Алгебраическое целое число

редактировать

Комплексное число, которое решает однозначный многочлен с целыми коэффициентами

В теории алгебраических чисел, целое алгебраическое число - это комплексное число, которое является корнем некоторого монического многочлена (многочлен, у которого старший коэффициент равно 1) с коэффициентами в ℤ (набор целых чисел ). Множество всех алгебраических целых чисел A замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения и поэтому является коммутативным подкольцом комплексных чисел. Кольцо A - это целое замыкание регулярных целых чисел ℤ в комплексных числах.

Кольцо целых чисел числового поля K, обозначенное O K, является пересечением K и A: оно также может можно охарактеризовать как максимальный порядок поля K. Каждое целое алгебраическое число принадлежит кольцу целых чисел некоторого числового поля. Число α является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда кольцо ℤ [α] является конечно порожденным как абелева группа, которая то есть в виде ℤ-модуля.

Содержание

1 Определения
2 Примеры
3 Не пример
4 Факты
5 См. также
6 Ссылки

Определения

Ниже приведены эквивалентные определения алгебраического целого числа. Пусть K будет числовым полем (т. Е. конечным расширением из ℚ, набором рациональных чисел ), другими словами, K = ℚ (θ) для некоторого алгебраического числа θ ∈ ℂ по теореме о примитивных элементах.

α ∈ K является целым алгебраическим числом, если существует монический многочлен f (x) ∈ ℤ [x] такое, что f (α) = 0.
α ∈ K является целым алгебраическим числом, если минимальный монический многочлен α над ℚ находится в ℤ[xpting.
α ∈ K - целое алгебраическое число, если ℤ [α] конечно порожденное ℤ -
α ∈ K - целое алгебраическое число, если существует ненулевой конечно порожденный ℤ -подмодуль M ⊂ ℂ такой, что αM ⊆ M.

Целые алгебраические числа - это частный случай целых элементов расширения кольца. В частности, алгебраическое целое число является неотъемлемым элементом конечного расширения K / ℚ.

Примеры

Единственными алгебраическими целыми числами, которые встречаются в наборе рациональных чисел, являются целые числа. Другими словами, точка пересечения ℚ и A в точности равна ℤ . Рациональное число a / b не является целым алгебраическим числом, если b не делит a. Обратите внимание, что старший коэффициент полинома bx - a - это целое число b. В качестве другого особого случая квадратный корень √n из неотрицательного целого числа n является алгебраическим целым числом, но является иррациональным, если только n не является полным квадратом.

Если d является целым числом без квадратов, тогда расширение K = ℚ (√d) представляет собой квадратичное поле рациональных чисел. Кольцо целых алгебраических чисел O K содержит √d, так как оно является корнем монического многочлена x - d. Более того, если d ≡ 1 mod 4, то элемент 1/2 (1 + √d) также является целым алгебраическим числом. Он удовлетворяет многочлену x - x + 1/4 (1 - d), где постоянный член 1/4 (1 - d) является целым числом. Полное кольцо целых чисел порождается √d или 1/2 (1 + √d) соответственно. См. целые квадратичные числа для получения дополнительной информации.

Кольцо целых чисел поля F = ℚ [α], α = √m, имеет следующий целочисленный базис , записав m = hk для двух взаимно простых целых чисел h и k без квадратов:

{1, α, α 2 ± k 2 α + k 2 3 km ≡ ± 1 mod 9 1, α, α 2 k в противном случае { \ Displaystyle {\ begin {case} 1, \ alpha, {\ dfrac {\ alpha ^ {2} \ pm k ^ {2} \ alpha + k ^ {2}} {3k}} m \ Equiv \ pm 1 { \ bmod {9}} \\ 1, \ alpha, {\ dfrac {\ alpha ^ {2}} {k}} {\ text {else}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} 1, \ alpha, {\ dfrac {\ alpha ^ {2} \ pm k ^ {2} \ alpha + k ^ {2}} {3k}} m \ Equiv \ pm 1 {\ bmod {9}} \\ 1, \ alpha, {\ dfrac {\ alpha ^ {2}} {k}} {\ text {иначе} } \ end {case}}}

Если ζ n является примитивным корнем n-й степени из единицы, тогда кольцо целых чисел кругового поля ℚ(ζn) точно равно ℤ[ζn].

Если α - целое алгебраическое число, то β = √ α - другое целое алгебраическое число. Многочлен для β получается заменой x в многочлен на α.

Не пример

Если P (x) является примитивным многочленом, который имеет целые коэффициенты, но не является моническим, и P неприводимо над ℚ, то ни один из корней P не является целым алгебраическим числом (но является алгебраическим числом ). Здесь примитив используется в том смысле, что наивысший общий множитель набора коэффициентов P равен 1; это слабее, чем требование, чтобы коэффициенты были попарно взаимно простыми.

Факты

Сумма, разность и произведение двух алгебраических целых чисел является алгебраическим целым числом. В общем, их частное нет. Используемый монический полином обычно имеет более высокую степень, чем у исходных алгебраических целых чисел, и его можно найти, взяв результирующие и разложив на множители. Например, если x - x - 1, y - y - 1 и z = xy, то удаление x и y из z - xy и полиномов, которым удовлетворяют x и y с использованием полученного результата, дает z - 3z - 4z + z + z - 1, неприводимый и являющийся моническим многочленом, которому удовлетворяет произведение. (Чтобы увидеть, что xy является корнем из x-результирующей z - xy и x - x - 1, можно использовать тот факт, что результат содержится в идеале, порожденном двумя входными полиномами.)
Любое число, которое можно построить из целых чисел с корнями, сложением и умножением, поэтому является алгебраическим целым числом; но не все алгебраические целые числа так конструктивны: в наивном смысле большинство корней неприводимых квинтик таковыми не являются. Это теорема Абеля – Руффини.
. Каждый корень монического многочлена, коэффициенты которого являются целыми алгебраическими числами, сам является целым алгебраическим числом. Другими словами, алгебраические целые числа образуют кольцо, которое цело замкнуто в любом из своих расширений.
Кольцо алгебраических целых чисел является областью Безу, как следствие теоремы о главном идеале.
Если монический многочлен, связанный с алгебраическим целым числом, имеет постоянный член 1 или -1, то обратная величина этого алгебраического целого числа также является алгебраическим целым числом и является единицей , элемент группы единиц кольца алгебраических целых чисел.

См. Также

Ссылки

^Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. гл. 2, стр. 38 и пр. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.