Арифметическая группа

В математике арифметическая группа представляет собой группу, полученную как целые точки алгебраическая группа, например $SL\; 2\; (Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}).\}$Они естественным образом возникают при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических тем в теория чисел. Они также дают начало очень интересным примерам римановых многообразий и, следовательно, представляют интерес в дифференциальной геометрии и топологии. Наконец, эти две темы объединяются в теории автоморфных форм, которая является фундаментальной в современной теории чисел.

• 1 История
• 2 Определение и построение
  • 2.1 Арифметические группы
  • 2.2 Использование числовых полей
• 3 Примеры
• 4 Арифметические решетки в полупростых группах Ли
  • 4.1 Борель –Теорема Хариша-Чандры
  • 4.2 Теорема Маргулиса об арифметичности
  • 4.3 Арифметические фуксовы и клейновы группы
  • 4.4 Классификация
  • 4.5 Проблема конгруэнтных подгрупп
• 5 S-арифметических групп
  • 5.1 Определение
  • 5.2 Решетки в группах Ли над локальными полями
• 6 Некоторые приложения
  • 6.1 Явные графы-расширители
  • 6.2 Экстремальные поверхности и графы
  • 6.3 Изоспектральные многообразия
  • 6.4 Ложные проективные плоскости
• 7 Ссылки

Одним из истоков математической теории арифметических групп является теория алгебраических чисел. Классическая теория редукции квадратичных и эрмитовых форм Чарльза Эрмита, Германа Минковского и других может рассматриваться как вычисление фундаментальных областей для действия определенных арифметических групп на соответствующие симметричные пространства. Тема была связана с Геометрией чисел Минковского и ранним развитием исследования арифметических инвариантов числовых полей, таких как дискриминант. Арифметические группы можно рассматривать как обширное обобщение групп элементов числовых полей до некоммутативной настройки.

Те же группы также появились в аналитической теории чисел по мере развития изучения классических модулярных форм и их обобщений. Конечно, эти две темы были связаны, что можно увидеть, например, в вычислении Ленглендсом объема определенных фундаментальных областей с использованием аналитических методов. Кульминацией этой классической теории стала работа Зигеля, который во многих случаях показал конечность объема фундаментальной области.

Для начала современной теории требовалась фундаментальная работа, которая была обеспечена работами Арманда Бореля, Андре Вейля, Жака Титса и другие по алгебраическим группам. Вскоре после этого конечность коволюма была полностью доказана Борелем и Хариш-Чандрой. Тем временем Атле Сельберг, Григорий Маргулис, Давид Каждан, М. добились прогресса в общей теории решеток в группах Ли. С. Рагхунатан и другие. Состояние дел после этого периода было по существу зафиксировано в трактате Рагхунатана, опубликованном в 1972 году.

В семидесятых годах Маргулис произвел революцию в этой теме, доказав, что в «большинстве» случаев арифметические конструкции учитывают все решетки в данном Группа Ли. Некоторые ограниченные результаты в этом направлении были ранее получены Сельбергом, но методы Маргулиса (использование эргодико-теоретических инструментов для действий на однородных пространствах) были совершенно новыми в этом контексте и должны были оказать огромное влияние на более поздние разработки, эффективно обновляющие старый предмет геометрии чисел и позволяющие самому Маргулису доказать гипотезу Оппенгейма ; более сильные результаты (теоремы Ратнера ) были позже получены Мариной Ратнер.

В другом направлении классическая тема модульных форм превратилась в современную теорию автоморфных форм. Движущей силой этих усилий в основном является программа Лэнглендса, инициированная Робертом Лэнглендсом. Одним из основных используемых там инструментов является формула следа, возникшая в работах Сельберга и разработанная в самых общих условиях Джеймсом Артуром.

Наконец, арифметические группы часто используются для построения интересных примеров локально симметричные римановы многообразия. Особенно активно исследуются трехмерные арифметические гиперболические многообразия, которые, как писал Уильям Терстон, «... часто кажутся особенно красивыми».

