1,\; 0,\; +\; 1\; \{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{arcsec\}(z)=\backslash arccos\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{1\}\{z\}\}\backslash right)\backslash quad\; z\backslash neq\; -1,0,+1\}$

where the part of the real axis between −1 and +1 inclusive is the cut between the principal sheet of arcsec and other sheets;

$arccsc\; \; (\; z)\; =\; arcsin\; \; (\; 1\; z)\; z\; \ne \; -\; 1,\; 0,\; +\; 1\; \{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{arccsc\}(z)=\backslash arcsin\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{1\}\{z\}\}\backslash right)\backslash quad\; z\backslash neq\; -1,0,+1\}$

which has the same cut as arcsec.

Logarithmic forms

These functions may also be expressed using complex logarithms. This extends their domains to the complex plane in a natural fashion. The following identities for principal values of the functions hold everywhere that they are defined, even on their branch cuts.

$arcsin ⁡ ( z) = − i ln ⁡ ( 1 − z 2 + i z) = i ln ⁡ ( 1 − z 2 − i z) = arccsc ⁡ ( 1 z) arccos ⁡ ( z) = − i ln ⁡ ( i 1 − z 2 + z) = π 2 − arcsin ⁡ ( z) = arcsec ⁡ ( 1 z) arctan ⁡ ( z) = − i 2 ln ⁡ ( i − z i + z) = − i 2 ln ⁡ ( 1 + i z 1 − i z) = arccot ⁡ ( 1 z) arccot ⁡ ( z) = − i 2 ln ⁡ ( z + i z − i) = − i 2 ln ⁡ ( i z − 1 i z + 1) = arctan ⁡ ( 1 z) arcsec ⁡ ( z) = − i ln ⁡ ( i 1 − 1 z 2 + 1 z) = π 2 − arccsc ⁡ ( z) = arccos ⁡ ( 1 z) arccsc ⁡ ( z) = − i ln ⁡ ( 1 − 1 z 2 + i z) = i ln ⁡ ( 1 − 1 z 2 − i z) = arcsin ⁡ ( 1 z) {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z){}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right){}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z){}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z){}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z){}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\rig ht){}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z){}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right){}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec} (z) {} = - i \ ln \ left (i {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}} + {\ frac {1} {z} } \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} - \ operatorname {arccsc} (z) {} = \ arccos \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \\ [ 10pt] \ operatorname {arccsc} (z) {} = - i \ ln \ left ({\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}} + {\ frac {i} {z}} \ right) = i \ ln \ left ({\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}} - {\ frac {i} {z}} \ right) {} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \ end {align}}}$

Обобщение

Поскольку все обратные тригонометрические функции выводят угол прямоугольный треугольник, их можно обобщить, используя формулу Эйлера, чтобы образовать прямоугольный треугольник на комплексной плоскости. Алгебраически это дает нам:

$ce\; \theta \; i\; =\; c\; cos\; \; (\theta )\; +\; ci\; sin\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; ce\; ^\; \{\backslash \; theta\; i\}\; =\; c\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; +\; ci\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}$

или

$ce\; \theta \; i\; =\; a\; +\; bi\; \{\backslash \; displaystyle\; ce\; ^\; \{\backslash \; theta\; i\}\; =\; a\; +\; bi\}$

где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- смежная сторона, $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- противоположная сторона, а $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- гипотенуза. Отсюда мы можем найти $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$.

$e\; ln\; \; (c)\; +\; \theta \; i\; =\; a\; +\; bi\; ln\; \; c\; +\; \theta \; i\; =\; ln\; \; (a\; +\; bi)\; \theta \; =\; Im\; \; (пер\; \; (а\; +\; би))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; е\; ^\; \{\backslash \; пер\; (с)\; +\; \backslash \; тета\; я\}\; =\; а\; +\; би\; \backslash \backslash \backslash \; пер\; с\; +\; \backslash \; тета\; я\; =\; \backslash \; пер\; (а\; +\; bi)\; \backslash \backslash \backslash \; theta\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Im\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; ln\; (a\; +\; bi)\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

или

$\theta \; =\; -\; i\; ln\; \; (a\; +\; bic)\; знак\; равно\; я\; пер\; \; (ca\; +\; bi)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; -i\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\; +\; bi\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; =\; i\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; c\}\; \{a\; +\; bi\}\}\; \backslash \; right)\}$

