Теорема Лагранжа (теория групп)

${\ Displaystyle [G: K] = [G: H] \, [H: K].}$

Пусть S - набор представителей смежных классов для K в H, поэтому (несвязное объединение) и. Для любого умножения слева на a является биекцией, поэтому. Таким образом, каждый левый смежный класс Н разлагается в левых смежных классов из K. Поскольку G разлагается на левые смежные классы H, каждый из которых разлагается на левые смежные классы K, общее количество левых смежных классов K в G равно. ${\ Displaystyle H = \ coprod _ {s \ in S} sK}$${\ Displaystyle | S | = [H: K]}$${\ displaystyle a \ in G}$${\ displaystyle G \ to G}$${\ displaystyle aH = \ coprod _ {s \ in S} asK}$${\ displaystyle [H: K]}$${\ displaystyle [G: H]}$${\ displaystyle [H: K]}$${\ displaystyle [G: K]}$${\ displaystyle [G: H] [H: K]}$

Если взять K = { e } ( e - единичный элемент G), то [ G  : { e }] = | G | и [ H  : { e }] = | H |. Следовательно, мы можем восстановить исходное уравнение | G | = [ G  : H ] | H |.

Приложения

Следствием теоремы является то, что порядок любого элемента a конечной группы (т. Е. Наименьшего положительного целого числа k с a ^k = e, где e - единичный элемент группы) делит порядок этой группы, поскольку порядок равен порядку циклической подгруппы, генерируемой с помощью. Если в группе n элементов, то следует

${\ Displaystyle \ Displaystyle а ^ {п} = е {\ t_dv {.}}}$

Это может быть использовано для доказательства маленькой теоремы Ферма и ее обобщения, теоремы Эйлера. Эти частные случаи были известны задолго до доказательства общей теоремы.

Теорема также показывает, что любая группа простого порядка циклическая и простая. Это, в свою очередь, может быть использовано для доказательства теоремы Вильсона о том, что если p простое число, то p является делителем. ${\ Displaystyle (п-1)! + 1}$

Теорема Лагранжа также может быть использована, чтобы показать, что существует бесконечно много простых чисел : если бы было наибольшее простое число p, то простой делитель q числа Мерсенна был бы таким, что порядок 2 в мультипликативной группе (см. Модульную арифметику ) делит порядок, который есть. Следовательно, p lt; q, что противоречит предположению, что p - наибольшее простое число. ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} / д \ mathbb {Z}) ^ {*}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} / д \ mathbb {Z}) ^ {*}}$${\ displaystyle q-1}$

Существование подгрупп заданного порядка

Теорема Лагранжа поднимает обратный вопрос о том, каждый ли делитель порядка группы является порядком некоторой подгруппы. В общем случае это неверно: для конечной группы G и дивизора d группы | G |, то не обязательно существует подгруппа G с порядком д. Самый маленький пример - A 4 ( переменная группа степени 4), которая имеет 12 элементов, но не имеет подгруппы порядка 6.

Группа «Обращение к теореме Лагранжа» (CLT) - это конечная группа, обладающая тем свойством, что для каждого делителя порядка группы существует подгруппа этого порядка. Известно, что группа CLT должна быть разрешимой и что каждая сверхразрешимая группа является группой CLT. Однако существуют разрешимые группы, не являющиеся CLT (например, A 4), и группы CLT, которые не являются сверхразрешимыми (например, S 4, симметрическая группа степени 4).

Есть частичные обращения к теореме Лагранжа. Для общих групп теорема Коши гарантирует существование элемента и, следовательно, циклической подгруппы порядка любого простого числа, делящего порядок группы. Теорема Силова расширяет это до существования подгруппы порядка, равного максимальной степени любого простого числа, делящего порядок группы. Для разрешимых групп теоремы Холла утверждают существование подгруппы порядка, равной любому унитарному делителю порядка группы (то есть дивизору, взаимно простому со своим кофактором).

Контрпример обращения теоремы Лагранжа

Обратное к теореме Лагранжа утверждает, что если d является делителем порядка группы G, то существует подгруппа H, где | H | = d.

Мы рассмотрим знакопеременную группу A 4, множество четных перестановок, как подгруппу симметричной группы S 4.

A 4 = { e, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}.

| A 4 | = 12, поэтому делители равны 1, 2, 3, 4, 6, 12. Предположим противное, что существует подгруппа Н в А 4 с | H | = 6.

Пусть V будет нециклическая подгруппа А 4 называется Клейн четыре группы.

V = { e, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}.

Пусть K = H ⋂ V. Поскольку и H, и V являются подгруппами в A 4, K также является подгруппой в A 4.

Согласно теореме Лагранжа, порядок K должен делить как 6, так и 4, порядки H и V соответственно. Единственные два положительных целых числа, которые делят 6 и 4, - это 1 и 2. Итак | K | = 1 или 2.

Предположим | K | = 1, то K = { e }. Если H не имеет общих элементов с V, то 5 элементов в H, помимо элемента идентичности e, должны иметь форму ( abc), где a, b, c - различные элементы в {1, 2, 3, 4}.

Поскольку любой элемент формы ( abc) в квадрате равен ( acb), а ( abc) ( acb) = e, любой элемент H в форме ( abc) должен быть спарен со своим обратным. В частности, остальные 5 элементов H должны поступать из различных пар элементов в А 4, которые не являются в V. Это невозможно, поскольку пары элементов должны быть четными и не могут содержать до 5 элементов. Таким образом, предположения, что | K | = 1 неверно, поэтому | K | = 2.

Тогда K = { e, v }, где v ∈ V, v должно иметь вид ( ab) ( cd), где a, b, c, d - различные элементы из {1, 2, 3, 4}. Остальные четыре элемента в H - это циклы длины 3.

Обратите внимание, что смежные классы, порожденные подгруппой группы, образуют раздел группы. Классы смежности, порожденные определенной подгруппой, либо идентичны друг другу, либо не пересекаются. Индекс подгруппы в группе [ A 4  : H ] = | A 4 | / | H | - количество смежных классов, порожденных этой подгруппой. Поскольку | A 4 | = 12 и | H | = 6, Н, будет генерировать два левых смежных классов, один, который равен H, а другой, Gh, то есть длины 6 и включает в себя все элементы A 4 не в H.

Поскольку существует только 2 различных смежных класса, порожденных H, то H должен быть нормальным. Из - за этого, Н = GHG ^-1 (∀ г ∈ 4). В частности, это верно для g = ( abc) ∈ A 4. Так как H = GHG ^-1, GvG ^-1 ∈ H.

Без ограничения общности предположим, что a = 1, b = 2, c = 3, d = 4. Тогда g = (1 2 3), v = (1 2) (3 4), g ⁻¹ = (1 3 2), gv = (1 3 4), gvg ⁻¹ = (1 4) (2 3). Преобразуясь обратно, получаем gvg ⁻¹ = ( a d) ( b c). Поскольку V содержит все непересекающиеся транспозиции в А 4, GvG ^-1 ∈ V. Следовательно, GVG ^-1 ∈ H ⋂ V = K.

Поскольку gvg ⁻¹ ≠ v, мы показали, что в K есть третий элемент. Но ранее мы предполагали, что | K | = 2, получаем противоречие.

Следовательно, наше исходное предположение, что существует подгруппа порядка 6, неверно, и, следовательно, в A 4 нет подгруппы порядка 6, и обратное утверждение теоремы Лагранжа не обязательно верно. QED

История

Лагранж не доказал теорему Лагранжа в общем виде. В своей статье Réflexions sur la résolution algébrique des équations он заявил, что если многочлен от n переменных имеет переменные, переставляемые во всех n ! Таким образом, количество получаемых полиномов всегда кратно n !. (Например, если переменные x, y и z переставляются всеми 6 возможными способами в многочлене x + y - z, то мы получаем всего 3 различных многочлена: x + y - z, x + z - y, и y + z - x. Заметим, что 3 - множитель 6.) Число таких многочленов является индексом в симметрической группе S n подгруппы H перестановок, сохраняющих многочлен. (Например, x + y - z, подгруппа H в S 3 содержит единицу и транспозицию ( xy).) Таким образом, размер H делит n !. С более поздним развитием абстрактных групп этот результат Лагранжа о многочленах был признан распространенным на общую теорему о конечных группах, которая теперь носит его имя.

В своих Disquisitiones Arithmeticae в 1801 году Карл Фридрих Гаусс доказал теорему Лагранжа для частного случая мультипликативной группы ненулевых целых чисел по модулю p, где p - простое число. В 1844 году Огюстен-Луи Коши доказал теорему Лагранжа для симметрической группы S n. ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}) ^ {*}}$

Камилла Жордан окончательно доказала теорему Лагранжа для случая любой группы подстановок в 1861 году.

Примечания

использованная литература

• Брей, Генри Г. (1968), «Заметка о группах CLT», Pacific J. Math., 27 (2): 229-231, DOI : 10,2140 / pjm.1968.27.229
• Галлиан, Джозеф (2006), Contemporary Abstract Algebra (6-е изд.), Бостон: Houghton Mifflin, ISBN   978-0-618-51471-7
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley amp; Sons, ISBN   978-0-471-43334-7, Руководство по ремонту   2286236
• Рот, Ричард Р. (2001), "История теоремы Лагранжа групп", математический журнал, 74 (2): 99-108, DOI : 10,2307 / 2690624, JSTOR   2690624

внешние ссылки

• Брей, Николас. "Групповая теорема Лагранжа". MathWorld.