In математика, область или набор исходных функции - это набор, в который все входные функции вынужден падать. Это множество X в записи f: X → Y, которое также обозначается как . Поскольку функция определена на всей своей области определения, ее область определения совпадает с областью определения . Однако это совпадение больше не верно для частичной функции, поскольку областью определения частичной функции может быть собственное подмножество области.
Область является частью функции f, если f определяется как тройка (X, Y, G), где X называется областью определения f, Y - его codomain, а G его график.
Область не является частью функции f, если f определяется как просто граф. Например, в теории множеств иногда бывает удобно разрешить домену функции быть надлежащим классом X, и в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка (X, Y, G). С таким определением функции не имеют домена, хотя некоторые авторы все еще используют его неформально после введения функции в форме f: X → Y.
Например, область косинуса - это набор всех действительных чисел, в то время как область квадратного корня состоит только из чисел, больших или равных 0 (игнорируя комплексные числа в обоих случаи).
Если область определения функции является подмножеством действительных чисел и функция представлена в декартовой системе координат, то область представлена на оси x.
Четко определенная функция должна отображать каждый элемент своего домена в элемент своего кодомена. Например, функция определяется как
не имеет значения для . Таким образом, набор всех действительных чисел, не может быть его доменом. В подобных случаях функция либо определена на , либо «пробел заполняется» определение явно. Например. если расширить определение до кусочно функции
, затем определен для всех действительных чисел, и его домен равен .
Любая функция может быть ограничена подмножеством своего домена. ограничение из до , где записывается как .
Естественная область функции ( иногда сокращается как домен) - это максимальный набор значений, для которых определена функция, обычно в вещественных числах, но иногда также и среди целых или комплексных чисел. Например, естественная область квадратного корня - неотрицательные действительные числа, если рассматривать их как функцию действительного числа. При рассмотрении естественной области набор возможных значений функции обычно называется ее диапазоном.
Теория категорий имеет дело с морфизмами вместо функций. Морфизмы - это стрелки от одного объекта к другому. Область любого морфизма - это объект, с которого начинается стрелка. В этом контексте следует отказаться от многих теоретико-множественных идей о предметных областях - или, по крайней мере, сформулировать их более абстрактно. Например, понятие ограничения морфизма подмножеством его домена должно быть изменено. Для получения дополнительной информации см. подобъект.
Слово «домен» используется с другими связанными значениями в некоторых областях математики. В топологии домен - это подключенный открытый набор. В реальном и комплексном анализе домен является открытым связанным подмножеством реального или сложное векторное пространство. При изучении дифференциальных уравнений в частных производных область представляет собой открытое связное подмножество евклидова пространства , где поставлена проблема (т. Е. Где определены неизвестные функции).
В качестве частичной функции от действительных чисел к действительным числам функция имеет домен . Однако, если определить квадратный корень отрицательного числа x как комплексное число z с положительной мнимой частью, такое, что z = x, тогда функция имеет целую реальную строку в качестве домена (но теперь с большим codomain). Область определения тригонометрической функции - это набор всех (действительных или комплексных) чисел, которые не имеют формы .