Арифметические группы

Если $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\}$является алгебраической подгруппой $GL\; n\; (Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\})\}$для некоторых $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$тогда мы можем определить арифметическую подгруппу $G\; (Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\})\}$как группу целочисленных точек $\Gamma \; =\; GL\; n\; (\; Z)\; \cap \; G\; (Q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\; \backslash \; cap\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}).\}$В общем, это не так очевидно, как уточнить понятие "целые точки" $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$-группы, и подгруппа, определенная выше, может измениться, когда мы возьмем разные вложения $G\; \to \; GL\; n\; (Q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}).\}$

Таким образом, для определения арифметической подгруппы $G\; (\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\})\}$любая группа $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$, которая соизмерима (это означает, что и $\Gamma \; /\; (\Gamma \; \cap \; \Lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; /\; (\backslash \; Gamma\; \backslash \; cap\; \backslash \; Lambda)\}$, так и $\Lambda \; /\; (\Gamma \; \cap \; \Lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; /\; (\backslash \; Gamma\; \backslash \; cap\; \backslash \; Lambda)\}$- конечные множества) в группу $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$, определенную, как указано выше (в отношении любого встраивание в $GL\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{n\}\}$). С этим определением с алгебраической группой $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\}$связан набор «дискретных» подгрупп, все соизмеримые друг с другом.

Использование числовых полей

Естественное обобщение приведенной выше конструкции выглядит следующим образом: пусть $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$будет числовым полем с кольцом целых чисел $O\; \{\backslash \; displaystyle\; O\}$и $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\}$алгебраической группой над $F\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; F\}$. Если нам дано вложение $\rho :\; G\; \to \; GL\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho:\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{n\}\}$, определенное над $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, тогда подгруппа $\rho \; -\; 1\; (GL\; n\; (O))\; \subset \; G\; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{\; n\}\; (O))\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; (F)\}$правомерно можно назвать арифметической группой.

С другой стороны, полученный таким образом класс групп не превышает класс арифметических групп, как определено выше. Действительно, если мы рассмотрим алгебраическую группу $G\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; \text{'}\}$над $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$, получаем посредством ограничения скаляров от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$до $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$и $Q\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$-вложение $\rho \; \prime :\; G\; \prime \; \to \; GL\; dn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \text{'}:\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\text{'}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{dn\}\}$вызвано $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$(где $d\; =\; [F:\; Q]\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; [F:\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}]\}$), то группа, построенная выше, равна $(\rho \; \prime )\; -\; 1\; (GL\; nd\; (Z))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; rho\; \text{'})\; ^\; \{-\; 1\}\; (\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{nd\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}))\}$.

Классическим примером арифметической группы является $SL\; n\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{\; SL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$или тесно связанные группы $PSL\; n\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{PSL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{\; Z\})\}$, $GL\; n\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$и $P\; G\; L\; n\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{PGL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$. Для $n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\}$группа $PSL\; 2\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{PSL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$или иногда $SL\; n\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$, называется модульная группа, так как она связана с модульной кривой . Аналогичными примерами являются модульные группы Зигеля $S\; p\; 2\; g\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Sp\}\; \_\; \{2g\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$.

Другие известные и изученные примеры включают группы Бьянки $SL\; 2\; (O\; -\; m),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (O\; \_\; \{-\; m\}),\}$где $m>0\; \{\backslash \; displaystyle\; m>0\}$- целое число без квадратов, а $O\; -\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; \_\; \{-\; m\}\}$- кольцо целых чисел в поле $Q\; (-\; m),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{-m\}\}),\}$и модульные группы Гильберта-Блюменталя $SL\; 2\; (O\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (O\_\; \{m\})\}$.

Другой классический пример - целые элементы в ортогональной группе квадратичной формы, определенной над числовым полем, например $SO\; (n,\; 1)\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SO\}\; (n,\; 1)\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$. Отношение Построение ted осуществляется путем взятия групп единиц порядков в алгебрах кватернионов над числовыми полями (например, порядок кватернионов Гурвица ). Аналогичные построения могут быть выполнены с унитарными группами эрмитовых форм, хорошо известным примером является модульная группа Пикара.

Когда $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- группа Ли, можно определить арифметическую решетку в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$следующим образом: для любой алгебраической группы $G\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\}$определено на $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$так, что существует морфизм $G\; (R)\; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\; \backslash \; to\; G\}$с компактным ядром, образ арифметической подгруппы в $G\; (Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\; \}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\})\}$- это арифметическая решетка в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. Так, например, если $G\; =\; G\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$и $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- подгруппа $GL\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{n\}\}$, затем $G\; \cap \; GL\; n\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; cap\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$- это арифметическая решетка в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$(но их гораздо больше, соответствующие другим вложениям); например, $SL\; n\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$- арифметическая решетка в $SL\; n\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$.

Теорема Бореля – Хариш-Чандры

A решетка в группе Ли обычно определяется как дискретная подгруппа с конечным covolume. Терминология, введенная выше, согласуется с этим, поскольку теорема Бореля и Хариш-Чандры утверждает, что арифметическая подгруппа в полупростой группе Ли имеет конечный кообъем (дискретность очевидна).

Теорема более точна: в ней говорится, что арифметическая решетка кокомпактна тогда и только тогда, когда "форма" $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$использовалась для ее определения (т.е. $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$-group $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\}$) является анизотропным. Например, арифметическая решетка, связанная с квадратичной формой в $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$переменных над $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$, будет компактен в ассоциированной ортогональной группе тогда и только тогда, когда квадратичная форма не обращается в нуль в любой точке в $Q\; n\; \setminus \; \{0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \}$.

Теорема Маргулиса об арифметичности

Эффектный результат, который получил Маргулис, является частичным обращением теоремы Бореля-Хариш-Чандры: для некоторых групп Ли любая решетка является арифметической. Этот результат верен для любой неприводимой решетки в полупростых группах Ли вещественного ранга больше двух. Например, все решетки в $SL\; n\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$являются арифметическими, если $n\; \ge \; 3\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; п\; \backslash \; GEQ\; 3\}$. Основным новым ингредиентом, который Маргулис использовал для доказательства своей теоремы, была сверхжесткость решеток в группах более высокого ранга, которую он доказал для этой цели.

Неприводимость играет роль только тогда, когда $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$имеет фактор действительного ранга один (иначе теорема всегда выполняется), и не проста: это означает, что для любое разложение продукта $G\; =\; G\; 1\; \times \; G\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; G\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; G\_\; \{2\}\}$решетка не соизмерима с произведением решеток в каждом из факторов $Г\; я\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\_\; \{i\}\}$. Например, решетка $SL\; 2\; (Z\; [2])\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}])\}$в $SL\; 2\; (R)\; \times \; SL\; 2\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\; \backslash \; times\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{\; R\})\}$неприводимо, а $SL\; 2\; (Z)\; \times \; SL\; 2\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\; \backslash \; times\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$- нет.

Теорема Маргулиса об арифметичности (и сверхжесткости) верна для некоторых групп Ли ранга 1, а именно $S\; p\; (n,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Sp\}\; (n,\; 1)\}$для $n\; ⩾\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geqslant\; 1\}$и исключительной группы $F\; 4-20\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{4\}\; ^\; \{-\; 20\}\}$. Известно, что не выполняется во всех группах $SO\; (n,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SO\}\; (n,\; 1)\}$для $n\; ⩾\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geqslant\; 2\}$(ссылка на GPS) и для $SU\; (n,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SU\}\; (n,\; 1)\}$, когда $n\; Знак\; равно\; 1,\; 2,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 1,2,3\}$. Нет известных неарифметических решеток в группах $SU\; (n,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SU\}\; (n,\; 1)\}$при $n\; ⩾\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geqslant\; 4\}$.

Арифметические фуксовы и клейновы группы

Арифметические фуксовы группы строятся из следующих данных: поле полностью действительных чисел $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, кватернионная алгебра $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$над $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$и порядок $O\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\}$в $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Требуется, чтобы для одного вложения $\sigma :\; F\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma:\; F\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$алгебра $A\; \sigma \; \otimes \; FR\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{F\}\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$быть изоморфным матричной алгебре $M\; 2\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\; \}$и для всех остальных кватернионов Гамильтона. Тогда группа единиц $O\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; ^\; \{1\}\}$представляет собой решетку в $(A\; \sigma \; \otimes \; FR)\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; ^\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{F\}\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\; ^\; \{1\}\}$, который изоморфен $SL\; 2\; (R),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}),\}$, и он компактен во всех случаях, кроме случаев, когда $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$- матричная алгебра над $В.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}.\}$Все арифметические решетки в $SL\; 2\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$получаются таким образом (с точностью до соизмеримости).

Арифметические клейнианские группы строятся аналогично, за исключением того, что $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$должен иметь ровно одно сложное место, а $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$быть кватернионами Гамильтона во всех реальных местах. Они исчерпывают все классы арифметической соизмеримости в $S\; L\; 2\; (C).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\}).\}$

Классификация

Для каждой полупростой группы Ли $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$Теоретически можно классифицировать (с точностью до соизмеримости) все арифметические решетки в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$аналогично случаям $G\; =\; SL\; 2\; (R),\; SL\; 2\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}),\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\}$объяснил выше. Это равносильно классификации алгебраических групп, вещественные точки которых изоморфны с точностью до компактного множителя $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$.

Проблема подгруппы конгруэнции

A подгруппа конгруэнции является (примерно) подгруппой арифметическая группа, определяемая путем взятия всех матриц, удовлетворяющих определенным уравнениям по модулю целого числа, например, группы целочисленных матриц 2 на 2 с диагональными (соответственно недиагональными) коэффициентами, сравнимыми с 1 (соответственно 0) по модулю целого положительного числа. Это всегда подгруппы с конечным индексом, и проблема конгруэнтных подгрупп примерно спрашивает, все ли подгруппы получаются таким образом. Гипотеза (обычно приписываемая Жан-Пьеру Серру ) состоит в том, что это верно для (неприводимых) арифметических решеток в группах более высокого ранга и неверно для групп ранга один. Он все еще открыт в этой общности, но есть много результатов, устанавливающих его для конкретных решеток (как в положительном, так и в отрицательном случаях).

Вместо того, чтобы брать целые точки в определении арифметической решетки, можно брать точки, которые являются целыми от конечного числа простых чисел. Это приводит к понятию $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$-арифметической решетки (где $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$обозначает набор инвертированных простых чисел). Прототипный пример: $SL\; 2\; (Z\; [1\; p])\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{p\}\}\; \backslash \; справа]\; \backslash \; справа)\}$. Они также являются естественными решетками в некоторых топологических группах, например $SL\; 2\; (Z\; [1\; p])\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right)\}$- решетка в $SL\; 2\; (R)\; \times \; SL\; 2\; (Q\; p).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\; \backslash \; times\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \_\; \{p\}).\}$

Определение

Формальное определение $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$-арифметической группы для $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$конечный набор простых чисел - это то же, что и для арифметических групп с заменой $GL\; n\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$на $GL\; n\; (Z\; [\; 1\; N])\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right)\}$где $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$- произведение простых чисел в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.

Решетки в группах Ли над локальными полями

Борель –Теорема Хариша-Чандры обобщается на $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$-арифметические группы следующим образом: если $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$является $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$-арифметическая группа в $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$-алгебраическая группа $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{G\; \}\}$, затем $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$представляет собой решетку в локально компактной группе

$G\; =\; G\; (R)\; \times \; \prod \; p\; \in \; SG\; (Q\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; (\backslash \; mathbb\; \{\; R\})\; \backslash \; times\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; \backslash \; in\; S\}\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \_\; \{p\})\}$.

Явные расширительные графы

Арифметические группы со свойством Каждана (T) или более слабым свойством ($\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$) Любоцкого и Циммера можно использовать для построения расширяющих графов (Маргулис), или даже графы Рамануджана (Любоцкий — Филлипс — Сарнак). Такие графы, как известно, существуют в изобилии по вероятностным результатам, но явный характер этих построений делает их интересными.

Экстремальные поверхности и графы

Покрытие конгруэнтности арифметических поверхностей, как известно, приводит к появлению поверхностей с большим радиусом инъективности. Точно так же графы Рамануджана, построенные Любоцким-Филлипсом-Сарнаком, имеют большой обхват. На самом деле известно, что само свойство Рамануджана подразумевает, что локальные обхваты графа почти всегда велики.

Изоспектральные многообразия

Арифметические группы могут использоваться для построения изоспектральных многообразий. Впервые это осознала Мари-Франс Виньера, и с тех пор появилось множество вариаций ее конструкции. Проблема изоспектральности на самом деле особенно удобна для изучения в ограниченном контексте арифметических многообразий.

Поддельные проективные плоскости

Поддельная проективная плоскость - это комплексная поверхность, которая имеет те же числа Бетти, что и проективная плоскость $P\; 2\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\}$, но не биголоморфен ему; первый пример был обнаружен Мамфордом. По работе Клинглера (также независимо доказанной Йунгом) все они являются факторами 2-шара арифметическими решетками в $PU\; (2,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{PU\}\; (2,1)\}$. Возможные решетки были классифицированы Прасадом и Йунгом, а классификация была завершена Картрайтом и Стегером, которые проверили, что они действительно соответствуют поддельным проективным плоскостям.