Дискриминант поля алгебраических чисел

редактировать
Измеряет размер кольца целых чисел поля алгебраических чисел Основная область кольца целые числа поля K, полученного из Q путем присоединения корня x - x - 2x + 1. Эта фундаментальная область находится внутри K ⊗ QR. Дискриминант K равен 49 = 7. Соответственно, объем фундаментальной области равен 7, а K разветвлен только на 7.

В математике дискриминант поля алгебраических чисел является числовым инвариантом, который, грубо говоря, измеряет размер (кольца целых чисел из) поля алгебраических чисел. Более конкретно, он пропорционален квадрату объема фундаментальной области кольца целых чисел и определяет, какие простые числа разветвлены.

Дискриминант является одним из основные инварианты числового поля, и встречается в нескольких важных аналитических формулах, таких как функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда для K, и аналитическая формула числа классов для K. Теорема из Эрмита утверждает, что существует только конечное число числовых полей ограниченного дискриминанта, однако определение этой величины все еще открытая проблема и предмет текущего исследования.

Дискриминант K можно назвать абсолютным дискриминантом K, чтобы отличить его от относительного дискриминанта из расширения K / L числовых полей. Последний является идеалом в кольце целых чисел L и, как и абсолютный дискриминант, указывает, какие простые числа разветвлены в K / L. Это обобщение абсолютного дискриминанта, позволяющее L быть больше, чем Q ; фактически, когда L = Q, относительный дискриминант K / Q является главным идеалом Z, порожденным абсолютным дискриминантом из K.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Примеры
  • 3 Основные результаты
  • 4 История
  • 5 Относительный дискриминант
    • 5.1 Ветвление
  • 6 Корневой дискриминант
  • 7 Отношение к другим величинам
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки
    • 9.1 Первичные источники
    • 9.2 Вторичные источники
  • 10 Дополнительная литература

Определение

Пусть K будет полем алгебраических чисел, и пусть O K будет его кольцом целых чисел. Пусть b 1,..., b n будет интегральным базисом O K (т. Е. Базисом как Z-модуль ), и пусть {σ 1,..., σ n } будет набором вложений K в комплексные числа ( т.е. инъективные кольцевые гомоморфизмы K → C ). Дискриминант для K является квадратом определителя матрицы B размером n на n , (i, j) -запись которой равна σ i(bj). Символически

Δ K = det (σ 1 (b 1) σ 1 (b 2) ⋯ σ 1 (bn) σ 2 (b 1) ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ σ n (b 1) ⋯ ⋯ σ n ( бн)) 2. {\ displaystyle \ Delta _ {K} = \ det \ left ({\ begin {array} {cccc} \ sigma _ {1} (b_ {1}) \ sigma _ {1} (b_ {2}) \ cdots \ sigma _ {1} (b_ {n}) \\\ sigma _ {2} (b_ {1}) \ ddots \ vdots \\\ vdots \ ddots \ vdots \\\ sigma _ {n} (b_ {1}) \ cdots \ cdots \ sigma _ {n} (b_ {n}) \ end {array}} \ right) ^ {2}.}{\ displaystyle \ Delta _ {K} = \ det \ left ({\ begin { массив} {cccc} \ sigma _ {1} (b_ {1}) \ sigma _ {1} (b_ { 2}) \ cdots \ sigma _ {1} (b_ {n}) \\\ sigma _ {2} (b_ {1}) \ ddots \ vdots \\\ vdots \ ddots \ vdots \ \\ sigma _ {n} (b_ {1}) \ cdots \ cdots \ sigma _ {n} (b_ {n}) \ end {array}} \ right) ^ {2}.}

. Эквивалентно, можно использовать след от K до Q . В частности, определите форму трассировки как матрицу, чья (i, j) -запись равна TrK/Q(bibj). Эта матрица равна BB, поэтому дискриминант K является определителем этой матрицы.

