Мультипликативная группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z) SL (2, Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n) Специальная линейная SL ( n) Ортогональный O ( n) Евклидова E ( n) Специальная ортогональная SO ( n) Унитарная U ( n) Специальная унитарная СУ ( п) Симплектический Sp ( n) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике и теории групп термин мультипликативная группа относится к одному из следующих понятий:

• группа относительно умножения из обратимых элементов поля, кольца, или другой структуры, для которых одна из его операций упоминается как умножение. В случае поля F, группа ( Р ∖ {0}, •), где 0 обозначает нулевой элемент из F и бинарной операцией • является поле умножения,
• алгебраический тор GL (1)..

Содержание

• 1 Примеры
• 2 Групповая схема корней единства
• 3 Примечания
• 4 ссылки
• 5 См. Также

Примеры

• Мультипликативная группа целых чисел по модулю п является группой относительно умножения из обратимых элементов. Когда n не является простым, есть элементы, отличные от нуля, которые не обратимы.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$
• Мультипликативная группа положительных действительных чисел - это абелева группа с единичным элементом. Логарифм является групповым изоморфизмом этой группы к аддитивным группы действительных чисел.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Мультипликативная группа поля - это набор всех ненулевых элементов:, под действием операции умножения. Если это конечное порядка д (например, д = р простое, а), то мультипликативная группа является циклической:.${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle F ^ {\ times} = F - \ {0 \}}$${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F = \ mathbb {F} _ {p} = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle F ^ {\ times} \ cong C_ {q-1}}$

Групповая схема корней единства

Схема группы п -х корней из единицы, по определению, ядро п -Power на карте мультипликативной группы GL (1), рассматриваемую как групповая схема. То есть для любого целого числа n gt; 1 мы можем рассмотреть морфизм на мультипликативной группе, который принимает n -й степени, и взять подходящее послойное произведение схем с морфизмом e, который служит тождеством.

Получившаяся групповая схема записывается μ n (или). Это приводит к сокращенной схеме, когда мы берем ее на поле K, тогда и только тогда, когда характеристика поля K не делит n. Это делает его источником некоторых ключевых примеров несократимых схем (схем с нильпотентными элементами в их структурных пучках ); например µ p над конечным полем с p элементами для любого простого числа p. ${\ Displaystyle \ му \! \! \ му _ {п}}$

Это явление нелегко выразить на классическом языке алгебраической геометрии. Например, это оказывается очень важным для выражения теории двойственности абелевых многообразий в характеристике p (теория Пьера Картье ). Когомологии Галуа этой групповой схемы являются способом выражения теории Куммера.

Ноты

1. ^ См. Hazewinkel et al. (2004), стр. 2.
2. ^ Милн, Джеймс С. (1980). Этальные когомологии. Издательство Принстонского университета. С. xiii, 66.

Ссылки

• Михель Хазевинкель, Надежда Губарени, Надежда Михайловна Губарени, Владимир Васильевич Кириченко. Алгебры, кольца и модули. Том 1. 2004. Springer, 2004. ISBN   1-4020-2690-0.

Смотрите также

• Мультипликативная группа целых чисел по модулю n
• Аддитивная группа