Войти
В теории чисел циклотомическое поле является числовым полем, полученный путем присоединения комплексного первообразного корня из единицы к Q, полю рациональных чисел. N-е круговое поле Q(ζn) (где n>2) получается путем присоединения примитивного n-го корня из единицы ζnк рациональным числам.
Круговые поля сыграли решающую роль в развитии современной алгебры и теории чисел из-за их связи с последней теоремой Ферма. Это было в процессе его глубоких исследований арифметики этих полей (для простого n) - а точнее, из-за неудачной уникальной факторизации в их кольцах. целых чисел - что Эрнст Куммер первым ввел понятие идеального числа и доказал свои знаменитые сравнения.
Круговое поле - это поле расщепления циклотомического многочлена
и, следовательно, это расширение Галуа поля рациональных чисел. Степень расширения
определяется выражением φ (n), где φ - фи-функция Эйлера. Полный набор конъюгатов Галуа задается формулой {(ζ n)}, где a пробегает множество обратимых вычетов по модулю n (так что a взаимно простое с n). Группа Галуа естественно изоморфна мультипликативной группе
обратимых вычетов по модулю n, и она действует на примитивные корни n-й степени из единицы по формуле
Дискриминант расширения равен
где 
Кольцо целых чисел кругового поля Q(ζn) равно Z[ζn].
Гаусс сделал первые шаги в теории круговых полей в связи с геометрической проблемой построения правильного n-угольника с циркулем и линейкой. Его удивительный результат, который ускользнул от его предшественников, заключался в том, что таким образом мог быть построен правильный семиугольник (с 17 сторонами). В более общем смысле, если p - простое число, то правильный p-угольник может быть построен тогда и только тогда, когда p является простым числом Ферма ; другими словами, если 
Для n = 3 и n = 6 первообразные корни из единицы допускают простое выражение через квадратный корень из трех, а именно:
Следовательно, оба соответствующих круговых поля идентичны квадратичному полю Q(√ − 3). В случае ζ 4 = i = √ − 1 тождество Q(ζ4) квадратичному полю еще более очевидно. Однако это не так для n = 5, потому что для выражения корней пятой степени из единицы требуются квадратные корни из выражений квадратного корня или квадратичное расширение квадратичного расширения. Геометрическая проблема для общего n может быть сведена к следующему вопросу в теории Галуа : может ли n-е круговое поле быть построено как последовательность квадратичных расширений?
Естественный подход к доказательству Великой теоремы Ферма состоит в том, чтобы разложить на множители бином x + y, где n - нечетное простое число, появляющееся в одной части уравнения Ферма
следующим образом:
Здесь x и y - обычные целые числа, тогда как множители - алгебраические целые числа в круговом поле Q(ζn). Если бы уникальная факторизация алгебраических целых чисел была истинной, то ее можно было бы использовать для исключения существования нетривиальных решений уравнения Ферма.
Несколько попыток разобраться в Великой теореме Ферма были проделаны в этом направлении, и как доказательство Ферма для n = 4, так и доказательство Эйлера для n = 3 могут быть переработаны в этих терминах. Полный список n, для которого поле имеет уникальную факторизацию:
Куммер нашел способ обойти эту трудность. Он ввел замену простых чисел в круговом поле Q(ζp), выразил неудачу уникальной факторизации количественно через номер класса hpи доказал, что если h p не делится на p (такие числа p называются регулярными простыми числами ), то теорема Ферма верна для показателя n = p. Кроме того, он дал критерий для определения того, какие простые числа являются правильными, и, используя его, установил теорему Ферма для всех простых показателей p меньше 100, за исключением нерегулярных простых чисел 37, 59 и 67. Работа Куммера по сравнениям для чисел классов круговых полей была обобщена в двадцатом веке Ивасавой в теории Ивасавы и Куботой и Леопольдтом в их теории p-адических дзета-функции.
(последовательность A061653 в OEIS ) или OEIS : A055513 или OEIS : A000927 для 
