Кольцо (математика)

редактировать

Алгебраическая структура со сложением и умножением

В математике, a кольцо - одна из фундаментальных алгебраических структур, используемых в абстрактной алгебре. Он состоит из набора , снабженного двумя двоичными операциями, которые обобщают арифметические операции сложения и умножения. Благодаря этому обобщению теоремы из арифметики распространяются на нечисловые объекты, такие как полиномы, серии, матрицы и функции..

Кольцо - это абелева группа со второй бинарной операцией, которая является ассоциативной, является дистрибутивной по отношению к абелевой групповой операции и имеет элемент идентичности (это последнее свойство не требуется некоторыми авторами, см. § Примечания к определению). В расширении от целых чисел операция абелевой группы называется сложением, а вторая бинарная операция называется умножением.

Независимо от того, является ли кольцо коммутативным (то есть, изменяет ли результат порядок, в котором перемножаются два элемента), имеет большое значение его поведение как абстрактного объекта. В результате теория коммутативных колец, широко известная как коммутативная алгебра, является ключевой темой в теории колец. На его развитие большое влияние оказали проблемы и идеи, естественным образом возникающие в теории алгебраических чисел и алгебраической геометрии. Примеры коммутативных колец включают в себя набор целых чисел, снабженный операциями сложения и умножения, набор многочленов, снабженный их сложением и умножением, координатное кольцо аффинной алгебраической системы . разновидность и кольцо целых чисел числового поля. Примеры некоммутативных колец включают кольцо n × n вещественных квадратных матриц с n ≥ 2, групповые кольца в теории представлений, операторные алгебры в функциональном анализе, кольца дифференциальных операторов в теории дифференциальных операторов и кольцо когомологий топологической пространство в топологии.

Концептуализация колец началась в 1870-х годах и завершилась в 1920-х годах. Ключевые участники включают Дедекинд, Гильберт, Френкель и Нётер. Кольца были впервые формализованы как обобщение дедекиндовских областей, которые встречаются в теории чисел, и колец многочленов и колец инвариантов, которые встречаются в алгебраической геометрии и теория инвариантов. Впоследствии они также оказались полезными в других разделах математики, таких как геометрия и математический анализ.

Содержание

1 Определение и иллюстрация
- 1.1 Определение
- 1.2 Примечания к определение
- 1.3 Основные свойства
- 1.4 Пример: целые числа по модулю 4
- 1.5 Пример: матрицы 2 на 2
2 История
- 2.1 Дедекинд
- 2.2 Гильберт
- 2.3 Френкель и Noether
- 2.4 Мультипликативная идентичность: обязательная и необязательная
3 Основные примеры
- 3.1 Коммутативные кольца
- 3.2 Некоммутативные кольца
- 3.3 Некольца
4 Основные концепции
- 4.1 Элементы в кольцо
- 4.2 Подкольцо
- 4.3 Идеал
- 4.4 Гомоморфизм
- 4.5 Факторное кольцо
5 Модуль
6 Конструкции
- 6.1 Прямое произведение
- 6.2 Полиномиальное кольцо
- 6.3 Матричное кольцо и кольцо эндоморфизма
- 6.4 Пределы и копределы колец
- 6.5 Локализация
- 6.6 Завершение
- 6.7 Кольца с образующими и отношениями
7 Особые виды колец
- 7.1 Домены
- 7.2 Деление кольцо
- 7.3 Полупростые кольца
- 7.4 Центральная простая алгебра и группа Брауэра
- 7.5 Кольцо нормирования
8 Кольца с дополнительной структурой
9 Некоторые примеры повсеместности колец
- 9.1 Кольцо когомологий некоторого топологическое пространство
- 9.2 Кольцо Бернсайда группы
- 9.3 Кольцо представлений группового кольца
- 9.4 Функциональное поле неприводимого алгебраического многообразия
- 9.5 Кольцо граней симплициального комплекса
10 Теоретико-категориальное описание
11 Обобщение
- 11.1 Rng
- 11.2 Неассоциативное кольцо
- 11.3 Полукольцо
12 Другие кольцевые объекты
- 12.1 Кольцевой объект в категории
- 12.2 Кольцевая схема
- 12.3 Кольцо спектр
13 См. также
14 Примечания
15 Цитаты
16 Ссылки
- 16.1 Общие ссылки
- 16.2 Специальные ссылки
- 16.3 Первичные источники
- 16.4 Исторические ссылки

Определение и иллюстрация

целые числа, вместе с двумя операциями сложения и умножения, образуют прототипный пример ex обильное кольцо.

Наиболее знакомым примером кольца является набор всех целых чисел, $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , состоящий из чисел

…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

Знакомые свойства для сложения и умножения целых чисел служат моделью для аксиомы для колец.

Определение

A кольцо - это набор R, снабженный двумя бинарными операциями + и ·, удовлетворяющий следующим трем наборам аксиом, называемым аксиомы кольца

R является абелевой группой при сложении, что означает, что:
- (a + b) + c = a + (b + c) для всех a, b, c в R (то есть + является ассоциативным ).
- a + b = b + a для всех a, b в R (то есть + является коммутативным ).
- В R есть элемент 0 такое, что a + 0 = a для всех a в R (то есть 0 является аддитивным тождеством ).
- Для каждого a в R существует −a в R такое, что a + (−a) = 0 (что равно, −a является аддитивным обратным к a).
R является моноидом при умножении, что означает, что:
- (a · b) · c = a · (b · c) для всех a, b, c в R (т.е. · является ассоциативным).
- В R существует элемент 1 такой, что a · 1 = a и 1 · a = a для всех a в R (то есть, 1 является мультипликативным тождеством ).
Умножение является дистрибутивным по отношению к сложению, что означает, что :
- a ⋅ (b + c) = (a · b) + (a · c) для всех a, b, c в R (левая дистрибутивность).
- (b + c) · A = (b · a) + (c · a) для всех a, b, c в R (правая дистрибутивность).

Примечания к определению

Как объяснено в § История ниже, многие авторы следуют альтернативному соглашению, в котором кольцо не определяется как имеющее мультипликативную идентичность. В этой статье принято соглашение, согласно которому, если не указано иное, предполагается, что кольцо имеет такую идентификацию. Авторы, которые следуют этому соглашению, иногда ссылаются на структуру, удовлетворяющую всем аксиомам, за исключением требования, что существует мультипликативный элемент идентичности, как rng (обычно произносится как звено), а иногда как псевдокольцо. Например, набор четных целых чисел с обычными + и ⋅ является rng, но не кольцом.

Операции + и ⋅ называются сложением и умножением соответственно. Символ умножения ⋅ обычно опускается; например, xy означает x ⋅ y.

Хотя сложение колец является коммутативным, умножение колец не обязательно должно быть коммутативным: ab не обязательно должно быть равно ba. Кольца, которые также удовлетворяют коммутативности для умножения (например, кольцо целых чисел), называются коммутативными кольцами. Книги по коммутативной алгебре или алгебраической геометрии часто принимают соглашение, что кольцо означает коммутативное кольцо, для упрощения терминологии.

В кольце мультипликативные инверсии не обязательны. Не нулевое коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, называется полем.

Аддитивная группа кольца - это кольцо, снабженное только структурой сложения. Хотя определение предполагает, что аддитивная группа абелева, это можно вывести из других аксиом кольца. Доказательство использует "1", поэтому не работает в группе. (В случае rng удаление предположения о коммутативности сложения оставляет его выводимым (из оставшихся предположений rng) для элементов, которые являются продуктами: ab + cd = cd + ab.)

Некоторые авторы определяют кольцо без требование ассоциативности для умножения. Для них каждая алгебра - кольцо.

Основные свойства

Некоторые основные свойства кольца непосредственно следуют из аксиом:

Аддитивная идентичность, аддитивная инверсия каждого элемента и мультипликативная идентичность уникальны.
Для любого элемента x в кольце R один имеет x0 = 0 = 0x (ноль является поглощающим элементом относительно умножения) и (–1) x = –x.
Если 0 = 1 в кольце R (или, в более общем смысле, 0 является единичным элементом), тогда R имеет только один элемент и называется нулевым кольцом.
биномиальной формулой выполняется для любой коммутирующей пары элементов (то есть любых x и y таких, что xy = yx).

Пример: целые числа по модулю 4

Оборудовать набор $Z 4 = {0 ¯, 1 ¯, 2 ¯, 3 ¯} {\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {4} = \ left \ {{\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {2}}, { \ overline {3}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {4} = \ left \ {{\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {2}}, {\ overline {3}} \ right \}}$ со следующими операциями:

Сумма $x ¯ + y ¯ {\ displaystyle {\ overline {x}} + {\ overline { y}}}$ ${\ overline {x}} + {\ overline {y}}$ в Z4- это остаток, когда целое число x + y равно делится на 4 (поскольку x + y всегда меньше 8, остаток равен x + y или x + y - 4). Например, $2 ¯ + 3 ¯ = 1 ¯ {\ displaystyle {\ overline {2}} + {\ overline {3}} = {\ overline {1}}}$ ${\ overline {2}} + {\ overline {3}} = {\ overline {1}}$ и $3 ¯ + 3 ¯ = 2 ¯ {\ displaystyle {\ overline {3}} + {\ overline {3}} = {\ overline {2}}}$ ${\ overline {3}} + {\ overline {3}} = {\ overline {2}}$ .
Продукт $x ¯ ⋅ y ¯ { \ displaystyle {\ overline {x}} \ cdot {\ overline {y}}}$ ${\ overline {x}} \ cdot {\ overline {y}}$ в Z4- это остаток от деления целого числа xy на 4. Например, $2 ¯ ⋅ 3 ¯ = 2 ¯ {\ displaystyle {\ overline {2}} \ cdot {\ overline {3}} = {\ overline {2}}}$ ${\ overline {2}} \ cdot {\ overline {3}} = {\ overline {2}}$ и $3 ¯ ⋅ 3 ¯ = 1 ¯ {\ displaystyle {\ overline {3}} \ cdot {\ overline {3}} = {\ overline {1}}}$ ${\ overline {3}} \ cdot {\ overline {3}} = {\ overline {1}}$ .

Тогда Z4- кольцо: каждая аксиома следует из соответствующей аксиомы для Z . Если x является целым числом, остаток от x при делении на 4 можно рассматривать как элемент Z4, и этот элемент часто обозначается как «x mod 4» или $x ¯ {\ displaystyle {\ overline { x}}}$ ${\ overline {x}}$ , что согласуется с обозначением для 0, 1, 2, 3. Аддитивное обратное значение любого $x ¯ {\ displaystyle {\ overline {x}}}$ ${\ overline {x}}$ в Z4- это $- x ¯ {\ displaystyle {\ overline {-x}}}$ ${\ overline {-x}}$ . Например, $- 3 ¯ = - 3 ¯ = 1 ¯. {\ displaystyle - {\ overline {3}} = {\ overline {-3}} = {\ overline {1}}.}$ ${\ displaystyle - {\ overline {3}} = {\ overline {-3}} = {\ overline {1 }}.}$

Пример: матрицы 2 на 2

Набор 2 на 2 матрицы с вещественным числом записываются как

M 2 (R) = {(abcd) | a, b, c, d ∈ R}. {\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {2} (\ mathbb {R}) = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} a b \\ c d \ end {pmatrix}} \ right | \ a, b, c, d \ in \ mathbb {R} \ right \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {2} (\ mathbb {R}) = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} a b \\ c d \ end { pmatrix}} \ right | \ a, b, c, d \ in \ mathbb {R} \ right \}.}

С операциями сложения матриц и умножения матриц этот набор удовлетворяет указанным выше аксиомам кольца. Элемент $(1 0 0 1) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}}$ является мультипликативным тождеством кольца. Если $A = (0 1 1 0) {\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {pmatrix}}}$ $A = {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {pmatrix}}$ и $B = (0 1 0 0) {\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \ end {pmatrix}}}$ , затем $AB = (0 0 0 1) {\ displaystyle AB = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle AB = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}}}$ , а $BA = (1 0 0 0) {\ displaystyle BA = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle BA = {\ begin {pmatrix } 1 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}}}$ ; этот пример показывает, что кольцо некоммутативно.

В более общем смысле, для любого кольца R, коммутативного или нет, и любого неотрицательного целого числа n, можно сформировать кольцо матриц размером n на n с элементами R: см. Кольцо матриц.

История

Ричард Дедекинд, один из основоположников теории колец.

Дедекинд

Изучение колец берет свое начало от теории полиномиальных колец и теории из целых алгебраических чисел. В 1871 году Ричард Дедекинд определил понятие кольца целых чисел числового поля. В этом контексте он ввел термины «идеальный» (вдохновленный идеальным числом Эрнста Куммера ) и «модуль» и изучил их свойства. Но Дедекинд не использовал термин «кольцо» и не определял понятие кольца в общем контексте.

Гильберт

Термин «Цальринг» (числовое кольцо) был введен Дэвидом Гильбертом в 1892 году и опубликован в 1897 году. В немецком языке XIX века слово «кольцо» может означать «ассоциация», которая до сих пор используется в английском языке в ограниченном смысле (например, шпионская сеть), поэтому, если бы это была этимология, то это было бы похоже на то, как «группа» вошла в математику, будучи нетехнической слово для «собрания связанных вещей». По словам Харви Кона, Гильберт использовал этот термин для обозначения кольца, которое имело свойство «возвращаться назад» к элементу самого себя. В частности, в кольце алгебраических целых чисел все высокие степени алгебраического целого числа могут быть записаны как целая комбинация фиксированного набора нижних степеней, и, таким образом, степени "циклически возвращаются". Например, если a - 4a + 1 = 0, то a = 4a - 1, a = 4a - a, a = −a + 16a - 4, a = 16a - 8a + 1, a = −8a + 65a - 16, и так далее; в общем, a будет целой линейной комбинацией 1, a и a.

Френкель и Нётер

Первое аксиоматическое определение кольца было дано Адольфом Френкелем в 1914 году, но его аксиомы были строже, чем в современном определении. Например, он требовал, чтобы каждый не делитель нуля имел мультипликативный обратный. В 1921 г. Эмми Нётер дала современное аксиоматическое определение (коммутативного) кольца и разработала основы теории коммутативных колец в своей статье Idealtheorie in Ringbereichen.

Мультипликативное тождество: обязательное или необязательное

Френкель требовал, чтобы кольцо имело мультипликативную идентичность 1, в то время как Нётер этого не делал.

Большинство или все книги по алгебре примерно до 1960 года следовали соглашению Нётер о том, что не требуется 1. Начиная с 1960-х годов все чаще встречаются книги, в которых в определении кольца упоминается наличие 1, особенно в продвинутых книгах таких известных авторов, как Артин, Атия и Макдональд, Бурбаки, Эйзенбуд и Ланг. Но даже сегодня есть много книг, для которых не требуется 1.

Столкнувшись с этой терминологической двусмысленностью, некоторые авторы пытались навязать свои взгляды, в то время как другие пытались принять более точные термины.

В первой категории мы находим, например, Гарднера и Вигандта, которые утверждают, что если требуется, чтобы все кольца имели 1, то некоторые последствия включают отсутствие существования бесконечных прямых сумм колец и тот факт, что что собственные прямые слагаемые колец не являются подкольцами. Они приходят к выводу, что «во многих, а может быть и в большинстве, разделах теории колец требование существования элемента единства неразумно и, следовательно, неприемлемо». Пунен приводит контраргумент, что кольца без мультипликативной идентичности не являются полностью ассоциативно (произведение любой конечной последовательности элементов кольца, включая пустую последовательность, четко определено, независимо от порядка операций) и записывает: «естественное расширение ассоциативности требует, чтобы кольца содержали пустой продукт, поэтому он Естественно требовать, чтобы кольца имели 1 ".

Во второй категории мы находим авторов, которые используют следующие термины:

кольца с мультипликативной идентичностью: унитальное кольцо, унитарное кольцо, единичное кольцо, кольцо с единицей, кольцо с идентификатором или кольцо с 1
кольцами, не требующими мультипликативного идентификатора: rng или псевдокольцо, хотя последнее может сбивать с толку, поскольку имеет другие значения.

Основные примеры

Коммутативные кольца

Примером прототипа является r обработка целых чисел с помощью двух операций: сложения и умножения.
Рациональные, действительные и комплексные числа представляют собой коммутативные кольца типа, называемого полями.
алгеброй над кольцом само по себе кольцо. Это тоже модули. Некоторые примеры:
- Любая алгебра над полем.
- Кольцо многочленов R [X] многочленов над кольцом R само является кольцом. свободный модуль над R бесконечной размерности.
- $Z [c] {\ displaystyle \ mathbf {Z} [c]}$ $\ mathbf {Z} [c]$ , целые числа с присоединенным иррациональным числом c. Свободный модуль бесконечной размерности, если c является трансцендентным числом, свободный модуль конечной размерности, если c является алгебраическим целым числом.
- $Z [1 / n] {\ displaystyle \ mathbf {Z} [ 1 / n]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} [1 / n]}$ , набор дробей, знаменатели которых являются степенью n (включая отрицательные). Несвободный модуль.
- $Z [1/10] {\ displaystyle \ mathbf {Z} [1/10]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} [1/10]}$ , набор десятичных дробей.
- $Z [( 1 + d) / 2] {\ displaystyle \ mathbf {Z} \ left [\ left (1 + {\ sqrt {d}} \ right) / 2 \ right]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} \ left [\ left (1 + {\ sqrt {d }} \ right) / 2 \ right]}$ , где d - это бесквадратное целое число вида 4n + 1. Свободный модуль второго ранга. Ср. Квадратичные целые числа.
- $Z [i] {\ displaystyle \ mathbf {Z} [i]}$ $\ mathbf {Z} [i]$ , целые числа Гаусса.
- $Z [(1 + - 3) / 2 ] {\ displaystyle \ mathbf {Z} \ left [\ left (1 + {\ sqrt {-3}} \ right) / 2 \ right]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} \ left [\ left (1 + {\ sqrt {-3}} \ right) / 2 \ right]}$ , целые числа Эйзенштейна. Также их обобщение, кольцо Куммера.
Множество всех алгебраических целых чисел образует кольцо. Это следует, например, из того факта, что это целое замыкание кольца целых рациональных чисел в области комплексных чисел. Кольца в трех предыдущих примерах являются подкольцами этого кольца.
Набор формальных степенных рядов R [[X 1,…, X n ]] над коммутативным кольцом R является кольцом.
Если S является набором, то набор мощности S становится кольцом, если мы определяем сложение как симметричная разность множеств и умножение должно быть пересечением. Это соответствует кольцу наборов и является примером логического кольца.
Набор всех непрерывных вещественных функций, определенных на вещественная прямая образует коммутативное кольцо. Это операции точечного сложения и умножения функций.
Пусть X - множество, а R - кольцо. Тогда множество всех функций от X до R образует кольцо, которое коммутативно, если R коммутативно. Кольцо непрерывных функций в предыдущем примере является подкольцом этого кольца, если X - вещественная линия, а R - поле действительных чисел.

Некоммутативные кольца

Для любого кольца R и любого натурального числа n множество из всех квадратных n на n матриц с элементами из R образует кольцо с операциями сложения матриц и умножения матриц. При n = 1 это кольцо матриц изоморфно самому R. Для n>1 (и R не нулевое кольцо) это кольцо матриц некоммутативно.
Если G является абелевой группой, то эндоморфизмы группы G образуют кольцо, кольцо эндоморфизмов End (G) группы G. Операциями в этом кольце являются сложение и композиция эндоморфизмов. В более общем смысле, если V является левым модулем над кольцом R, то множество всех R-линейныхотображений образует кольцо, также называемое кольцом эндоморфизмов и обозначаемое как End R (V).
Если G является группой и R является кольцом, групповое кольцо группы G является R свободным модулем над R с G в качестве основы. Умножение правил, согласно которым они коммутируют с элементами R и умножаются, как они это делают в группе G.
Многие кольца, которые появляются в анализе, некоммутативны. Например, большинство банаховых алгебр некоммутативны.

Некольца

Набор натуральных чисел Nс обычными операциями не является кольцом, поскольку (N, +) даже не является группой (не все элементы обратимы относительно сложения). Например, нет натурального числа, которое можно было бы добавить к 3 и получить в результате 0. Есть естественный способ сделать его кольцом, добавив отрицательное число к множеству, таким образом получив кольцо целых чисел. Натуральные числа (включая 0) образуют алгебраическую структуру, известную как полукольцо (обладающие всеми свойствами кольца, кроме аддитивного обратного свойства).
Пусть R будет набором непрерывных функций на вещественном прямом, которые исчезают за пределами ограниченного интервала, зависящего от функций, с обычным сложением, но с умножением, определенным как свертка :
$(f ∗ g) (x) = ∫ - ∞ ∞ f (y) g (x - y) dy. {\ displaystyle (f * g) (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (y) g (xy) dy.}$ ${\ displaystyle (f * g) (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (y) g ( ху) dy.}$
Тогда R является rng, но не кольцом: дельта-функция Дирака обладает свойством мультипликативного тождества, но не является функцией и, следовательно, не является элементом R.

Основные концепции

Элементы в кольце

Левый делитель нуля кольца $R {\ displaystyle R}$ $R$ - это элемент $a {\ displaystyle a}$ $a$ в кольце такой, что существует ненулевой элемент $b {\ displaystyle b}$ $b$ из $R {\ displaystyle R}$ $R$ такой, что $ab = 0 {\ displaystyle ab = 0}$ $ab=0$ . Аналогично определяется правый делитель нуля.

A нильпотентный элемент - это элемент $a {\ displaystyle a}$ $a$ такой, что $an = 0 {\ displaystyle a ^ {n} = 0}$ $a ^ {n} = 0$ для некоторых $n>0 {\ displaystyle n>0}$ $n>0$ . Одним из примеров нильпотентного элемента является нильпотентная матрица .>идемпотент $e {\ displaystyle e}$ $e$ - такой элемент, что $e 2 = e {\ displaystyle e ^ {2} = e}$ $e ^ {2} = e$ . Одним из примеров идемпотентного элемента является проекция в линейной алгебре.

A unit - это элемент $a {\ displaystyle a}$ $a$ , имеющий мультипликативный обратный ; в этом случае обратный является уникальным и обозначается $a - 1 {\ displaystyle a ^ {- 1}}$ $a ^ {- 1}$ . представляет собой группу при умножении кольца; эта группа обозначается d на $R × {\ displaystyle R ^ {\ times}}$ $R ^ {\ times}$ или $R ∗ {\ displaystyle R ^ {*}}$ $R ^ { *}$ или $U (R) {\ Displaystyle U (R)}$ $U (R)$ . Например, если R - кольцо всех квадратных матриц размера n над полем, то $R × {\ displaystyle R ^ {\ times}}$ $R ^ {\ times}$ состоит из набора всех обратимых матриц размера n, и называется общей линейной группой.

Подкольцо

Подмножество S кольца R называется подкольцом, если его можно рассматривать как кольцо с сложением и умножением ограничили от R до S. Эквивалентно S является подкольцом, если оно не пусто, и для любых x, y в S $xy {\ displaystyle xy}$ $xy$ , $x + y {\ displaystyle x + y}$ $x + y$ и $- x {\ displaystyle -x}$ $-x$ находятся в S. Если по соглашению с соглашением, что все кольца имеют мультипликативную идентичность, то для того, чтобы быть подкольцом, также потребуется, чтобы S разделял тот же элемент идентичности, что и R. Итак, если предполагалось, что все кольца мультипликативную идентичность, то правильный идеал не является подкольцом.

Например, кольцо Z целых чисел является подкольцом поля действительных чисел, а также подкольцом кольца полиномов Z[X] (в обоих случаях Z содержит 1, которая является мультипликативной единицей больших колец). С другой стороны, подмножество четных целых чисел 2 Z не содержит элементов идентичности 1 и, таким образом, не квалифицируется как подкольцо Z.

Пересечение подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее данное подмножество E кольца R, называется подкольцом, порожденным E. Такое подкольцо существует, поскольку оно является пересечением всех подкольцев E. R. Оно может быть получено путем многократного сложения копий 1 и −1 в любой смеси. Возможно, что $n ⋅ 1 = 1 + 1 +… + 1 {\ displaystyle n \ cdot 1 = 1 + 1 + \ ldots +1}$ $n \ cdot 1 = 1 + 1 + \ ldots +1$ (n раз) может быть нулевым. Если n - наименьшее положительное целое число, такое, что это происходит, то n называется характерикой R. В некоторых кольцах $n ⋅ 1 {\ displaystyle n \ cdot 1}$ $n \ cdot 1$ никогда не равно нулю для любого положительного целого числа n, и говорят, что эти кольца имеют нулевую характеристику.

Для кольца R пусть $Z ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Z} (R)}$ $\ operatorname { Z} (R)$ обозначает набор всех элементов x в R таких, что x коммутирует с каждым Элемент в R: $xy = yx {\ displaystyle xy = yx}$ $xy = yx$ для любого y в R. Тогда $Z ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Z} (R)}$ $\ operatorname { Z} (R)$ - подкольцо R; называется центр кольца R. В более общем случае, для данного подмножества X в R, пусть S будет набором всех элементов в R, которые коммутируют с каждым элементом X. Тогда S является подкольцом R, называемым централизатор (или коммутант) X. Центр является централизатором всего кольца R. Элементы или подмножества центра называются центральными в R; они (каждый в отдельной) образуют подкольцо центра.

Идеал

Определение идеала в кольце аналогично определению нормальной подгруппы в группе. На самом деле он играет роль идеализированного обобщения элемента в кольце; отсюда и название «идеальный». Подобно элементам колец, изучение идеалов занимает центральное место в понимании структуры кольца.

Пусть R кольцо. Непустое подмножество I в R тогда называется левым идеалом в R, если для любых x, y в I и r в R $x + y {\ displaystyle x + y}$ $x + y$ и $rx {\ displaystyle rx}$ $rx$ находится в I. Если $RI {\ displaystyle RI}$ $RI$ обозначает интервал I над R, то есть, набор конечных сумм

р 1 Икс 1 + ⋯ + rnxn, ri ∈ R, xi ∈ I, {\ displaystyle r_ {1} x_ {1} + \ cdots + r_ {n} x_ {n}, \ quad r_ {i} \ in R, \ quad x_ {i} \ in I,}

r_ {1} x_ {1} + \ cdots + r_ {n} x_ {n}, \ quad r_ { i} \ in R, \ quad x_ {i} \ in I,

, то I - левый идеал, если $RI ⊆ I {\ displaystyle RI \ substeq I}$ $RI \ substeq I$ . Аналогично I называется правым идеалом, если $I R ⊆ I {\ displaystyle IR \ substeq I}$ $IR \ substeq I$ . Подмножество I называется двусторонним идеалом или просто идеалом, если оно одновременно является левым идеалом и правым идеалом. Односторонний или двусторонний идеал тогда является аддитивной подгруппой в R. Если E - подмножество R, то $RE {\ displaystyle RE}$ $RE$ - левый идеал, называемый левым идеалом. генерируется E; это наименьший левый идеал, предложенный E. Точно так же можно рассмотреть правый идеал или двусторонний идеал, порожденный подмножеством R.

x находится в R, то $R x {\ displaystyle Rx}$ $Rx$ и $x R {\ displaystyle xR}$ $xR$ - левые идеалы и правые идеалы соответственно; они называются главными левыми идеалами и правыми идеалами, порожденными x. Главный идеал $R x R {\ displaystyle RxR}$ $RxR$ записывается как $(x) {\ displaystyle (x)}$ $(x)$ . Фактически, каждый идеал целых чисел является главным образом набором всех положительных и отрицательных кратных 2 чисел.

Подобно группе, кольцо называется общий, если оно ненулевое и не имеет собственных ненулевых двусторонних идеалов. Коммутативное простое кольцо - это в точности поле.

Кольца часто изучаются с особыми условиями, налагаемыми на их идеалы. Например, кольцо, в котором нет строго возрастающая цепочка бесконечной очки левых идеалов, левым нётеровым кольцом. Кольцо, в котором нет строго убывающей бесконечной цепочки левых идеалов, называется левым артиновым кольцом. Несколько удивительно, что артиново левое кольцо является нётеровым слева (теорема Хопкинса - Левицки ). Однако целые числа образуют нётерово кольцо, которое не является артиновым.

Для коммутативных колец идеалы обобщают классическое понятие делимости и разложения целого числа на простые числа в алгебре. Собственный идеал P кольца R называется общим идеалом, если для любых элементов $x, y ∈ R {\ displaystyle x, y \ in R}$ $x, y \ in R$ мы имеем, что $xy ∈ P {\ displaystyle xy \ in P}$ $xy \ in P$ подразумевает либо $x ∈ P {\ displaystyle x \ in P}$ $x \ in P$ , либо $y ∈ P {\ displaystyle y \ in P}$ $y \ in P$ . Эквивалентно, P является основным, если для любых идеалов $I, J {\ displaystyle I, J}$ $I, J$ мы имеем, что $IJ ⊆ P {\ displaystyle IJ \ substeq P}$ $IJ \ substeq P$ подразумевает либо $I ⊆ P {\ displaystyle I \ substeq P}$ $I \ substeq P$ , либо $J ⊆ P. {\ displaystyle J \ substeq P.}$ $J \ substeq P.$ Эта последняя формулировка иллюстрирует идею идеалов как обобщений элементов.

Гомоморфизм

A гомоморфизм кольца (R, +, · ) в кольцо (S, ‡, *) функция является f из R в S, который сохраняет операции кольца; а именно такой, что для всех a, b в R выполняются следующие тождества:

f (a + b) = f (a) ‡ f (b)
f (a · b) = f (a) * f (b)
f (1 R) = 1 S

Если кто-то работает не обязательно с унитальными кольцами, то третье условие сброшен.

Гомоморфизм колец называется изоморфизм, если существует обратный гомоморфизм к f (то есть гомоморфизм колец, являющийся обратной функцией ). Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом колец. Два кольца $R, S {\ displaystyle R, S}$ $R, S$ называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм, и в этом случае записывается $R ≃ S {\ displaystyle R \ simeq S}$ $R \ simeq S$ . Гомоморфизм колец между одним и тем же кольцом называется эндоморфизмом, а изоморфизм одного и того же кольца автоморфизмом.

Примеры:

Функция, которая отображает каждое целое число x на его остаток по модулю 4 (число в {0, 1, 2, 3}), является гомоморфизмом из кольца Z к кольцу частных Z/4Z(термин «кольцо частных» определен ниже).
Если $u {\ displaystyle u}$ $u$ является единичным элементом в кольце R, то $R → R, x ↦ uxu - 1 {\ displaystyle R \ to R, x \ mapsto uxu ^ {- 1}}$ $R \ to R, x \ mapsto uxu ^ {- 1}$ - кольцевой гомоморфизм, называемый внутренним автоморфизмом of R.
Пусть R - коммутативное кольцо простые характеристики p. Тогда $x ↦ xp {\ displaystyle x \ mapsto x ^ {p}}$ $x \ mapsto x ^ {p}$ - кольцевой эндоморфизм R, называемый гомоморфизмом Фробениуса.
группой Галуа расширение поля $L / K {\ displaystyle L / K}$ $L / K$ - это множество всех автоморфизмов L, чьи ограничения на K идентичны.
Для любого кольца R существует единственный гомоморфизм колец Z → R и единственный гомоморфизм колец R → 0.
Эпиморфизм (то есть есть сокращенный правый морфизм) колец требует не быть сюръективным. Например, уникальное отображение $Z → Q {\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Q}$ является эпиморфизмом.
Гомоморфизм алгебры из k -алгебры к алгебре эндоморфизмов векторного пространства над k называется представлением алгебры.

с учетом гомоморфизма колец $f: R → S {\ displaystyle f: R \ to S}$ $f: R \ to S$ , набор всех элементов, отображаемых в 0 с помощью f, называется ядром f. Ядро - двусторонний идеал кольца R. С другой стороны, образ f не всегда является идеалом, но всегда является подкольцом S.

Чтобы задать гомоморфизм колец из коммутативного кольцо R в кольцо A с изображением, содержащимся в центре A - это то же самое, что дать структуру алгебры над R для A (которая, в частности, дает структуру A-модуля).

Факторное кольцо

Факторное кольцо кольца аналогично понятию факторгруппы группы. Более формально, учитывая кольцо (R, +, · ) и двусторонний идеал I из (R, +, · ), фактор-кольцо (или фактор-кольцо ) R / I - это набор смежных классов I (относительно аддитивной группы группы (R, +, · ), то есть смежные классы по (R, +)) вместе с операциями:

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I и

(a + I) (b + I) = (ab) + I.

для всех a, b в R.

Как и в случае фактор-группы, существует каноническая карта $p: R → R / I {\ displaystyle p: R \ to R / I}$ $p: R \ to R / I$ , заданная как $x ↦ x + I {\ displaystyle x \ mapsto x + I}$ $x \ mapsto x + I$ . Он сюръективен и удовлетворяет универсальному свойству: если $f: R → S {\ displaystyle f: R \ to S}$ $f: R \ to S$ - кольцевой гомоморфизм такой, что $f (I) = 0 { \ displaystyle f (I) = 0}$ $f (I) = 0$ , тогда существует уникальный $f ¯: R / I → S {\ displaystyle {\ overline {f}}: R / I \ to S}$ ${\ overline {f}}: R / I \ to S$ такой, что $f = f ¯ ∘ p {\ displaystyle f = {\ overline {f}} \ circ p}$ $f = {\ overline {f}} \ circ p$ . В частности, принимая I за ядро, мы видим, что факторкольцо $R / ker ⁡ f {\ displaystyle R / \ operatorname {ker} f}$ $R / \ operatorname {ker} f$ изоморфно образу f; факт, известный как первая теорема об изоморфизме . Последний факт означает, что на самом деле любой сюръективный гомоморфизм колец удовлетворяет универсальному свойству, поскольку образ такого отображения является факторкольцом.

Модуль

Концепция модуля над кольцом обобщает концепцию векторного пространства (над полем ) путем обобщения от умножения векторы с элементами поля (скалярное умножение ) до умножения на элементы кольца. Точнее, дано кольцо R с 1, R-модуль M является абелевой группой, снабженной операцией R × M → M (сопоставляя элемент M каждой паре элемент из R и элемент из M), удовлетворяющий некоторым аксиомам . Эта операция обычно обозначается мультипликативно и называется умножением. Аксиомы модулей следующие: для всех a, b в R и всех x, y в M имеем:

M - абелева группа относительно сложения.
$a (x + y) = ax + ay {\ displaystyle a (x + y) = ax + ay}$ $a (x + y) = ax + ay$
$(a + b) x = ax + bx {\ displaystyle (a + b) x = ax + bx}$ $(a + b) x = ax + bx$
$1 x = x {\ displaystyle 1x = x}$ $1x=x$
$(ab) x = a (bx) {\ displaystyle (ab) x = a (bx)}$ $(ab) x = a (bx)$

Когда кольцо некоммутативно, эти аксиомы определяют левые модули; Правые модули определяются аналогично, записывая xa вместо ax. Это не только смена обозначений, так как последняя аксиома правых модулей (то есть x (ab) = (xa) b) становится (ab) x = b (ax), если используется левое умножение (на элементы кольца) для правого модуля.

Базовыми примерами модулей являются идеалы, включая само кольцо.

Несмотря на то же самое определение, теория модулей намного сложнее, чем теория векторного пространства, главным образом потому, что, в отличие от векторных пространств, модули не характеризуются (с точностью до изоморфизма) одним инвариантом (размерность векторного пространства ). В частности, не все модули имеют базис .

Из аксиом модулей следует, что (−1) x = −x, где первый минус означает аддитивный обратный в кольце, а второй минус аддитивная инверсия в модуле. Использование этого и обозначение повторного сложения умножением на положительное целое число позволяет идентифицировать абелевы группы с модулями над кольцом целых чисел.

Любой гомоморфизм колец индуцирует структуру модуля: если f: R → S - гомоморфизм колец, то S - левая структура, а именно умножение колец. Таким же образом существуют другие математические объекты, которые можно рассматривать как кольца с дополнительной структурой. Например:

Ассоциативная алгебра - это кольцо, которое также является векторным пространством над полем K, так что скалярное умножение совместимо с кольцевым умножением. Например, набор матриц размером n на n над вещественным полем R имеет размерность n как вещественное векторное пространство.
Кольцо R является топологическим кольцом, если его набору элементов R задана топология , которая создает карту сложения ( $+: R × R → R {\ displaystyle +: R \ times R \ to R \,}$ $+: R \ times R \ to R \,$ ) и карта умножения ( $⋅: R × R → R {\ displaystyle \ cdot: R \ times R \ to R \,}$ $\ cdot: R \ times R \ to R \,$ ) должны быть непрерывными как карты между топологическими пространствами (где X × X наследует топологию продукта или любой другой продукт в категории). Например, для матриц размером n на n над действительными числами можно задать либо евклидову топологию, либо топологию Зарисского, и в любом случае можно получить топологическое кольцо. 1189>λ-кольцо - коммутативное кольцо R вместе с операциями λ: R → R, которые подобны n-м внешним степеням :

λ n (x + y) = ∑ 0 n λ i (x) λ N - я (Y) {\ Displaystyle \ lambda ^ {n} (x + y) = \ sum _ {0} ^ {n} \ lambda ^ {i} (x) \ lambda ^ {ni} (y)}

\ lambda ^ {n} (x + y) = \ sum _ {0} ^ {n} \ lambda ^ {i} (x) \ lambda ^ {ni} (y)

Например, Z - это λ-кольцо с

λ n (x) = (xn) {\ displaystyle \ lambda ^ {n} (x) = {\ binom { x} {n}}}

\ lambda ^ {n} (x) = {\ binom {x} {n}}

, биномиальные коэффициенты. Это понятие играет центральное правило в алгебраическом подходе к теореме Римана – Роха..

A Полностью упорядоченное кольцо - это кольцо с полным порядком, совместимым с кольцевыми операциями.

Некоторые примеры повсеместности колец

Многие виды математических объектов могут быть плодотворно проанализированы в терминах некоторого ассоциированного кольца.

Кольцо когомологий топологического пространства

Любому топологическому пространству X можно сопоставить его целое кольцо когомологий

H ∗ (X, Z) = ⨁ i = 0 ∞ H i (X, Z), { \ displaystyle H ^ {*} (X, \ mathbb {Z}) = \ bigoplus _ {i = 0} ^ {\ infty} H ^ {i} (X, \ mathbb {Z}),}

H ^ {*} (X, \ mathbb {Z}) = \ bigoplus _ {i = 0} ^ {\ infty} H ^ {i} (X, \ mathbb {Z}),

a оценено кольцо. Также существуют группы гомологии $H i (X, Z) {\ displaystyle H_ {i} (X, \ mathbb {Z})}$ $H_ {i} (X, \ mathbb {Z})$ пространства, и действительно они были определены в первую очередь как полезный инструмент для различения определенных пар топологических пространств, таких как сферы и торы, для которых методы точечно-множественной топологии не подходят. Группы когомологий позже были определены в терминах групп гомологий способом, который примерно аналогичен двойственному векторному пространству . Знать каждую индивидуальную целочисленную группу гомологий по существу то же самое, что знать каждую индивидуальную целую группу когомологий, из-за теоремы об универсальных коэффициентах. Однако преимущество групп когомологий состоит в том, что существует натуральный продукт, что аналогично наблюдению, что можно поточечно умножить k- полилинейную форму и l-полилинейную форму. чтобы получить (k + l) -моллинейную форму.

Кольцевая структура в когомологиях обеспечивает основу для характеристических классов расслоений, теории пересечений на многообразиях и алгебраических многообразий, Исчисление Шуберта и многое другое.

Бернсайд кольцо группы

С любой группой связано его кольцо Бернсайда, которое использует кольцо для описания различных способов, которыми группа может действовать на конечное множество. Аддитивная группа кольца Бернсайда - это свободная абелева группа , базис которой являются транзитивные действия группы, а добавление - несвязное объединение действия. Выражение действия в терминах основы - это разложение действия на его переходные составляющие. Умножение легко выражается в терминах кольца представлений : умножение в кольце Бернсайда формируется путем записи тензорного произведения двух модулей перестановок в виде модуля перестановок. Кольцевая структура позволяет формально отделить одно действие от другого. Поскольку кольцо Бернсайда содержится как подкольцо конечного индекса кольца представлений, можно легко перейти от одного к другому, расширив коэффициенты с целых до рациональных чисел.

Представительное кольцо группового кольца

С любым групповым кольцом или алгеброй Хопфа связано его представительное кольцо или " Зеленое кольцо ». Аддитивная группа кольца представлений - это свободная абелева группа, в основе которой лежат неразложимые модули, а сложение которой соответствует прямой сумме. Выражение модуля в терминах базиса - это поиск неразложимой декомпозиции модуля. Умножение - это тензорное произведение. Когда алгебра полупроста, кольцо представлений - это просто кольцо характеров из теории характеров, которое более или менее является группой Гротендика с учетом кольцевой структуры.

Функциональное поле неприводимого алгебраического многообразия

С любым неприводимым алгебраическим многообразием связано его функциональное поле. Точки алгебраического многообразия соответствуют оценочным кольцам, содержащимся в функциональном поле и содержащим координатное кольцо. Изучение алгебраической геометрии широко использует коммутативную алгебру для изучения геометрических понятий в терминах теоретико-кольцевых свойств. Бирациональная геометрия изучает карты между подкольцами функционального поля.

Кольцо граней симплициального комплекса

Каждый симплициальный комплекс имеет связанное кольцо граней, также называемое его кольцом Стэнли – Райснера. Это кольцо отражает многие комбинаторные свойства симплициального комплекса, поэтому оно представляет особый интерес в алгебраической комбинаторике. В частности, алгебраическая геометрия кольца Стэнли – Райснера использовалась для характеристики количества граней в каждом измерении симплициальных многогранников.

Теоретико-категориальное описание

Каждое кольцо можно рассматривать как моноид в Ab, категория абелевых групп (рассматриваемая как моноидальная категория при тензорном произведении $Z {\ displaystyle {\ mathbb {Z}}}$ ${\ mathbb {Z}}$ -modules ). Моноидное действие кольца R на абелевой группе - это просто R-модуль. По сути, R-модуль является обобщением понятия векторного пространства - где вместо векторного пространства над полем имеется «векторное пространство над кольцом».

Пусть (A, +) - абелева группа, а End (A) - ее кольцо эндоморфизмов (см. Выше). Обратите внимание, что, по сути, End (A) - это множество всех морфизмов A, где, если f находится в End (A), а g находится в End (A), следующие правила могут использоваться для вычисления f + g и f · g:

(f + g) (x) = f (x) + g (x)
(f · g) (x) = f (g (x))

где + как в f (x) + g (x) - это сложение в A, а композиция функций обозначается справа налево. Следовательно, , связанный с любой абелевой группой, является кольцом. И наоборот, для любого кольца (R, +, · ) (R, +) абелева группа. Кроме того, для каждого r в R правое (или левое) умножение на r приводит к морфизму (R, +) на правую (или левую) дистрибутивность. Пусть A = (R, +). Рассмотрим те эндоморфизмы A, которые "факторируют" правое (или левое) умножение R. Другими словами, пусть End R (A) будет множеством всех морфизмов m A, имеющий свойство m (r · x) = r · m (x). Было замечено, что каждое r в R порождает морфизм A: правое умножение на r. Фактически верно, что это соединение любого элемента R с морфизмом A как функции от R до End R (A) является изоморфизмом колец. В этом смысле, следовательно, любое кольцо можно рассматривать как кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой X-группы (под X-группой это означает группу, в которой X является ее набором операторов ). По сути, наиболее общая форма кольца - это группа эндоморфизмов некоторой абелевой X-группы.

Любое кольцо можно рассматривать как предаддитивную категорию с одним объектом. Поэтому естественно рассматривать произвольные предаддитивные категории как обобщения колец. И действительно, многие определения и теоремы, первоначально данные для колец, могут быть переведены в этот более общий контекст. Аддитивные функторы между предаддитивными категориями обобщают концепцию гомоморфизма колец, а идеалы в аддитивных категориях могут быть определены как наборы морфизмов, замкнутые относительно сложения и композиции с произвольными морфизмами.

Обобщение

Алгебраисты определили структуры более общие, чем кольца, ослабив или отбросив некоторые из аксиом кольца.

Rng

A rng - это то же самое, что и кольцо, за исключением того, что существование мультипликативной идентичности не предполагается.

Неассоциативное кольцо

A неассоциативное кольцо алгебраическая структура, которая удовлетворяет всем аксиомам кольца, кроме ассоциативности и существования мультипликативного тождества. Ярким примером является алгебра Ли. Существует некоторая структурная теория таких алгебр, которая обобщает аналогичные результаты для алгебр Ли и ассоциативных алгебр.

Полукольцо

A полукольцо (иногда оснащенное) получается путем ослабления предположения, что (R, +) является абелевой группой к предположению, что (R, +) - коммутативный моноид, и добавлению аксиомы, что 0 · a = a · 0 = 0 для всех a в R (так как это больше не следует из других аксиом).

Примеры:

неотрицательные целые числа ${0, 1, 2,…} {\ displaystyle \ {0,1,2, \ ldots \}}$ $\ {0,1,2, \ ldots \}$ с обычным сложением и умножением;
тропическое полукольцо.

Другие кольцевые объекты

Кольцевой объект в категории

Пусть C будет категорией с конечным продукты. Пусть pt обозначает конечный объект C (пустой продукт). A кольцевой объект в C - это объект R, снабженный морфизмами $R × R → a R {\ displaystyle R \ times R \; {\ stackrel {a} {\ to}} \, R }$ ${\ displaystyle R \ times R \; {\ stackrel {a} {\ to}} \, R}$ (сложение), $R × R → m R {\ displaystyle R \ times R \; {\ stackrel {m} {\ to}} \, R}$ ${\ displaystyle R \ times R \; {\ stackrel {m} {\ to}} \, R}$ (умножение), $pt → 0 R {\ displaystyle \ operatorname {pt} {\ stackrel {0} {\ to}} \, R}$ ${\ displaystyle \ operatorname {pt} {\ stackrel {0} {\ to}} \, R}$ (аддитивная идентичность), $R → я R {\ displaystyle R \; {\ stackrel {i} {\ to}} \, R}$ ${\ displaystyle R \; {\ stackrel {i} {\ to}} \, R}$ (аддитивная обратная) и $pt → 1 R {\ displaystyle \ operatorname {pt} {\ stackrel {1} {\ to}} \, R}$ ${\ displaystyle \ operatorname {pt} { \ stackrel {1} {\ to}} \, R}$ (мультипликативное тождество), удовлетворяющее обычным аксиомам кольца. Эквивалентно кольцевой объект - это объект R, снабженный факторизацией его функтора точек $h R = Hom ⁡ (-, R): C op → S ets {\ displaystyle h_ {R} = \ operatorname {Hom} (-, R): C ^ {\ operatorname {op}} \ to \ mathbf {Sets}}$ $h_ {R} = \ operatorname {Hom} (-, R): C ^ {\ operatorname {op}} \ to \ mathbf {Наборы}$ через категорию колец: $C op → R ings ⟶ забывчивые S ets {\ displaystyle C ^ {\ operatorname {op}} \ to \ mathbf {Rings} {\ stackrel {\ textrm {Forgotful}} {\ longrightarrow}} \ mathbf {Sets}}$ $C ^ {\ operatorname {op}} \ to \ mathbf {Rings} {\ stackrel {\ textrm {Forgotful}} {\ longrightarrow}} \ mathbf {Sets}$ .

Схема звонка

В алгебраическом геометрии, кольцевая схема поверх базовой схемы S является кольцевым объектом в категории S-схем. Одним из примеров является кольцевая схема W n над Spec Z, которая для любого коммутативного кольца A возвращает кольцо W n (A) p-изотипических векторов Витта. длины n над A.

Кольцевой спектр

В алгебраической топологии, кольцевой спектр представляет собой спектр X вместе с умножением $μ: X ∧ X → X {\ displaystyle \ mu \ двоеточие X \ wedge X \ to X}$ $\ mu \ двоеточие X \ клин X \ to X$ и единичной картой $S → X {\ displaystyle S \ to X}$ $S \ to X$ из спектра сфер S, так что диаграммы аксиом кольца коммутируют с точностью до гомотопии. На практике принято определять кольцевой спектр как моноидный объект в хорошей категории спектров, такой как категория симметричных спектров.

См. Также

Викиучебники есть книга по тема: Абстрактная алгебра / Кольца

Кольцо (математика)

Содержание

Определение и иллюстрация

Определение

Примечания к определению

Основные свойства

Пример: целые числа по модулю 4

Пример: матрицы 2 на 2

История

Дедекинд

Гильберт

Френкель и Нётер

Мультипликативное тождество: обязательное или необязательное

Основные примеры

Коммутативные кольца

Некоммутативные кольца

Некольца

Основные концепции

Элементы в кольце

Подкольцо

Идеал

Гомоморфизм

Факторное кольцо

Модуль

Некоторые примеры повсеместности колец

Кольцо когомологий топологического пространства

Бернсайд кольцо группы

Представительное кольцо группового кольца

Функциональное поле неприводимого алгебраического многообразия

Кольцо граней симплициального комплекса

Теоретико-категориальное описание

Обобщение

Rng

Неассоциативное кольцо

Полукольцо

Другие кольцевые объекты

Кольцевой объект в категории

Схема звонка

Кольцевой спектр

См. Также

Примечания

Цитаты

Ссылки

Общие ссылки

Специальные ссылки

Первоисточники

Исторические ссылки