Примеры

Δ K = {d, если d ≡ 1 (mod 4), 4 d, если d ≡ 2, 3 (mod 4). {\ displaystyle \ Delta _ {K} = \ left \ {{\ begin {array} {ll} d {\ text {if}} d \ Equiv 1 {\ pmod {4}} \\ 4d {\ text {if }} d \ Equiv 2,3 {\ pmod {4}}. \\\ end {array}} \ right.}\ Delta _ {K} = \ left \ {{\ begin {array} {ll} d {\ text {if}} d \ Equiv 1 {\ pmod 4} \\ 4d {\ text {if}} d \ Equiv 2,3 {\ pmod 4}. \\\ end {array}} \ right.
Целое число, которое встречается как дискриминант поля квадратичных чисел, называется фундаментальным дискриминант.
Δ K n = (- 1) φ (n) / 2 n φ (n) ∏ p | np φ (N) / (п - 1) {\ Displaystyle \ Delta _ {K_ {n}} = (- 1) ^ {\ varphi (n) / 2} {\ frac {n ^ {\ varphi (п) }} {\ displaystyle \ prod _ {p | n} p ^ {\ varphi (n) / (p-1)}}}}\ Delta _ {{K_ {n}}} = (- 1) ^ {{\ varphi (n) / 2}} {\ frac {n ^ {{\ varphi (n)}}} {\ displaystyle \ prod _ {{p | n}} p ^ {{\ varphi (n) / (p-1)}}}}
где φ (n) {\ displaystyle \ varphi (n) }\ varphi (n) - это общая функция Эйлера, а произведение в знаменателе больше простых p, делящих n.
∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α i − α j) 2 {\displaystyle \prod _{1\leq i\ prod _ {{1 \ leq i <j \ leq n}} (\ alpha _ { i} - \ alpha _ {j}) ^ {2}
, что в точности является определением дискриминанта минимального многочлена.
  • Пусть K = Q (α) будет числовым полем, полученным примыканием к a корень α полинома x - x - 2x - 8. Это исходный пример числового поля Ричарда Дедекинда, кольцо целых чисел которого не имеет степенного базиса.. Целочисленный базис задается выражением {1, α, α (α + 1) / 2}, а дискриминант K равен −503.
  • Повторяющиеся дискриминанты: дискриминант квадратичного поля однозначно идентифицирует его, но это неверно, как правило, для числовых полей более высокой степени. Например, существуют два неизоморфных кубических поля дискриминанта 3969. Они получаются присоединением к корню многочлена x - 21x + 28 или x - 21x - 35 соответственно..

Основные результаты

  • Теорема Брилла : знак дискриминанта равен (-1), где r 2 - количество сложных мест of K.
  • Простое число p разветвляется в K тогда и только тогда, когда p делит Δ K.
  • Теорема Штикельбергера :
Δ K ≡ 0 или 1 (mod 4). {\ displaystyle \ Delta _ {K} \ Equiv 0 {\ text {or}} 1 {\ pmod {4}}.}\ Delta _ {K} \ Equiv 0 {\ text {or}} 1 {\ pmod 4}.
| Δ K | 1/2 ≥ n n n! (π 4) г 2 ≥ N N N! (π 4) п / 2. {\ displaystyle | \ Delta _ {K} | ^ {1/2} \ geq {\ frac {n ^ {n}} {n!}} \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) ^ {r_ {2}} \ geq {\ frac {n ^ {n}} {n!}} \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) ^ {n / 2}.}| \ Delta _ {K} | ^ {{1/2}} \ geq {\ frac {n ^ {n}} {n!}} \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) ^ {{r_ {2}}} \ geq {\ frac {n ^ {n}} {n!}} \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) ^ {{n / 2}}.
  • Теорема Минковского : Если K не равно Q, то | Δ K |>1 (это непосредственно следует из оценки Минковского)
  • Теорема Эрмита – Минковского : Пусть N - натуральное число. Существует только конечное число (с точностью до изоморфизмов) полей алгебраических чисел K с | Δ K| < N. Again, this follows from the Minkowski bound together with Hermite's theorem (that there are only finitely many algebraic number fields with prescribed discriminant).

История

Ричард Дедекинд показал, что каждое числовое поле обладает целочисленным базисом, что позволило ему определить дискриминант произвольного числового поля.

Определение дискриминанта общего поля алгебраических чисел, K, было дано Дедекиндом в 1871 году. К этому моменту он уже знал взаимосвязь между дискриминантом и разветвлением.

