символ Кронекера

редактировать

В теории чисел символ Кронекера, записанный как $() {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right)}$ $\ left ({\ frac an} \ right)$ или $(a | n) {\ displaystyle (a | n)}$ $(a | n)$ , является обобщением символа Якоби на все целые числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Он был введен Леопольдом Кронекером (1885, стр. 770).

Содержание

1 Определение
2 Таблица значений
3 Свойства
- 3.1 Квадратичная взаимность
4 Связь с символами Дирихле
5 См. Также
6 Ссылки

Определение

Пусть $n {\ displaystyle n}$ $n$ будет ненулевым целым числом с разложением на простые множители

n = u ⋅ p 1 e 1 ⋯ pkek, { \ displaystyle n = u \ cdot p_ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {e_ {k}},}

n = u \ cdot p_ {1} ^ {{e_ {1}}} \ cdots p_ {k} ^ {{ e_ {k}}},

где $u {\ displaystyle u}$ $u$ - это единица (т. Е. $u = ± 1 {\ displaystyle u = \ pm 1}$ $u = \ pm 1$ ), а $pi {\ displaystyle p_ {i }}$ $p_ {i}$ - это простые числа. Пусть $a {\ displaystyle a}$ $a$ будет целым числом. Символ Кронекера $(an) {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right)}$ $\ left ({\ frac {a} {n}} \ right)$ определяется как

(an) = (au) ∏ i = 1 к (api) ei. {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {u}} \ right) \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {a} {p_ {i}}} \ right) ^ {e_ {i}}.}

\ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {u}} \ right) \ prod _ {{i = 1}} ^ {k} \ left ({\ frac {a} {p_ {i}}} \ right) ^ {{e_ {i}}}.

Для odd $pi {\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ , число $(api) {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p_ {i}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p_ {i}}} \ right)}$ просто обычное Символ Лежандра. Остается случай, когда $p i = 2 {\ displaystyle p_ {i} = 2}$ $p_ {i} = 2$ . Мы определяем $(a 2) {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}}) \ right)}$ как

(a 2) = {0, если a четное, 1, если a ± 1 (mod 8), - 1, если a ± 3 (mod 8). {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) = {\ begin {cases} 0 {\ t_dv {if}} a {\ t_dv {четно,}} \\ 1 {\ t_dv {if}} a \ Equiv \ pm 1 {\ pmod {8}}, \\ - 1 {\ t_dv {if}} a \ Equiv \ pm 3 {\ pmod {8}}. \ end {cases}}}

\ left ({\ frac {a} {2}} \ right) = {\ begin {case} 0 {\ t_dv {if}} a {\ t_dv {четно,}} \\ 1 {\ t_dv {if}} a \ Equiv \ pm 1 {\ pmod {8}}, \\ - 1 { \ t_dv {if}} a \ Equiv \ pm 3 {\ pmod {8}}. \ end {cases}}

Так как он расширяет символ Якоби, количество $(au) {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {u}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ f rac {a} {u}} \ right)}$ просто $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ , когда $u = 1 {\ displaystyle u = 1}$ $u=1$ . Когда $u = - 1 {\ displaystyle u = -1}$ $u=-1$ , мы определяем его как

(a - 1) = {- 1 if a < 0, 1 if a ≥ 0. {\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1{\t_dv{if }}a<0,\\1{\t_dv{if }}a\geq 0.\end{cases}}}

\ left ({\ frac {a} {- 1}} \ right) = {\ begin {cases} -1 {\ t_dv {if}} a <0, \\ 1 {\ t_dv {if}} a \ geq 0. \ end {case}}

Наконец, мы кладем

(a 0) = {1, если a = ± 1, 0 в противном случае. {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {0}} \ right) = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} a = \ pm 1, \\ 0 {\ text {в противном случае.} } \ end {cases}}}

\ left ({\ frac a0} \ right) = {\ begin {cases} 1 {\ text { if}} a = \ pm 1, \\ 0 {\ text {в противном случае.}} \ end {cases}}

Этих расширений достаточно, чтобы определить символ Кронекера для всех целочисленных значений $a, n {\ displaystyle a, n}$ $a, n$ .

Некоторые авторы определяют символ Кронекера только для более ограниченных значений ; например, $a {\ displaystyle a}$ $a$ конгруэнтно $0, 1 mod 4 {\ displaystyle 0,1 {\ bmod {4}}}$ $0,1 {\ bmod 4}$ и $n>0 {\ displaystyle n>0}$ $n>0$ .

Таблица значений

Ниже представлена таблица значений символа Кронекера $(kn) {\ displaystyle \ left ({\ frac {k} {n}} \ right)}$ $\ left ({\ frac {k } {n}} \ right)$ с n, k ≤ 30.

kn	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
3	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	-1	0	1	-1	0
4	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0
5	1	-1	-1	1	0	1	-1	-1	1	0	1	-1	-1	1	0	1	-1	-1	1	0	1	-1	-1	1	0	1	−1	−1	1	0
6	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	1	0
7	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1
8	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
9	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0
10	1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	−1	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	−1	0
11	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1
12	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0
13	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1
14	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	−1	0
15	1	1	0	1	0	0	−1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0	1	1	0	1	0	0	−1	1	0	0	−1	0	-1	-1	0
16	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0
17	1	1	-1	1	-1	-1	-1	1	1	-1	−1	−1	1	−1	1	1	0	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	- 1	−1	−1	1
18	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	−1	0
19	1	-1	-1	1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	0	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1
20	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	0	0	- 1	0	1	0
21	1	−1	0	1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0	−1	0	0	1	1	0	−1	1	0	1	−1	0	1	1	0	0	−1	0
22	1	0	−1	0	−1	0	−1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	−1	0	1	0
23	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	- 1	0	1	1	1	1	−1	1	−1
24	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	1	0
25	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0
26	1	0	−1	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
27	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0
28	1	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	−1	0	- 1	0	0	0	1	0	1	0	-1	0	1	0
29	1	-1	-1	1	1	1	1	-1	1	-1	-1	-1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	- 1	1	0	1
30	1	0	0	0	0	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0

Свойства

Символ Кронекера разделяет многие основные свойства символа Якоби при определенных ограничениях:

$(an) = ± 1 {\ display стиль \ left ({\ tfrac {a} {n}} \ right) = \ pm 1}$ $\ left ({\ tfrac an} \ right) = \ pm 1$ , если $gcd (a, n) = 1 {\ displaystyle \ gcd (a, n) = 1}$ $\ gcd (a, n) = 1$ , иначе $(an) = 0 {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {a} {n}} \ right) = 0}$ $\ left ({\ tfrac an} \ справа) = 0$ .
$(abn) = (an) (bn) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {ab} {n}} \ right) = \ left ({\ tfrac {a} {n}} \ right) \ left ({\ tfrac {b} { n}} \ right)}$ $\ left ({\ tfrac {ab} n} \ right) = \ left ({\ tfrac an} \ right) \ left ({\ tfrac bn} \ right)$ , если $n = - 1 {\ displaystyle n = -1}$ $n = -1$ , одно из $a, b {\ displaystyle a, b }$ $a, b$ - ноль, а другой - отрицательное.
$(amn) = (am) (an) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {a} {mn}} \ right) = \ left ({\ tfrac {a} {m}} \ right) \ left ({\ tfrac {a} {n}} \ right)}$ $\ left ({\ tfrac a {mn}} \ right) = \ left ({\ tfrac am} \ right) \ left ({\ tfrac an} \ right)$ , если $a = - 1 {\ displaystyle a = -1}$ $a = -1$ , один из $m, n {\ displaystyle m, n}$ $m,n$ равен нулю, а другой имеет нечетную часть (определение ниже) соответствует $3 mod 4 {\ displaystyle 3 {\ bmod {4}}}$ $3 {\ bmod 4}$ .
для $n>0 {\ displaystyle n>0}$ $n>0$ , у нас есть $(an) = (bn) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {a} {n}} \ right) = \ left ({\ tfrac {b} {n}} \ right)}$ $\ left ({\ tfrac an} \ right) = \ left ({\ tfrac bn} \ right)$ всякий раз, когда $a ≡ b mod {4 n, n ≡ 2 (mod 4), n в противном случае. {\ displaystyle a \ Equiv b {\ bmod {\ begin {cases} 4n, n \ Equiv 2 {\ pmod {4}}, \\ n {\ text {в противном случае.}} \ end {ases}}}}$ $a \ Equiv b {\ bmod {\ begin {cases} 4n, n \ Equ 2 {\ pmod 4}, \\ n {\ text {в противном случае.}} \ end {case}}}$ Если дополнительно $a, b {\ displaystyle a, b}$ $a, b$ имеют тот же знак, то же самое верно и для $n < 0 {\displaystyle n<0}$ $n <0$ .
Для $a ≢ 3 (mod 4) {\ displaystyle a \ not \ Equiv 3 {\ pmod {4}}}$ $a \ not \ Equiv 3 {\ pmod 4}$ , $a ≠ 0 {\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ , мы имеем $(am) = (an) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {a} {m}} \ right) = \ left ({\ tfrac {a} {n}} \ right)}$ $\ left ({\ tfrac am} \ right) = \ left ({\ tfrac an} \ right)$ всякий раз, когда $m ≡ n mod {4 | а |, a 2 (mod 4), | а | в противном случае. {\ Displaystyle m \ Equiv n {\ bmod {\ begin {cases} 4 | a |, a \ Equiv 2 {\ pmod {4}}, \\ | a | {\ text {в противном случае.}} \ end { case}}}}$ $m \ Equiv n {\ bmod {\ begin {cases} 4 | a |, a \ Equiv 2 {\ pmod 4}, \\ | a | {\ text {в противном случае.}} \ end {cases}}}$

С другой стороны, символ Кронекера не имеет такой же связи с квадратичными вычетами, как символ Якоби. В частности, символ Кронекера $(an) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {a} {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {a} {n}} \ right)}$ для четных $n {\ displaystyle n}$ $n$ может принимать значения независимо от того, является ли $a {\ displaystyle a}$ $a$ квадратичным остатком или невычетом по модулю $n {\ displaystyle n}$ $n$ .

Квадратичная взаимность

Символ Кронекера также удовлетворяет следующим версиям квадратичного закона взаимности.

Для любого ненулевого целого числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ пусть $n ′ {\ displaystyle n '}$ $n'$ обозначает его нечетную часть: $n = 2 en ′ {\ displaystyle n = 2 ^ {e} n '}$ $n=2^{e}n'$ где $n ′ {\ displaystyle n'}$ $n'$ нечетное (для $n = 0 {\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ , мы кладем $0 ′ = 1 {\ displaystyle 0 '= 1}$ $0'=1$ ). Тогда следующая симметричная версия квадратичной взаимности выполняется для каждой пары целых чисел $m, n {\ displaystyle m, n}$ $m,n$ такой, что $gcd (m, n) = 1 {\ displaystyle \ gcd (m, n) = 1}$ $\gcd(m,n)=1$ :

(mn) (nm) = ± (- 1) m ′ - 1 2 n ′ - 1 2, {\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}) } \ right) \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) = \ pm (-1) ^ {{\ frac {m'-1} {2}} {\ frac {n'-1 } {2}}},}

\left({\frac mn}\right)\left({\frac nm}\right)=\pm (-1)^{{{\frac {m'-1}2}{\frac {n'-1}2}}},

где знак $± {\ displaystyle \ pm}$ $\ pm$ равен $+ {\ displaystyle +}$ $+$ if $m ≥ 0 {\ displaystyle m \ geq 0}$ $m \ geq 0$ или $n ≥ 0 {\ displaystyle n \ geq 0}$ $n \ geq 0$ и равно $- {\ displaystyle -}$ $-$ if $m < 0 {\displaystyle m<0}$ $m <0$ и $n < 0 {\displaystyle n<0}$ $n <0$ .

Существует также эквивалентная несимметричная версия квадратичной взаимности, которая выполняется для каждой пары относительно простых целых чисел $m, n {\ displaystyle m, n}$ $m,n$ :

(mn) (n | m |) = (- 1) m ′ - 1 2 n ′ - 1 2. {\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) \ left ({\ frac {n} {| m |}} \ right) = (- 1) ^ {{\ frac {m ' -1} {2}} {\ frac {n'-1} {2}}}.}

\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{|m|}}\right)=(-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}.

Для любого целого $n {\ displaystyle n}$ $n$ пусть $n ∗ = (- 1) (n ′ - 1) / 2 n {\ displaystyle n ^ {*} = (- 1) ^ {(n'-1) / 2} n}$ $n^{*}=(-1)^{{(n'-1)/2}}n$ . Затем у нас есть другая эквивалентная несимметричная версия, в которой говорится:

(m ∗ n) = (n | m |) {\ displaystyle \ left ({\ frac {m ^ {*}} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {n} {| m |}} \ right)}

\ left ({\ frac {m ^ {*}} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {n} {| m |}} \ right)

для каждой пары целых чисел $m, n {\ displaystyle m, n}$ $m,n$ (не обязательно относительно премьер).

Дополнительные законы также распространяются на символ Кронекера. Эти законы легко следуют из каждой версии квадратичного закона взаимности, указанной выше (в отличие от символа Лежандра и Якоби, где и основной закон, и дополнительные законы необходимы для полного описания квадратичной взаимности).

Для любого целого числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ мы имеем

(- 1 n) = (- 1) n ′ - 1 2 {\ displaystyle \ left ( {\ frac {-1} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {n'-1} {2}}}

\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{{{\frac {n'-1}{2}}}}

и для любого нечетного целого $n {\ displaystyle n }$ $n$ это

(2 n) = (- 1) n 2 - 1 8. {\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {n ^ {2} -1} {8}}.}

\ left ({\ frac {2} {n}} \ right) = ( -1) ^ {{{\ frac {n ^ {2} -1} {8}}}}.

Связь с символами Дирихле

Если $a ≢ 3 (mod 4) {\ displaystyle a \ not \ Equiv 3 {\ pmod {4}}}$ $a \ not \ Equiv 3 {\ pmod 4}$ и $a ≠ 0 {\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ , карта $χ (n) = (an) {\ displaystyle \ chi (n) = \ left ({\ tfrac {a} {n}} \ right) }$ $\ chi (n) = \ left ({\ tfrac an} \ right)$ - действительный символ Дирихле модуля ${4 | а |, a 2 (mod 4), | а |, в противном случае. {\ displaystyle {\ begin {cases} 4 | a |, a \ Equiv 2 {\ pmod {4}}, \\ | a |, {\ text {в противном случае.}} \ end {cases}}}$ ${\ begin {cases} 4 | a |, a \ Equiv 2 {\ pmod 4}, \\ | a |, {\ text {в противном случае.}} \ End {ases}}$ И наоборот, каждый реальный символ Дирихле может быть записан в этой форме с помощью $a ≡ 0, 1 (mod 4) {\ displaystyle a \ Equiv 0,1 {\ pmod {4}}}$ $а \ экв 0,1 { \ pmod 4}$ (для $a ≡ 2 (mod 4) {\ displaystyle a \ Equiv 2 {\ pmod {4}}}$ $a \ Equiv 2 {\ pmod 4}$ это $(an) = (4 an) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {a} {n}} \ right) = \ left ({\ tfrac {4a} {n}} \ right)}$ $\ left ({\ tfrac {a} {n}} \ right) = \ left ({\ tfrac {4a} {n}} \ right)$ ).

В частности, примитивные действительные символы Дирихле $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\ chi$ находятся в соответствии 1–1 с квадратичными полями $F = Q (m) {\ displaystyle F = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {m}})}$ $F = {\ mathbb Q} ({\ sqrt m})$ , где $m {\ displaystyle m}$ $m$ ненулевое значение целое число без квадратов (мы можем включить случай $Q (1) = Q {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {1}}) = \ mathbb {Q}}$ ${\ mathbb Q} ({\ sqrt 1}) = {\ mathbb Q}$ для представления главного символа, даже если это не правильное квадратичное поле). Символ $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\ chi$ можно восстановить из поля как символ Артина $(F / Q ⋅) {\ displaystyle \ left ({ \ tfrac {F / \ mathbb {Q}} {\ cdot}} \ right)}$ $\ left ( {\ tfrac {F / {\ mathbb Q}} \ cdot} \ right)$ : то есть для положительного простого числа $p {\ displaystyle p}$ $p$ , значение $χ (p) {\ displaystyle \ chi (p)}$ $\ chi (p)$ зависит от поведения идеала $(p) {\ displaystyle (p)}$ $(p)$ в кольце целых чисел $OF {\ displaystyle O_ {F}}$ $O_ {F}$ :

χ (p) = {0, (p) разветвляется, 1, (p) разделяется, - 1, (p) инертен. {\ displaystyle \ chi (p) = {\ begin {case} 0, (p) {\ text {ветвится,}} \\ 1, (p) {\ text {splits,}} \\ - 1, (p) {\ text {инертен.}} \ end {cases}}}

\ chi (p) = {\ begin {case} 0, (p) {\ text {разветвлен,}} \\ 1, (p) {\ text {splits,}} \\ - 1, (p) {\ text {инертен.}} \ end {cases}}

Тогда $χ (n) {\ displaystyle \ chi (n)}$ $\ чи (п)$ равно Кронекеру символ $(D n) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {D} {n}} \ right)}$ $\ left ({\ tfrac Dn} \ right)$ , где

D = {m, m ≡ 1 (mod 4), 4 м, м ≡ 2, 3 (mod 4) {\ displaystyle D = {\ begin {cases} m, m \ эквив 1 {\ pmod {4}}, \\ 4m, m \ эквив 2,3 { \ pmod {4}} \ end {cases}}}

D = {\ begin {case} m, m \ Equiv 1 {\ pmod 4}, \\ 4m, m \ Equiv 2,3 {\ pmod 4} \ end {case}}

- это дискриминант для $F {\ displaystyle F}$ $F$ . Проводником $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\ chi$ является $| D | {\ displaystyle | D |}$ $| D |$ .

Аналогично, если $n>0 {\ displaystyle n>0}$ $n>0$ , карта $χ (a) = (an) {\ displaystyle \ chi (a) = \ left ( {\ tfrac {a} {n}} \ right)}$ $\ chi (a) = \ left ({\ tfrac an} \ right)$ - действительный символ Дирихле с модулем ${4 n, n ≡ 2 (mod 4), n в противном случае. {\ displaystyle { \ begin {case} 4n, n \ Equiv 2 {\ pmod {4}}, \\ n, {\ text {в противном случае.}} \ end {cases}}}$ ${\ begin {cases} 4n, n \ Equiv 2 {\ pmod 4}, \\ n, {\ text {иначе.} } \ end {case}}$ Однако не все реальные символы могут быть представлены таким образом, например, символ $(- 4 ⋅) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {-4} {\ cdot}} \ right)}$ $\ left ({\ tfrac {-4} \ cdot} \ right)$ не может быть записывается как $(⋅ n) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ cdot} {n}} \ right)}$ $\ left ({\ tfrac \ cdot n} \ right)$ для любого $n {\ displaystyle n}$ $n$ . По закону квадратичной взаимности мы имеем $(⋅ n) = (n ∗ ⋅) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ cdot} {n}} \ right) = \ left ( {\ tfrac {n ^ {*}} {\ cdot}} \ right)}$ $\ left ({\ tfrac \ cdot n} \ right) = \ left ({\ tfrac {n ^ {*}} \ cdot} \ right)$ . Символ $(a ⋅) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {a} {\ cdot}} \ right)}$ $\ left ({\ tfrac a \ cdot} \ right)$ можно представить как $(⋅ n) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac { \ cdot} {n}} \ right)}$ $\ left ({\ tfrac \ cdot n} \ right)$ тогда и только тогда, когда его нечетная часть $a ′ ≡ 1 (mod 4) {\ displaystyle a '\ Equiv 1 {\ pmod {4}} }$ $a'\equiv 1{\pmod 4}$ , в этом случае мы можем взять $n = | а | {\ displaystyle n = | a |}$ $n = | a |$ .

См. также

символ Гильберта

Ссылки

Kronecker, L. (1885), "Zur Theorie der elliptischen Funktionen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 761–784
Монтгомери, Хью Л. ; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория. Кембриджские исследования в области высшей математики. 97. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-84903-9. Zbl 1142.11001.

Эта статья включает материал из символа Кронекера на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.