Обратная функция

Математическая концепция

Функция f и обратная ей функция f. Поскольку f отображает a в 3, обратная f отображает 3 обратно в a.

В математике обратная функция (или антифункция ) функция , которая "переворачивает" другую функцию: если функция f, примененная к входу x, дает результат y, то применение ее обратной функции g к y дает результат x, и наоборот, т. е. f (x) = y тогда и только тогда, когда g (y) = x. Функция, обратная f, также обозначается как $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$.

. В качестве примера рассмотрим функцию действительного значения действительной переменной, заданную формулой f (x) = 5x - 7. Думая об этом как о пошаговой процедуре (а именно, возьмите число x, умножьте его на 5, затем вычтите 7 из результата), чтобы обратить это и получить x обратно из некоторого выходное значение, скажем y, мы отменяли бы каждый шаг в обратном порядке. В данном случае это означает прибавление 7 к y, а затем разделение результата на 5. В функциональной записи эта обратная функция будет иметь вид

$g\; (y)\; =\; y\; +\; 7\; 5.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\; +\; 7\}\; \{5\}\}.\}$

При y = 5x - 7 получаем, что f (x) = y и g (y) = x.

Не все функции имеют обратные функции. Те, что есть, называются обратимыми. Чтобы функция f: X → Y имела инверсию, она должна обладать тем свойством, что для каждого y в Y существует ровно один x в X такой, что f (x) = y. Это свойство гарантирует, что функция g: Y → X существует с необходимой связью с f.

Содержание

• 1 Определения
  • 1.1 Пример: функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня
  • 1.2 Инверсия и композиция
  • 1.3 Обозначение
• 2 Свойства
  • 2.1 Уникальность
  • 2.2 Симметрия
  • 2.3 Самообратные
• 3 Обратные в исчислении
  • 3.1 Формула для обратного
  • 3.2 График обратного
  • 3.3 Обратные и производные
• 4 Реальные примеры
• 5 Обобщения
  • 5.1 Частичные инверсии
  • 5.2 Левая и правая инверсия
    • 5.2.1 Левая инверсия
    • 5.2.2 Правая инверсия
    • 5.2.3 Двусторонняя инверсия
  • 5.3 Прообразы
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Библиография
• 10 Дополнительная литература
• 11 Внешние ссылки

Определения

Если f отображает X в Y, то f отображает Y обратно в X.

Пусть f будет функцией, домен которой является набором X, а codomain является множеством Y. Тогда f обратима, если существует функция g с областью определения Y и изображение (диапазон ) X со свойством:

$f\; (x)\; =\; y\; \iff \; g\; (y)\; =\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; y\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; Leftrightarrow\; \backslash ,\; \backslash ,\; g\; (y)\; =\; x.\}$

Если f обратимо, то функция g уникальна, что означает что существует ровно одна функция g, удовлетворяющая этому свойству. Эта функция g затем называется обратной функцией f и обычно обозначается как f, обозначение, введенное Джоном Фредериком Уильямом Гершелем в 1813 году.

Иначе говоря, функция, рассматриваемая как бинарное отношение имеет обратное тогда и только тогда, когда обратное отношение является функцией в области области Y, и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.

Не все функции имеют инверсию. Чтобы функция имела обратную, каждый элемент y ∈ Y должен соответствовать не более чем одному x ∈ X; функция f с этим свойством называется «один-к-одному» или инъекцией. Если f должна быть функцией на Y, то каждый элемент y ∈ Y должен соответствовать некоторому x ∈ X. Функции с этим свойством называются сюръекциями. Это свойство удовлетворяется по определению, если Y является изображением f, но может не выполняться в более общем контексте. Чтобы быть обратимой, функция должна быть как инъекцией, так и сюръекцией. Такие функции называются биекциями. Обратное к инъекции f: X → Y, которое не является биекцией (то есть не сюръекцией), является только частичной функцией на Y, что означает, что для некоторого y ∈ Y, f (y) не определено. Если функция f обратима, то и она, и обратная к ней функция f являются биекциями.

В определении функций используется еще одно соглашение, называемое "теоретико-множественным" или "графическим" определением с использованием упорядоченных пар, что делает codomain и изображение функции тем же. Согласно этому соглашению, все функции сюръективны, поэтому биективность и инъективность одинаковы. Авторы, использующие это соглашение, могут использовать формулировку, что функция обратима тогда и только тогда, когда это инъекция. Эти два соглашения не должны вызывать путаницу, если помнить, что в этом альтернативном соглашении кодомен функции всегда принимается как изображение функции.

Пример: функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня

Функция f: ℝ → [0, ∞), заданная f (x) = x, не является инъективной, поскольку каждый возможный результат y (кроме 0) соответствует двум разным начальным точкам в X - положительной и отрицательной, поэтому эта функция не является обратимой. С помощью этого типа функции невозможно вывести (уникальный) ввод из его вывода. Такая функция называется не- инъективной или, в некоторых приложениях, с потерей информации.

Если область действия функции ограничена неотрицательными действительными числами, то есть функция переопределяется быть f: [0, ∞) → [0, ∞) по тому же правилу, что и раньше, то функция биективна и, следовательно, обратима. Обратная функция здесь называется функцией (положительного) квадратного корня.

Инверсии и композиция

Если f - обратимая функция с областью определения X и доменом Y, то

$f\; -\; 1\; (f\; (x))\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\backslash ,\; f\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; right)\; =\; x\}$для каждого $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$; и $f\; (f\; -\; 1\; (y))\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; left\; (\backslash ,\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; \backslash ,\; \backslash \; right)\; =\; y\}$для каждого $y\; \in \; Y.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; Y.\}$.

Используя композицию функций, мы можем переписать этот оператор следующим образом:

$f\; -\; 1\; \circ \; f\; =\; id\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; circ\; f\; =\; \backslash \; operatorname\; \{id\}\; \_\; \{X\}\}$и $f\; \circ \; f\; -\; 1\; =\; id\; Y,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{id\}\; \_\; \{Y\},\}$

где id X - это функция идентификации на множестве X; то есть функция, которая не изменяет свой аргумент. В теории категорий этот оператор используется как определение обратного морфизма.

. Рассмотрение композиции функций помогает понять обозначение f. Повторное составление функции с самой собой называется итерацией. Если f применяется n раз, начиная со значения x, то это записывается как f (x); поэтому f (x) = f (f (x)) и т. д. Поскольку f (f (x)) = x, составление f и f дает f, «отменяя» эффект одного применения f.

Обозначение

Хотя обозначение f (x) может быть неправильно понято, (f (x)) определенно обозначает мультипликативную обратную функции f (x) и не имеет ничего общего с сделать с обратной функцией f.

В соответствии с общими обозначениями, некоторые английские авторы используют такие выражения, как sin (x), для обозначения обратной функции синуса, применяемой к x (на самом деле частичный обратный ; см. Ниже). Другие авторы считают, что это можно спутать с обозначением мультипликативного обратного преобразования sin (x), которое можно обозначить как (sin (x)). Чтобы избежать путаницы, обратная тригонометрическая функция часто обозначается префиксом «arc » (от латинского arcus). Например, функция, обратная синусоидальной функции, обычно называется функцией arcsine и записывается как arcsin (x). Аналогично, обратная гиперболическая функция обозначается префиксом «ar » (для латинской области). Например, функция, обратная функции гиперболического синуса , обычно записывается как arsinh (x). Другие обратные специальные функции иногда имеют префикс «inv», если следует избегать неоднозначности обозначения f.

Свойства

Поскольку функция является особым типом двоичного файла Отношения, многие свойства обратной функции соответствуют свойствам обратных отношений.

Уникальность

Если обратная функция существует для данной функции f, то она уникальна. Это следует из того, что обратная функция должна быть обратным соотношением, которое полностью определяется функцией f.

Симметрия

Существует симметрия между функцией и ее обратной. В частности, если f - обратимая функция с областью определения X и областью определения Y, то ее обратная функция f имеет область определения Y и изображение X, а обратная функция f является исходной функцией f. В символах для функций f: X → Y и f: Y → X,

$f\; -\; 1\; \circ \; f\; =\; id\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; circ\; f\; =\; \backslash \; operatorname\; \{id\}\; \_\; \{X\}\; \}$и $f\; \circ \; f\; -\; 1\; =\; id\; Y.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{id\}\; \_\; \{Y\}.\}$

Это утверждение является следствием импликации, что для того, чтобы f было обратимым, оно должно быть биективным. инволютивный характер инверсии можно кратко выразить как

$(f\; -\; 1)\; -\; 1\; =\; f.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; f.\}$

Обратное к g ∘ f - это f ∘ g.

Дано обратное к композиции функций по

$(g\; \circ \; f)\; -\; 1\; =\; f\; -\; 1\; \circ \; g\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; (g\; \backslash \; circ\; f)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; circ\; g\; ^\; \{-\; 1\}.\}$

Обратите внимание, что порядок g и f поменялся местами; чтобы отменить f, а затем g, мы должны сначала отменить g, а затем отменить f.

Например, пусть f (x) = 3x и g (x) = x + 5. Тогда композиция g ∘ f - это функция, которая сначала умножается на три, а затем складывает пять,

$(\; g\; \circ \; f)\; (x)\; =\; 3\; x\; +\; 5.\; \{\backslash \; displaystyle\; (g\; \backslash \; circ\; f)\; (x)\; =\; 3x\; +\; 5.\}$

Чтобы обратить этот процесс вспять, мы должны сначала вычесть пять, а затем разделить на три,

$(g\; \circ \; f)\; -\; 1\; (x)\; =\; 1\; 3\; (x\; -\; 5).\; \{\backslash \; displaystyle\; (g\; \backslash \; circ\; f)\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; (x-5).\}$

Это композиция (f ∘ g) (x).

Самообращение

Если X - это множество, то функция идентичности на X является собственной инверсией:

$id\; X\; -\; 1\; =\; id\; X.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; operatorname\; \{id\}\; \_\; \{X\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{id\}\; \_\; \{X\}.\}$

В общем, функция f: X → X равна своей собственной обратной, тогда и только тогда, когда композиция f ∘ f равна id X. Такая функция называется инволюцией.

Обращение в исчислении

Однопеременное исчисление в первую очередь связано с функциями, которые отображают действительные числа в действительные числа. Такие функции часто определяются с помощью формул , например:

$f\; (x)\; =\; (2\; x\; +\; 8)\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; (2x\; +\; 8)\; ^\; \{3\}.\}$

Сюръективная функция f от действительных чисел к действительным числам обладает инверсией, если она взаимно однозначна. То есть график y = f (x) имеет для каждого возможного значения y только одно соответствующее значение x и, таким образом, проходит проверку горизонтальной линии.

В следующей таблице показаны несколько стандартных функций и их обратные значения:

Функция f (x)	Инверсия f (y)	Примечания
x + a	y − a
a - x	a - y
mx	y / m	m ≠ 0
1 / x (т.е. x)	1 / y (т.е. y)	x, y ≠ 0
x	√y (т.е. y)	только x, y ≥ 0
x	√y (т.е. y)	без ограничений по x и y
x	√y (т.е. y)	x, y ≥ 0, если p четное; целое число p>0
2	lb y	y>0
e	ln y	y>0
10	log y	y>0
a	log ay	y>0 и a>0
тригонометрические функции	обратные тригонометрические функции	различные ограничения (см. таблицу ниже)
гиперболические функции	обратные гиперболические функции	различные ограничения

Формула для обратного

Один из подходов к поиску формулы для f, если он существует, заключается в решении уравнения y = f (x) относительно x. Например, если f - функция

$f\; (x)\; =\; (2\; x\; +\; 8)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; (2x\; +\; 8)\; ^\; \{3\}\}$

, тогда мы должны решить уравнение y = (2x + 8) для x:

$y\; =\; (2\; x\; +\; 8)\; 3\; y\; 3\; =\; 2\; x\; +\; 8\; y\; 3-8\; =\; 2\; xy\; 3-8\; 2\; =\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; y\; =\; (2x\; +\; 8)\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{y\}\}\; =\; 2x\; +\; 8\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\; y\}\}\; -\; 8\; =\; 2x\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; dfrac\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{y\}\}\; -\; 8\}\; \{2\}\}\; =\; x.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Таким образом, обратная функция f задается формулой

$f\; -\; 1\; (y)\; =\; y\; 3\; -\; 8\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{y\}\}\; -\; 8\}\; \{2\}\}.\}$

Иногда функция, обратная функции, не может быть выражается формулой с конечным числом членов. Например, если f - функция

$f\; (x)\; =\; x\; -\; sin\; \; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x-\; \backslash \; sin\; x,\}$

, то f является биекцией и, следовательно, обладает обратная функция f. Формула для этого обратного имеет бесконечное количество членов:

$f\; -\; 1\; (y)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; y\; n\; /\; 3\; n!\; lim\; \theta \; \to \; 0\; (d\; n\; -\; 1\; d\; \theta \; n\; -\; 1\; (\theta \; \theta \; -\; sin\; \; (\theta )\; 3)\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{y\; ^\; \{n\; /\; 3\}\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; theta\; \backslash \; в\; 0\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{\backslash ,\; n-1\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; ^\; \{\backslash ,\; n-1\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; theta\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right).\}$

График обратной

Графики y = f (x) и y = f (x). Пунктирная линия - y = x.

Если f обратимо, то график функции

$y\; =\; f\; -\; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)\}$

то же самое, что и график уравнения

$x\; =\; f\; (y).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; f\; (y).\}$

Это идентично уравнению y = f (x), которое определяет график f, за исключением того, что роли x и y поменялись местами. Таким образом, график f может быть получен из графика f путем переключения положений осей x и y. Это эквивалентно отражению графика через линию y = x.

Обратные и производные

A непрерывная функция f обратима в своем диапазоне (изображении) тогда и только тогда, когда он либо строго увеличивается, либо уменьшается (без локальных максимумов или минимумов ). Например, функция

$f\; (x)\; =\; x\; 3\; +\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{3\}\; +\; x\}$

обратима, так как производная f ′ (x) = 3x + 1 всегда положительно.

Если функция f дифференцируема на интервале I и f ′ (x) ≠ 0 для каждого x ∈ I, то обратная функция f дифференцируема на f (I). Если y = f (x), производная обратной определяется теоремой об обратной функции ,

$(f\; -\; 1)\; \prime \; (y)\; =\; 1\; f\; \prime \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; \text{'}\backslash \; left\; (x\; \backslash \; right)\}\}.\}$

Использование Обозначения Лейбница формулу выше можно записать как

$dxdy\; =\; 1\; dy\; /\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dy\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{dy\; /\; dx\}\}.\}$

Этот результат следует из правила цепочки (см. статью о обратные функции и дифференцирование ).

Теорема об обратной функции может быть обобщена на функции нескольких переменных. В частности, дифференцируемая функция многих переменных f: R→ Rобратима в окрестности точки p, пока матрица Якоби функции f в точке p является обратимой. В этом случае якобиан f в точке f (p) - это матрица, обратная якобиану f в точке p.

Примеры из реальной жизни

• Пусть f будет функцией, которая преобразует температуру в градусах Цельсия в температуру в градусах Фаренгейта,

$F\; =\; f\; (C)\; =\; 9\; 5\; C\; +\; 32;\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; f\; (C)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{9\}\; \{5\}\}\; C\; +\; 32;\}$

тогда его обратная функция преобразует градусы Фаренгейта в градусы Цельсия,

$C\; =\; f\; -\; 1\; (F)\; =\; 5\; 9\; (F\; -\; 32),\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (F)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{5\}\; \{9\}\}\; (F-32),\}$

поскольку

$f\; -\; 1\; (f\; (C))\; =\; f\; -\; 1\; (9\; 5\; C\; +\; 32)\; =\; 5\; 9\; ((9\; 5\; C\; +\; 32)\; -\; 32)\; =\; C\; для\; любого\; значения\; C,\; и\; f\; (f\; -\; 1\; (F))\; =\; f\; (5\; 9\; (F\; -\; 32))\; =\; 9\; 5\; (5\; 9\; (F\; -\; 32))\; +\; 32\; =\; F\; для\; каждого\; значения\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (f\; (C))\; =\; \{\}\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{9\}\; \{5\}\}\; C\; +\; 32\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{5\}\; \{9\}\}\; \backslash \; left\; ((\{\backslash \; tfrac\; \{9\}\; \{5\}\}\; C\; +\; 32)\; -32\; \backslash \; right)\; =\; C,\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{для\; каждого\; значения\}\}\; C,\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; f\; \backslash \; left\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (F)\; \backslash \; right)\; =\; \{\}\; f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{5\}\; \{9\}\}\; (F-32)\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{9\}\; \{5\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{5\}\; \{9\}\}\; (F-32)\; \backslash \; right)\; +\; 32\; =\; F,\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{для\; каждого\; значение\}\}\; F.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

• Предположим, f назначает каждому ребенку в семье год его рождения. Обратная функция выведет, какой ребенок родился в данном году. Однако, если в семье дети родились в одном году (например, двойня или тройня и т. Д.), То выходные данные не могут быть известны, если входными данными является общий год рождения. Также, если указан год, в котором не родился ни один ребенок, имя ребенка не может быть названо. Но если каждый ребенок родился в отдельный год, и если мы ограничим внимание тремя годами, в которые родился ребенок, то у нас действительно есть обратная функция. Например,

$f\; (Allan)\; =\; 2005,\; f\; (Brad)\; =\; 2007,\; f\; (Cary)\; =\; 2001\; f\; -\; 1\; (2005)\; =\; Allan,\; f\; -\; 1\; (2007)\; =\; Brad,\; f\; -\; 1\; (2001).\; =\; Кэри\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\; (\{\backslash \; text\; \{Allan\}\})\; =\; 2005,\; \backslash \; quad\; f\; (\{\backslash \; text\; \{Brad\}\})\; =\; 2007,\; \backslash \; quad\; f\; (\{\backslash \; text\; \{Cary\; \}\})\; =\; 2001\; \backslash \backslash \; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (2005)\; =\; \{\backslash \; text\; \{Allan\}\},\; \backslash \; quad\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (2007)\; =\; \{\backslash \; text\; \{Brad\}\},\; \backslash \; quad\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (2001)\; =\; \{\backslash \; text\; \{Cary\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

• Пусть R будет функцией, которая приводит к увеличению некоторой величины на x%, а F будет функцией, производящей падение на x процентов. Применительно к 100 долларам с x = 10% мы обнаруживаем, что применение первой функции, за которой следует вторая, не восстанавливает исходное значение 100 долларов, демонстрируя тот факт, что, несмотря на внешний вид, эти две функции не являются противоположными друг другу.

• Формула для расчета pH раствора: pH = -log10 [H +]. Во многих случаях нам необходимо определить концентрацию кислоты на основе измерения pH. Используется обратная функция [H +] = 10 ^ -pH.

Обобщения

Частично обратные

Квадратный корень из x является частичным обратным к f (x) = x.

Даже если функция f не является взаимно однозначной, можно определить частичный обратный функции f посредством ограничения области. Например, функция

$f\; (x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$

не взаимно однозначна, так как x = (−x). Однако функция становится взаимно однозначной, если мы ограничимся областью x ≥ 0, и в этом случае

$f\; -\; 1\; (y)\; =\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}.\}$

(Если вместо этого мы ограничимся областью x ≤ 0, то обратная величина будет отрицательной величиной квадратного корня из y.) В качестве альтернативы нет необходимости ограничивать область, если мы довольствуемся обратной функцией, являющейся многозначной функцией :

$f\; -\; 1\; (y)\; =\; \pm \; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}.\}$

Обратный к этой кубической функции имеет три ветви.

Иногда эта многозначная обратное называется полным обратным функции f, а части (такие как √x и −√x) называются ветвями. Наиболее важная ветвь многозначной функции (например, положительный квадратный корень) называется главной ветвью, а ее значение в y называется главным значением f (y).

Для непрерывной функции на реальной прямой требуется одна ветвь между каждой парой локальных экстремумов. Например, функция, обратная кубической функции с локальным максимумом и локальным минимумом, имеет три ветви (см. Рисунок рядом).

арксинус является частичным обратным функцией синус.

Эти соображения особенно важны для определения обратных значений тригонометрических функций. Например, функция синуса не является взаимно однозначной, поскольку

$sin\; \; (x\; +\; 2\; \pi )\; =\; sin\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (x\; +\; 2\; \backslash \; pi)\; =\; \backslash \; sin\; (x)\}$

для каждого действительного x (и в более общем смысле sin (x + 2πn) = sin (x) для каждого целого числа n). Однако синус является взаимно однозначным на интервале [−π / 2, π / 2], и соответствующий частичный обратный называется арксинус. Это считается главной ветвью обратного синуса, поэтому главное значение обратного синуса всегда находится между -π / 2 и π / 2. В следующей таблице описана основная ветвь каждой обратной тригонометрической функции:

function	Диапазон обычного главного значения
arcsin	−π / 2 ≤ sin (x) ≤ π / 2
arccos	0 ≤ cos (x) ≤ π
arctan	−π / 2 < tan(x) < π/2
arccot	0 < cot(x) < π
arcsec	0 ≤ sec (x) ≤ π
arccsc	−π / 2 ≤ csc (x) ≤ π / 2

Обратные слева и справа

Обратные слева и справа не являются обязательно то же самое. Если g является левым обратным для f, тогда g может быть или не быть правым обратным для f; и если g является правым обратным для f, то g не обязательно является левым обратным для f. Например, пусть f: R → [0, ∞) обозначает отображение в квадрат, такое, что f (x) = x для всех x в R, и пусть g: [0, ∞) → R обозначает отображение квадратного корня, такое что g (x) = √x для всех x ≥ 0. Тогда f (g (x)) = x для всех x в [0, ∞); то есть g является правым обратным к f. Однако g не является левым обратным к f, поскольку, например, g (f (−1)) = 1 ≠ −1.

Инверсия влево

Если f: X → Y, инверсия влево для f (или отвод f) является функцией g: Y → X такое, что составление f и g слева дает тождественную функцию:

$g\; \circ \; f\; =\; id\; X.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; circ\; f\; =\; \backslash \; operatorname\; \{id\}\; \_\; \{X\}.\}$

То есть функция g удовлетворяет правилу

Если $f\; (x)\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; y\}$, тогда $g\; (y)\; =\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (y)\; =\; x.\}$

Таким образом, g должно быть равно значению, обратному f на изображении f, но может принимать любые значения для элементов Y, которых нет на изображении.

Функция f инъективна тогда и только тогда, когда она имеет левую инверсию или является пустой функцией.

Если g - левый обратный к f, то f инъективен. Если f (x) = f (y), то $g\; (f\; (x))\; =\; g\; (f\; (y))\; =\; x\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (f\; (x))\; =\; g\; (f\; (y))\; =\; x\; =\; y\}$.

Если f: X → Y инъективно, f либо является пустой функцией (X = ∅), либо имеет левый обратный g: Y → X (X ≠ ∅), который может быть построен следующим образом: для всех y ∈ Y, если y находится в образе f (существует x ∈ X, такое что f (x) = y), пусть g (y) = x (x уникален, поскольку f инъективен); в противном случае, пусть g (y) - произвольный элемент X. Для всех x ∈ X, f (x) находится в образе f, поэтому g (f (x)) = x по вышеизложенному, поэтому g является левым обратным of f.

В классической математике каждая инъективная функция f с непустой областью обязательно имеет левую обратную; однако в конструктивной математике это может быть ошибочным. Например, левая инверсия включения {0,1} → R двухэлементного набора в вещественные числа нарушает неразложимость, давая ретракцию из действительная линия к множеству {0,1}.

Правая инверсия

A правая инверсия для f (или раздел f) - это функция h: Y → X такая, что

$f\; \circ \; h\; =\; id\; Y.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; h\; =\; \backslash \; operatorname\; \{id\}\; \_\; \{Y\}.\}$

То есть функция h удовлетворяет правилу

Если $h\; (y)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; h\; (y)\; =\; x\}$, тогда $f\; (x)\; =\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; y.\}$

Таким образом, h (y) может быть любым из элементов X, которые отображаются в y под f.

Функция f имеет правую инверсию тогда и только тогда, когда она сюръективна (хотя построение такой инверсии в целом требует аксиомы выбора ).

Если h - правый обратный к f, то f сюръективен. Для всех y ∈ Y существует x = h (y) такое, что $f\; (x)\; =\; f\; (h\; (y))\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; f\; (h\; (y))\; =\; y\; \}$.

Если f сюръективен, f имеет правый обратный h, который можно построить следующим образом: для всех y ∈ Y существует хотя бы один x ∈ X такой, что f (x) = y (поскольку f сюръективен), поэтому мы выбираем единицу в качестве значения h (y).

Двусторонняя инверсия

Инверсия, которая одновременно является левой и правой инверсией (двусторонняя инверсия ), если он существует, должен быть уникальным. Фактически, если функция имеет левую инверсию и правую инверсию, они обе являются одинаковыми двусторонними инверсиями, поэтому ее можно назвать обратной .

Если $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$является левым обратным, а $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$правым обратным $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$для всех $y\; \in \; Y\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; \backslash \; в\; Y\}$, $г\; (у)\; =\; г\; (е\; (ч\; (у))\; =\; ч\; (у)\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; (у)\; =\; г\; (е\; (ч\; (у))\; =\; h\; (y)\}$.

Функция имеет двустороннюю обратную функцию тогда и только тогда, когда она биективна.

Биективная функция f является инъективной, поэтому у нее есть обратная слева (если f - пустая функция, $f:\; \varnothing \; \to \; \varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; emptyset\; \backslash \; to\; \backslash \; emptyset\}$является собственным левым обратным). f сюръективен, поэтому он имеет правый обратный. правые обратные совпадают.

Если f имеет двусторонний обратный g, то g является левым обратным и правым обратным f, поэтому f инъективен и сюръективен.

Прообразы

Если f: X → Y - любая функция (не обязательно обратимая), age (или прообраз ) элемента y ∈ Y - это набор всех элементов X, которые отображаются в y:

$f\; -\; 1\; (\{y\})\; =\; \{x\; \in \; X:\; f\; (x)\; =\; y\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; \{y\; \backslash \})\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; X:\; f\; (x)\; =\; y\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Прообраз y можно представить как изображение y под (многозначным) полным обратным функцией f.

Аналогично, если S - любое подмножество Y, прообраз S, обозначенный $f\; -\; 1\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (S)\}$- это множество всех элементов X, которые отображаются в S:

$f\; -\; 1\; (S)\; =\; \{x\; \in \; X:\; f\; (x)\; \in \; S\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (S)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; X:\; f\; (x)\; \backslash \; in\; S\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Например, возьмем функцию f: R→ R, где f: x ↦ x. Эта функция не является обратимой по причинам, описанным в § Пример: функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня. Тем не менее, прообразы могут быть определены для подмножеств кодомена:

$f\; -\; 1\; (\{1,\; 4,\; 9,\; 16\})\; =\; \{-\; 4,\; -\; 3,\; -\; 2,\; -\; 1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; влево\; \backslash \; \{1,4,9,16\; \backslash \; вправо\; \backslash \})\; =\; \backslash \; влево\; \backslash \; \{-\; 4,\; -3,\; -2,\; -1,1,2,3,4\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

Прообраз одиночного элемента y ∈ Y - одноэлементного множества {y} - иногда называют слоем y. Когда Y представляет собой набор действительных чисел, f ({y}) обычно называют набором уровней ..

См. Также

• теорема об обращении Лагранжа, дает разложение в ряд Тейлора обратная функция аналитической функции
• Интеграл обратных функций
• Обратное преобразование Фурье
• Обратимые вычисления

Примечания

Ссылки

Библиография

• Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011). Исчисление / Ранняя трансцендентальная единичная переменная. Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-66414-3.
• Девлин, Кейт Дж. (2004). Множества, функции и логика / Введение в абстрактную математику (3-е изд.). Чепмен и Холл / CRC Mathematics. ISBN 978-1-58488-449-1.
• Флетчер, Питер; Пэтти, К. Уэйн (1988). Основы высшей математики. PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
• Лэй, Стивен Р. (2006). Анализ / С введением в доказательство (4-е изд.). Пирсон / Прентис Холл. ISBN 978-0-13-148101-5.
• Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2006). Переход к высшей математике (6-е изд.). Томпсон Брукс / Коул. ISBN 978-0-534-39900-9.
• Томас-младший, Джордж Бринтон (1972). Исчисление и аналитическая геометрия. Часть 1: Функции одной переменной и аналитической геометрии (Альтернативная редакция). Эддисон-Уэсли.
• Вольф, Роберт С. (1998). Доказательство, логика и гипотеза / Набор инструментов математика. В. H. Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.

Дополнительная литература

• Amazigo, John C.; Рубенфельд, Лестер А. (1980). «Неявные функции; якобианы; обратные функции». Расширенное исчисление и его приложения в технических и физических науках. Нью-Йорк: Вили. Стр. 103 –120. ISBN 0-471-04934-4.
• Бинмор, Кен Г. (1983). «Обратные функции». Исчисление. Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 161–197. ISBN 0-521-28952-1.
• Спивак, Майкл (1994). Исчисление (3-е изд.). Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-89-6.
• Стюарт, Джеймс (2002). Исчисление (5 изд.). Брукс Коул. ISBN 978-0-534-39339-7.

Внешние ссылки

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]