Теорема Эрмита предшествовала общему определению дискриминант, доказательство которого Чарльз Эрмит опубликовал в 1857 году. В 1877 году Александр фон Бриль определил знак дискриминанта. Леопольд Кронекер впервые сформулировал теорему Минковского в 1882 году, хотя и первый Доказательство было дано Германом Минковским в 1891 году. В том же году Минковский опубликовал свою оценку дискриминанта. Ближе к концу девятнадцатого века Людвиг Штикельбергер получил свою теорему об остатке дискриминанта по модулю четыре.

Относительный дискриминант

Дискриминант, определенный выше, иногда упоминается как в качестве абсолютного дискриминанта K, чтобы отличить его от относительного дискриминанта Δ K / L расширения числовых полей K / L, который является идеалом в O L. Относительный дискриминант определяется аналогично абсолютному дискриминанту, но должен учитывать, что идеалы в O L могут не быть главными и что может не быть базиса O L из O K. Пусть {σ 1,..., σ n } будет набором вложений K в C, которые тождественны на L. Если b 1,..., b n - любой базис K над L, пусть d (b 1,..., b n) - квадрат определителя матрицы размера n на n, (i, j) -значение которой равно σ i(bj). Тогда относительный дискриминант K / L - это идеал, порожденный d (b 1,..., b n) как {b 1,..., b n } изменяется по всем целочисленным базисам K / L. (т.е. базисы со свойством, что b i ∈ O K для всех i.) В качестве альтернативы относительный дискриминант K / L является нормой разных К / Л. Когда L = Q, относительный дискриминант Δ K/Qявляется главным идеалом Z, сгенерированным абсолютным дискриминантом Δ K. В башне полей K / L / F относительные дискриминанты связаны соотношением

Δ K / F = NL / F (Δ K / L) Δ L / F [K: L] {\ displaystyle \ Delta _ {K / F} = {\ mathcal {N}} _ {L / F} \ left ({\ Delta _ {K / L}} \ right) \ Delta _ {L / F} ^ {[ K: L]}}\ Delta _ {{K / F}} = {\ mathcal {N}} _ {{L / F}} \ left ({\ Delta _ {{K / L}}} \ right) \ Delta _ {{L / F}} ^ {{[K: L]}}

где N {\ displaystyle {\ mathcal {N}}}{\ mathcal {N}} обозначает относительную норму.

Ветвление

Относительный дискриминант регулирует данные разветвления расширения поля K / L. Простой идеал p в L разветвляется в K тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант Δ K / L. Расширение неразветвлено тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеалом. Приведенная выше оценка Минковского показывает, что не существует нетривиальных неразветвленных расширений Q . Поля больше Q могут иметь неразветвленные расширения: например, для любого поля с номером класса больше единицы, его поле класса Гильберта является нетривиальным неразветвленным расширение.

Корневой дискриминант

Корневой дискриминант числового поля K степени n, часто обозначаемый rd K, определяется как n -Корень -й степени абсолютного значения (абсолютного) дискриминанта K. Соотношение между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не изменяется в неразветвленном расширении. Существование башни полей классов обеспечивает границы для корневого дискриминанта: существование бесконечной башни полей классов над Q (√-m), где m = 3 · 5 · 7 · 11 · 19 показывает, что существует бесконечно много полей с корневым дискриминантом 2√m ≈ 296,276. Если мы позволим r и 2s быть числом действительных и комплексных вложений, так что n = r + 2s, положим ρ = r / n и σ = 2s / n. Положим α (ρ, σ) как нижнюю грань rd K для K с (r ', 2s') = (ρn, σn). У нас есть (для всех достаточно больших n)

α (ρ, σ) ≥ 60,8 ρ 22,3 σ {\ displaystyle \ alpha (\ rho, \ sigma) \ geq 60,8 ^ {\ rho} 22,3 ^ {\ sigma}}\ alpha (\ rho, \ sigma) \ geq 60.8 ^ {\ rho} 22.3 ^ {\ sigma}

и в предположении обобщенной гипотезы Римана

α (ρ, σ) ≥ 215,3 ρ 44,7 σ. {\ displaystyle \ alpha (\ rho, \ sigma) \ geq 215.3 ^ {\ rho} 44.7 ^ {\ sigma}.}\ alpha (\ rho, \ sigma) \ geq 215.3 ^ {\ rho} 44.7 ^ {\ sigma}.

Итак, у нас α (0,1) < 296.276. Martinet has shown α(0,1) < 93 and α(1,0) < 1059.Voight 2008 доказывает, что для полностью реальных полей корневой дискриминант>14, за 1229 исключениями.

Отношение к другим величинам

  • При включении в K ⊗ QR {\ displaystyle K \ otimes _ {\ mathbf {Q}} \ mathbf {R}}K \ otimes _ {{\ mathbf {Q}}} {\ mathbf {R}} объем фундаментальной области O K равен | Δ K | {\ displaystyle {\ sqrt {| \ Delta _ {K} |}}}{\ sqrt {| \ Delta _ {K} |}} (иногда используется другой показатель , и получается объем 2 - r 2 | Δ K | {\ displaystyle 2 ^ {- r_ {2}} {\ sqrt {| \ Delta _ {K} |}}}2 ^ {{- r_ {2}}} {\ sqrt {| \ Delta _ {K} |} } , где r 2 - количество комплексные места K).
  • Из-за своего появления в этом томе дискриминант также появляется в функциональном уравнении дзета-функции Дедекинда для K, и, следовательно, в формуле аналитического числа классов, и Теорема Брауэра – Зигеля.
  • Относительный дискриминант K / L является проводником Артина регулярного представления группы Галуа группы K / L. Это обеспечивает связь с проводниками Артина символов группы Галуа для K / L, называемую формулой дискриминант проводника.

Примечания

Ссылки

Первичные источники

Вторичные источники

  • Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики. Перевод Мелдрам, Джон. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. MR 1290116.
  • Коэн, Генри (1993), Курс вычислительной алгебраической теории чисел, Тексты для выпускников по математике, 138, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4, MR 1228206
  • Cohen, Анри ; Диас-и-Диас, Франсиско; Оливье, Мишель (2002), «Обзор дискриминантного подсчета», в Фикере, Клаус; Кохель, Дэвид Р. (ред.), Алгоритмическая теория чисел, Труды, 5-й Международный симпозиум, ANTS-V, Сиднейский университет, июль 2002 г., Lecture Notes in Computer Science, 2369, Berlin: Springer-Verlag, стр. 80–94, doi : 10.1007 / 3-540-45455-1_7, ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN 0302-9743, MR 2041075
  • Фрёлих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1993), теория алгебраических чисел, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 27, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43834 -6, MR 1215934
  • Кох, Гельмут (1997), Алгебраическая теория чисел, Энцикл. Математика. Sci., 62 (2-е издание 1-го изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-63003-1, Zbl 0819.11044
  • Наркевич, Владислав (2004), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел, Монографии Springer по математике (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267
  • Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
  • Серр, Жан-Пьер (1967), «Теория поля локальных классов», в Касселс, Дж. У. С. ; Фрёлих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел, Труды учебной конференции в Университете Сассекса, Брайтон, 1965, Лондон: Academic Press, ISBN 0- 12-163251-2, MR 0220701
  • Войт, Джон (2008), «Перечисление полей полностью действительных чисел дискриминанта с ограниченным корнем», в van der Poorten, Alfred J. ; Штейн, Андреас (ред.), Алгоритмическая теория чисел. Proceedings, 8th International Symposium, ANTS-VIII, Banff, Canada, May 2008, Lecture Notes in Computer Science, 5011, Berlin: Springer-Verlag, pp. 268–281, arXiv : 0802.0194, doi : 10.1007 / 978-3-540-79456-1_18, ISBN 978-3-540 -79455-4, MR 2467853, Zbl 1205.11125
  • Вашингтон, Лоуренс (1997), Введение в циклотомические поля, Тексты для выпускников по математике, 83 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, MR 1421575, Zbl 0966.11047

Дополнительная литература

Последняя правка сделана 2021-05-17 08:48:34
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте