Кубическая взаимность

Условия, при которых сравнение x ^ 3 равно p (mod q) разрешимо

Кубическая взаимность является набором теорем элементарной и алгебраической теории чисел, которые устанавливают условия, при которых сравнение x ≡ p (mod q) разрешимо; слово «взаимность» происходит от формы основной теоремы, которая гласит, что если p и q являются первичными числами в кольце целых чисел Эйзенштейна, оба взаимно просты с 3, то сравнение x ≡ p (mod q) разрешимо тогда и только тогда, когда x ≡ q (mod p) разрешимо.

• 1 История
• 2 Целые числа
  • 2.1 Простые числа ≡ 1 (mod 3)
• 3 Целые числа Эйзенштейна
  • 3.1 Предпосылки
  • 3.2 Факты и терминология
  • 3.3 Символ кубического остатка
    • 3.3.1 Определение
    • 3.3.2 Свойства
  • 3.4 Формулировка теоремы
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
  • 6.1 Эйлер
  • 6.2 Гаусс
  • 6.3 Эйзенштейн
  • 6.4 Якоби
  • 6.5 Современные авторы
• 7 Внешние ссылки

Где-то до 1748 года Эйлер сделал первые предположения о кубической остаточной остаточности малых целые числа, но они не были опубликованы до 1849 года, после его смерти.

В опубликованных работах Гаусса кубические остатки и взаимность упоминаются трижды: есть один результат, относящийся к кубическим остаткам в Disquisitiones Arithmeticae ( 1801). Во введении к пятому и шестому доказательствам квадратичной взаимности (1818) он сказал, что публикует эти доказательства, потому что их методы (лемма Гаусса и гауссовы суммы соответственно) могут быть применены кубической и биквадратичной взаимности. Наконец, в сноске во второй (из двух) монографий о биквадратной взаимности (1832) говорится, что кубическая взаимность легче всего описывается в кольце целых чисел Эйзенштейна.

Из его дневника и других. Из неопубликованных источников, похоже, что Гаусс знал правила кубической и четвертой вычетов целых чисел к 1805 году и открыл полномасштабные теоремы и доказательства кубической и биквадратичной взаимности примерно в 1814 году. Доказательства этого были найдены в его посмертных работах, но он неясно, принадлежат они ему или Эйзенштейну.

Якоби опубликовал несколько теорем о кубической остаточной остаточности в 1827 году, но никаких доказательств. В своих кенигсбергских лекциях 1836–1837 гг. Якоби представил доказательства. Первые опубликованные доказательства были сделаны Эйзенштейном (1844).

A кубический остаток (mod p) - это любое число, конгруэнтное третьей степени целого числа (mod p). Если x ≡ a (mod p) не имеет целочисленного решения, a является кубическим невычетом (mod p).

Как это часто бывает в теории чисел, проще работают по модулю простых чисел, поэтому в этом разделе предполагается, что все модули p, q и т. д. являются положительными нечетными простыми числами.

Сначала отметим, что если q ≡ 2 (mod 3) простое число, то каждое число - это кубический вычет по модулю q. Пусть q = 3n + 2; поскольку 0 = 0, очевидно, кубический вычет, предположим, что x не делится на q. Тогда по маленькой теореме Ферма,

$xq\; \equiv \; x\; mod\; q,\; xq\; -\; 1\; \equiv \; 1\; mod\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{q\}\; \backslash \; Equiv\; x\; \{\backslash \; bmod\; \{q\}\},\; \backslash \; qquad\; x\; ^\; \{q-\; 1\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; bmod\; \{q\}\}\}$

Умножая два сравнения, мы получаем

$x\; 2\; q\; -\; 1\; \equiv \; x\; mod\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2q-1\}\; \backslash \; Equiv\; x\; \{\backslash \; bmod\; \{q\}\}\}$

Теперь, подставив 3n + 2 вместо q, получим:

$x\; 2\; q\; -\; 1\; =\; x\; 6\; n\; +\; 3\; =\; (x\; 2\; n\; +\; 1)\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2q-1\}\; =\; x\; ^\; \{6n\; +\; 3\}\; =\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}.\}$

Таким образом, единственный интересный случай - это когда модуль p ≡ 1 (модуль 3). В этом случае классы ненулевого остатка (mod p) можно разделить на три набора, каждый из которых содержит (p − 1) / 3 числа. Пусть e - кубический невычет. Первый набор - кубические остатки; второй - в е раз больше чисел в первом наборе, а третий - в е раз больше чисел в первом наборе. Другой способ описать это деление - позволить e быть примитивным корнем (mod p); тогда первый (соответственно второй, третий) набор - это числа, индексы которых относительно этого корня конгруэнтны 0 (соответственно 1, 2) (mod 3). В словаре теории групп первый набор - это подгруппа индекса 3 мультипликативной группы $(Z\; /\; p\; Z)\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\; \}\; /\; p\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$, а два других - его смежные классы.

Простые числа 1 (mod 3)

Теорема Ферма утверждает, что каждое простое число p ≡ 1 (mod 3) может быть записано как p = a + 3b и (за исключением знаков а и б) это представление единственно.

Полагая m = a + b и n = a - b, мы видим, что это эквивалентно p = m - mn + n (что равно (n - m) - (n - m) n + n = m + m (n - m) + (n - m), поэтому m и n не определены однозначно). Таким образом,

$4\; p\; =\; (2\; m\; -\; n)\; 2\; +\; 3\; n\; 2\; =\; (2\; n\; -\; m)\; 2\; +\; 3\; m\; 2\; =\; (m\; +\; n)\; 2\; +\; 3\; (m\; -\; n)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; begin\; \{align\}\; 4p\; =\; (2m-n)\; ^\; \{2\}\; +\; 3n\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; =\; (2n-m)\; ^\; \{2\}\; +\; 3m\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; =\; (m\; +\; n)\; ^\; \{2\}\; +3\; (mn)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и это простое упражнение, чтобы показать, что ровно одно из m, n или m - n делится на 3, поэтому

$p\; =\; 1\; 4\; (L\; 2\; +\; 27\; M\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; (L\; ^\; \{2\}\; +\; 27M\; ^\; \{2\}),\}$

и это представление уникально с точностью до знаков L и M.

Для относительно простых целых чисел m и n определите символ рационального кубического остатка как

$[mn]\; 3\; =\; \{1\; m\; является\; кубическим\; модулем\; вычета\; n\; -\; 1\; m\; является\; кубическим\; модулем\; без\; остатка\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 1\; m\; \{\backslash \; text\; \{кубический\; остаток\}\}\; \{\backslash \; bmod\; \{n\}\}\; \backslash \backslash \; -\; 1\; m\; \{\backslash \; text\; \{кубический\; неотчетчик\}\}\; \{\backslash \; bmod\; \{n\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Это важно отметить, что этот символ не обладает мультипликативными свойствами символа Лежандра; для этого нам понадобится истинный кубический символ, определенный ниже.

Гипотезы Эйлера. Пусть p = a + 3b простое число. Тогда выполняется следующее:

$[2 p] 3 = 1 ⟺ 3 ∣ b [3 p] 3 = 1 ⟺ 9 ∣ b или 9 ∣ (a ± b) [5 p] 3 = 1 ⟺ 15 ∣ b или 3 ∣ b и 5 ∣ a или 15 ∣ (a ± b) или 15 ∣ (2 a ± b) [6 p] 3 = 1 ⟺ 9 ∣ b или 9 ∣ (a ± 2 b) [7 p] 3 = 1 ⟹ (3 ∣ b и 7 ∣ a) или 21 ∣ (b ± a), или 7 ∣ (4 b ± a), или 21 ∣ b, или 7 ∣ (b ± 2 a) {\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ tfrac {2} {p}} \ right] _ {3} = 1 \ quad \ Longleftrightarrow \ quad 3 \ mid b \\\ left [{\ tfrac {3} {p}} \ right ] _ {3} = 1 \ quad \ Longleftrightarrow \ quad 9 \ mid b {\ text {или}} 9 \ mid (a \ pm b) \\\ left [{\ tfrac {5} {p}} \ right] _ {3} = 1 \ quad \ Longleftrightarrow \ quad 15 \ mid b {\ text {или}} 3 \ mid b {\ text {and}} 5 \ mid a {\ text {или}} 15 \ mid (a \ pm b) {\ text {или}} 15 \ mid (2a \ pm b) \\\ left [{\ tfrac {6} {p}} \ right] _ {3} = 1 \ quad \ Longleftrightarrow \ quad 9 \ mid b {\ text {или}} 9 \ mid (a \ pm 2b) \\\ left [{\ tfrac {7} {p}} \ right] _ {3} = 1 \ quad \ Longrightarrow \ quad (3 \ mid b {\ text {and}} 7 \ ​​mid a) {\ text {or}} 21 \ mid (b \ pm a) {\ text {or}} 7 \ ​​mid (4b \ pm a) {\ text {or}} 21 \ mid b {\ text {or}} 7 \ ​​mid (b \ pm 2a) \ end {align}}}$

Первые два можно переформулировать следующим образом. Пусть p - простое число, сравнимое с 1 по модулю 3. Тогда:

• 2 - кубический вычет числа p тогда и только тогда, когда p = a + 27b.
• 3 - кубический вычет числа p, если и только если 4p = a + 243b.

Теорема Гаусса. Пусть p положительное простое число такое, что

$p\; =\; 3\; n\; +\; 1\; =\; 1\; 4\; (L\; 2\; +\; 27\; M\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 3n\; +\; 1\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (L\; ^\; \{2\}\; +\; 27M\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

Тогда $L\; (n!)\; 3\; \equiv \; 1\; мод.\; П.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (n!)\; ^\; \{3\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}.\}$

Легко видеть, что из теоремы Гаусса следует:

$[L\; p]\; 3\; =\; [M\; p]\; 3\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; tfrac\; \{L\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; tfrac\; \{M\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1.\; \}$

Теорема Якоби (сформулированная без доказательства) Пусть q ≡ p ≡ 1 (mod 6) положительные простые числа. Очевидно, что и p, и q также конгруэнтны 1 по модулю 3, поэтому предположим:

$p\; =\; 1\; 4\; (L\; 2\; +\; 27\; M\; 2),\; q\; =\; 1\; 4\; (L\; \text{'}2\; +\; 27\; M\text{'}\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (L\; ^\; \{2\}\; +\; 27M\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\; q\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (\; L\; \text{'}^\; \{2\}\; +\; 27M\text{'}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

Пусть x - решение уравнения x ≡ −3 (mod q). Тогда

$x\; \equiv \; \pm \; L\; \prime \; 3\; M\; \prime \; mod\; q,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{L\; \text{'}\}\; \{3M\text{'}\}\}\; \{\backslash \; bmod\; \{q\}\},\}$

и мы имеем :

$[qp]\; 3\; =\; 1\; ⟺\; [L\; +\; 3\; M\; x\; 2\; pq]\; 3\; =\; 1\; ⟺\; [L\; +\; 3\; M\; x\; L\; -\; 3\; M\; xq]\; 3\; =\; 1\; [qp]\; 3\; =\; 1\; ⟹\; [LM\; \prime \; +\; L\; \prime \; MLM\; \prime \; -\; L\; \prime \; M\; q]\; 3\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; frac\; \{L\; +\; 3Mx\}\; \{2\}\}\; p\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{L\; +\; 3Mx\}\; \{L-3Mx\}\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longrightarrow\; \backslash \; quad\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{LM\; \text{'}+\; L\text{'}M\}\; \{LM\text{'}-L\text{'}M\}\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\; \}$

Теорема Лемера. Пусть q и p - простые числа, $p\; =\; 1\; 4\; (L\; 2\; +\; 27\; M\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (L\; ^\; \{2\}\; +\; 27M\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$Тогда:

$[qp]\; 3\; =\; 1\; ⟺\; Q\; \mid \; LM\; или\; L\; \equiv \; \pm \; 9\; р\; 2\; U\; +\; 1\; M\; mod\; q,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; q\; \backslash \; mid\; LM\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; L\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{9r\}\; \{2u\; +\; 1\}\}\; M\; \{\backslash \; bmod\; \{q\}\},\}$

где

$u\; \not\equiv \; 0,\; 1,\; -\; 1\; 2,\; -\; 1\; 3\; mod\; q\; и\; 3\; u\; +\; 1\; \equiv \; r\; 2\; (3\; u\; -\; 3)\; mod\; q.\; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; \backslash \; не\; \backslash \; эквив\; 0,1,\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; bmod\; \{q\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{и\}\; \}\; \backslash \; quad\; 3u\; +\; 1\; \backslash \; Equiv\; r\; ^\; \{2\}\; (3u-3)\; \{\backslash \; bmod\; \{q\}\}.\}$

Обратите внимание, что первое условие подразумевает, что любое число, делящее L или M, является кубическим вычетом ( мод p).

Первые несколько примеров эквивалентны гипотезам Эйлера:

$[2\; p]\; 3\; =\; 1\; ⟺\; L\; \equiv \; M\; \equiv \; 0\; mod\; 2\; [3\; p]\; 3\; =\; 1\; ⟺\; M\; \equiv \; 0\; mod\; 3\; [\; 5\; p]\; 3\; =\; 1\; ⟺\; LM\; \equiv \; 0\; mod\; 5\; [7\; p]\; 3\; =\; 1\; ⟺\; LM\; \equiv \; 0\; mod\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; L\; \backslash \; Equ\; M\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; bmod\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; M\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; bmod\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; LM\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; bmod\; \{5\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; LM\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; bmod\; \{\; 7\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Поскольку очевидно, что L ≡ M (mod 2), критерий q = 2 можно упростить следующим образом:

$[2\; p]\; 3\; =\; 1\; ⟺\; M\; \equiv \; 0\; mod\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; M\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; bmod\; \{2\}\}.\}$

Теорема Мартине. Пусть p ≡ q ≡ 1 (mod 3) простые числа, $pq\; =\; 1\; 4\; (L\; 2\; +\; 27\; M\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; pq\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; (L\; ^\; \{2\}\; +\; 27M\; ^\; \{2\}).\}$Тогда

$[L\; p]\; 3\; [L\; q]\; 3\; Знак\; равно\; 1\; ⟺\; [qp]\; 3\; [pq]\; 3\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{3\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right\; ]\; \_\; \{3\}\; =\; 1.\}$

Теорема Шарифи. Пусть p = 1 + 3x + 9x простое число. Тогда любой делитель x является кубическим вычетом (mod p).

Предпосылки

В своей второй монографии о биквадратичной взаимности Гаусс говорит:

Теоремы о биквадратичности остатки сияют с величайшей простотой и подлинной красотой только тогда, когда область арифметики расширяется до мнимых чисел, так что числа формы a + bi без ограничений составляют объект изучения... такие числа целые комплексные числа . [жирным шрифтом в оригинале]

Эти числа теперь называются кольцом из целых гауссовских чисел, обозначаемых Z [i]. Обратите внимание, что i является корнем четвертой степени из 1.

В сноске он добавляет

Теория кубических вычетов должна быть аналогичным образом основана на рассмотрении чисел в форме a + bh, где h равно мнимый корень уравнения h = 1... и аналогично теория вычетов более высоких степеней приводит к введению других мнимых величин.

В своей первой монографии о кубической взаимности Эйзенштейн развил теорию чисел, построенную из кубический корень из единицы; теперь они называются кольцом целых чисел Эйзенштейна. Эйзенштейн сказал (перефразируя) «чтобы исследовать свойства этого кольца, нужно только обратиться к работе Гаусса по Z [i] и изменить доказательства». Это неудивительно, поскольку оба кольца являются уникальными областями факторизации..

«Другие мнимые величины», необходимые для «теории вычетов старших степеней», - это кольца целых чисел из поля циклотомических чисел ; целые числа Гаусса и Эйзенштейна являются простейшими примерами этого.

Факты и терминология

Пусть

$\omega \; =\; -\; 1\; +\; i\; 3\; 2\; =\; e\; 2\; \pi \; i\; 3,\; \omega \; 3\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; 1\; +\; i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \{2\}\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{3\}\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; omega\; ^\; \{3\}\; =\; 1.\}$

И рассмотрим кольцо целых чисел Эйзенштейна :

$Z\; [\omega ]\; =\; \{a\; +\; b\; \omega :\; a,\; b\; \in \; Z\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{a\; +\; b\; \backslash \; omega\; \backslash :\; \backslash \; a,\; b\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Это Евклидова область с функцией нормы, заданной следующим образом:

$N\; (a\; +\; b\; \omega )\; =\; a\; 2\; -\; ab\; +\; b\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (a\; +\; b\; \backslash \; omega)\; =\; a\; ^\; \{2\}\; -ab\; +\; b\; ^\; \{2\}.\}$

Обратите внимание, что норма всегда конгруэнтна 0 или 1 (mod 3).

Группа единиц в $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\}$(элементы с мультипликативным обратным или, что то же самое, с единичной нормой) является циклической группой корней шестой степени из единицы,

$\{\pm \; 1,\; \pm \; \omega ,\; \pm \; \omega \; 2\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; pm\; 1,\; \backslash \; pm\; \backslash \; omega,\; \backslash \; pm\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

$Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\}$- это уникальный домен факторизации. Простые числа делятся на три класса:

• 3 - частный случай:

$3\; =\; -\; \omega \; 2\; (1\; -\; \omega )\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; =\; -\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; (1-\; \backslash \; omega)\; ^\; \{2\}.\}$

Это единственное простое число в $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$делится на квадрат простого числа в $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\}$. Говорят, что простое число 3 разветвляет в $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\}$.

• Положительные простые числа в $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{\; Z\}\}$конгруэнтно 2 (mod 3) также являются простыми числами в $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\}$. Эти простые числа остаются инертными в $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\}$. Обратите внимание, что если $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$- любое инертное простое число, тогда:

$N\; (q)\; =\; q\; 2\; \equiv \; 1\; mod\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (q)\; =\; q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; bmod\; \{3\}\}.\}$

• Положительные простые числа в $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$конгруэнтно 1 (mod 3) - произведение двух сопряженных простых чисел в $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\}$. Считается, что эти простые числа разбивают на $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\}$. Их факторизация дается выражением:

$p\; =\; N\; (\pi )\; =\; N\; (\pi \; ¯)\; =\; \pi \; \pi \; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; N\; (\backslash \; pi)\; =\; N\; (\{\backslash \; overline\; \{\backslash \; pi\}\})\; =\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; pi\}\}.\}$

например,

$7\; =\; (3\; +\; \omega )\; (2\; -\; \omega ).\; \{\backslash \; displaystyle\; 7\; =\; (3+\; \backslash \; omega)\; (2-\; \backslash \; omega).\}$

Число является первичным, если оно взаимно просто с 3 и конгруэнтно обычному целому по модулю $(1\; -\; \omega )\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-\; \backslash \; omega)\; ^\; \{2\},\}$что означает то же самое, что сказать, что он конгруэнтен $\pm \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; 2\}$по модулю 3. Если $gcd\; (N\; (\lambda ),\; 3)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gcd\; (N\; (\backslash \; lambda),\; 3)\; =\; 1\}$один из $\lambda ,\; \omega \; \lambda ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda,\; \backslash \; omega\; \backslash \; lambda,\}$или $\omega \; 2\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; \backslash \; lambda\}$является первичным. Более того, произведение двух первичных чисел первично, и сопряжение первичного числа также первично.

Уникальная теорема факторизации для $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\}$: если $\lambda \; \ne \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; neq\; 0,\}$, тогда

$\lambda \; =\; \pm \; \omega \; \mu \; (1\; -\; \omega )\; \nu \; \pi \; 1\; \alpha \; 1\; \pi \; 2\; \alpha \; 2\; \pi \; 3\; \alpha \; 3\; \cdots ,\; \mu \; \in \; \{0,\; 1,\; 2\; \},\; \nu ,\; \alpha \; 1,\; \alpha \; 2,\dots \; ⩾\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; pm\; \backslash \; omega\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (1-\; \backslash \; omega)\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{3\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{3\}\}\; \backslash \; cdots,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mu\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,1,2\; \backslash \},\; \backslash \; quad\; \backslash \; nu,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\; \backslash \; geqslant\; 0\}$

, где каждый $\pi \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{i\}\}$- первичное (по определению Эйзенштейна) простое число. И это представление уникально в зависимости от порядка факторов.

Понятия конгруэнтности и наибольшего общего делителя определены таким же образом в $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega\; ]\}$как для обычных целых чисел $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$. Поскольку единицы делят все числа, сравнение по модулю $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$также истинно по модулю любого ассоциированного элемента $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$, и любой партнер НОД также является НОД.

Символ кубического остатка

Определение

Аналог маленькой теоремы Ферма верен в $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{\; Z\}\; [\backslash \; omega]\}$: если $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$не делится на простое число $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$,

$\alpha \; N\; (\pi )\; -\; 1\; \equiv \; 1\; по\; модулю\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; ^\; \{N\; (\backslash \; pi)\; -1\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; bmod\; \{\backslash \; pi\}\}.\}$

Теперь предположим, что $N\; (\pi )\; \ne \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; neq\; 3\}$так, чтобы $N\; (\pi )\; \equiv \; 1\; mod\; 3.\; \{\backslash \; Displaystyle\; N\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; bmod\; \{3\}\}.\}$Или иначе, $3\; \mid \; N\; (\pi )\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; mid\; N\; (\backslash \; пи)\; -1.\}$Тогда мы можем написать:

$\alpha \; N\; (\pi )\; -\; 1\; 3\; \equiv \; \omega \; k\; mod\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{N\; (\backslash \; pi)\; -\; 1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; omega\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; bmod\; \{\backslash \; pi\}\},\}$

для уникальной единицы $\omega \; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; ^\; \{k\}.\}$Эта единица измерения называется символом кубического остатка из $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$по модулю $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$и обозначается как

$(\alpha \; \pi )\; 3\; =\; \omega \; k\; \equiv \; \alpha \; N\; (\pi )\; -\; 1\; 3\; mod\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; omega\; ^\; \{k\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; alpha\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{N\; (\backslash \; pi)\; -1\}\; \{\; 3\}\}\; \{\backslash \; bmod\; \{\backslash \; pi\}\}.\}$

Свойства

Символ кубического остатка имеет формальные свойства, аналогичные свойствам символа Лежандра :

• Если $\alpha \; \equiv \; \beta \; mod\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; beta\; \{\backslash \; bmod\; \{\backslash \; pi\}\}\}$, затем $(\alpha \; \pi )\; 3\; =\; (\beta \; \pi )\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; beta\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}.\}$
• $(\alpha \; \beta \; \pi )\; 3\; =\; (\alpha \; \pi )\; 3\; (\beta \; \pi )\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; beta\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}.\}$
• $(\alpha \; \pi )\; 3\; ¯\; =\; (\alpha \; ¯\; \pi \; ¯)\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\},\}$, где черта обозначает комплексное сопряжение.
• Если $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$и $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$являются партнерами, тогда $(\alpha \; \pi )\; 3\; =\; (\alpha \; \theta )\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\; \}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}\}$
• Сравнение $x\; 3\; \equiv \; \alpha \; mod\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; bmod\; \{\backslash \; pi\}\}\}$имеет решение в $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\}$тогда и только тогда, когда $(\alpha \; \pi )\; 3\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}\; =\; 1.\}$
• Если $a,\; b\; \in \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$таковы, что $gcd\; (a,\; b)\; =\; gcd\; (b,\; 3)\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gcd\; (a,\; b)\; =\; \backslash \; gcd\; (b,\; 3)\; =\; 1,\}$, затем $(ab)\; 3\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{a\}\; \{b\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}\; =\; 1.\}$
• Кубический символ можно мультипликативно расширить до составных чисел (взаимно простых с 3) в "знаменателе" в том же Таким образом, символ Лежандра обобщен в символ Якоби. Подобно символу Якоби, если «знаменатель» кубического символа является составным, тогда, если «числитель» является кубическим остатком по модулю «знаменатель», символ будет равен 1, если символ не равен 1, то «числитель» является кубическим невычетом, но символ может быть равен 1, когда «числитель» не является вычетом:

$(\alpha \; \lambda )\; 3\; =\; (\alpha \; \pi \; 1)\; 3\; \alpha \; 1\; (\alpha \; \pi \; 2)\; 3\; \alpha \; 2\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; pi\; \_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; pi\; \_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{3\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots,\; \}$

где

$\lambda \; =\; \pi \; 1\; \alpha \; 1\; \pi \; 2\; \alpha \; 2\; \pi \; 3\; \alpha \; 3\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{3\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{3\}\}\; \backslash \; cdots\}$

Утверждение теоремы

Пусть α и β первичны. Тогда

$(\alpha \; \beta )\; 3\; =\; (\beta \; \alpha )\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; Bigg\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{\backslash \; Bigg)\}\; \_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; Bigg\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; Bigg)\}\; \_\; \{3\}.\}$

Существуют дополнительные теоремы для единиц и простого числа 1 - ω:

Пусть α = a + bω первично, a = 3m + 1 и b = 3n. (Если a ≡ 2 (mod 3) заменить α его ассоциированным −α; это не изменит значения кубических символов.) Тогда

$(\omega \; \alpha )\; 3\; =\; \omega \; 1\; -\; a\; -\; b\; 3\; =\; \omega \; -\; m\; -\; n,\; (1\; -\; \omega \; \alpha )\; 3\; =\; \omega \; a\; -\; 1\; 3\; =\; \omega \; m,\; (3\; \alpha )\; 3\; =\; \omega \; b\; 3\; =\; \omega \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; Bigg\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; Bigg)\}\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; omega\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1-ab\}\; \{3\}\}\; =\; \backslash \; omega\; ^\; \{\; -mn\},\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \{\backslash \; Bigg\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; omega\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; Bigg)\}\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; omega\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{a-1\}\; \{3\}\}\; =\; \backslash \; omega\; ^\; \{m\},\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \{\backslash \; Bigg\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; Bigg)\}\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; omega\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{3\}\}\; =\; \backslash \; omega\; ^\; \{n\}.\}$

.

• Квадратичная взаимность
• Четвертая взаимность
• Эйзенштейновская взаимность
• Артиновская взаимность

Ссылки на оригинальные статьи Эйлера, Якоби и Эйзенштейна были скопированы из библиографий Леммермейера и Кокса и не использовались при подготовке этой статьи.

Эйлер

• Эйлер, Леонард (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt, Комментарий. Арифмет. 2

На самом деле это было написано в 1748–1750 годах, но было опубликовано только посмертно; Это в томе V, стр. 182–283 книги

• Эйлер, Леонард (1911–1944), Opera Omnia, Series prima, Vols I – V, Leipzig Berlin: Teubner

Gauss

Две опубликованные Гауссом монографии по биквадратичной взаимности имеют последовательно пронумерованные разделы: первая содержит §§ 1–23, а вторая §§ 24–76. Сноски, относящиеся к ним, имеют форму «Gauss, BQ, § n». Сноски, относящиеся к Disquisitiones Arithmeticae, имеют форму «Gauss, DA, Art. N».

• Гаусс, Карл Фридрих (1828), Theoria резидуум biquadraticorum, Commentatio prima, Гёттинген: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 6

• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria резидуум biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Они находятся в Werke Гаусса, том II, стр. 65–92 и 93–148

Пятое и шестое доказательства квадратичной взаимности Гаусса содержатся в

• Gauss, Carl Friedrich ( 1818), Theoramatis foundationis in doctrina de резюмирует квадратичные демонстрации и усиление новых

Это в Werke Гаусса, том II, стр. 47–64

немецкие переводы всех трех из вышеперечисленных: также имеется Disquisitiones Arithmeticae и другие работы Гаусса по теории чисел.

• Гаусс, Карл Фридрих; Мазер, Х. (переводчик на немецкий язык) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae и другие статьи по теории чисел) (второе издание), Нью-Йорк: Челси, ISBN 0-8284 -0191-8

Эйзенштейн

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1844), Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzenine Zahlen, J. Математика. 27, pp. 289–310 (журнал Crelle)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1844), Nachtrag zum cubischen Reciprocitätssatzes für die aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen, Criterien der Zahischen Characters and J. Zahthold Рейн Энгью. Математика. 28, стр. 28–35 (журнал Crelle)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1845), Application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante, J. Reine Angew. Математика. 29 с. 177–184 (Журнал Крелля)

Все эти документы находятся в томе I его Werke.

Якоби

• Якоби, Карл Густав Якоб (1827 г.), De резюмируемый кубический комментарий числовой, Дж. Рейне Энгью. Математика. 2 стр. 66–69 (журнал Crelle)

Это находится в томе VI его Werke

Современные авторы

• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа формы x + ny, New Йорк: Wiley, ISBN 0-471-50654-0

• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание), Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-97329-X

• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна, Берлин: Springer, ISBN 3-540-66957-4

• Вайсштейн, Эрик В. «Кубическая теорема взаимности». MathWorld.