Простое взятие мнимой части работает для любых вещественных $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \}$, но если $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$или $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$имеет комплексные значения, мы должны использовать окончательное уравнение, чтобы не исключить действительную часть результата. Поскольку длина гипотенузы не меняет угол, игнорирование действительной части $ln\; \; (a\; +\; bi)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (a\; +\; bi)\}$также удаляет $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$из уравнения. В окончательном уравнении мы видим, что угол треугольника в комплексной плоскости можно найти, указав длины каждой стороны. Установив одну из трех сторон равной 1, а одну из оставшихся сторон равной нашему входу $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, мы получим формулу для одной из обратных триггерных функций для всего шесть уравнений. Поскольку обратные триггерные функции требуют только одного входа, мы должны поместить последнюю сторону треугольника в терминах двух других, используя соотношение теоремы Пифагора

$a\; 2\; +\; b\; 2\; =\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\}$

В таблице ниже показаны значения a, b и c для каждой из обратных триггерных функций и эквивалентные выражения для $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$, что результат добавления приведенных выше уравнений и упрощения.

$abc θ θ упрощенное θ a, b ∈ R arcsin ⁡ (z) 1 - z 2 z 1 - i ln ⁡ (1 - z 2 + zi 1) = - i ln ⁡ (1 - z 2 + zi) Im ⁡ (ln ⁡ (1 - z 2 + zi)) arccos ⁡ (z) z 1 - z 2 1 - i ln ⁡ (z + i 1 - z 2 1) = - i ln ⁡ (z + z 2 - 1) Im ⁡ (ln ⁡ (z + z 2 - 1)) arctan ⁡ (z) 1 z 1 + z 2 i ln ⁡ (1 + z 2 1 + zi) = i 2 ln ⁡ (i + zi - z) Im ⁡ (ln ⁡ (1 + zi)) arccot ​​⁡ (z) z 1 z 2 + 1 i ln ⁡ (z 2 + 1 z + i) = i 2 ln ⁡ (z - iz + i) Im ⁡ (ln ⁡ (z + i)) arcsec ⁡ (z) 1 z 2 - 1 z - i ln ⁡ (1 + iz 2 - 1 z) = - i ln ⁡ (1 z + 1 z 2 - 1) Im ⁡ (ln ⁡ (1 + 1 - z 2)) arccsc ⁡ (z) z 2 - 1 1 z - i ln ⁡ (z 2 - 1 + iz) = - i ln ⁡ (1 - 1 z 2 + iz) Я ⁡ (пер ⁡ (z 2 - 1 + я)) {\ displaystyle {\ begin {выровнено} a b c \ theta \ theta _ {упрощенный} \ theta _ {a, b \ in \ mathbb {R}} \\\ arcsin (z) \ \ {\ sqrt {1-z ^ {2}}} z 1 - i \ ln \ left ({\ frac {{\ sqrt {1- z ^ {2}}} + zi} {1}} \ right) = - i \ ln \ left ({\ sqrt {1-z ^ {2}}} + zi \ right) \ operatorname {Im} \ left (\ ln \ left ({\ sqrt {1-z ^ {2}}} + zi \ right) \ right) \\\ arccos (z) \ \ z {\ sqrt {1-z ^ {2}}} 1 - i \ ln \ left ({\ frac {z + i {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} {1}} \ right) = - i \ ln \ left (z + {\ sqrt {z ^ {2 } -1}} \ right) \ operatorname {Im} \ left (\ ln \ left (z + {\ sqrt {z ^ {2} -1}} \ right) \ right) \\\ arctan (z) \ \ 1 z {\ sqrt {1 + z ^ {2}}} i \ ln \ left ({\ frac {\ sqrt {1 + z ^ {2}}} {1 + zi}} \ right) = {\ frac {i} {2}} \ ln \ left ({\ frac {i + z} {iz}} \ right) \ operatorname {Im} \ left (\ ln \ left (1 + zi \ right) \ right) \\\ имя оператора {arccot} (z) \ \ z 1 {\ sqrt {z ^ {2} +1}} i \ ln \ left ({\ frac {\ sqrt {z ^ {2} +1}} {z + i}} \ right) = {\ frac {i} {2}} \ ln \ left ({\ frac {zi} {z + i}} \ right) \ operatorname {Im} \ left (\ ln \ left (z + i \ right) \ right) \\\ operatorname {arcsec} (z) \ \ 1 {\ sqrt {z ^ {2} - 1}} z - i \ ln \ left ({\ frac {1 + i {\ sqrt {z ^ {2} -1}}} {z}} \ right) = - i \ ln \ left ( {\ f rac {1} {z}} + {\ sqrt {{\ frac {1}) {z ^ {2}}} - 1}} \ right) \ operatorname {Im} \ left (\ ln \ left (1 + {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right) \ right) \\\ Имя оператора {arccsc} (z) \ \ {\ sqrt {z ^ {2} -1}} 1 z - i \ ln \ left ({\ frac {{\ sqrt {z ^ {2} -1})} + i} {z}} \ right) = - i \ ln \ left ({\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}} + {\ frac {i} {z}} \ right) \ operatorname {Im} \ left (\ ln \ left ({\ sqrt {z ^ {2} -1}} + i \ right) \ right) \\\ end {align}}}$

