Домен функции

редактировать

математическая концепция

Функция f от X до Y. Красный овал X - это область определения f.

График действительной функции квадратного корня, f (x) = √x, область определения которой состоит из всех неотрицательных действительных чисел

In математика, область или набор исходных функции - это набор, в который все входные функции вынужден падать. Это множество X в записи f: X → Y, которое также обозначается как $dom ⁡ (f) {\ displaystyle \ operatorname {dom} (f)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dom} (f)}$ . Поскольку функция определена на всей своей области определения, ее область определения совпадает с областью определения . Однако это совпадение больше не верно для частичной функции, поскольку областью определения частичной функции может быть собственное подмножество области.

Область является частью функции f, если f определяется как тройка (X, Y, G), где X называется областью определения f, Y - его codomain, а G его график.

Область не является частью функции f, если f определяется как просто граф. Например, в теории множеств иногда бывает удобно разрешить домену функции быть надлежащим классом X, и в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка (X, Y, G). С таким определением функции не имеют домена, хотя некоторые авторы все еще используют его неформально после введения функции в форме f: X → Y.

Например, область косинуса - это набор всех действительных чисел, в то время как область квадратного корня состоит только из чисел, больших или равных 0 (игнорируя комплексные числа в обоих случаи).

Если область определения функции является подмножеством действительных чисел и функция представлена в декартовой системе координат, то область представлена на оси x.

Содержание

1 Примеры
2 Естественная область
3 Теория категорий
4 Другое использование
5 Более распространенные примеры
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки

Примеры

Четко определенная функция должна отображать каждый элемент своего домена в элемент своего кодомена. Например, функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ определяется как

f (x) = 1 x {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}} }

f (x) = {\ frac { 1} {x}}

не имеет значения для $f (0) {\ displaystyle f (0)}$ $f (0)$ . Таким образом, набор всех действительных чисел, $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ не может быть его доменом. В подобных случаях функция либо определена на $R ∖ {0} {\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$ , либо «пробел заполняется» определение $f (0) {\ displaystyle f (0)}$ $f (0)$ явно. Например. если расширить определение $f {\ displaystyle f}$ $f$ до кусочно функции

f (x) = {1 / xx ≠ 0 0 x = 0 { \ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1 / x x \ not = 0 \\ 0 x = 0 \ end {cases}}}

f (x) = \ begin {cases} 1 / x x \ not = 0 \\ 0 x = 0 \ end {cases}

, затем $f {\ displaystyle f}$ $f$ определен для всех действительных чисел, и его домен равен $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

Любая функция может быть ограничена подмножеством своего домена. ограничение из $g: A → B {\ displaystyle g \ двоеточие A \ to B}$ $g \ двоеточие от A \ до B$ до $S {\ displaystyle S}$ $S$ , где $S ⊆ A {\ displaystyle S \ substeq A}$ $S \ substeq A$ записывается как $g | S: S → B {\ displaystyle \ left.g \ right | _ {S} \ двоеточие S \ to B}$ ${\ displaystyle \ left.g \ right | _ {S} \ двоеточие S \ to B}$ .

Естественная область

Естественная область функции ( иногда сокращается как домен) - это максимальный набор значений, для которых определена функция, обычно в вещественных числах, но иногда также и среди целых или комплексных чисел. Например, естественная область квадратного корня - неотрицательные действительные числа, если рассматривать их как функцию действительного числа. При рассмотрении естественной области набор возможных значений функции обычно называется ее диапазоном.

Теория категорий

Теория категорий имеет дело с морфизмами вместо функций. Морфизмы - это стрелки от одного объекта к другому. Область любого морфизма - это объект, с которого начинается стрелка. В этом контексте следует отказаться от многих теоретико-множественных идей о предметных областях - или, по крайней мере, сформулировать их более абстрактно. Например, понятие ограничения морфизма подмножеством его домена должно быть изменено. Для получения дополнительной информации см. подобъект.

Другое использование

Слово «домен» используется с другими связанными значениями в некоторых областях математики. В топологии домен - это подключенный открытый набор. В реальном и комплексном анализе домен является открытым связанным подмножеством реального или сложное векторное пространство. При изучении дифференциальных уравнений в частных производных область представляет собой открытое связное подмножество евклидова пространства $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , где поставлена проблема (т. Е. Где определены неизвестные функции).

Более распространенные примеры

В качестве частичной функции от действительных чисел к действительным числам функция $x ↦ x {\ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$ $x \ mapsto \ sqrt {x}$ имеет домен $x ≥ 0 {\ displaystyle x \ geq 0}$ $x \ geq 0$ . Однако, если определить квадратный корень отрицательного числа x как комплексное число z с положительной мнимой частью, такое, что z = x, тогда функция $x ↦ x { \ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$ $x \ mapsto \ sqrt {x}$ имеет целую реальную строку в качестве домена (но теперь с большим codomain). Область определения тригонометрической функции $tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x {\ displaystyle \ tan x = {\ tfrac {\ sin x} {\ cos x}}}$ ${\ displaystyle \ tan x = {\ tfrac {\ sin x} {\ cos x}}}$ - это набор всех (действительных или комплексных) чисел, которые не имеют формы $π 2 + k π, k = 0, ± 1, ± 2,… {\ displaystyle {\ tfrac {\ pi } {2}} + k \ pi, k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}} + k \ pi, k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots}$ .

См. Также

Примечания

Ссылки

Бурбаки, Николас ( 1970). Теория ансамблей. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348.