Иррациональное число

редактировать
Действительное число, которое не может быть выражено как отношение целых чисел Число √2 иррационально.

В математике все иррациональные числа представляют собой действительные числа, которые не являются рациональными числами. То есть иррациональные числа не могут быть выражены как отношение двух целых чисел. Когда отношение длин двух сегментов линии является иррациональным числом, сегменты линии также описываются как несоизмеримые, что означает, что у них нет общей «меры», то есть не существует длины («меры»), какой бы короткой она ни была, которую можно было бы использовать для выражения длин обоих из двух данных сегментов как целых кратных самой себе.

Среди иррациональных чисел - отношение π длины окружности к ее диаметру, число Эйлера e, золотое сечение φ и квадратный корень из двух ; фактически все квадратные корни из натуральных чисел, кроме полных квадратов, иррациональны.

Как и все действительные числа, иррациональные числа могут быть выражены в позиционной записи, особенно в виде десятичного числа. В случае иррациональных чисел десятичное раскрытие не заканчивается, и не заканчивается повторяющейся последовательностью. Например, десятичное представление числа π начинается с 3,14159, но никакое конечное число цифр не может точно представлять π и не повторяется. И наоборот, завершающее или повторяющееся десятичное раскрытие должно быть рациональным числом. Это доказуемые свойства рациональных чисел и позиционных систем счисления, которые не используются в качестве определений в математике.

Иррациональные числа также могут быть выражены как непрерывные дроби и многими другими способами.

Как следствие доказательства Кантора, что действительные числа несчетны и рациональные счетные, следует, что почти все действительные числа иррациональны.

Содержание

  • 1 История
    • 1.1 Древняя Греция
    • 1.2 Индия
    • 1.3 Средние века
    • 1.4 Современный период
  • 2 Примеры
    • 2.1 Квадратные корни
    • 2.2 Общие корни
    • 2.3 Логарифмы
  • 3 Типа
    • 3.1 Трансцендентные / алгебраические
  • 4 Десятичные разложения
  • 5 Иррациональные силы
  • 6 Открытые вопросы
  • 7 Набор всех иррациональных чисел
  • 8 См. Также
  • 9 Ссылки
  • 10 Дополнительная литература
  • 11 Внешние ссылки

История

Набор действительных чисел (R), которые включают рациональные числа (Q), которые включают целые числа ( Z), которые включают натуральные числа (N). Действительные числа также включают иррациональные числа (R \ Q).

Древняя Греция

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается пифагорейцу (возможно, Гиппас из Метапонта ), который, вероятно, обнаружил их, определяя стороны пентаграммы. Существовавший тогда метод Пифагора должен был утверждать, что должна быть какая-то достаточно маленькая неделимая единица, которая могла бы равномерно вписаться в одну из этих длин, а также в другую. Однако Гиппас в V веке до нашей эры смог сделать вывод, что на самом деле не существовало общей единицы измерения, и что утверждение о таком существовании на самом деле было противоречием. Он сделал это, продемонстрировав, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника действительно соизмерима с катетом, то одна из этих длин, измеренная в этой единице измерения должно быть как нечетным, так и четным, что невозможно. Его рассуждения таковы:

  • Начните с равнобедренного прямоугольного треугольника с длинами сторон целых чисел a, b и c. Отношение гипотенузы к катету представлено как c: b.
  • Предположим, что a, b и c выражены в наименьших возможных членах (т.е. у них нет общих множителей).
  • На теорема Пифагора : c = a + b = b + b = 2b. (Поскольку треугольник равнобедренный, a = b).
  • Поскольку c = 2b, c делится на 2, а значит, четно.
  • Поскольку c четное, c должно быть четным.
  • Поскольку c четно, деление c на 2 дает целое число. Пусть y будет этим целым числом (c = 2y).
  • Возведение в квадрат обеих сторон c = 2y дает c = (2y) или c = 4y.
  • Подставляя 4y вместо c в первом уравнении (c = 2b) дает нам 4y = 2b.
  • Деление на 2 дает 2y = b.
  • Поскольку y - целое число и 2y = b, b делится на 2, и поэтому четное.
  • Поскольку b четное, b должно быть четным.
  • Мы только что показали, что и b, и c должны быть четными. Следовательно, у них есть общий множитель 2. Однако это противоречит предположению, что у них нет общих множителей. Это противоречие доказывает, что c и b не могут быть одновременно целыми числами, и, следовательно, существование числа, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел.

Греческие математики назвали это соотношение несоизмеримых величин alogos, или невыразимым. Гиппаса, однако, не хвалили за его усилия: согласно одной легенде, он сделал свое открытие, находясь в море, и впоследствии был выброшен за борт своими товарищами-пифагорейцами, «… за то, что создал элемент во вселенной, который отрицал… доктрину о том, что все явления во Вселенной можно свести к целым числам и их отношениям ». Другая легенда гласит, что Гиппас был просто изгнан за это откровение. Какими бы ни были последствия для самого Гиппаса, его открытие представляло собой очень серьезную проблему для пифагорейской математики, поскольку оно разрушило предположение о неразрывности числа и геометрии - основу их теории.

Открытие несоизмеримых соотношений указывало на другую проблему, с которой столкнулись греки: отношение дискретного к непрерывному. Это было обнаружено Зеноном Элейским, который поставил под сомнение представление о том, что количества дискретны и состоят из конечного числа единиц заданного размера. Согласно прежним греческим концепциям, они обязательно должны быть такими, поскольку «целые числа представляют собой отдельные объекты, а соизмеримое соотношение представляет собой отношение между двумя наборами дискретных объектов», но Зенон обнаружил, что на самом деле «[количества] в целом не являются дискретными наборами единицы; вот почему появляются отношения несоизмеримых [величин]... Другими словами, [количества] непрерывны ». Это означает, что вопреки популярной концепции времени не может быть неделимой мельчайшей единицы измерения для любой величины. Фактически, эти количественные единицы обязательно должны быть бесконечными. Например, рассмотрим отрезок линии: этот отрезок можно разделить пополам, половину - пополам, половину - пополам и так далее. Этот процесс может продолжаться бесконечно, потому что всегда остается разделить другую половину. Чем чаще сегмент делится вдвое, тем ближе единица измерения к нулю, но никогда не достигает точного нуля. Именно это и пытался доказать Зенон. Он попытался доказать это, сформулировав четыре парадокса, которые продемонстрировали противоречия, присущие математической мысли того времени. Хотя парадоксы Зенона точно продемонстрировали недостатки современных математических концепций, они не рассматривались как доказательство альтернативы. В представлении греков опровержение обоснованности одной точки зрения не обязательно доказывало обоснованность другой, и поэтому требовалось дальнейшее исследование.

Следующий шаг был сделан Евдоксом Книдским, который формализовал новую теорию пропорций, которая учитывала как соизмеримые, так и несоизмеримые величины. Центральным в его идее было различие между величиной и числом. Величина «... не была числом, а обозначала такие объекты, как отрезки линий, углы, площади, объемы и время, которые могли изменяться, как мы бы сказали, непрерывно. Величины были противопоставлены числам, которые прыгали от одного значения к другому, от 4 до 5. " Числа состоят из некоторой наименьшей, неделимой единицы, тогда как величины бесконечно уменьшаются. Поскольку никакие количественные значения не были присвоены величине, Евдокс смог учесть как соизмеримые, так и несоизмеримые отношения, определяя соотношение по величине и пропорции как равенство между двумя отношениями. Убрав количественные значения (числа) из уравнения, он избежал ловушки, когда ему приходилось выражать иррациональное число как число. «Теория Евдокса позволила греческим математикам добиться огромного прогресса в геометрии, предоставив необходимую логическую основу для несоизмеримых соотношений». Эта несоизмеримость рассматривается в «Элементах» Евклида, книга X, предложение 9.

В результате различия между числом и величиной геометрия стала единственным методом, который мог учитывать несоизмеримые отношения. Поскольку предыдущие числовые основы все еще были несовместимы с концепцией несоизмеримости, греческий акцент сместился с таких числовых концепций, как алгебра, и сосредоточился почти исключительно на геометрии. Фактически, во многих случаях алгебраические концепции были переформулированы в геометрические термины. Это может объяснить, почему мы все еще представляем x и x как возведенные в квадрат и x в кубе вместо x во второй степени и x в третьей степени. Также решающее значение для работ Зенона с несоизмеримыми величинами было фундаментальное внимание к дедуктивным рассуждениям, которое явилось результатом фундаментального разрушения ранней греческой математики. Осознание того, что некоторые основные концепции существующей теории расходятся с реальностью, потребовало полного и тщательного исследования аксиом и предположений, лежащих в основе этой теории. Исходя из этой необходимости, Евдокс разработал свой метод исчерпания, своего рода reductio ad absurdum, который «... установил дедуктивную организацию на основе явных аксиом...» как а также «... подтвердил ранее принятое решение полагаться на дедуктивную аргументацию для доказательства». Этот метод исчерпания - первый шаг в создании исчисления.

Теодор из Кирены доказал иррациональность сальдо целых чисел до 17, но остановился на этом, вероятно, потому что алгебра, которую он использовал, не могла быть применена к квадратному корню из 17.

Только Евдокс разработал теорию пропорций, которая учитывала иррациональные, а также рациональные соотношения, когда был создан прочный математический фундамент иррациональных чисел.

Индия

Геометрические и математические проблемы, связанные с иррациональными числами, такими как квадратные корни, были решены очень рано в ведический период в Индии. Ссылки на такие вычисления есть в Самхитах, Брахманах и Сутрах Шульбы (800 г. до н.э. или ранее). (См. Bag, Indian Journal of History of Science, 25 (1-4), 1990).

Предполагается, что концепция иррациональности была неявно принята индийскими математиками с 7 века до нашей эры, когда Манава (ок. 750 - 690 до н.э.) считал, что квадратные корни таких чисел, как 2 и 61, не могут быть точно определены. Однако историк Карл Бенджамин Бойер пишет, что «такие утверждения недостаточно обоснованы и маловероятны».

Также предполагается, что Арьябхата (V век н.э.), при вычислении значения пи до 5 значащих цифр, использовал слово асанна (приближение), чтобы обозначить, что это не только приближение, но и то, что значение несоизмеримо (или иррационально).

Позже в своих трактатах индийские математики писали об арифметике сурдов, включая сложение, вычитание, умножение, рационализацию, а также разделение и извлечение квадратных корней.

Математики, такие как Брахмагупта (в 628 году нашей эры) и Бхаскара I (в 629 году нашей эры) внесли свой вклад в эту область, как и другие математики, последовавшие за этим. В XII веке Бхаскара II оценил некоторые из этих формул и подверг их критике, выявив их ограничения.

В течение 14-16 веков Мадхава из Сангамаграмы и школа астрономии и математики Кералы открыли бесконечный ряд для нескольких иррациональных чисел. такие как π и некоторые иррациональные значения тригонометрических функций. Джехадева предоставил доказательства этих бесконечных рядов в Юктибхана.

Средневековье

В Средневековье развитие алгебры от мусульманские математики разрешили рассматривать иррациональные числа как алгебраические объекты. Математики Ближнего Востока также объединили понятия «число » и «величина » в более общую идею действительных чисел, подвергли критике идею Евклида о соотношениях., разработал теорию составных отношений и расширил понятие числа до отношений непрерывной величины. В своем комментарии к Книге 10 Элементов персидский математик Аль-Махани (ум. 874/884) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные и кубические иррациональные числа. Он дал определения рациональных и иррациональных величин, которые он рассматривал как иррациональные числа. Он имел дело с ними свободно, но объясняет их геометрическими терминами следующим образом:

«Это будет рациональным (величина), когда мы, например, скажем 10, 12, 3%, 6% и т. Д., Потому что его значение равно произносится и выражается количественно. То, что нерационально, является иррациональным, и его невозможно произнести и выразить количественно. Например: корни чисел, таких как 10, 15, 20, которые не являются квадратами, стороны чисел, которые не являются кубами и т.д. "

В отличие от Евклидова концепции величин как линий, Аль-Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные корни и кубические корни иррациональными величинами. Он также представил арифметический подход к концепции иррациональности, поскольку он относит следующее к иррациональным величинам:

«их суммы или различия, или результаты их прибавления к рациональной величине, или результаты вычитания. величина такого рода от иррациональной величины или рациональная величина от нее. "

египетский математик Абу Камил Шуджа ибн Аслам (ок. 850 - 930) был первая принимает иррациональные числа как решения квадратных уравнений или как коэффициенты в уравнении, часто в форме квадратных корней, кубических корней и четвертый корень. В 10 веке иракский математик Аль-Хашими предоставил общие доказательства (а не геометрические доказательства) для иррациональных чисел, поскольку он рассматривал умножение, деление и другие арифметические функции. Иранский математик Абу Джафар аль-Хазин (900–971) дает определение рациональных и иррациональных величин, заявляя, что если определенная величина :

"содержится в определенной данной величины один или несколько раз, тогда эта (данная) величина соответствует рациональному числу... Каждый раз, когда эта (последняя) величина составляет половину, треть или четверть данной величины ( единица), или, по сравнению с (единицей), составляет три, пять или три пятых, это рациональная величина. И, в общем, каждая величина, которая соответствует этой величине (то есть единице), как одно число к другой является рациональным. Если, однако, величина не может быть представлена ​​как кратное, часть (1 / n) или части (m / n) данной величины, она иррациональна, то есть не может быть выражена иначе, как через средства корней ».

Многие из этих концепций были в конечном итоге приняты европейскими математиками спустя некоторое время после латинских переводов XII века. Аль-Хассар, марокканский математик из Феса, специализирующийся на исламском праве наследования в течение XII века, впервые упоминает об использовании дробной черты, где числители и знаменатели разделены горизонтальной чертой. В своем обсуждении он пишет: «... например, если вам говорят написать три пятых и одну треть пятой, напишите так: 3 1 5 3 {\ displaystyle {\ frac {3 \ quad 1} {5 \ quad 3}}}{\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}. " Такое же дробное представление появляется вскоре после этого в работе Леонардо Фибоначчи в 13 веке.

Современный период

В 17 веке были мнимые числа стать мощным инструментом в руках Авраама де Муавра и особенно Леонарда Эйлера. Завершение теории комплексных чисел в 19 веке повлекло за собой дифференциацию иррациональных чисел на алгебраические и трансцендентные числа, доказательство существования трансцендентных чисел и возрождение научных изучение теории иррациональности, в значительной степени игнорируемой со времен Евклида. В 1872 году были опубликованы теории Карла Вейерштрасса (его ученика Эрнста Коссака), Эдуарда Гейне (Crelle's Journal, 74), Георг Кантор (Аннален, 5) и Ричард Дедекинд. В 1869 году Мере взял ту же точку отсчета, что и Гейне, но теория обычно относится к 1872 году. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинчерле в 1880 году, а метод Дедекинда получил дополнительную известность благодаря поздняя работа автора (1888 г.) и одобрение Пола Таннери (1894 г.). Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывают свои теории на бесконечных рядах, в то время как Дедекинд основывает свою на идее сокращения (Шнитт) в системе всех рациональных чисел, разделяя их на две части. группы, обладающие определенными характерными свойствами. Позднее этот объект получил от Вейерштрасса, Леопольда Кронекера (Crelle, 101) и Шарля Мере.

Непрерывные дроби, тесно связанных с иррациональными числами (и из-за Катальди, 1613), привлекли внимание Эйлера, а в начале XIX века получили известность благодаря трудам Жозефа-Луи Лагранжа. Дирихле также внес свой вклад в общую теорию, как и многие участники, внесшие вклад в приложения этого предмета.

Иоганн Генрих Ламберт доказал (1761), что π не может быть рациональным и что e иррационально, если n рационально (если n = 0). Хотя доказательство Ламберта часто называют неполным, современные оценки подтверждают его как удовлетворительное, и на самом деле для своего времени оно необычайно строгое. Адриан-Мари Лежандр (1794) после введения функции Бесселя – Клиффорда представил доказательство того, что π иррационально, откуда сразу следует, что π также иррационально. Существование трансцендентных чисел было впервые установлено Лиувиллем (1844, 1851). Позже Георг Кантор (1873) доказал их существование с помощью другого метода, который показал, что каждый интервал в вещественных числах содержит трансцендентные числа. Чарльз Эрмит (1873) первым доказал трансцендентность, а Фердинанд фон Линдеманн (1882), исходя из выводов Эрмита, показал то же самое для π. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885), еще дальше - Дэвидом Гильбертом (1893) и, наконец, стало элементарным благодаря Адольфу Гурвицу и Полу Гордану.

. Примеры

Квадратные корни

Квадратный корень из 2 был первым числом, которое оказалось иррациональным, и эта статья содержит ряд доказательств. золотое сечение - еще одно известное квадратичное иррациональное число. Квадратные корни всех натуральных чисел, которые не являются полными квадратами, являются иррациональными, и доказательство можно найти в квадратичных иррациональных числах.

Общие корни

Приведенное выше доказательство для квадратного корня из двух можно обобщить с помощью основной арифметической теоремы. Это утверждает, что каждое целое число имеет уникальное разложение на простые числа. Используя его, мы можем показать, что если рациональное число не является целым, то его целая степень не может быть целым числом, так как в младших членах должно быть простое число в знаменателе, которое не делит в числитель любую степень, в которую каждый из них возведен. Следовательно, если целое число не является точной k-й степенью другого целого числа, то корень k-й степени первого целого числа является иррациональным.

Логарифмы

Возможно, числа, которые легче всего доказать иррациональными, - это определенные логарифмы. Вот доказательство от противного того, что log 2 3 иррационально (log 2 3 ≈ 1,58>0).

Предположим, что журнал 2 3 является рациональным. Для некоторых натуральных чисел m и n имеем

log 2 ⁡ 3 = m n. {\ displaystyle \ log _ {2} 3 = {\ frac {m} {n}}.}\log _{2}3={\frac {m}{n}}.

Отсюда следует, что

2 m / n = 3 {\ displaystyle 2 ^ {m / n} = 3 }{\displaystyle 2^{m/n}=3}
(2 m / n) n = 3 n {\ displaystyle (2 ^ {m / n}) ^ {n} = 3 ^ {n}}{\displaystyle (2^{m/n})^{n}=3^{n}}
2 m = 3 n. {\ displaystyle 2 ^ {m} = 3 ^ {n}.}{\displaystyle 2^{m}=3^{n}.}

Однако число 2 в возведении в любую положительную целую степень должно быть четным (потому что оно делится на 2), а число 3 в возведении в любое положительное целое число степень должна быть нечетной (поскольку ни один из его простых множителей не будет равен 2). Ясно, что целое число не может быть четным и нечетным одновременно: приходим к противоречию. Единственное предположение, которое мы сделали, заключалось в том, что log 2 3 рационально (и поэтому выражается как частное целых чисел m / n с n 0). Противоречие означает, что это предположение должно быть ложным, т.е. log 2 3 иррационально и никогда не может быть выражено как частное целых чисел m / n с n with 0.

Такие случаи, как log 10 2 можно рассматривать аналогично.

Типы

трансцендентные / алгебраические

Почти все иррациональные числа трансцендентны, и все настоящие трансцендентные числа иррациональны (есть также комплексные трансцендентные числа): в статье о трансцендентных числах приводится несколько примеров. Таким образом, e и π иррациональны для всех ненулевых рациональных r, и, например, e также иррационально.

Иррациональные числа также можно найти в счетном наборе действительных алгебраических чисел (по существу определяемых как действительные корни из многочленов с целыми коэффициентами), т. Е. Как действительные решения полиномиальных уравнений

p (x) = alarmn + an - 1 xn - 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 = 0, {\ displaystyle p (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} = 0 \ ;,}{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\;,}

где коэффициенты ai {\ displaystyle a_ {i}}a_{i}являются целыми числами, а an ≠ 0 {\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}{\displaystyle a_{n}\neq 0}. любой рациональный корень этого полиномиальное уравнение должно иметь вид r / s, где r является делителем от 0, а s является делителем n. Если действительный корень x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_{0}полинома p {\ displaystyle p}pне входит в число этих конечных возможностей, он должно быть иррациональным алгебраическим числом. Примерное доказательство существования таких алгебраических иррациональных чисел состоит в том, чтобы показать, что x 0 = (2 + 1) является иррациональным корнем многочлена с целыми коэффициентами: он удовлетворяет (x - 1) = 2 и, следовательно, x - 2x - 1 = 0, и этот последний многочлен не имеет рациональных корней (единственными кандидатами для проверки являются ± 1, и x 0, будучи больше 1, не является ни одним из них), поэтому x 0 - иррациональное алгебраическое число.

Поскольку алгебраические числа образуют подполе действительных чисел, многие иррациональные действительные числа могут быть построены путем комбинирования трансцендентных и алгебраических чисел. Например, 3π + 2, π + √2 и e√3 иррациональны (и даже трансцендентны).

Десятичные разложения

Десятичные разложения иррационального числа никогда не повторяются и не заканчиваются (последнее эквивалентно повторяющимся нулям), в отличие от любого рационального числа. То же самое верно для двоичных, восьмеричных или шестнадцатеричных расширений и в целом для расширений в каждой позиционной нотации на натуральной основе.

Чтобы показать это, предположим, что мы делим целые числа n на m (где m не равно нулю). Когда деление в столбик применяется к делению n на m, возможны только m остатков. Если 0 появляется как остаток, десятичное раскрытие прекращается. Если 0 никогда не встречается, то алгоритм может выполнить не более m - 1 шагов без использования остатка более одного раза. После этого должен повториться остаток, а затем повторяется десятичное разложение.

И наоборот, предположим, что мы столкнулись с повторяющимся десятичным числом, мы можем доказать, что это дробная часть двух целых чисел. Например, рассмотрим:

A = 0,7 162 162 162… {\ displaystyle A = 0,7 \, 162 \, 162 \, 162 \, \ ldots}{\displaystyle A=0.7\,162\,162\,162\,\ldots }

Здесь репенд составляет 162, а длина повтора равна 3. Сначала мы умножаем на соответствующую степень 10, чтобы переместить десятичную запятую вправо так, чтобы она находилась прямо перед повторением. В этом примере мы умножим на 10, чтобы получить:

10 A = 7.162 162 162… {\ displaystyle 10A = 7.162 \, 162 \, 162 \, \ ldots}{\displaystyle 10A=7.162\,162\,162\,\ldots }

Теперь мы умножаем это уравнение на 10, где r это длина повтора. Это приводит к перемещению десятичной точки перед «следующим» повторением. В нашем примере умножьте на 10:

10 000 A = 7 162,162 162… {\ displaystyle 10,000A = 7 \, 162.162 \, 162 \, \ ldots}{\displaystyle 10,000A=7\,162.162\,162\,\ldots }

Результат двух умножений дает два разных выражения с точно такой же «десятичной частью», то есть конец 10,000A точно совпадает с концом 10A. Здесь и 10,000A, и 10A имеют 0,162162162... после десятичной точки.

Следовательно, когда мы вычитаем уравнение 10A из уравнения 10,000A, хвостовая часть 10A отменяет хвостовую часть 10,000A, оставляя нам:

9990 A = 7155. {\ displaystyle 9990A = 7155.}9990A=7155.

Тогда

A = 7155 9990 {\ displaystyle A = {\ frac {7155} {9990}}}{\displaystyle A={\frac {7155}{9990}}}

представляет собой отношение целых чисел и, следовательно, рациональное число.

Иррациональные силы

Дов Джарден дал простое не- конструктивное доказательство того, что существуют два иррациональных числа a и b, такие что a рационально:

Рассмотрим √2; если это рационально, то возьмем a = b = √2. В противном случае возьмем a иррациональное число √2 и b = √2. Тогда a = (√2) = √2 = √2 = 2, что рационально.

Хотя приведенный выше аргумент не делает выбор между двумя случаями, теорема Гельфонда – Шнайдера показывает, что √2 трансцендентно, следовательно, иррационально. Эта теорема утверждает, что если a и b оба являются алгебраическими числами, а a не равно 0 или 1, а b не является рациональным числом, то любое значение a является трансцендентным числом (может быть более одного значения, если используется возведение в степень комплексного числа ).

Пример, который обеспечивает простое конструктивное доказательство:

(2) log 2 ⁡ 3 = 3. {\ displaystyle \ left ({\ sqrt {2}} \ right) ^ {\ log _ { \ sqrt {2}} 3} = 3.}\left({\sqrt {2}}\right)^{\log _{\sqrt {2}}3}=3.

База левой части иррациональна, а правая часть рациональна, поэтому нужно доказать, что показатель в левой части log 2 ⁡ 3 { \ displaystyle \ log _ {\ sqrt {2}} 3}\log _{\sqrt {2}}3, иррационально. Это так, потому что по формуле, связывающей логарифмы с разными основаниями,

журнал 2 ⁡ 3 = журнал 2 ⁡ 3 журнал 2 ⁡ 2 = журнал 2 ⁡ 3 1/2 = 2 журнал 2 ⁡ 3 {\ displaystyle \ log _ {\ sqrt {2}} 3 = {\ frac {\ log _ {2} 3} {\ log _ {2} {\ sqrt {2}}}} = {\ frac {\ log _ {2} 3} {1/2}} = 2 \ log _ {2} 3}\log _{\sqrt {2}}3={\frac {\log _{2}3}{\log _{2}{\sqrt {2}}}} ={\frac {\log _{2}3}{1/2}}=2\log _{2}3

, которое, как мы можем предположить, ради установления противоречия, равно отношению m / n положительных целых чисел. Тогда log 2 ⁡ 3 = m / 2 n {\ displaystyle \ log _ {2} 3 = m / 2n}\log _{2}3=m/2n, следовательно, 2 log 2 ⁡ 3 = 2 m / 2 n { \ displaystyle 2 ^ {\ log _ {2} 3} = 2 ^ {m / 2n}}2^{\log _{2}3}=2^{m/2n}, следовательно, 3 = 2 m / 2 n {\ displaystyle 3 = 2 ^ {m / 2n }}3=2^{m/2n}отсюда 3 2 n = 2 m {\ displaystyle 3 ^ {2n} = 2 ^ {m}}3^{2n}=2^{m}, что является противоречивой парой простых факторизаций и, следовательно, нарушает фундаментальную теорему арифметики (уникальное разложение на простые множители).

Более сильный результат следующий: каждое рациональное число в интервале ((1 / e) 1 / e, ∞) {\ displaystyle ((1 / e) ^ {1 / e}, \ infty)}((1/e)^{1/e},\infty)можно записать как a для некоторого иррационального числа a или как n для некоторого натурального числа n. Точно так же любое положительное рациональное число может быть записано либо как aaa {\ displaystyle a ^ {a ^ {a}}}a^{a^{a}}для некоторого иррационального числа a, либо как nnn {\ displaystyle n ^ {n ^ {n}}}n^{n^{n}}для некоторого натурального числа n.

Открытые вопросы

Неизвестно, π + e {\ displaystyle \ pi + e}\pi+e(или π - e {\ displaystyle \ pi -e}{\displaystyle \pi -e}) иррационально. Фактически, не существует пары ненулевых целых чисел m, n {\ displaystyle m, n}m,n, для которой известно, m π + ne {\ displaystyle m \ pi + ne}{\displaystyle m\pi +ne}иррационально. Более того, неизвестно, является ли набор {π, e} {\ displaystyle \ {\ pi, e \}}{\displaystyle \{\pi,e\}}алгебраически независимым над Q { \ displaystyle \ mathbb {Q}}\mathbb {Q} .

Неизвестно, π e, π / e, 2 e, π e, π 2, ln ⁡ π, {\ displaystyle \ pi e, \ \ pi / e, \ 2 ^ {e}, \ \ pi ^ {e}, \ \ pi ^ {\ sqrt {2}}, \ \ ln \ pi,}{\displaystyle \pi e,\ \pi /e,\ 2^{e},\ \pi ^{e},\ \pi ^{\sqrt {2}},\ \ln \pi,}каталонская константа или Константы Эйлера – Маскерони γ {\ displaystyle \ gamma}\gamma иррациональны. Неизвестно, является ли какая-либо из tetrations n π {\ displaystyle ^ {n} \ pi}{\displaystyle ^{n}\pi }или ne {\ displaystyle ^ {n} e}{\displaystyle ^{n}e}рационально для некоторого целого n>1. {\ displaystyle n>1.}n>1.

Набор всех иррациональных чисел

Так как действительные числа образуют несчетное множество, из которых рациональные числа являются счетными подмножество, дополнительный набор иррациональных чисел неисчислим.

При обычной (евклидовой ) функции расстояния d (x, y) = | x - y | действительные числа a метрическое пространство и, следовательно, также топологическое пространство. Ограничение функции евклидова расстояния дает иррациональным объектам структуру метрического пространства. Поскольку подпространство иррациональных чисел не замкнуто, индуцированная метрика не полное. Однако, будучи G-дельта-множеством - т. е. счетным пересечением открытых подмножеств - в полном метрическом пространстве, пространство иррациональных чисел полностью метризуемо : то есть существует метрика на иррациональных числах, порождающая ту же топологию, что и ограничение евклидовой метрики, но относительно которого иррациональные числа полны. Это можно увидеть, не зная вышеупомянутого факта о G-дельта-множествах: расширение непрерывной дроби иррационального числа определяет гомеоморфизм из пространства иррациональных чисел в пространство всех последовательностей натуральных чисел, что легко считается полностью метризуемым.

Более того, множество всех иррациональных чисел является несвязным метризуемым пространством. Фактически, иррациональные объекты, снабженные топологией подпространства, имеют базис из закрытых множеств, поэтому пространство нульмерно.

See also

References

Further reading

  • Adrien-Marie Legendre, Éléments de Géometrie, Note IV, (1802), Paris
  • Rolf Wallisser, "On Lambert's proof of the irrationality of π", in Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis, Franz Halter-Koch and Robert F. Tichy, (2000), Walter de Gruyer

External links

Wikimedia Commons has media related to Irrational numbers.
Последняя правка сделана 2021-05-24 07:04:18
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте