Символ Якоби

редактировать
kn012345678910111213141516
11
301−1
501−1−11
7011−11−1−1
9011011011
1101−1111−1−1−11−1
1301−111−1−1−1−111−11
150110100−1100−10−1−1
17−0−11−1−1−1−1−11−1−1−1−11−111

Символ Якоби (k / n) для различных k (сверху) и n (слева). Только 0 ≤ k < n are shown, since due to rule (2) below any other k can be reduced modulo n. квадратичные вычеты выделены желтым - обратите внимание, что никакая запись с символом Якоби -1 не является квадратичным вычетом, и если k квадратичный вычет по модулю взаимно простого n, то (k / n) = 1, но не все элементы с символом Якоби, равным 1 (см. N = 9 и n = 15 строк), являются квадратичными вычетами. Также обратите внимание, что когда либо n, либо k является квадратом, все значения неотрицательны.

Символ Якоби является обобщением символа Лежандра. Представленный Якоби в 1837 году, он представляет теоретический интерес в модульной арифметике и других разделах теории чисел, но его основное применение - в вычислительном числе. теория, особенно проверка простоты и целочисленная факторизация ; они, в свою очередь, важны в криптографии.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Таблица значений
  • 3 Свойства
  • 4 Вычисление символа Якоби
    • 4.1 Реализация в Lua
  • 5 Пример расчетов
    • 5.1 Использование символа Лежандра
    • 5.2 Использование символа Якоби
  • 6 Тестирование на простоту
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки

Определение

Для любого целого числа a и любого положительного нечетного целого числа n символ Якоби (a / n) определяется как произведение символов Лежандра, соответствующих простым множителям числа n:

(an) = (ap 1) α 1 (ap 2) α 2 ⋯ (apk) α K, {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {p_ {1}}} \ right) ^ {\ alpha _ {1}} \ left ({\ frac {a} {p_ {2}}} \ right) ^ {\ alpha _ {2} } \ cdots \ left ({\ frac {a} {p_ {k}}} \ right) ^ {\ alpha _ {k}},}{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} { n}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {p_ {1}}} \ right) ^ {\ alpha _ {1}} \ left ({\ frac {a} {p_ {2}} } \ right) ^ {\ alpha _ {2}} \ cdots \ left ({\ frac {a} {p_ {k}}} \ right) ^ {\ alpha _ {k}},}

где

n = p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ пк α К {\ Displaystyle п = п_ {1} ^ {\ альфа _ {1}} р_ {2} ^ {\ альфа _ {2}} \ cdots р_ {к} ^ {\ альфа _ {к}} }{\ displaystyle n = p_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} p_ {2} ^ {\ alpha _ { 2}} \ cdots p_ {k} ^ {\ alpha _ {k}}}

- это факторизация числа n на простые множители.

Символ Лежандра (a / p) определен для всех целых чисел a и всех нечетных простых чисел p как

(ap) = {0, если a ≡ 0 (mod p), 1, если a 0 ( mod p) и для некоторого целого x: a ≡ x 2 (mod p), - 1, если a ≢ 0 (mod p) и такого x нет. {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0 {\ text {if}} a \ Equiv 0 {\ pmod {p }}, \\ 1 {\ text {if}} a \ not \ Equiv 0 {\ pmod {p}} {\ text {и для некоторого целого числа}} x \ двоеточие \; a \ Equiv x ^ {2} { \ pmod {p}}, \\ - 1 {\ text {if}} a \ not \ Equiv 0 {\ pmod {p}} {\ text {и такого нет}} x. \ end {array}} \ right.}\ left (\ frac {a} {p} \ right) = \ left \ {\ begin {array} {rl} 0 \ text {if} a \ Equiv 0 \ pmod {p}, \\ 1 \ text {if} a \ not \ Equiv 0 \ pmod {p} \ text {и для некоторого целого числа} x \ двоеточие \; a \ Equiv x ^ 2 \ pmod {p}, \\ -1 \ text {if} a \ not \ Equiv 0 \ pmod {p } \ text {а такого нет} x. \ end {array} \ right.

Согласно обычному соглашению для пустого произведения (a / 1) = 1.

Когда нижний аргумент является нечетным простым числом, символ Якоби равен символу Лежандра.

Таблица значений

Ниже приводится таблица значений символа Якоби (k / n) с n ≤ 59, k ≤ 30, n нечетным.

kn123456789101112131415161718192021222324252627282930
1-111−11111−1111111−111111111−111111
31−101−101−101−101−101−101−101−101−101−10
51−1−1101−1−1101−1−1101−1−1101−1−1101−1−110
711−11−1−1011−11−1−1011−11−1- 1011-11-1-1011
9110110110110110110110110110110
111-1111-1-1-11−101−1111−1−1−11−101−1111−1-1-1
131-111-1-1-1-111−1101−111−1−1−1−111−1101−111
15110100−1100−10−1−10110100−1100−10−1−10
1711-11-1-1-111-1−1−11−111011−11−1−1−111−1−1−11
191−1−11111−11−11−1−1−1−111−101−1−11111−11−11
211-101100-10-1-10-100110-1101-101100-10
231111−11−111−1−111−1−11−11−1−1−1−101111−11−1
25111101111011110111101111011110
271−101−101−101−101−101−101−101−101−101−10
291−1−11111−11−1−1−11−1−11−1-1-11-11111-1-1101
3111-111-11111-1-1-11-11-1111-1-1-1-11-1-11-1-1
331101-10-110−100−1−10110−1−100−101−10−110
351-1110-10-1101110011-1-100-1−1−10−11010
371−111−1−11−11111- 1-1-11-1-1-1-11- 1−1−11111−11
39110110−1101100−101−10−1101- 10100−1−10
4111−111−1−1111−1−1−1−1−11−11−111−11−11−1−1−1−1−1
431−1−11−11−1−1111−111111−1−1−11−1111- 1-1-1-1-1
451-10100-1-10010-1101-10100-1-10010-110
471111-11111-1−11−11−1111−1−11−1−111−111- 1−1
49111111011111101111110111111011
511−10110−1−10−110110100110−1101−10−110
531−1−11−111−1111−11−1111−1-1-1-1-1-111−1−111−1
5511−110−111100−1110111−10−10−1−101−11−10
571101−10110−1−10−1101−100−10−1−101−10110
591−1111−11−11−1−11−1−1111−11111−1−111111−1

Свойства

Следующие ниже факты, даже законы взаимности, являются прямым выводом из определения символа Якоби и соответствующих свойств символа Лежандра.

Символ Якоби определяется только тогда, когда верхний аргумент ("числитель ") является целым числом, а нижний аргумент (" знаменатель ") является положительным нечетным целым числом.

1. Если n является (нечетным) простым числом, то символ Якоби (a / n) равен (и записывается так же) соответствующему символу Лежандра.
2. Если a ≡ b (mod n), то (an) = (bn) = (a ± m ⋅ nn) {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {b} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a \ pm m \ cdot n} {n}} \ right)}{\ displaystyle \ left ({ \ frac {a} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {b} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a \ pm m \ cdot n} {n}} \ справа)}
3. (an) = {0, если gcd (a, n) ≠ 1, ± 1, если gcd (a, n) = 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = {\ begin {case} 0 {\ text {if}} \ gcd (a, n) \ neq 1, \\\ pm 1 {\ text {if}} \ gcd (a, n) = 1. \ end {case}}}{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = {\ begin {cases} 0 {\ text {if}} \ gcd (a, n) \ neq 1, \ \\ pm 1 {\ text {if}} \ gcd (a, n) = 1. \ end {cases}}}

Если фиксирован верхний или нижний аргумент, символ Якоби является полностью мультипликативной функцией в оставшемся аргументе:

4. (abn) = (an) (bn), поэтому (a 2 n) = (an) 2 = 1 или 0. {\ displaystyle \ left ({\ frac {ab} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) \ left ({\ frac {b} {n}} \ right), \ quad {\ text {so}} \ left ({\ frac {a ^ {2}} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) ^ {2} = 1 {\ text {или}} 0.}{\ displaystyle \ left ({\ frac {ab} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) \ left ({\ frac {b} {n}} \ right), \ quad {\ text {so}} \ left ({ \ frac {a ^ {2}} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) ^ {2} = 1 {\ text {или}} 0.}
5. (amn) = (am) (an), поэтому (an 2) = (an) 2 = 1 или 0. {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {mn}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {m}} \ right) \ left ({\ frac {a} {n}} \ right), \ quad {\ text {so}} \ left ({\ frac {a} {n ^ {2}}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) ^ {2} = 1 {\ text {или}} 0.}{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {mn}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {m}} \ right) \ left ({\ frac {a} {n}} \ right), \ quad {\ text {so}} \ left ({\ frac {a} {n ^ {2}}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) ^ {2} = 1 {\ text {или}} 0.}

закон квадратичной взаимности : если m и n нечетные положительные взаимно простые целые числа, то

6. (mn) (nm) = (- 1) m - 1 2 ⋅ n - 1 2 = {1, если n ≡ 1 (mod 4) или m ≡ 1 (mod 4), - 1, если n ≡ m ≡ 3 (модуль 4) {\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) = (- 1) ^ {{\ tfrac {m-1} {2}} \ cdot {\ tfrac {n-1} {2}}} = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} n \ Equiv 1 {\ pmod {4}} {\ text {или}} m \ Equiv 1 {\ pmod {4}}, \\ - 1 {\ text {if}} n \ Equiv m \ Equiv 3 {\ pmod {4}} \ end {case}} }{ \ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) = (- 1) ^ {{\ tfrac {m-1} { 2}} \ cdot {\ tfrac {n-1} {2}}} = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} n \ Equiv 1 {\ pmod {4}} {\ text {или} } m \ Equiv 1 {\ pmod {4}}, \\ - 1 {\ text {if}} n \ Equiv m \ Equ 3 {\ pmod { 4}} \ end {case}}}

и приложения к нему

7. (- 1 n) = (- 1) n - 1 2 = {1, если n ≡ 1 (mod 4), - 1, если n ≡ 3 (mod 4), {\ displaystyle \ left ({\ frac { -1} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ tfrac {n-1} {2}} = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} n \ Equiv 1 {\ pmod {4}}, \\ - 1 {\ text {if}} n \ Equiv 3 {\ pmod {4}}, \ end {cases}}}{\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ tfrac {n-1} {2}} = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} n \ Equiv 1 {\ pmod {4}}, \\ - 1 {\ text {if} } п \ эквив 3 {\ pmod {4}}, \ end {case}}}
8. (2 n) = (- 1) n 2 - 1 8 = {1, если n 1, 7 (mod 8), - 1, если n 3, 5 (mod 8). {\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ tfrac {n ^ {2} -1} {8}} = {\ begin {cases} 1 { \ text {if}} n \ Equiv 1,7 {\ pmod {8}}, \\ - 1 {\ text {if}} n \ Equiv 3,5 {\ pmod {8}}. \ end {cases} }}{\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ tfrac {n ^ {2} -1} {8}} = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} n \ Equ 1,7 {\ pmod {8}}, \\ - 1 {\ text {if}} n \ Equiv 3,5 {\ pmod {8}}. \ end {cases}}}

Объединение свойств 4 и 8 дает:

9. (2 a n) = (2 n) (a n) = {(a n), если n ≡ 1, 7 (mod 8), - (a n), если n ≡ 3, 5 (mod 8). {\ displaystyle \ left ({\ frac {2a} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {n}} \ right) \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = {\ begin {cases} \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) {\ text {if}} n \ Equ 1,7 {\ pmod {8}}, \\ - \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) {\ text {if}} n \ Equiv 3,5 {\ pmod {8}}. \ end {ases}}}{\ displaystyle \ left ({\ frac {2a} {n}} \ right) = \ left ({ \ frac {2} {n}} \ right) \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = {\ begin {cases} \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) {\ text {if}} n \ Equiv 1,7 {\ pmod {8}}, \\ - \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) {\ text {if}} п \ эквив 3,5 {\ pmod {8}}. \ end {case}}

Как Символ Лежандра:

  • Если (a / n) = −1, то a - квадратичный невычет по модулю n.

Но, в отличие от символа Лежандра:

Если (a / n) = 1, то a может быть или не быть квадратичным вычетом по модулю n.

Это потому, что для того, чтобы a было квадратичным вычетом по модулю n, оно должно быть квадратичным вычетом по модулю каждого простого множителя n. Однако символ Якоби равен единице, если, например, a является невычетом по модулю ровно по двум простым множителям числа n.

Хотя символ Якоби не может быть интерпретирован единообразно в терминах квадратов и неквадратов, его можно единообразно интерпретировать как знак перестановки леммой Золотарева.

Символ Якоби (a / n) является символом Дирихле по модулю n.

Вычисление символа Якоби

Приведенные выше формулы приводят к эффективному алгоритму O (log a log b) для вычисления символа Якоби, аналогичному евклидову алгоритм для нахождения НОД двух чисел. (Это не должно вызывать удивления в свете правила 2.)

  1. Уменьшите «числитель» по модулю «знаменатель», используя правило 2.
  2. Извлеките любой четный «числитель», используя правило 9.
  3. Если «числитель» равен 1, правила 3 ​​и 4 дают результат 1. Если «числитель» и «знаменатель» не взаимно просты, правило 3 дает результат 0.
  4. В противном случае «Числитель» и «знаменатель» теперь являются нечетными положительными взаимно простыми целыми числами, поэтому мы можем перевернуть символ, используя правило 6, а затем вернуться к шагу 1.

