Квадратный корень из 3

редактировать
Уникальное положительное действительное число, которое при умножении само на себя дает 2 Высота равностороннего треугольника со сторонами длиной 2 равно квадратному корню из 3.

Квадратный корень из 3 - это положительное действительное число, которое при умножении на себя дает число 3. Математически он обозначается как √3 . Его более точно называют главным квадратным корнем из 3, чтобы отличить его от отрицательного числа с таким же свойством. квадратный корень из 3 - это иррациональное число. Она также известна как константа Теодора в честь Теодора из Кирены, который доказал ее иррациональность.

По состоянию на декабрь 2013 г. его числовое значение в десятичной системе счисления составляло не менее десяти миллиардов цифр. Его десятичное расширение, записанное здесь до 65 знаков после запятой, задается как OEIS : A002194 :

1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806
Двоичное 1.10111011011001111010…
Десятичное 1.7320508075688772935…
Шестнадцатеричное 1.BB67AE8584CAA73B…
Непрерывная дробь 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + ⋱ {\ displaystyle 1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2+) {\ cfrac {1} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2}) + {\ cfrac {1} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}

Дробь 97/56 (1,732142857...) может использоваться в качестве приближения. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 56, он отличается от правильного значения менее чем на 1/10 000 (приблизительно 9,2 × 10). Округленное значение 1,732 верно с точностью до 0,01% от фактического значения.

Архимед сообщил диапазон для своего значения: (1351/780).>3>(265/153). ; нижний предел с точностью до 1/608400 (шесть десятичных знаков) и верхний предел до 2/23409 (четыре десятичных знака).

Содержание

  • 1 Выражения
  • 2 Доказательство иррациональности
  • 3 Геометрия и тригонометрия
    • 3.1 Квадратный корень из −3
  • 4 Другое применение
    • 4.1 Энергетика
  • 5 См. Также
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки
  • 8 Внешние ссылки

Выражения

Это может быть выражено как непрерывная дробь [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1,…] (последовательность A040001 в OEIS ).

Правильно сказать:

[1 2 1 3] n = [a 11 a 12 a 21 a 22] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 2 \\ 1 3 \ end {bmatrix }} ^ {n} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} \\ a_ {21} a_ {22} \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 2 \\ 1 3 \ end {bmatrix} } ^ {n} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} \\ a_ {21} a_ {22} \ end {bmatrix}}}

тогда, когда n → ∞ { \ displaystyle n \ to \ infty}n \ to \ infty :

3 = 2 ⋅ a 22 a 12 - 1 {\ displaystyle {\ sqrt {3}} = 2 \ cdot {\ frac {a_ {22}} {a_ {12}} } -1}{\ displaystyle {\ sqrt {3}} = 2 \ cdot {\ frac {a_ {22}} {a_ {12}}} - 1}

Его также можно выразить с помощью обобщенных цепных дробей, например

[2; - 4, - 4, - 4,... ] = 2 - 1 4 - 1 4 - 1 4 - ⋱ {\ displaystyle [2; -4, -4, -4,...] = 2 - {\ cfrac {1} {4 - {\ cfrac {1 } {4 - {\ cfrac {1} {4- \ ddots}}}}}}}[2; -4, -4, -4,...] = 2 - {\ cfrac {1} {4 - {\ cfrac {1} {4 - {\ cfrac {1} {4- \ ddots}}}}}}

который равен [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1,…] оценивается в каждом втором семестре.

Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к √3:

3 = 2 - 2 (1 2 - (1 2 - (1 2 - (1 2 -…) 2) 2) 2) 2 = 7 4 - 4 (1 16 + (1 16 + (1 16 + (1 16 +…) 2) 2) 2) 2. {\ displaystyle \! \ {\ sqrt {3}} = 2-2 \ left ({\ frac {1} {2}} - \ left ({\ frac {1} {2}} - \ left ({\ frac {1} {2}} - \ left ({\ frac {1} {2}} - \ dots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} = {\ frac {7} {4}} - 4 \ left ({\ frac {1} {16}} + \ left ({\ frac {1} {16}} + \ left ({\ frac {1} {16}} + \ left ({\ frac {1} {16}} + \ dots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ { 2}.}{\ displaystyle \! \ {\ sqrt {3}} = 2-2 \ left ({\ frac {1} {2}} - \ left ({\ frac {1} {2}} - \ left ({\ frac {1} { 2}} - \ left ({\ frac {1} {2}} - \ dots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} = { \ frac {7} {4}} - 4 \ left ({\ frac {1} {16}} + \ left ({\ frac {1} {16}} + \ left ({\ frac {1} {16 }} + \ left ({\ frac {1} {16}} + \ dots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2}.}

Доказательство иррациональности

Это доказательство иррациональности √3 использует метод Ферма бесконечного спуска :

Предположим, что √3 рационально, и выразить его в наименьшем возможном выражении (например, как полностью уменьшенную дробь ) как m / n для натуральных чисел m и n.

Следовательно, умножение на 1 даст равное выражение:

m (3 - q) n (3 - q) {\ displaystyle {\ frac {m ({\ sqrt {3}} - q)} {n ({\ sqrt {3}} - q)}}}{\ frac {m ({\ sqrt {3}} - q)} {n ({\ sqrt {3}} - q)}}

где q - наибольшее целое число, меньшее √3. Обратите внимание, что числитель и знаменатель были умножены на число меньше 1.

Таким образом, а также умножив числитель и знаменатель, мы получаем:

m 3 - mqn 3 - nq {\ displaystyle {\ frac {m {\ sqrt {3}} - mq} {n {\ sqrt {3}} - nq}}}{\ frac {m {\ sqrt {3}} - mq} {n {\ sqrt {3}} - nq}}

Отсюда следует, что m можно заменить на √3n:

n 3 2 - mqn 3 - nq {\ displaystyle {\ frac {n {\ sqrt {3}} ^ {2} -mq} {n {\ sqrt {3}} - nq}}}{\ frac {n {\ sqrt {3}} ^ {2} -mq} {n {\ sqrt {3}} - nq}}

Тогда √ 3 также можно заменить на m / n в знаменателе:

n 3 2 - mqnmn - nq {\ displaystyle {\ frac {n {\ sqrt {3}} ^ {2} -mq} {n {\ frac {m} {n}} - nq}}}{\ frac {n {\ sqrt {3}} ^ {2} -mq} {n {\ frac {m} {n}} - nq}}

Квадрат √3 можно заменить на 3. Когда m / n умножается на n, их произведение равно m:

3 n - mqm - nq { \ displaystyle {\ frac {3n-mq} {m-nq}}}{\ frac {3n-mq } {m-nq}}

Тогда √3 может быть выражено меньшим числом, чем m / n (поскольку на первом этапе уменьшились размеры числителя и знаменателя, и последующие шаги не изменили их) как 3n - mq / m - nq, что противоречит гипотезе о том, что m / n было в наименьших значениях

Альтернативным доказательством этого является предположение, что √3 = m / n, где m / n является полностью уменьшенной дробью :

Умножение на n обоих членов и последующее возведение обоих в квадрат дает

3 п 2 = м 2. {\ displaystyle 3n ^ {2} = m ^ {2}.}3n ^ {2} = m ^ {2}.

Так как левая часть делится на 3, то же самое и с правой частью, требуя, чтобы m делилось на 3. Тогда m можно выразить как 3k :

3 n 2 = (3 k) 2 = 9 k 2 {\ displaystyle 3n ^ {2} = (3k) ^ {2} = 9k ^ {2}}{\ displ aystyle 3n ^ {2} = (3k) ^ {2} = 9k ^ {2}}

Следовательно, разделив оба члена на 3 дает:

n 2 = 3 k 2 {\ displaystyle n ^ {2} = 3k ^ {2}}n ^ {2} = 3k ^ {2}

Поскольку правая часть делится на 3, то и левая часть делится на 3, а значит, и n. Таким образом, поскольку и n, и m делятся на 3, у них есть общий множитель, и m / n не является полностью уменьшенной дробью, что противоречит исходной посылке.

Геометрия и тригонометрия

Высота высоты равностороннего треугольника с длиной ребра 2 равна √3. Кроме того, длинный отрезок треугольника 30-60-90 с гипотенузой 2. А высота правильного шестиугольника со сторонами длина 1. Диагональ единичного куба равна √3. Эта проекция додекаэдра Билинского представляет собой ромб с диагональным соотношением √3.

квадратный корень из 3 может быть найден как длина отрезка равностороннего треугольника, охватывающего круг диаметром 1.

Если равносторонний треугольник со сторонами длина 1 разрезается на две равные половины путем деления пополам внутреннего угла, чтобы получился прямой угол с одной стороной, гипотенуза прямоугольного треугольника равна единице, а стороны имеют длину 1/2 и √3 / 2. Отсюда тангенс тригонометрической функции 60 ° равен √3, а синус 60 ° и косинус 30 ° равны √3 / 2.

Квадратный корень из 3 также появляется в алгебраических выражениях для различных других тригонометрических констант, включая синусы 3 °, 12 °, 15 °, 21 °, 24 °, 33 °, 39 °, 48 °, 51 °, 57 °, 66 °, 69 °, 75 °, 78 °, 84 ° и 87 °.

Это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами длиной 1. На комплексной плоскости это расстояние выражается как i√3 упомянутое ниже.

Это длина диагонали пространства единицы куб.

vesica piscis имеет отношение большой оси к малой оси, равное 1 : √3, это можно показать, построив внутри него два равносторонних треугольника.

Квадратный корень -3

Умножение из √3 на мнимую единицу дает квадратный корень из -3, мнимой номер. Точнее,

- 3 = ± 3 i {\ displaystyle {\ sqrt {-3}} = \ pm {\ sqrt {3}} i}{\ sqrt {-3}} = \ pm {\ sqrt {3}} i

(см. квадратный корень из отрицательных чисел ). Это целое число Эйзенштейна. А именно, он выражается как разница между двумя нереальными кубическими корнями из 1 (которые являются целыми числами Эйзенштейна).

Другое применение

Энергетика

В энергетике напряжение между двумя фазами в трехфазной системе равно √3-кратное напряжение между фазой и нейтралью. Это связано с тем, что любые две фазы расположены на расстоянии 120 ° друг от друга, а две точки на окружности, разнесенные на 120 градусов, разделены на √3 радиуса (см. примеры геометрии выше).

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Квадратный корень из 3.
Последняя правка сделана 2021-06-09 04:13:58
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте