Квадратный корень

редактировать

Число, квадрат которого является заданным числом

Обозначение (основного) квадратного корня из x

Например, √ 25 = 5, так как 25 = 5 ⋅ 5 или 5 (5 в квадрате).

В математике квадратный корень числа x - это число y такое, что y = х; другими словами, число y, у которого квадрат (результат умножения числа на себя, или y ⋅ y) равно x. Например, 4 и −4 являются квадратными корнями из 16, потому что 4 = (−4) = 16. Каждое неотрицательное вещественное число x имеет уникальный неотрицательный квадратный корень, называемый главным квадратным корнем, который обозначается на $x, {\ displaystyle {\ sqrt {x}},}$ ${\sqrt {x}},$ где символ ${\ displaystyle {\ sqrt {}}}$ ${\sqrt {}}$ называется знак корня или основание системы счисления. Например, главный квадратный корень из 9 равен 3, что обозначается как $9 = 3, {\ displaystyle {\ sqrt {9}} = 3,}$ ${\sqrt {9}}=3,$ , потому что 3 = 3 ⋅ 3 = 9 и 3 неотрицательны. Термин (или число), квадратный корень которого рассматривается, известен как подкоренное выражение. Подкоренное выражение - это число или выражение под знаком радикала, в данном случае 9.

Каждое положительное число x имеет два квадратных корня: $x, {\ displaystyle {\ sqrt { x}},}$ ${\sqrt {x}},$ , что положительно, и $- x, {\ displaystyle - {\ sqrt {x}},}$ $-{\sqrt {x}},$ , что отрицательно. Вместе эти два корня обозначаются как $± x {\ displaystyle \ pm {\ sqrt {x}}}$ $\pm {\sqrt {x}}$ (см. ± сокращенное обозначение ). Хотя главный квадратный корень положительного числа является только одним из двух квадратных корней, обозначение «квадратный корень» часто используется для обозначения главного квадратного корня. Для положительного x главный квадратный корень можно также записать в нотации экспоненты, как x.

Квадратные корни из отрицательных чисел могут обсуждаться в рамках комплексных чисел. В более общем смысле, квадратные корни можно рассматривать в любом контексте, в котором определяется понятие «возведения в квадрат» некоторых математических объектов. К ним относятся функциональные пространства и квадратные матрицы, среди других математических структур.

Содержание

1 История
2 Свойства и использование
3 Квадратных корней из положительные целые числа
- 3.1 В виде десятичных разложений
- 3.2 В виде разложений в других системах счисления
- 3.3 В виде периодических непрерывных дробей
4 Вычисление
5 Квадратные корни из отрицательных и комплексных чисел
- 5.1 Главный квадратный корень комплексного числа
- 5.2 Алгебраическая формула
- 5.3 Примечания
6 Обобщения
7 Квадратные корни из матриц и операторов
8 В областях целостности, включая поля
9 В кольцах в целом
10 Геометрическое построение квадратного корня
11 См. Также
12 Примечания
13 Ссылки
14 Внешние ссылки

История

Вавилонская коллекция Йельского университета YBC 7289 глиняная табличка была создана между 1800 г. до н.э. и 1600 г. до н.э., показывая $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\sqrt {2}}$ и $2 2 = 1 2 {\ textstyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ соответственно как 1; 24,51,10 и 0; 42,25,35 с основанием 60 чисел на квадрате, пересеченном двумя диагоналями. (1; 24,51,10) основание 60 соответствует 1,41421296, что является правильным значением с точностью до 5 десятичных знаков (1,41421356...).

Математический папирус Райнда является копией более раннего Берлинского папируса и других текстов - возможно, Папируса Кахуна - датируется 1650 годом до нашей эры. как египтяне извлекали квадратные корни методом обратной пропорции.

В Древней Индии знания теоретических и прикладных аспектов квадратного и квадратного корня были по крайней мере такими же старыми, как Сульба-сутры, датируемые примерно 800–500 гг. До н.э. (возможно, намного раньше). Метод нахождения очень хороших приближений к квадратным корням из 2 и 3 дан в Баудхаяна Сульба Сутра. Арьябхата, в Арьябхатия (раздел 2.4), дал метод нахождения квадратного корня из чисел, состоящих из многих цифр.

Древним грекам было известно, что квадратные корни из натуральных чисел, которые не являются полными квадратами, всегда являются иррациональными числами : числами, которые невозможно выразить как отношение двух целых чисел (то есть их нельзя записать точно как m / n, где m и n - целые числа). Это теорема Евклида X, 9, почти наверняка из-за того, что Теэтет датируется примерно 380 г. до н. Э. Частный случай квадратного корня из 2 считается восходящим к пифагорейцам и традиционно приписывается Гиппасу. Это в точности длина диагонали квадрата со стороной 1.

В китайской математической работе Письма о расчете, написанные между 202 г. до н.э. и 186 г. до н.э. В начале династии Хань квадратный корень аппроксимируется методом «избытка и недостатка», который гласит: «... объединить избыток и недостаток в качестве делителя; (принимая) числитель недостатка, умноженный на знаменатель избытка и числитель избытка, умноженный на знаменатель недостатка, объединяют их как делимое ".

Символ для квадратных корней, записанный в виде сложной R, был изобретен Региомонтаном (1436–1436 гг.) 1476). R также использовался для системы счисления для обозначения квадратных корней в Джероламо Кардано в Ars Magna.

Согласно историку математики Д.Э. Смит, метод Арьябхаты для нахождения квадратного корня был впервые представлен в Европе Катанео - в 1546 году.

Согласно Джеффри А. Оуксу, арабы использовали букву jīm / ĝīm (ج), первая буква слова «جذر» (транслитерируемого по-разному как jaḏr, jiḏr, ǧaḏr или ǧiḏr, «корень»), помещенная в начальной форме (ﺟ) над числом, чтобы указать его квадрат корень. Буква jīm напоминает нынешнюю форму квадратного корня. Его использование восходит к концу двенадцатого века в работах марокканского математика Ибн аль-Ясамина.

. Символ «√» для квадратного корня впервые был использован в печати в 1525 году, в Кристоф Рудольф Coss.

Свойства и использование

График функции f (x) = √x, составленный из половины параболы с вертикальной directrix

Функция главного квадратного корня f (x) = √x (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») - это функция , которая отображает набор неотрицательных действительных чисел на себя. В геометрических терминах функция квадратного корня отображает площадь квадрата на длину его стороны.

Квадратный корень из x является рациональным тогда и только тогда, когда x является рациональным числом, которое может быть представлено как отношение двух полных квадратов. (См. квадратный корень из 2 для доказательства того, что это иррациональное число, и квадратный иррациональный для доказательства для всех неквадратных натуральных чисел.) Функция квадратного корня отображает рациональные числа в алгебраические числа, последнее является надмножеством рациональных чисел).

Для всех действительных чисел x,

x 2 = | х | = {x, если x ≥ 0 - x, если x < 0. {\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,{\t_dv{if }}x\geq 0\\-x,{\t_dv{if }}x<0.\end{cases}}}

\sqrt{x^2} = \left|x\right| = \begin{cases} x, \t_dv{if }x \ge 0 \\ -x, \t_dv{if }x <0. \end{cases}

(см. абсолютное значение )

Для всех неотрицательных действительных чисел x и y

xy = xy {\ displaystyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}}}

\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y

x = x 1/2. {\ displaystyle {\ sqrt {x}} = x ^ {1 / 2}.}

\sqrt x = x^{1/2}.

Функция квадратного корня непрерывна для всех неотрицательных x и дифференцируема для всех положительных x. Если f обозначает функцию квадратного корня, производная которой определяется выражением :

f ′ (x) = 1 2 x. {\ Displaystyle f '(x) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}}.}

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.

Тейлор ряд из √1 + x относительно x = 0 сходится при | x | ≤ 1 и задается следующим образом:

1 + x = ∑ n = 0 ∞ (- 1) n (2 n)! (1 - 2 n) (n!) 2 (4 n) xn = 1 + 1 2 x - 1 8 x 2 + 1 16 x 3 - 5 128 x 4 + ⋯, {\ displaystyle {\ sqrt {1 + x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(1-2n) (n!) ^ {2} (4 ^ {n})}} x ^ {n} = 1 + {\ frac {1} {2}} x - {\ frac {1} {8}} x ^ {2} + {\ frac {1} {16}} x ^ {3} - {\ frac {5} {128}} x ^ {4} + \ cdots,}

{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots,

Квадратный корень из неотрицательного числа используется в определении Евклидова норма (и расстояние ), а также в таких обобщениях, как Гильбертовы пространства. Он определяет важную концепцию стандартного отклонения, используемую в теории вероятностей и статистике. Он широко используется в формуле для корней квадратного уравнения ; квадратные поля и кольца квадратичных целых чисел, основанные на квадратных корнях, важны в алгебре и используются в геометрии. Квадратные корни часто встречаются в других математических формулах, а также во многих физических законах.

Квадратные корни из положительных целых чисел

Положительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный, которые противоположны друг другу. Когда говорят о квадратном корне из положительного целого числа, обычно имеется в виду положительный квадратный корень.

Квадратные корни целого числа - это целые алгебраические числа, а точнее целые квадратичные числа.

Квадратный корень положительного целого числа является произведением корней его простые множители, потому что квадратный корень из произведения - это произведение квадратных корней из множителей. Поскольку √p = p, необходимы только корни тех простых чисел, которые имеют нечетную степень в факторизации. Точнее, квадратный корень из разложения на простые множители равен

p 1 2 e 1 + 1 ⋯ p k 2 e k + 1 p k + 1 2 e k + 1… p n 2 e n = p 1 e 1… p n e n p 1… p k. {\ Displaystyle {\ sqrt {p_ {1} ^ {2e_ {1} +1} \ cdots p_ {k} ^ {2e_ {k} +1} p_ {k + 1} ^ {2e_ {k + 1}} \ dots p_ {n} ^ {2e_ {n}}}} = p_ {1} ^ {e_ {1}} \ dots p_ {n} ^ {e_ {n}} {\ sqrt {p_ {1} \ dots p_ {k}}}.}

{\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.

В виде десятичных разложений

Квадратные корни из полных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) равны целые числа. Во всех других случаях квадратные корни из положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют не- повторяющиеся десятичные дроби в своих десятичных представлениях. Десятичные приближения квадратных корней из первых нескольких натуральных чисел приведены в следующей таблице.

n	√n, усекается до 50 знаков после запятой
0	0
1	1
2	1,41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1,73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2,23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2,44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2,64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2,82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3,16227766016837933199889354443271853371955513932521

Как разложения в других системах счисления

Как и раньше, квадратные корни из полных квадратов (например, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами. Во всех остальных случаях квадратные корни из положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся цифры в любой стандартной системе позиционной записи.

Квадратные корни из малых целых чисел используются в конструкциях хэш-функций SHA-1 и SHA-2, чтобы ничего не было в моих числах в рукаве.

В виде периодических непрерывных дробей

Один из самых интригующих результатов изучения иррациональных чисел как цепных дробей был получен Джозефом Луи Лагранжем c.1780. Лагранж обнаружил, что представление квадратного корня из любого положительного целого числа, не являющегося квадратом, в виде непрерывной дроби периодично. То есть определенный образец частичных знаменателей бесконечно повторяется в непрерывной дроби. В некотором смысле эти квадратные корни являются простейшими иррациональными числами, потому что они могут быть представлены простым повторяющимся шаблоном целых чисел.

√2	= [1; 2, 2,...]
√3	= [1; 1, 2, 1, 2,...]
√4	= [2]
√5	= [2; 4, 4,...]
√6	= [2; 2, 4, 2, 4,...]
√7	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4,...]
√8	= [2; 1, 4, 1, 4,...]
√9	= [3]
√10	= [3; 6, 6,...]
√11	= [3; 3, 6, 3, 6,...]
√12	= [3; 2, 6, 2, 6,...]
√13	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6,...]
√14	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6,...]
√15	= [3; 1, 6, 1, 6,...]
√16	= [4]
√17	= [4; 8, 8,...]
√18	= [4; 4, 8, 4, 8,...]
√19	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8,...]
√20	= [4; 2, 8, 2, 8,...]

Обозначение квадратной скобки, использованное выше, является сокращенной формой для непрерывной дроби. Написанная в более сложной алгебраической форме, простая непрерывная дробь для квадратного корня из 11, [3; 3, 6, 3, 6,...], выглядит так:

11 = 3 + 1 3 + 1 6 + 1 3 + 1 6 + 1 3 + ⋱ {\ displaystyle {\ sqrt {11}} = 3 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {1} {6 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {1} {6 + {\ cfrac {1} {3+ \ ddots) }}}}}}}}}}}

\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \ddots}}}}}

где двузначный образец {3, 6} повторяется снова и снова в частичных знаменателях. Поскольку 11 = 3 + 2, приведенное выше также идентично следующему обобщенным непрерывным дробям :

11 = 3 + 2 6 + 2 6 + 2 6 + 2 6 + 2 6 + ⋱ = 3 + 6 20 - 1 - 1 20 - 1 20 - 1 20 - 1 20 - ⋱. {\ displaystyle {\ sqrt {11}} = 3 + {\ cfrac {2} {6 + {\ cfrac {2} {6 + {\ cfrac {2} {6 + {\ cfrac {2} {6+ { \ cfrac {2} {6+ \ ddots}}}}}}}}} = 3 + {\ cfrac {6} {20-1 - {\ cfrac {1} {20 - {\ cfrac {1} { 20 - {\ cfrac {1} {20 - {\ cfrac {1} {20- \ ddots}}}}}}}}}.}

{\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.

Вычисление

Квадратные корни положительных чисел не в общем случае рациональные числа, и поэтому не могут быть записаны как завершающее или повторяющееся десятичное выражение. Поэтому в целом любая попытка вычислить квадратный корень, выраженный в десятичной форме, может дать только приближение, хотя может быть получена последовательность все более точных приближений.

Большинство карманных калькуляторов имеют квадратный корень. Компьютерные электронные таблицы и другое программное обеспечение также часто используются для вычисления квадратных корней. Карманные калькуляторы обычно реализуют эффективные процедуры, такие как метод Ньютона (часто с начальным предположением, равным 1), для вычисления квадратного корня из положительного действительного числа. При вычислении квадратных корней с помощью таблиц логарифмов или правил скольжения можно использовать тождества

a = e (ln ⁡ a) / 2 = 10 (log 10 a) / 2, {\ displaystyle {\ sqrt {a}} = e ^ {(\ ln a) / 2} = 10 ^ {(\ log _ {10} a) / 2},}

{\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},

где ln и log 10 - это натуральный и логарифм по основанию 10.

Методом проб и ошибок можно возвести в квадрат оценку для √a и повысить или понизить оценку до тех пор, пока она не будет согласована. с достаточной точностью. Для этого метода разумно использовать тождество

(x + c) 2 = x 2 + 2 xc + c 2, {\ displaystyle (x + c) ^ {2} = x ^ {2} + 2xc + c ^ {2},}

(x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},

, поскольку он позволяет скорректировать оценку x на некоторую величину c и измерить квадрат корректировки в терминах исходной оценки и ее квадрата. Кроме того, (x + c) ≈ x + 2xc, когда c близко к 0, потому что касательная линия к графику x + 2xc + c при c = 0, как функция только c, является у = 2хс + х. Таким образом, можно запланировать небольшие корректировки x, установив 2xc на a или c = a / (2x).

Самый распространенный итерационный метод вычисления квадратного корня вручную известен как «вавилонский метод » или «метод Герона» в честь греческого философа I века Герон Александрийский, который первым его описал. В методе используется та же итерационная схема, что и в методе Ньютона – Рафсона, который дает при применении к функции y = f (x) = x - a, используя тот факт, что его наклон в любой точке равен dy / dx = f ′ (x) = 2x, но предшествует ему на много веков. Алгоритм состоит в том, чтобы повторять простое вычисление, которое приводит к числу, близкому к фактическому квадратному корню, каждый раз, когда оно повторяется с его результатом в качестве нового ввода. Мотивация состоит в том, что если x является завышенной оценкой квадратного корня из неотрицательного действительного числа a, тогда a / x будет заниженным значением, и поэтому среднее этих двух чисел является лучшим приближением, чем любое из них. Однако неравенство средних арифметических и геометрических показывает, что это среднее всегда является завышенной оценкой квадратного корня (как отмечено ниже ), и поэтому оно может служить новым завышением, с помощью которого можно повторить процесс, который сходится к как следствие того, что последовательные переоценки и недооценки становятся ближе друг к другу после каждой итерации. Чтобы найти x:

Начните с произвольного положительного начального значения x. Чем ближе к квадратному корню из a, тем меньше итераций потребуется для достижения желаемой точности.
Замените x на среднее значение (x + a / x) / 2 между x и a / x.
Повторите действия, начиная с шага 2, используя это среднее значение в качестве нового значения x.

То есть, если произвольное предположение для √a будет x 0, а x n + 1 = (x n + a / x n) / 2, тогда каждый x n является приближением √a, которое лучше для большее n, чем маленькое n. Если a положительно, сходимость будет квадратичной, что означает, что при приближении к пределу количество правильных цифр примерно удваивается на каждой следующей итерации. Если a = 0, сходимость только линейная.

Используя идентичность

a = 2 - n 4 na, {\ displaystyle {\ sqrt {a}} = 2 ^ {- n} {\ sqrt {4 ^ {n} a}}, }

\sqrt{a} = 2^{-n}\sqrt{4^n a},

вычисление квадратного корня из положительного числа можно свести к вычислению числа в диапазоне [1,4). Это упрощает поиск начального значения для итерационного метода, которое близко к квадратному корню, для которого можно использовать полином или кусочно-линейное приближение.

Временная сложность для вычисления квадратного корня с точностью до n цифр эквивалентна умножению двух n-значных чисел.

Другим полезным методом вычисления квадратного корня является алгоритм сдвига n-го корня, применяемый для n = 2.

Имя функции квадратного корня варьируется от языка программирования до языка программирования, причем sqrt(часто произносится как «брызги») является обычным, используется в C, C ++ и производных языках, таких как JavaScript, PHP и Python.

Квадратные корни из отрицательных и комплексных чисел

Первый лист комплексного квадратного корня

Второй лист комплексного квадратного корня

Используя риманову поверхность квадратного корня, показано, как два листа подходят друг к другу

Квадрат любого положительного или отрицательного числа положителен, а квадрат 0 равен 0. Следовательно, отрицательное число не может иметь действительного квадратного корня. Однако можно работать с более всеобъемлющим набором чисел, называемым комплексными числами, который действительно содержит решения для вычисления квадратного корня из отрицательного числа. Это делается путем введения нового числа, обозначаемого i (иногда j, особенно в контексте электричество, где «i» традиционно представляет электрический ток) и называется мнимой единицей, которая определено таким образом, что i = −1. Используя эти обозначения, мы можем думать о i как о квадратном корне из −1, но мы также имеем (−i) = i = −1, и поэтому −i также является квадратным корнем из −1. По соглашению, главный квадратный корень из −1 равен i, или, в более общем смысле, если x - любое неотрицательное число, то главный квадратный корень из −x равен

- x = i x. {\ displaystyle {\ sqrt {-x}} = i {\ sqrt {x}}.}

\sqrt{-x} = i \sqrt x.

Правая часть (как и отрицательная) действительно является квадратным корнем из −x, поскольку

(ix) 2 знак равно я 2 (х) 2 знак равно (- 1) х = - х. {\ displaystyle (i {\ sqrt {x}}) ^ {2} = i ^ {2} ({\ sqrt {x}}) ^ {2} = (- 1) x = -x.}

(i\sqrt x)^2 = i^2(\sqrt x)^2 = (-1)x = -x.

Для любого ненулевого комплексного числа z существует ровно два числа w таких, что w = z: главный квадратный корень из z (определен ниже) и его отрицательное значение.

Главный квадратный корень из комплексного числа

Геометрическое представление корней со 2-го по 6-й комплексного числа z в полярной форме re, где r = | z | и φ = arg z. Если z вещественное число, φ = 0 или π. Основные корни показаны черным.

Чтобы найти определение квадратного корня, которое позволяет нам последовательно выбирать одно значение, называемое основным значением, мы начинаем с наблюдения, что любое комплексное число x + iy можно рассматривать как точку на плоскости (x, y), выраженную с помощью декартовых координат. Та же самая точка может быть интерпретирована с использованием полярных координат как пара $(r, φ {\ displaystyle (r, \ varphi}$ $(r,\varphi$ ), где r ≥ 0 - расстояние точка от начала координат, а $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\varphi$ - угол, который линия от начала координат до точки образует с положительной действительной осью (x). В комплексном анализе расположение этой точки условно записывается $rei φ. {\ displaystyle re ^ {i \ varphi}.}$ $re^{i\varphi }.$ Если

z = rei φ с - π < φ ≤ π, {\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi,}

z=re^{{i\varphi }}{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi,

, то мы определяем главный квадратный корень из z следующим образом:

z = rei φ / 2. {\ displaystyle {\ sqrt {z}} = {\ sqrt {r}} e ^ {i \ varphi / 2}.}

{\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.

Функция главного квадратного корня, таким образом, определяется с использованием неположительной вещественной оси как сечения ветви. Функция главного квадратного корня голоморфна везде, кроме набора неположительных действительных чисел (строго на отрицательные действительные числа, это даже не непрерывный ). Приведенный выше ряд Тейлора для √1 + x остается действительным для комплексного числа s x с | x | < 1.

Вышеупомянутое также может быть выражено через тригонометрические функции :

r (cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ) = r (cos ⁡ φ 2 + i sin ⁡ φ 2). {\ displaystyle {\ sqrt {r \ left (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi \ right)}} = {\ sqrt {r}} \ left (\ cos {\ frac {\ varphi} {2}} + i \ sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ right).}

{\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).

Алгебраическая формула

Квадратные корни из i

Когда число выражается с использованием декартовых координат, можно использовать следующую формулу для главного квадратного корня:

x + iy = x 2 + y 2 + x 2 ± ix 2 + y 2 - x 2, {\ displaystyle {\ sqrt {x + iy}} = {\ sqrt {\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x} {2}}} \ pm i {\ sqrt {\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2) }}} - x} {2}}},}

{\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},

где знак мнимой части корня считается таким же, как знак мнимой части исходного числа, или положительный, когда ноль. Реальная часть основной стоимости всегда неотрицательна.

Например, главные квадратные корни из ± i имеют следующий вид:

i = 1 2 + i 1 2 = 2 2 (1 + i), - i = 1 2 - i 1 2 = 2 2 (1 - i). {\ displaystyle {\ begin {align} {\ sqrt {i}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} + i {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = { \ frac {\ sqrt {2}} {2}} (1 + i), \\ {\ sqrt {-i}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} - i {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (1-i). \ End {align}}}

{\begin{aligned}{\sqrt {i}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),\\{\sqrt {-i}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i).\end{aligned}}

Примечания

В В следующем примере комплексные z и w могут быть выражены как:

$z = | z | е я θ Z {\ Displaystyle Z = | Z | е ^ {я \ theta _ {z}}}$ $z=|z|e^{i\theta _{z}}$
$w = | w | ei θ вес {\ displaystyle w = | w | e ^ {i \ theta _ {w}}}$ $w=|w|e^{i\theta _{w}}$

, где $- π < θ z ≤ π {\displaystyle -\pi <\theta _{z}\leq \pi }$ $-\pi <\theta _{z}\leq \pi$ и $- π < θ w ≤ π {\displaystyle -\pi <\theta _{w}\leq \pi }$ $-\pi <\theta _{w}\leq \pi$ .

Из-за прерывистого характера функция квадратного корня в комплексной плоскости, следующие законы неверны в целом.

$zw = zw {\ displaystyle {\ sqrt {zw}} = {\ sqrt {z}} {\ sqrt {w}}}$ ${\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}$ (контрпример для главного квадратного корня: z = −1 и w = −1) Это равенство действительно только тогда, когда $- π < θ z + θ w ≤ π {\displaystyle -\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi }$ $-\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi$
$wz = wz {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {w}} {\ sqrt {z}}} = {\ sqrt {\ frac {w} {z}}}}$ ${\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}$ (контрпример для главного квадратного корня: w = 1 и z = −1) Это равенство действительно только тогда, когда $- π < θ w − θ z ≤ π {\displaystyle -\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi }$ $-\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi$
$z ∗ = (z) ∗ {\ displaystyle {\ sqrt {z ^ {*}}} = \ left ({\ sqrt {z}} \ right) ^ {*}}$ ${\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}$ (контрпример для главного квадратного корня : z = −1) Это равенство действительно только тогда, когда $θ z ≠ π {\ displaystyle \ theta _ {z} \ neq \ pi}$ $\theta _{z}\neq \pi$

Аналогичная проблема возникает с другими сложными функциями с разрезами ветвей, например, комплексный логарифм и отношения log z + log w = log (zw) или log (z) = log (z), которые в общем случае неверны.

Ошибочное предположение о том, что один из этих законов лежит в основе нескольких ошибочных «доказательств», например следующего, показывающего, что −1 = 1:

- 1 = i ⋅ i = - 1 ⋅ - 1 = (- 1) ⋅ (- 1) = 1 = 1 {\ displaystyle {\ begin {align} -1 = i \ cdot i \\ = {\ sqrt {-1}} \ cdot {\ sqrt {-1}} \\ = {\ sqrt {\ left (-1 \ right) \ cdot \ left (-1 \ right)}} \\ = {\ sqrt {1}} \\ = 1 \ end {align}}}

{\begin{aligned}-1=i\ cdot i\\={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\={\sqrt {1}}\\=1\end{aligned}}

Третье равенство не может быть оправдано (см. недействительное доказательство ). Это можно сделать, изменив значение √ так, чтобы оно больше не представляло главный квадратный корень (см. Выше), а выбирало ветвь для квадратного корня, содержащую (√ − 1) · (√ − 1). Левая часть принимает вид

- 1 ⋅ - 1 = i ⋅ i = - 1 {\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \ cdot {\ sqrt {-1}} = i \ cdot i = - 1}

\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}=i \cdot i=-1

, если ветвь включает + i или

- 1 ⋅ - 1 = (- i) ⋅ (- i) = - 1 {\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \ cdot {\ sqrt { -1}} = (- i) \ cdot (-i) = - 1}

\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}=(-i) \cdot (-i)=-1

, если ветвь включает −i, а правая часть принимает вид

(- 1) ⋅ (- 1) = 1 = - 1, {\ displaystyle {\ sqrt {\ left (-1 \ right) \ cdot \ left (-1 \ right)}} = {\ sqrt {1}} = - 1,}

{\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,

где последний равенство, √1 = −1, является следствием выбора ветви при переопределении √.

Обобщения

Понятие корней можно обобщить, включив в него умножение одного и того же числа более чем в два раза.

Квадратный корень из $x {\ displaystyle x}$ $x$ - это число $y {\ displaystyle y}$ $y$ такое, что $y 2 = х {\ Displaystyle у ^ {2} = х}$ $y^{2}=x$ ; это корень со степенью 2.

кубический корень из $x {\ displaystyle x}$ $x$ - это число $y {\ displaystyle y }$ $y$ такой, что $y 3 = x {\ displaystyle y ^ {3} = x}$ $y^{3}=x$ ; это корень со степенью 3.

N-й корень из $x {\ displaystyle x}$ $x$ - это число $y {\ displaystyle y }$ $y$ такой, что $yn = x {\ displaystyle y ^ {n} = x}$ $y^{n}=x$ ; он имеет степень $n {\ displaystyle n}$ $n$ , которая может быть любым числом.

Квадратный корень из $x {\ displaystyle x}$ $x$ также можно рассматривать как значения $y {\ displaystyle y}$ $y$ , которые решают уравнение:

y 2 - x = 0 {\ displaystyle y ^ {2} -x = 0}

y^{2}-x=0

Например, квадратный корень из 5 равен $y {\ displaystyle y}$ $y$ такой, что:

y 2-5 = 0 {\ displaystyle y ^ {2} -5 = 0}

y^{2}-5=0

Этот принцип можно обобщить до нуля функции, например как полиномиальные функции в целом. Например:

y 3 + 6 y 2 + 7 = 0 {\ displaystyle y ^ {3} + 6y ^ {2} + 7 = 0}

y^{3}+6y^{2}+7=0

Квадратные корни из матриц и операторов

Если A является положительно определенной матрицей или оператором, то существует ровно одна положительно определенная матрица или оператор B с B = A; Затем мы определяем A = B. Обычно матрицы могут иметь несколько квадратных корней или даже бесконечное их количество. Например, единичная матрица 2 × 2 имеет бесконечное количество квадратных корней, хотя только один из них является положительно определенным.

В областях целостности, включая поля

Каждый элемент области целостности имеет не более двух квадратных корней. Разность двух квадратов тождества u - v = (u - v) (u + v) доказывается с использованием коммутативности умножения. Если u и v являются квадратными корнями из одного и того же элемента, то u - v = 0. Поскольку не существует делителей нуля, это означает, что u = v или u + v = 0, где последнее означает, что два корня аддитивно инвертируют друг друга. Другими словами, если существует элемент, являющийся квадратным корнем u из элемента a, то единственными квадратными корнями из a являются u и −u. Единственный квадратный корень из 0 в области целостности - это сам 0.