Реализация в Lua
функция jacobi (n, k) assert (k>0 и k% 2 == 1) n = n% kt = 1, в то время как n ~ = 0 делать, а n% 2 == 0 делать n = n / 2 r = k% 8, если r == 3 или r == 5, затем t = -t end end n, k = k, n, если n% 4 == 3 и k% 4 == 3, тогда t = -t end n = n% k end, если k == 1, затем вернуться t else return 0 end end

Пример вычислений

Символ Лежандра (a / p) определен только для нечетных простых чисел p. Он подчиняется тем же правилам, что и символ Якоби (т.е. взаимность и дополнительные формулы для (−1 / p) и (2 / p) и мультипликативность «числителя».)

Проблема: Учитывая, что 9907 простое, вычислите (1001/9907).

Использование символа Лежандра

(1001 9907) = (7 9907) (11 9907) (13 9907). (7 9907) = - (9907 7) = - (2 7) = - 1. (11 9907) = - (9907 11) = - (7 11) = (11 7) = (4 7) = 1. ( 13 9907) = (9907 13) = (1 13) = 1. (1001 9907) = - 1. {\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {1001} {9907}} \ right) = \ left ({\ frac {7} {9907}} \ right) \ left ({\ frac {11} {9907}} \ right) \ left ({\ frac {13} {9907}} \ right). \\\ left ({\ frac {7} {9907}} \ right) = - \ left ({\ frac {9907} {7}} \ right) = - \ left ({\ frac {2} {7 }} \ right) = - 1. \\\ left ({\ frac {11} {9907}} \ right) = - \ left ({\ frac {9907} {11}} \ right) = - \ left ({\ frac {7} {11}} \ right) = \ left ({\ frac {11} {7}} \ right) = \ left ({\ frac {4} {7}} \ right) = 1. \\\ left ({\ frac {13} {9907}} \ right) = \ left ({\ frac {9907} {13}} \ right) = \ left ({\ frac {1} {13} } \ right) = 1. \\\ left ({\ frac {1001} {9907}} \ right) = - 1. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {1001} {9907}} \ right) = \ left ({\ frac {7} {9907}} \ right) \ left ({\ frac {11} {9907}} \ right) \ left ({\ frac {13} {9907}} \ справа). \\\ left ({\ frac {7} {9907}} \ right) = - \ left ({\ frac {9907} {7}} \ right) = - \ left ({\ frac {2 } {7}} \ right) = - 1. \\\ left ({\ frac {11} {9907}} \ right) = - \ left ({\ frac {9907} {11}} \ right) = - \ left ({\ frac {7} {11}} \ right) = \ left ({\ frac {11} {7}} \ right) = \ left ({\ frac {4} {7}} \ right) = 1. \\\ left ({\ frac {13} {9907}} \ right) = \ left ({\ frac {9907} {13}} \ right) = \ left ({\ frac {1} {13}} \ right) = 1. \\\ left ({\ frac {1001} {9907}} \ right) = - 1. \ end {align}}}

Использование символа Якоби

(1001 9907) = (9907 1001) = (898 1001) = (2 1001) (449 1001) = (449 1001) = (1001 449) = (103 449) = (449 103) = (37 103) = (103 37) = (29 37) = (37 29) = (8 29) = (2 29) 3 = - 1. {\ displaystyl e {\ begin {align} \ left ({\ frac {1001} {9907}} \ right) = \ left ({\ frac {9907} {1001}} \ right) = \ left ({\ frac {898 } {1001}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {1001}} \ right) \ left ({\ frac {449} {1001}} \ right) = \ left ({\ frac {449 } {1001}} \ right) \\ = \ left ({\ frac {1001} {449}} \ right) = \ left ({\ frac {103} {449}} \ right) = \ left ({ \ frac {449} {103}} \ right) = \ left ({\ frac {37} {103}} \ right) = \ left ({\ frac {103} {37}} \ right) \\ = \ left ({\ frac {29} {37}} \ right) = \ left ({\ frac {37} {29}} \ right) = \ left ({\ frac {8} {29}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {29}} \ right) ^ {3} = - 1. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {1001} {9907}} \ right) = \ left ({\ frac {9907} {1001}} \ right) = \ left ({\ frac {898} {1001}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {1001}} \ right) \ left ({\ frac {449} {1001}} \ right) = \ left ({\ frac {449} {1001}} \ right) \\ = \ left ({\ frac {1001} {449}} \ right) = \ left ({\ frac {103} { 449}} \ right) = \ left ({\ frac {449} {103}} \ right) = \ left ({\ frac {37} {103}} \ right) = \ left ({\ frac {103} {37}} \ right) \\ = \ left ({\ frac {29} {37}} \ right) = \ left ({\ frac {37} {29}} \ right) = \ left ({\ frac {8} {29}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {29}} \ right) ^ {3} = - 1. \ end {align}}}

Разница между двумя вычислениями заключается в том, что при использовании символа Лежандра "числитель" должен быть разложен на простые степени, прежде чем символ переворачивается. Это делает вычисление с использованием символа Лежандра значительно медленнее, чем вычисление с использованием символа Якоби, поскольку нет известного алгоритма полиномиального времени для факторизации целых чисел. Фактически, именно поэтому Якоби ввел этот символ.

Проверка первичности

Есть еще один способ различия символов Якоби и Лежандра. Если формула критерия Эйлера используется по модулю составного числа, результат может быть или не быть значением символа Якоби, а на самом деле может даже не быть -1 или 1. Например,

(19 45) = 1 и 19 45 - 1 2 1 (мод 45). (8 21) = - 1 но 8 21 - 1 2 ≡ 1 (мод 21). (5 21) = 1, но 5 21 - 1 2 ≡ 16 (мод 21). {\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {19} {45}} \ right) = 1 {\ text {and}} 19 ^ {\ frac {45-1} {2}} \ Equiv 1 {\ pmod {45}}. \\\ left ({\ frac {8} {21}} \ right) = - 1 {\ text {but}} 8 ^ {\ frac {21-1} {2}} \ Equiv 1 {\ pmod {21}}. \\\ left ({\ frac {5} {21}} \ right) = 1 {\ text {but}} 5 ^ {\ frac { 21-1} {2}} \ Equiv 16 {\ pmod {21}}. \ End {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac { 19} {45}} \ right) = 1 {\ text {and}} 19 ^ {\ frac {45-1} {2}} \ Equiv 1 {\ pmod {45}}. \\\ left ( {\ frac {8} {21}} \ right) = - 1 {\ text {but}} 8 ^ {\ frac {21-1} {2}} \ Equiv 1 {\ pmod {21}}. \\\ left ({\ frac {5} {21}} \ right) = 1 {\ text {but}} 5 ^ {\ frac {21-1} {2} } \ Equiv 16 {\ pmod {21}}. \ end {align}}}

Итак, если неизвестно, является ли число n простым или составным, мы можем выбрать случайное число a, вычислите символ Якоби (a / n) и сравните его с формулой Эйлера; если они различаются по модулю n, то n составное; если они имеют одинаковый остаток по модулю n для многих различных значений a, тогда n "вероятно, простое".

Это основа для вероятностного критерия простоты Соловея – Штрассена и таких уточнений, как тест на простоту Бейли-PSW и критерий простоты Миллера – Рабина..

В качестве косвенного использования его можно использовать как процедуру обнаружения ошибок во время выполнения теста простоты Лукаса-Лемера, выполнение которого даже на современном компьютерном оборудовании может занять недели при обработке. Числа Мерсенна сверх 2 82, 589, 933 - 1 {\ displaystyle {\ begin {align} 2 ^ {82,589,933} -1 \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} 2 ^ {82,589,933} -1 \ end {align}}} ( крупнейшее известное простое число Мерсенна на декабрь 2018 г.). В номинальных случаях символ Якоби:

(si - 2 M p) = - 1 i ≠ 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {s_ {i} -2} {M_ { p}}} \ right) = - 1 i \ neq 0 \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {s_ {i} -2} {M_ p}}} \ right) = - 1 i \ neq 0 \ end {align}}}

Это также относится к последнему остатку sp - 2 {\ displaystyle {\ begin {align} s_ {p- 2} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} s_ {p-2} \ end {align}}} и, следовательно, может использоваться как проверка вероятной действительности. Однако, если в оборудовании возникает ошибка, существует 50% -ная вероятность того, что вместо этого результат станет 0 или 1 и не изменится с последующими условиями s {\ displaystyle {\ begin {align} s \ конец {выровнен}}}{ \ displaystyle {\ begin {align} s \ end {align}}} (если не произойдет другая ошибка и она снова не изменится на -1).

См. Также

Примечания

Ссылки

  • Cohen, Henri (1993). Курс вычислительной алгебраической теории чисел. Берлин: Спрингер. ISBN 3-540-55640-0.
  • Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-97329-X.
  • Леммермейер, Франц (2000). Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна. Берлин: Спрингер. ISBN 3-540-66957-4.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-24 11:42:41
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте