символ Гильберта

В математике, символ Гильберта или символ нормы-остатка - это функция (-, -) от K × K до группы корней n-й степени из единицы в локальном поле K, таком как поля reals или p -адические числа. Это связано с законами взаимности и может быть определено в терминах символа Артина из теории поля локальных классов. Символ Гильберта был введен Дэвидом Гильбертом (1897, разделы 64, 131, 1998, английский перевод) в его Zahlbericht, с небольшая разница в том, что он определил это для элементов глобальных полей, а не для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта был обобщен на более высокие локальные поля.

• 1 Квадратичный символ Гильберта
  • 1.1 Свойства
  • 1.2 Интерпретация как алгебра
  • 1.3 Гильбертовые символы над рациональные числа
  • 1.4 Радикал Капланского
• 2 Общий символ Гильберта
  • 2.1 Свойства
  • 2.2 Закон взаимности Гильберта
  • 2.3 Символ степенного остатка
• 3 См. также
• 4 Внешние ссылки
• 5 Ссылки

Над локальным полем K, мультипликативная группа ненулевых элементов которого равна K, квадратичным символом Гильберта является функция ( -, -) от K × K до {−1,1}, определяемого как

$(a,\; b)\; =\; \{+\; 1,\; если\; z\; 2\; =\; ax\; 2\; +\; by\; 2\; имеет\; ненулевое\; решение\; (x,\; y,\; z)\; \in \; K\; 3;\; -\; 1,\; иначе.\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; +1,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; z\; ^\; \{2\}\; =\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; by\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{не\; имеет\; -Нулевое\; решение\}\}\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; in\; K\; ^\; \{3\};\; \backslash \backslash \; -\; 1,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{в\; противном\; случае.\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Эквивалентно, $(\; a,\; b)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; =\; 1\}$тогда и только тогда, когда $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$равно норме элемента квадратичного расширения $K\; [a]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [\{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}]\}$.

Свойства

Следующие три свойства следуют непосредственно из определения, выбирая подходящие решения приведенного выше диофантова уравнения:

• Если a - квадрат, то (a, b) = 1 для всех b.
• Для всех a, b в K, (a, b) = (b, a).
• Для любого a из K, такого что a − 1 также находится в K, имеем (a, 1 − a) = 1.

(би) мультипликативность, т. е.

(a, b 1b2) = (a, b 1) · (a, b 2)

для любых a, b 1 и b 2 в K, однако, труднее доказать и требует развития локальной теории поля классов.

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Стейнберга и, таким образом, множителя над второй K-группой Милнора $K\; 2\; M\; (K)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{2\}\; ^\; \{M\}\; (\; K)\}$, что по определению

K ⊗ K / (a ​​⊗ (1 − a), a ∈ K \ {1})

По первому свойству оно даже множится над $К\; 2\; M\; (K)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{2\}\; ^\; \{M\}\; (K)\; /\; 2\}$. Это первый шаг к гипотезе Милнора.

Интерпретация как алгебра

Символ Гильберта также может использоваться для обозначения центральной простой алгебры над K с базисом 1, i, j, k и правила умножения $i\; 2\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; ^\; \{2\}\; =\; a\}$, $j\; 2\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{2\}\; =\; b\}$, $ij\; =\; -\; ji\; знак\; равно\; к\; \{\backslash \; Displaystyle\; ij\; =\; -ji\; =\; k\}$. В этом случае алгебра представляет собой элемент порядка 2 в группе Брауэра группы K, который отождествляется с -1, если это алгебра с делением, и +1, если он изоморфен алгебре 2 на 2. матрицы.

символы Гильберта над рациональными числами

Для места v поля рациональных чисел и рациональных чисел a, b мы положим (a, b) v обозначают значение символа Гильберта в соответствующем завершении Qv. Как обычно, если v - оценка, прикрепленная к простому числу p, то соответствующее завершение - это p-адическое поле, а если v - бесконечное место, то завершение - это вещественное число поле.

Вместо действительных чисел (a, b) ∞ равно +1, если хотя бы одно из a или b положительно, и -1, если оба отрицательны.

Над p-адиками с нечетным p напишите $a\; =\; p\; \alpha \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; p\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; u\}$и $b\; =\; p\; \beta \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; p\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; v\}$, где u и v являются целыми числами , взаимно простыми с p, мы имеем

$(a,\; b)\; p\; =\; (-\; 1)\; \alpha \; \beta \; ϵ\; (p)\; (вверх)\; \beta \; (vp)\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; \_\; \{p\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \; epsilon\; (p)\}\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{u\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{v\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$, где $ϵ\; (p)\; =\; (p\; -\; 1)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; (p)\; =\; (p-1)\; /\; 2\}$

, а выражение включает два символа Лежандра.

поверх 2- adics, снова пишем $a\; =\; 2\; \alpha \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 2\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; u\}$и $b\; =\; 2\; \beta \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 2\; ^\; \{\backslash \; beta\; \}\; v\}$, где u и v - нечетные числа, имеем

$(a,\; b)\; 2\; =\; (-\; 1)\; ϵ\; (u)\; ϵ\; (v)\; +\; \alpha \; \omega \; (v)\; +\; \beta \; \omega \; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; \_\; \{2\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; epsilon\; (u)\; \backslash \; epsilon\; (v)\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; omega\; (v)\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; omega\; (u)\}\}$, где $\omega \; (x)\; =\; (x\; 2–1)\; /\; 8.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (x)\; =\; (x\; ^\; \{2\}\; -1)\; /\; 8.\}$

Это известно, что если v пробегает все места, (a, b) v равно 1 почти для всех мест. Следовательно, следующая формула продукта

$\prod \; v\; (a,\; b)\; v\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{v\}\; (a,\; b)\; \_\; \{v\}\; =\; 1\}$

имеет смысл. Это эквивалентно закону квадратичной взаимности.

радикал Капланского

Символ Гильберта на поле F определяет отображение

$(\cdot ,\; \cdot ):\; F\; \ast \; /\; F\; \ast \; 2\; \times \; F\; *\; /\; F\; *\; 2\; \to \; В\; р\; \; (F)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (\backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot):\; F\; ^\; \{*\}\; /\; F\; ^\; \{*\; 2\}\; \backslash \; times\; F\; ^\; \{*\}\; /\; F\; ^\; \{*\; 2\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathop\; \{Br\}\; (F)\}$

где Br (F) - группа Брауэра F. Ядро этого отображения, элементы a такие, что (a, b) = 1 для всех b, - это радикал Капланского из F.

Радикал - это подгруппа в F / F, отождествленная с подгруппой в F. Радикал равен F тогда и только тогда, когда F имеет u- инвариант не более 2. В противоположном направлении поле с радикалом F называется полем Гильберта .

Если K - локальное поле, содержащее группу n-го корней из единицы для некоторого натурального числа n, простого с характеристикой K, то символ Гильберта (,) является функцией от K * × K * до μ n. В терминах символа Артина его можно определить следующим образом:

$(a,\; b)\; bn\; =\; (a,\; K\; (bn)\; /\; K)\; bn\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{n\}]\; \{b\; \}\}\; =\; (a,\; K\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{n\}]\; \{b\}\})\; /\; K)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{n\}]\; \{b\}\}\}$

Гильберт первоначально определил символ Гильберта до символа Артина был открыт, и его определение (для простого n) использовало символ степенного вычета, когда K имеет характеристику вычета, взаимно простую с n, и было довольно сложным, когда K имеет характеристику вычета, делящую n.

Свойства

Символ Гильберта (мультипликативно) билинейен:

(ab, c) = (a, c) (b, c)

(a, bc) = (a, b) (a, c)

кососимметричный:

(a, b) = (b, a)

невырожденный:

(a, b) = 1 для всех b тогда и только тогда, когда a находится в K *

Он обнаруживает нормы (отсюда и название символа вычета нормы):

(a, b) = 1 тогда и только тогда, когда a является нормой элемента в K (√ b)

Он имеет свойства «символа» :

(a, 1 – a) = 1, (a, –a) = 1.

Закон взаимности Гильберта

Закон Гильберта Закон взаимности гласит, что если a и b находятся в поле алгебраических чисел, содержащем корни n-й степени из единицы, то

$\prod \; p\; (a,\; b)\; p\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\}\; (a,\; b)\; \_\; \{\; p\}\; =\; 1\}$

где произведение находится над конечным и бесконечным простым числом p числового поля, и где (,) p - символ Гильберта пополнения в p. Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта в терминах символа Артина.

Символ степенного остатка

Если K - числовое поле, содержащее корни n-й степени из единицы, p - простой идеал, не делящий n, π - простой элемент локального поля p, и a взаимно просто с p, то символ степенного вычета (. p) связан с символом Гильберта соотношением

$(ap)\; =\; (\pi ,\; a)\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{a\}\; \{p\}\; \}\; =\; (\backslash \; pi,\; a)\; \_\; \{p\}\}$

Символ степенного вычета расширен до дробных идеалов посредством мультипликативности и определен для элементов числового поля, положив (. b) = (. (b)) где (b) - главный идеал, порожденный b. Тогда из закона взаимности Гильберта следует следующий закон взаимности для символа вычета, когда a и b просты между собой и с n:

$(a\; b)\; =\; (b\; a)\; \prod \; p\; |\; n,\; \infty \; (a,\; b)\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{a\}\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; binom\; \{b\}\; \{a\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; |\; n,\; \backslash \; infty\}\; (a,\; b)\; \_\; \{p\}\}$

• Алгебра Адзумая

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• HilbertSymbol at Mathworld

• Боревич, З.И. ; Шафаревич, IR (1966), Теория чисел, Academic Press, ISBN 0-12-117851-X, Zbl 0145.04902
• Гильберт, Давид (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 4 : 175–546, ISSN 0012-0456
• Гильберт, Дэвид (1998), Теория полей алгебраических чисел, Берлин, Нью-Йорк : Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62779-1, MR 1646901
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение к квадратичным формам по полям, Аспирантура по математике, 67, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1095-2, Zbl 1068.11023
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию, Annals of Mathematics Studies, 72, Princeton University Press, MR 0349811, Zbl 0237.18005
• Нойкирх, Юрген (1999), теория алгебраических чисел, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956.11021
• Серр, Жан-Пьер (1996), Курс арифметики, Тексты для выпускников по математике, 7, Берлин, Нью-Йорк: Springer- Верлаг, ISBN 978-3-540-90040-5, Zbl 0256.12001
• Востоков, СВ; Фесенко, И.Б. (2002), Локальные поля и их расширения, Переводы математических монографий, 121, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3259-2, Zbl 1156.11046