Индекс подгруппы

редактировать

В математике, в частности теории групп, индекс подгруппы H в группе G - это количество левых смежных классов группы H в G, или, что эквивалентно, количество правых смежных классов группы H в G. Индекс обозначается $| G: H | {\ displaystyle | G: H |}$ ${\ displaystyle | G: H |}$ или $[G: H] {\ displaystyle [G: H]}$ ${\ displaystyle [G: H]}$ или $(G: H) {\ displaystyle (G: H)}$ ${\ displaystyle (G: H)}$ . Поскольку G является непересекающимся объединением левых смежных классов и поскольку каждый левый смежный класс имеет тот же размер , что и H, индекс связан с порядками двух групп по формуле

| G | = | G: H | | H | {\ displaystyle | G | = | G: H || H |}

{\ displaystyle | G | = | G: H || H |}

(интерпретируйте величины как кардинальные числа, если некоторые из них бесконечны). Таким образом, индекс $| G: H | {\ displaystyle | G: H |}$ ${\ displaystyle | G: H |}$ измеряет «относительные размеры» G и H.

Например, пусть $G = Z {\ displaystyle G = \ mathbb { Z}}$ ${\ displaystyle G = \ mathbb {Z}}$ будет группой целых чисел под сложением, и пусть $H = 2 Z {\ displaystyle H = 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle H = 2 \ mathbb {Z}}$ - подгруппа, состоящая из четных целых чисел. Тогда $2 Z {\ displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$ имеет два смежных класса в $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , а именно набор четные целые числа и набор нечетных целых чисел, поэтому индекс $| Z: 2 Z | {\ displaystyle | \ mathbb {Z}: 2 \ mathbb {Z} |}$ ${\ displaystyle | \ mathbb {Z}: 2 \ mathbb {Z} |}$ равно 2. В общем, $| Z: n Z | = n {\ displaystyle | \ mathbb {Z}: n \ mathbb {Z} | = n}$ ${\ displaystyle | \ mathbb {Z}: n \ mathbb {Z} | = n}$ для любого положительного целого числа n.

Когда G равно конечному, формула может быть записана как $| G: H | = | G | / | H | {\ displaystyle | G: H | = | G | / | H |}$ ${\ displaystyle | G: H | = | G | / | H |}$ , и из этого следует теорема Лагранжа, что $| H | {\ displaystyle | H |}$ $| H |$ делит $| G | {\ displaystyle | G |}$ $| G |$ .

Когда G бесконечно, $| G: H | {\ displaystyle | G: H |}$ ${\ displaystyle | G: H |}$ - ненулевое кардинальное число, которое может быть конечным или бесконечным. Например, $| Z: 2 Z | = 2 {\ displaystyle | \ mathbb {Z}: 2 \ mathbb {Z} | = 2}$ ${\ displaystyle | \ mathbb {Z}: 2 \ mathbb {Z} | = 2}$ , но $| R: Z | {\ displaystyle | \ mathbb {R}: \ mathbb {Z} |}$ ${\ displaystyle | \ mathbb {R}: \ mathbb {Z} |}$ бесконечно.

Если N является нормальной подгруппой группы G, то $| G: N | {\ displaystyle | G: N |}$ ${\ displaystyle | G: N |}$ равен порядку факторгруппы $G / N {\ displaystyle G / N}$ $G / N$ , поскольку базовый набор $G / N {\ displaystyle G / N}$ $G / N$ является набором смежных классов N в G.

Содержание

1 Свойства
2 Примеры
3 Бесконечный индекс
4 Конечный индекс
- 4.1 Примеры
5 Нормальные подгруппы индекса степени простого числа
- 5.1 Геометрическая структура
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Свойства

Если H - подгруппа в G, а K - подгруппа в H, то

| G: K | = | G: H | | H: K |. {\ displaystyle | G: K | = | G: H | \, | H: K |.}

| G: K | = | G: H | \, | H: K |.

Если H и K являются подгруппами G, то

| G: H ∩ K | ≤ | G: H | | G: K |, {\ displaystyle | G: H \ cap K | \ leq | G: H | \, | G: K |,}

| G: H \ cap K | \ le | G: H | \, | G: K |,

с равенством, если

HK = G {\ displaystyle HK = G}

{\ displaystyle HK = G}

. (Если

| G: H ∩ K | {\ displaystyle | G: H \ cap K |}

{\ displaystyle | G: H \ cap K | }

конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда

HK = G {\ displaystyle HK = G}

{\ displaystyle HK = G}

Эквивалентно, если H и K являются подгруппами G, то

| H: H ∩ K | ≤ | G: K |, {\ displaystyle | H: H \ cap K | \ leq | G : K |,}

| H: H \ cap K | \ le | G: K |,

с равенством, если

HK = G {\ displaystyle HK = G}

{\ displaystyle HK = G}

. (Если

| H: H ∩ K | {\ displaystyle | H: H \ cap K |}

{\ displaystyle | H: H \ cap K |}

конечно, тогда равенство выполняется тогда и только тогда, когда

HK = G {\ displaystyle HK = G}

{\ displaystyle HK = G}

Если G и H группы и $φ: G → H {\ displaystyle \ varphi \ двоеточие G \ to H}$ ${\ displaystyle \ varphi \ двоеточие G \ to H}$ - это гомоморфизм, тогда индекс ядра из $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ в G соответствует порядку изображения:

| G: ker φ | = | im φ |. {\ displaystyle | G: \ operatorname {ker} \; \ varphi | = | \ operatorname {im} \; \ varphi |.}

| G: \ operatorname {ker} \; \ varphi | = | \ operatorname {im} \; \ varphi |.

Пусть G - группа , действующая на множестве X, и пусть x ∈ X. Тогда мощность на орбите x под G равна индексу стабилизатор of x:

| G x | = | G: G x |. {\ displaystyle | Gx | = | G: G_ {x} |. \!}

| Gx | = | G: G_x |. \!

Это известно как теорема о стабилизаторе орбиты.

Как частный случай теоремы о стабилизаторе орбиты, число из спрягает $gxg - 1 {\ displaystyle gxg ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle gxg ^ {- 1}}$ элемента $x ∈ G {\ displaystyle x \ in G}$ $x \ in G$ равно индексу централизатора x в G.
Аналогично, количество конъюгатов $g H g - 1 {\ displaystyle gHg ^ {- 1 }}$ ${\ displaystyle gHg ^ {- 1}}$ подгруппы H в G равен индексу нормализатора H в G.
Если H является подгруппой G, индекс нормальное ядро H удовлетворяет следующему неравенству:

| G: Core ⁡ (H) | ≤ | G: H | ! {\ displaystyle | G: \ operatorname {Core} (H) | \ leq | G: H |!}

| G: \ operatorname {Core} (H) | \ le | G: H |!

где! обозначает функцию факториала ; это обсуждается далее ниже.

Как следствие, если индекс H в G равен 2 или для конечной группы наименьшее простое число p, которое делит порядок группы G, то H является нормальным, как индекс его ядро также должно быть p, и, следовательно, H равно его ядру, то есть это нормально.
Обратите внимание, что подгруппа с наименьшим индексом простого числа может не существовать, например, в любой простой группе непростого порядка или, в более общем смысле, любая совершенная группа.

Примеры

переменная группа $A n {\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ имеет индекс 2 в симметричной группе $S n, {\ displaystyle S_ {n},}$ $S_n,$ и, таким образом, является нормальным.
Специальное значение ортогональная группа $SO ⁡ (n) {\ displaystyle \ operatorname {SO} (n)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SO} (n)}$ имеет индекс 2 в ортогональной группе $O ⁡ ( n) {\ displaystyle \ operatorname {O} (n)}$ $\ operatorname {O} (n)$ , поэтому это нормально.
свободная абелева группа $Z ⊕ Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$ имеет три подгруппы индекса 2, а именно

{(x, y) ∣ x четно}, {(x, y) ∣ y четно} и {(x, y) ∣ x + y четно} {\ displaystyle \ {(x, y) \ mid x {\ text {четно}} \}, \ quad \ {(x, y) \ mid y {\ text {четно}} \}, \ quad {\ text {and}} \ quad \ {(x, y) \ mid x + y {\ text {четно}} \}}

\ {(x, y) \ mid x \ text {четно} \}, \ quad \ {(x, y) \ mid y \ text {четно} \}, \ quad \ text {и} \ quad \ {(x, y) \ mid x + y \ text {четно} \}

В более общем смысле, если p равно prime, то $Z n {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$ $\ mathbb {Z} ^ {n}$ имеет $(pn - 1) / (p - 1) {\ displaystyle (p ^ {n} -1) / (p-1)}$ ${\ displaystyle (p ^ {n} -1) / (p-1)}$ подгруппы индекса p, соответствующие $(pn - 1) {\ displaystyle (p ^ {n} -1)}$ ${\ displaystyle (p ^ {n} -1)}$ нетривиальным гомоморфизмам $Z n → Z / p Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n} \ to \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n} \ to \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ .
Аналогично, свободная группа $F n {\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ имеет $(pn - 1) {\ displaystyle (p ^ {n} -1)}$ ${\ displaystyle (p ^ {n} -1)}$ подгруппы индекса p.
бесконечная двугранная группа имеет циклическую подгруппу индекса 2, что обязательно нормально.

Бесконечный индекс

Если H имеет бесконечное число смежных классов в G, то индекс H в G называется бесконечным. В этом случае индекс $| G: H | {\ displaystyle | G: H |}$ ${\ displaystyle | G: H |}$ на самом деле кардинальное число. Например, индекс H в G может быть счетным или несчетным, в зависимости от того, имеет ли H счетное количество смежных классов в G. Обратите внимание, что индекс H не превышает порядок группы G, который реализуется для тривиальной подгруппы, или фактически любой подгруппы H бесконечной мощности меньше, чем у G.

Конечный индекс

Бесконечная группа G может иметь подгруппы H конечный индекс (например, четные числа внутри группы целых чисел). Такая подгруппа всегда содержит нормальную подгруппу N (группы G), также конечного индекса. Фактически, если H имеет индекс n, то индекс N можно принять как некоторый множитель n !; действительно, N можно рассматривать как ядро естественного гомоморфизма из G в группу перестановок левых (или правых) смежных классов H.

Частный случай, n = 2, дает общий результат, что подгруппа с индексом 2 является нормальной подгруппой, потому что нормальная подгруппа (N выше) должна иметь индекс 2 и, следовательно, быть идентична исходной подгруппе. В более общем смысле, подгруппа индекса p, где p - наименьший простой фактор порядка группы G (если G конечна), обязательно нормальна, поскольку индекс группы N делит p! и, следовательно, должен быть равен p, не имея других простых множителей.

Альтернативное доказательство того, что подгруппа с наименьшим простым индексом p является нормальной, а другие свойства подгрупп с простым индексом приведены в (Lam 2004).

Примеры

Приведенные выше соображения справедливы также для конечных групп. Например, группа O хиральной октаэдрической симметрии имеет 24 элемента. В ней есть подгруппа диэдра D4(на самом деле она имеет три таких) порядка 8 и, следовательно, индекса 3 в O, которую мы назовем H. Эта группа диэдра имеет 4- член D 2 подгруппа, которую мы можем назвать A. Умножение справа любого элемента правого смежного класса H на элемент A дает член того же самого смежного класса H (Hca = Hc). A - это нормально в O . Есть шесть смежных классов A, соответствующих шести элементам симметрической группы S3. Все элементы из любого конкретного смежного класса A выполняют одну и ту же перестановку смежных классов H.

С другой стороны, группа T h с пиритоэдрической симметрией также имеет 24 члена и подгруппа индекса 3 (на этот раз это группа призматической симметрии D 2h, см. точечные группы в трех измерениях ), но в этом случае вся подгруппа является нормальной подгруппой. Все члены конкретного смежного класса выполняют одну и ту же перестановку этих смежных классов, но в этом случае они представляют только 3-элементную переменную группу в 6-членной симметричной группе S 3.

Нормальные подгруппы индекса простой степени

Нормальные подгруппы индекса простой степени являются ядрами сюръективных отображений в p-группы и имеют интересную структуру, как описано в теореме о фокальной подгруппе: подгруппы и подробно изложены в теореме о фокальной подгруппе.

Существует три важных нормальных подгруппы с индексом простой степени, каждая из которых является самой маленькой нормальной подгруппой в определенном классе:

E(G) - пересечение всех нормальных подгрупп индекса p; G / E (G) - это элементарная абелева группа, и это самая большая элементарная абелева p-группа, на которую G сюрпризирует.
A(G) - это пересечение всех нормальных подгруппы K такие, что G / K является абелевой p-группой (т. е. K является индексом $pk {\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ нормальная подгруппа, содержащая производную группу $[ G, G] {\ displaystyle [G, G]}$ $[G, G]$ ): G / A (G) - наибольшая абелева p-группа (не обязательно элементарная), на которую G сюрпризирует.
O(G) - это пересечение всех нормальных подгрупп K группы G, таких что G / K является (возможно, неабелевой) p-группой (т. Е. K является индексом $pk {\ displaystyle p ^ {k }}$ $p ^ {k}$ нормальная подгруппа): G / O (G) - самая большая p-группа (не обязательно абелева), на которую G сюрпризирует. O (G) также известна как p-остаточная подгруппа .

Поскольку это более слабые условия на группы K, мы получаем включения

E p (G) ⊇ A p (G) ⊇ O p (G). {\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {p} (G) \ supseteq \ mathbf {A} ^ {p} (G) \ supseteq \ mathbf {O} ^ {p} (G).}

\ mathbf {E} ^ p (G) \ supseteq \ mathbf {A} ^ p (G) \ supseteq \ mathbf {O} ^ p (G).

Эти группы имеют важные связи с силовскими подгруппами и гомоморфизмом переноса, как там обсуждается.

Геометрическая структура

Элементарное наблюдение состоит в том, что нельзя иметь ровно 2 подгруппы с индексом 2, поскольку дополнение их симметричной разности дает третий. Это простое следствие приведенного выше обсуждения (а именно проективизация структуры векторного пространства элементарной абелевой группы

G / E p (G) ≅ (Z / p) k {\ displaystyle G / \ mathbf {E} ^ {p} (G) \ cong (\ mathbf {Z} / p) ^ {k}}

G / \ mathbf {E} ^ p (G) \ cong (\ mathbf {Z} / p) ^ k

и далее, G не влияет на эту геометрию и не отражает какую-либо неабелеву структуру (в в обоих случаях, потому что фактор абелев).

Однако это элементарный результат, который конкретно можно увидеть следующим образом: множество нормальных подгрупп с заданным индексом p образуют проективное пространство, а именно проективное пространство

P (Hom ⁡ (G, Z / p)). {\ displaystyle \ mathbf {P} (\ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z} / p)).

\ mathbf {P} (\ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z} / p)).

Подробно, пространство гомоморфизмов из G в (циклическую) группу порядка p, $Hom ⁡ (G, Z / p), {\ displaystyle \ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z } / p),}$ $\ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z} / p),$ - векторное пространство над конечным полем $F p = Z / p. {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p} = \ mathbf {Z} / p.}$ $\ mathbf {F} _p = \ mathbf {Z} / p.$ Не- тривиальная такая карта имеет в качестве ядра нормальную подгруппу индекса p и умножение карты на элемент $(Z / p) × {\ displaystyle (\ mathbf {Z} / p) ^ {\ times}}$ $(\ mathbf {Z} / p) ^ \ times$ (ненулевое число по модулю p) не изменяет ядро; таким образом, можно получить карту из

P (Hom ⁡ (G, Z / p)): = (Hom ⁡ (G, Z / p)) ∖ {0}) / (Z / p) × {\ displaystyle \ mathbf {P} (\ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z} / p)): = (\ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z} / p)) \ setminus \ {0 \}) / (\ mathbf {Z} / p) ^ {\ times}}

\ mathbf {P} (\ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z} / p)): = (\ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z} / p)) \ setminus \ {0 \}) / (\ mathbf {Z} / p) ^ \ times

в нормальные подгруппы индекса p. И наоборот, нормальная подгруппа индекса p определяет нетривиальное отображение в $Z / p {\ displaystyle \ mathbf {Z} / p}$ $\ mathbf {Z} / p$ с точностью до выбора ", который сопоставляется с $1 ∈ Z / p, {\ displaystyle 1 \ in \ mathbf {Z} / p,}$ $1 \ in \ mathbf {Z} / p,$ , что показывает, что эта карта является биекцией.

Как следствие, количество нормальные подгруппы индекса p равны

(pk + 1-1) / (p - 1) = 1 + p + ⋯ + pk {\ displaystyle (p ^ {k + 1} -1) / (p-1) = 1 + p + \ cdots + p ^ {k}}

(p ^ {k + 1} -1) / (p -1) = 1 + p + \ cdots + p ^ k

для некоторого k; $k = - 1 {\ displaystyle k = -1}$ $k = - 1$ не соответствует нормальным подгруппам индекса p. Далее, учитывая две различные нормальные подгруппы индекса p, получается проективная линия, состоящая из $p + 1 {\ displaystyle p + 1}$ $p + 1$ таких подгрупп.

Для $p = 2, {\ displaystyle p = 2,}$ $p = 2,$ симметричная разность двух различных подгрупп индекса 2 (которые обязательно нормальны) дает третий балл проективная линия, содержащая эти подгруппы, а группа должна содержать $0, 1, 3, 7, 15,… {\ displaystyle 0,1,3,7,15, \ ldots}$ $0,1,3,7,15, \ ldots$ подгруппы индекса 2 - например, он не может содержать ровно 2 или 4 подгруппы индекса 2.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки