Войти
Числовое поле Q (√2) находится внутри R, и два вложения поля в C отправляют каждый элемент в поле другому элементу R, следовательно, поле полностью реальное. В теория чисел, числовое поле K называется полностью реальным, если для каждого встраивания из K в комплексные числа изображение находится внутри вещественных чисел. Эквивалентные условия заключаются в том, что K генерируется над Q одним корнем целочисленного многочлена P, причем все корни P являются действительными; или что алгебра тензорного произведения поля K с вещественным полем над Q изоморфна тензорной степени R.
. Например, квадратичные поля K степени 2 над Q являются либо действительными (а затем полностью действительными), либо комплексными, в зависимости от того, присоединяется ли квадратный корень из положительного или отрицательного числа к Q . В случае кубических полей кубический целочисленный многочлен P неприводимый над Q будет иметь по крайней мере один действительный корень. Если он имеет один действительный и два комплексных корня, соответствующее кубическое расширение Q, определяемое присоединением действительного корня, не будет полностью реальным, хотя это поле действительных чисел.
Поля полностью действительных чисел играют важную особую роль в теории алгебраических чисел. абелево расширение поля Q либо полностью реально, либо содержит полностью реальное подполе, над которым оно имеет степень два.
Любое числовое поле, которое имеет Галуа по сравнению с рациональными, должно быть либо полностью реальным, либо полностью мнимым.
