Целое число Эйзенштейна

редактировать

Целые числа Эйзенштейна как точки пересечения треугольной решетки на комплексной плоскости

В математике, целые числа Эйзенштейна (названные в честь Готтхольда Эйзенштейна ), иногда также известные как целые числа Эйлера (после Leonhard Euler ), являются комплексными числами формы

z = a + b ω, {\ displaystyle z = a + б \ омега,}

z = a + b \ omega,

где a и b - целые числа и

ω = - 1 + i 3 2 = e 2 π i 3 {\ displaystyle \ omega = {\ frac {-1 + i {\ sqrt { 3}}} {2}} = e ^ {\ frac {2 \ pi i} {3}}}

\ omega = {\ frac {-1 + i {\ sqrt 3}} {2}} = e ^ {{ \ frac {2 \ pi i} {3}}}

является примитивным (следовательно, нереальным) кубическим корнем из единицы. Целые числа Эйзенштейна образуют треугольную решетку в комплексной плоскости, в отличие от целых чисел Гаусса, которые образуют квадратную решетку в комплексная плоскость. Целые числа Эйзенштейна - это счетно бесконечное множество.

Содержание

1 Свойства
2 простые числа Эйзенштейна
3 Евклидова область
4 Коэффициент C по целым числам Эйзенштейна
5 См. Также
6 Примечания
7 Внешние ссылки

Свойства

Целые числа Эйзенштейна образуют коммутативное кольцо из целых алгебраических чисел в поле алгебраических чисел Q(ω) - третье круговое поле. Чтобы убедиться, что целые числа Эйзенштейна являются целыми алгебраическими, обратите внимание, что каждое z = a + bω является корнем монического многочлена

z 2 - (2 a - b) z + (a 2 - ab + b 2). {\ displaystyle z ^ {2} - (2a-b) z + \ left (a ^ {2} -ab + b ^ {2} \ right).}

{\ displaystyle z ^ {2} - (2a- б) z + \ влево (a ^ {2} -ab + b ^ {2} \ right).}

В частности, ω удовлетворяет уравнению

ω 2 + ω + 1 = 0. {\ displaystyle \ omega ^ {2} + \ omega + 1 = 0.}

{\ displaystyle \ omega ^ {2} + \ omega + 1 = 0.}

Произведение двух целых чисел Эйзенштейна a + bω и c + dω явно задается как

( a + b ω) ⋅ (c + d ω) = (ac - bd) + (bc + ad - bd) ω. {\ displaystyle (a + b \ omega) \ cdot (c + d \ omega) = (ac-bd) + (bc + ad-bd) \ omega.}

{\ displaystyle (a + b \ omega) \ cdot (c + d \ omega) = (ac-bd) + ( bc + ad-bd) \ omega.}

Норма целого числа Эйзенштейна - это просто квадрат его модуля, и задается как

| а + Ь ω | 2 знак равно a 2 - ab + b 2 = 1 4 ((2 a - b) 2 + 3 b 2), {\ displaystyle {| a + b \ omega |} ^ {2} \ = \, a ^ {2 } -ab + b ^ {2} \ = \ {\ tfrac {1} {4}} ({(2a {-} b)} ^ {2} + 3b ^ {2}),}

{\ displaystyle {| a + b \ omega |} ^ {2} \ = \, a ^ {2} -ab + b ^ {2} \ = \ {\ tfrac {1} {4}} ({(2a {-} b)} ^ {2} + 3b ^ {2}),}

который является очевидно положительное обыкновенное (рациональное) целое число.

Кроме того, , сопряженное к ω удовлетворяет

ω ¯ = ω 2. {\ displaystyle {\ bar {\ omega}} = \ omega ^ {2}.}

{\ displaystyle {\ bar {\ omega}} = \ omega ^ {2}.}

группа единиц в этом кольце - это циклическая группа, образованная шестой корни из единицы в комплексной плоскости: ${± 1, ± ω, ± ω 2} {\ displaystyle \ left \ {\ pm 1, \ pm \ omega, \ pm \ omega ^ { 2} \ right \}}$ ${ \ displaystyle \ left \ {\ pm 1, \ pm \ omega, \ pm \ omega ^ {2} \ right \}}$ , целые числа Эйзенштейна нормы 1.

простые числа Эйзенштейна

малые простые числа Эйзенштейна.

Если x и y являются целыми числами Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y, если существует такое целое число Эйзенштейна z, что y = zx. Неединичное целое число Эйзенштейна x называется простым числом Эйзенштейна, если его единственные неединичные делители имеют вид ux, где u - любая из шести единиц.

Есть два типа простых чисел Эйзенштейна. Во-первых, обычное простое число (или рациональное простое число), которое конгруэнтно 2 по модулю 3, также является простым числом Эйзенштейна. Во-вторых, 3 и любое рациональное простое число, конгруэнтное 1 по модулю 3, равно норме x - xy + y целого числа Эйзенштейна x + ωy. Таким образом, такое простое число может быть разложено на множители как (x + ωy) (x + ωy), и эти множители являются простыми числами Эйзенштейна: это в точности целые числа Эйзенштейна, норма которых является рациональным простым числом.

Евклидова область

Кольцо целых чисел Эйзенштейна образует евклидову область, норма N которой задается квадратным модулем, как указано выше:

N (a + b ω) = a 2 - ab + b 2. {\ displaystyle N (a + b \, \ omega) = a ^ {2} -ab + b ^ {2}.}

{\ displaystyle N (a + b \, \ omega) = a ^ {2} -ab + b ^ {2}.}

A алгоритм деления, применяемый к любому дивиденду $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ и делитель $β ≠ 0 {\ displaystyle \ beta \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ beta \ neq 0}$ дает частное $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ каппа$ и остаток $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ меньше делителя, удовлетворяющий:

α = κ β + ρ с N (ρ) < N ( β). {\displaystyle \alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ with }}\ \ N(\rho)

{\ displaystyle \ alpha = \ kappa \ beta + \ rho \ \ {\ text {с }} \ \ N (\ rho) <N (\ beta).}

Здесь $α, β, κ, ρ {\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ kappa, \ rho}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ kappa, \ rho}$ - целые числа Эйзенштейна. Этот алгоритм подразумевает алгоритм Евклида, который доказывает лемму Евклида и уникальную факторизацию целых чисел Эйзенштейна в простые числа Эйзенштейна.

Один алгоритм деления следующий. Сначала выполните деление в поле комплексных чисел и запишите частное через ω:

α β = 1 | β | 2 α β ¯ знак равно a + bi = a + 1 3 b + 2 3 b ω, {\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ = \ {\ tfrac {1} {\ | \ beta | ^ {2}}} \ alpha {\ overline {\ beta}} \ = \ a + bi \ = \ a + {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} b + {\ tfrac {2} {\ sqrt {3}}} b \ omega,}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ = \ {\ tfrac {1} {\ | \ beta | ^ {2}}} \ alpha {\ overline {\ beta}} \ = \ a + bi \ = \ a + {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} b + {\ tfra с {2} {\ sqrt {3}}} b \ omega,}

для рационального $a, b ∈ Q {\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Q}}$ . Затем получите целочисленное частное Эйзенштейна, округляя рациональные коэффициенты до ближайшего целого:

κ = ⌊ a + 1 3 b ⌉ + ⌊ 2 3 b ω и ρ = α - κ β. {\ displaystyle \ kappa = \ left \ lfloor a + {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} b \ right \ rceil + \ left \ lfloor {\ tfrac {2} {\ sqrt {3}}} b \ right \ rceil \ omega \ \ {\ text {and}} \ \ \ rho = {\ alpha} - \ kappa \ beta.}

{\ displaystyle \ kappa = \ left \ lfloor a + {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} b \ right \ rceil + \ left \ lfloor {\ tfrac {2} {\ sqrt {3}}} b \ right \ rceil \ omega \ \ {\ text {и }} \ \ \ rho = {\ alpha} - \ kappa \ beta.}

Здесь $⌊ x ⌉ {\ displaystyle \ lfloor x \ rceil}$ ${\ displaystyle \ lfloor x \ rceil}$ может обозначать любую из стандартных функций округления до целого числа.

Причина, по которой это удовлетворяет $N (ρ) < N ( β) {\displaystyle N(\rho)$ ${\ displaystyle N (\ rho) <N (\ beta)}$ , в то время как аналогичная процедура не выполняется для большинства других квадратичных целочисленных колец, заключается в следующем. Фундаментальная область идеала $Z [ω] β = Z β + Z ω β {\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega] \ beta = \ mathbb {Z} \ beta + \ mathbb {Z} \ omega \ beta}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega] \ beta = \ mathbb {Z} \ beta + \ mathbb {Z} \ omega \ beta}$ , действующий перемещением на комплексной плоскости, представляет собой ромб 60 ° -120 ° с вершинами $0, β, ω β, β + ω β {\ displaystyle 0, \ beta, \ omega \ beta, \ beta {+} \ omega \ beta}$ ${\ displaystyle 0, \ beta, \ omega \ beta, \ beta {+} \ omega \ beta}$ . Любое целое число Эйзенштейна α лежит внутри одного из сдвигов этого параллелограмма, а фактор κ является одной из его вершин. Остаток - это квадратное расстояние от α до этой вершины, но максимально возможное расстояние в нашем алгоритме составляет всего $3 2 | β | {\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} | \ beta |}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} | \ beta |}$ , поэтому $| ρ | ≤ 3 2 | β | < | β | {\displaystyle |\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |}$ ${\ displaystyle | \ rho | \ leq {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} | \ быть та | <| \ бета |}$ . (Размер ρ можно немного уменьшить, взяв κ в качестве ближайшего угла.)

Частное от C по целым числам Эйзенштейна

частное комплексной плоскости C по решетке, содержащей все целые числа Эйзенштейна, представляет собой комплексный тор действительной размерности 2. Это один из двух торов с максимальной симметрией среди всех таких сложных торов. Этот тор можно получить, отождествив каждую из трех пар противоположных сторон правильного шестиугольника. (Другой максимально симметричный тор представляет собой фактор комплексной плоскости по аддитивной решетке целых гауссовских чисел, и может быть получен путем идентификации каждой из двух пар противоположных сторон квадратной фундаментальной области, такой как [ 0,1] × [0,1].)

См. Также

Примечания

Внешние ссылки

Целое число Эйзенштейна - из MathWorld