Класс (теория множеств)

В теории множеств и ее приложений во всей математике, класс представляет собой набор наборов (или иногда других математических объектов), которые могут быть однозначно определены свойством, общим для всех его членов. Точное определение «класса» зависит от основного контекста. В работе по теории множеств Цермело – Френкеля понятие класса является неформальным, тогда как другие теории множеств, такие как теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя, аксиоматизируют понятие «собственно class ", например, как объекты, которые не являются членами другого объекта.

Класс, который не является набором (неофициально в Цермело – Френкеле), называется собственным классом, а класс, который является набором, иногда называют малым классом . Например, класс всех порядковых чисел и класс всех множеств являются собственными классами во многих формальных системах.

В теоретико-множественных работах Куайна фраза «окончательный класс» часто используется вместо фразы «надлежащий класс», подчеркивая, что в рассматриваемых им системах определенные классы не могут быть членами и, таким образом, являются последним термином. в любой цепочке членства, к которой они принадлежат.

За пределами теории множеств слово «класс» иногда используется как синоним «множества». Это использование восходит к историческому периоду, когда классы и множества не разделялись, как в современной теоретико-множественной терминологии. Многие дискуссии о «классах» в XIX веке и ранее на самом деле относятся к множествам или, скорее, происходят без учета того, что определенные классы могут не быть множествами.

• 1 Примеры
• 2 Парадоксы
• 3 Классы в формальных теориях множеств
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

набор всех алгебраических структур данного типа обычно будет правильным классом. Примеры включают в себя класс всех групп, класс всех векторных пространств и многие другие. В теории категорий категория , совокупность объектов которой формирует соответствующий класс (или чья совокупность морфизмов формирует надлежащий класс), является называется большой категорией.

сюрреалистическими числами - это надлежащий класс объектов, обладающих свойствами поля .

В теории множеств многие наборы множеств оказываются правильные занятия. Примеры включают класс всех множеств, класс всех порядковых чисел и класс всех кардинальных чисел.

Один из способов доказать, что класс является правильным, - это поместить его в биекцию с классом всех порядковых чисел. Этот метод используется, например, для доказательства того, что не существует free полной решетки на трех или более генераторах.

The парадоксы наивной теории множеств могут быть объяснены в терминах непоследовательного неявного предположения о том, что «все классы являются множествами». При строгом обосновании эти парадоксы вместо этого предлагают доказательства того, что определенные классы являются собственными (то есть, что они не являются множествами). Например, парадокс Рассела предлагает доказательство того, что класс всех множеств, которые не содержат самих себя, является правильным, а парадокс Бурали-Форти предполагает, что класс всех порядковых числа правильно. С классами парадоксов не возникает, потому что нет понятия классов, содержащих классы. В противном случае можно было бы, например, определить класс всех классов, которые не содержат самих себя, что привело бы к парадоксу Рассела для классов. С другой стороны, конгломерат может иметь собственные классы в качестве членов, хотя теория конгломератов еще не установлена.

Теория множеств ZF не формализует понятие классов, поэтому каждая формула с классами должна быть синтаксически сведена к формуле без классов. Например, можно уменьшить формулу $A\; =\; \{x\; \mid \; x\; =\; x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; mid\; x\; =\; x\; \backslash \}\}$до $\forall \; x\; (x\; \in \; A\; \leftrightarrow \; Икс\; знак\; равно\; Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; forall\; х\; (х\; \backslash \; в\; А\; \backslash \; leftrightarrow\; х\; =\; х)\}$. Семантически в метаязыке классы могут быть описаны как классы эквивалентности из логических формул : Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\; \}\}$- структура , интерпретирующая ZF, затем объектный язык «выражение построителя классов» $\{x\; \mid \; \varphi \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\; \backslash \; mid\; \backslash \; phi\; \backslash \}\; \}$интерпретируется в $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$путем сбора всех элементов из домена $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$, на котором выполняется $\lambda \; x\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; x\; \backslash \; phi\}$; таким образом, класс можно описать как набор всех предикатов, эквивалентных $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$(который включает $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$сам). В частности, можно идентифицировать «класс всех множеств» с множеством всех предикатов, эквивалентных $x\; =\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; x.\}$

Поскольку классы не имеют формального статуса в теории ZF, аксиомы ZF не сразу применяются к классам. Однако, если предполагается недоступный кардинал $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$, то наборы меньшего ранга образуют модель ZF (вселенная Гротендика ), а его подмножества можно рассматривать как «классы».

В ZF концепция функции также может быть обобщена на классы. Функция класса не является функцией в обычном смысле слова, так как это не набор; это скорее формула $\Phi \; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x,\; y)\}$со свойством, которое для любого набора $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$существует не более одного набора $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$такого, что пара $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$удовлетворяет $\Phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi.\}$Например, функция класса, отображающая каждый набор на его преемник, может быть выражена формулой $y\; =\; x\; \cup \; \{x\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; x\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{x\; \backslash \}.\}$Тот факт, что упорядоченная пара $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$удовлетворяет $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$может быть выражено сокращенным обозначением $\Phi \; (x)\; =\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x)\; =\; y.\}$

Другой подход используется аксиомами фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG); классы являются базовыми объектами в этой теории, и набор затем определяется как класс, который является элементом некоторого другого класса. Однако аксиомы существования классов NBG ограничены так, что они количественно определяют только множества, а не все классы. Это заставляет NBG быть консервативным расширением ZF.

Теория множеств Морса – Келли допускает собственные классы в качестве базовых объектов, таких как NBG, но также допускает количественную оценку по всем собственным классам в аксиомах существования классов. Это заставляет MK быть строго сильнее, чем NBG и ZF.

В других теориях множеств, таких как Новые основы или теория полумножеств, концепция «надлежащего класса» по-прежнему имеет смысл (не все классы являются множествами) но критерий установленности не замкнут по подмножествам. Например, любая теория множеств с универсальным множеством имеет собственные классы, которые являются подклассами множеств.

• Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (изд. Третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer -Verlag, ISBN 978-3-540-44085-7
• Леви, А. (1979), Теория основных множеств, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Раймонд М. Смуллян, Мелвин Фиттинг, 2010 г., Теория множеств и проблема континуума. Dover Publications ISBN 978-0-486-47484-7.
• Монк Дональд Дж., 1969, Введение в теорию множеств. McGraw-Hill Book Co. ISBN 9780070427150.

• Вайсштейн, Эрик У. «Установить класс». MathWorld.