В поле с характеристикой 2 элемент либо имеет один квадратный корень, либо не имеет его вообще, поскольку каждый элемент является его собственным аддитивным обратным, так что −u = u. Если поле конечное характеристики 2, то каждый элемент имеет уникальный квадратный корень. В поле любой другой характеристики любой ненулевой элемент либо имеет два квадратных корня, как объяснено выше, либо не имеет их.

Дано нечетное простое число p, пусть q = p для некоторого положительного целого числа e. Ненулевой элемент поля Fq с q элементами является квадратичным остатком , если он имеет квадратный корень из Fq. В противном случае это квадратичный невычет. Есть (q - 1) / 2 квадратичных вычетов и (q - 1) / 2 квадратичных невычетов; ноль не засчитывается ни в одном из классов. Квадратичные вычеты образуют группу при умножении. Свойства квадратичных вычетов широко используются в теории чисел.

В кольцах в целом

В отличие от области целостности, квадратный корень в произвольном (с единицей) кольце не обязательно должен быть уникальным с точностью до знака.. Например, в кольце $Z / 8 Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 8 \ mathbb {Z}}$ $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ целых чисел по модулю 8 (что является коммутативным, но имеет делители нуля) элемент 1 имеет четыре различных квадратных корня: ± 1 и ± 3.

Другой пример - кольцо из кватернионов $H, {\ displaystyle \ mathbb {H},}$ $\mathbb {H},$ , которое не имеет делителей нуля, но является не коммутативный. Здесь элемент -1 имеет бесконечно много квадратных корней, включая ± i, ± j и ± k. Фактически, набор квадратных корней из −1 в точности равен

{a i + b j + c k ∣ a 2 + b 2 + c 2 = 1}. {\ displaystyle \ {ai + bj + ck \ mid a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 1 \}.}

\{ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\}.

Квадратный корень из 0 равен 0 или делителю нуля. Таким образом, в кольцах, где не существует делителей нуля, это однозначно 0. Однако кольца с делителями нуля могут иметь кратные квадратные корни из 0. Например, в $Z / n 2 Z, {\ displaystyle \ mathbb {Z} / n ^ {2} \ mathbb {Z},}$ $\mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z},$ любое кратное n является квадратным корнем из 0.

Геометрическое построение квадратного корня

Спираль Теодора до треугольника с гипотенузой √4 (1 = √1)

Квадратный корень из положительного числа обычно определяется как длина стороны квадрата с область, равная данному номеру. Но квадратная форма для этого не нужна: если один из двух похожих плоских евклидовых объектов имеет площадь в раз больше, чем другой, то отношение их линейных размеров равно √a.

Квадратный корень можно построить с помощью циркуля и линейки. В своих Элементах, Евклид (fl. 300 г. до н.э.) дал построение среднего геометрического двух величин в двух разных местах: Предложение II.14 и Предложение VI.13. Поскольку среднее геометрическое для a и b равно √ab, можно построить √a, просто взяв b = 1.

Конструкция также дана Декартом в его La Géométrie, см. Рис. 2 на стр. 2. Однако Декарт не претендовал на оригинальность, и его аудитория была хорошо знакома с Евклидом.

Второе доказательство Евклида в Книге VI основано на теории подобных треугольников. Пусть AHB - отрезок длины a + b с AH = a и HB = b. Постройте окружность с диаметром AB и пусть C будет одним из двух пересечений перпендикулярной хорды в точке H с окружностью, и обозначьте длину CH как h. Затем, используя теорему Фалеса и, как в доказательстве теоремы Пифагора с помощью аналогичных треугольников, треугольник AHC подобен треугольнику CHB (как и в действительности оба треугольника ACB, хотя мы don't need that, but it is the essence of the proof of Pythagoras' theorem) so that AH:CH is as HC:HB, ie a/h = h/b, from which we conclude by cross-multiplication that h = ab, and finally that h = √ab. When marking the midpoint O of the line segment AB and drawing the radius OC of length (a + b)/2, then clearly OC>CH, i.e. (a + b)/2 ≥ √ab (with equality if and only if a = b), which is the arithmetic–geometric mean inequality for two variables and, as noted above, is the basis of the Ancient Greek understanding of "Heron's method".

Another method of geometric construction uses right triangles and induction : √1 can, of course, be constructed, and once √x has been constructed, the right triangle with legs 1 and √x has a hypotenuse of √x + 1. Constructing successive square roots in this manner yields the Spiral of Theodorus depicted above.