В этом смысле все обратные триггерные функции могут быть рассмотрены как частные случаи комплекснозначных функций журнала. Это определение работает для любого комплексного значения $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, это определение допускает гиперболические углы в качестве выходных данных и может помочь для дальнейшего определения обратные гиперболические функции. Элементарные доказательства выполнения также продолжаться через разложение до экспоненциальной формы тригонометрических функций.

Пример доказательства

$грех\; \; (\varphi )\; =\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; =\; z\}$

$\varphi \; =\; arcsin\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; arcsin\; (z)\}$

Используя экспоненциальное определение синуса, получаем

$z\; =\; e\; \varphi \; i\; -\; e\; -\; \varphi \; i\; 2\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{\backslash \; phi\; i\}\; -e\; ^\; \{-\; \backslash \; phi\; i\}\}\; \{2i\}\}\}$

Пусть

$\xi \; =\; e\; \varphi \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; phi\; i\}\}$

Решение для $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$

$z\; =\; \xi \; -\; 1\; \xi \; 2\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; xi\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; xi\}\}\}\; \{2i\}\}\}$

$2\; iz\; =\; \xi \; -\; 1\; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2iz\; =\; \{\backslash \; xi\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; xi\}\}\}\}$

$\xi \; -\; 2\; iz\; -\; 1\; \xi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; xi\; -2iz-\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{\backslash \; xi\}\}\}\; =\; 0\}$

$\xi \; 2\; -\; 2\; я\; \xi \; z\; -\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; -2i\; \backslash \; xi\; z-1\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0\}$

$\xi \; =\; iz\; \pm \; 1\; -\; z\; 2\; =\; e\; \varphi \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; =\; iz\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-z\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; phi\; i\}\}$

$\varphi \; я\; знак\; равно\; пер\; \; (iz\; \pm \; 1\; -\; z\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; i\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (iz\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-z\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

$\varphi \; Знак\; равно\; -\; я\; пер\; \; (iz\; \pm \; 1\; -\; z\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; -i\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (iz\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-z\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

(положительная ветвь выбрана)

$\varphi \; знак\; равно\; arcsin\; \; (z)\; знак\; равно\; -\; я\; пер\; \; (iz\; +\; 1\; -\; z\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; arcsin\; (z)\; =\; -\; я\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (iz\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-z\; ^\; \{2\}\})\}\; \backslash \; right)\}$

Графики цветового круга обратных тригонометрических функций на комплексной плоскости

$arcsin\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arcsin\; (z)\}$	$arccos\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; (z)\}$	$arctan\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arctan\; (z)\}$	$arccot\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (z)\}$	$arcsec\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{arcsec\}\; (z)\}$	$arccsc\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{arccsc\}\; (z)\}$

Приложение: определение угла треугольника

прямоугольный треугольник.

Обратные тригонометрические функции полезны при попытке определить два оставшихся угла прямоугольного треугольника , когда длина сторон треугольника известны. Вспоминая определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, следует, что

$\theta \; =\; arcsin\; \; (противоположная\; гипотенуза)\; =\; arccos\; \; (дополнительная\; гипотенуза).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; arcsin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; text\; \{напротив\}\}\; \{\backslash \; text\; \{hypotenuse\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; text\; \{смежный\}\}\; \{\backslash \; text\; \{hypotenuse\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Часто гипотенуза неизвестна, и ее необходимо вычислить перед использованием арксинуса или арккосинуса с помощью теоремы Пифагора : $a\; 2\; +\; b\; 2\; =\; час\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; =\; h\; ^\; \{2\}\}$, где $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$- длина гипотенуза. В этой ситуации может пригодиться арктангенс, поскольку длина гипотенузы не нужна.

$\theta \; =\; arctan\; \; (напротив\; соседнего).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; text\; \{напротив\}\}\; \{\backslash \; text\; \{свойный\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

Например, предположим, что крыша опускается на 8 футов, когда она заканчивается 20 футов. Крыша составляет угол θ с горизонталью, где θ можно вычислить следующим образом:

$\theta \; =\; arctan\; \; (напротив\; соседнего)\; =\; arctan\; \; (подъем)\; =\; arctan\; \; (8\; 20)\; \approx \; 21,8\; \circ .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; text\; \{напротив\}\}\; \{\backslash \; text\; \{свойный\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; text\; \{rise\}\}\; \{\backslash \; text\; \{run\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{20\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; приблизительно\; 21,8\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash ,.\}$

В информатике и инженерии

Вариант арктангенса с двумя аргументами

Функция с двумя аргументами atan2 вычисляет арктангенс y / x для заданных y и x, но с диапазоном (-π, π]. Другими словами, atan2 ( y, x) - это угол между положительной осью x плоскости и точка (x, y) на ней, с положительным знаком для угла против часовой стрелки (верхняя полуплоскость, y>0), и отрицательный знак для угла по часовой стрелке (нижняя полуплоскость), y < 0). It was first introduced in many computer programming languages, but it is now also common in other fields of science and engineering.

В терминах стандартных функций arctan, то есть с диапазоном (−π / 2, π / 2), это может быть выражено следующим образом:

Оно также равно главному значению аргумента комплексного числа х + я у.

Эта функция также может быть определена с использованием формулы касательного полуугла следующим образом:

$atan2\; \; (y,\; x)\; =\; 2\; arctan\; \; (yx\; 2\; +\; y\; 2\; +\; x)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{atan2\}\; (y,\; x)\; =\; 2\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \}$

при условии, что либо x>0, либо y 0. Однако это не удается, если задано x ≤ 0 и y = 0, поэтому выражение не подходит для использования в вычислениях.

Приведенный выше порядок аргументов (y, x) кажется наиболее распространенным, в частности, используется в стандартах ISO, таких как язык программирования C, но некоторые авторы могут использовать противоположное соглашение (x, y), поэтому следует соблюдать осторожность. Эти варианты развития в atan2.

Функция арктангенса с параметрами местоположения

Во многих приложениях решения $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$уравнения $x\; =\; загар\; \; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; tan\; (y)\}$должен максимально приблизиться к заданному значению . Адекватное решение получается с помощью функций арктангенса с измененным параметром

$y\; =\; arctan\; \eta \; \; (x):\; =\; arctan\; \; (x)\; +\; \pi \; \cdot \; rni\; \; (\eta \; -\; arctan\; \; (x)\; \pi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; arctan\; \_\; \{\backslash \; eta\}\; (x):\; =\; \backslash \; arctan\; (x)\; +\; \backslash \; pi\; \backslash \; cdot\; \backslash \; operatorname\; \{rni\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; eta\; -\; \backslash \; arctan\; (x)\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

Функция $rni\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{rni\}\}$округляет до ближайшего целого числа.

Числовая точность

Для углов, близких к 0 и π, арккосинус плохо обусловлен и, таким образом, будет вычислять угол с пониженной точностью в компьютерной реализации (из-за ограниченное количество цифр). Точно так же арксинус неточен для углов, близких к −π / 2 и π / 2.

• Обратная эксеканс
• Обратная версия
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список тригонометрических тождеств
• Тригонометрическая функция
• Тригонометрическая функция матриц

• Вайсштейн, Эрик У. «Обратный тангенс». MathWorld.