Алгебраическая теория чисел

редактировать
Титульный лист первого издания Disquisitiones Arithmeticae, одной из основополагающих работ современной алгебраической теории чисел.

Алгебраическая теория чисел - это раздел теории чисел, в котором используются методы абстрактной алгебры для изучения целых чисел, рациональных числа и их обобщения. Теоретико-числовые вопросы выражаются в терминах свойств алгебраических объектов, таких как поля алгебраических чисел и их кольца целых чисел, конечные поля и функция поля. Эти свойства, например, допускает ли кольцо уникальную факторизацию, поведение идеалов и группы Галуа полей , может разрешить вопросы первостепенной важности в теории чисел, такие как существование решений диофантовых уравнений.

Содержание

  • 1 История алгебраической теории чисел
    • 1.1 Диофант
    • 1.2 Ферма
    • 1,3 Гаусс
    • 1,4 Дирихле
    • 1,5 Дедекинд
    • 1,6 Гильберт
    • 1,7 Артин
    • 1,8 Современная теория
  • 2 Основные понятия
    • 2.1 Неудача уникальной факторизации
    • 2.2 Факторизация на простые числа идеалы
    • 2.3 Идеальная группа классов
    • 2.4 Реальные и сложные вложения
    • 2.5 Места
      • 2.5.1 Геометрические места на бесконечности
    • 2.6 Единицы
    • 2.7 Дзета-функция
    • 2.8 Локальные поля
  • 3 Основные результаты
    • 3.1 Конечность группы классов
    • 3.2 Теорема Дирихле об единицах
    • 3.3 Законы взаимности
    • 3.4 Формула числа классов
  • 4 Связанные области
  • 5 См. Также
  • 6 Примечания
  • 7 Дополнительная литература
    • 7.1 Введение Тексты
    • 7.2 Промежуточные тексты
    • 7.3 Тексты выпускников
  • 8 Внешние ссылки

История теории алгебраических чисел

Диофант

Можно проследить истоки теории алгебраических чисел к диофантовым уравнениям, названным в честь александрийского математика 3-го века Диофанта, который изучил их и разработал методы решения некоторых видов диофантовых уравнений. Типичная диофантова задача - найти два целых числа x и y, сумма которых и сумма их квадратов равны двум заданным числам A и B соответственно:

A = x + y {\ displaystyle A = x + y \}A = x + y \
В = х 2 + у 2. {\ displaystyle B = x ^ {2} + y ^ {2}. \}B = x ^ {2} + y ^ {2}. \

Диофантовы уравнения изучались тысячи лет. Например, решения квадратного диофантова уравнения x + y = z даются пифагорейскими тройками, первоначально решенными вавилонянами (около 1800 г. до н.э.). Решения линейных диофантовых уравнений, таких как 26x + 65y = 13, можно найти с помощью алгоритма Евклида (ок. 5 век до н.э.).

Главной работой Диофанта была Арифметика, из которых сохранилась лишь часть.

Ферма

Последняя теорема Ферма была впервые выдвинута Пьером де Ферма в 1637 году, как известно, на полях копии «Арифметики», где он утверждал у него было доказательство, которое было слишком большим, чтобы поместиться на полях. До 1995 года не было опубликовано ни одного успешного доказательства, несмотря на усилия бесчисленных математиков в течение 358 прошедших лет. Нерешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и доказательство теоремы модулярности в XX веке.

Гаусс

Одна из основополагающих работ теории алгебраических чисел, Disquisitiones Arithmeticae (латинское : арифметические исследования) - это учебник теории чисел. написано на латыни Карлом Фридрихом Гауссом в 1798 году, когда Гауссу был 21 год, и впервые опубликовано в 1801 году, когда ему было 24. В этой книге Гаусс объединяет результаты по теории чисел, полученные такими математиками, как Ферма, Эйлер, Лагранж и Лежандр и добавляет важные новые собственные результаты. До публикации Disquisitiones теория чисел состояла из набора отдельных теорем и гипотез. Гаусс собрал работы своих предшественников вместе со своей собственной оригинальной работой в систематические рамки, заполнил пробелы, исправил необоснованные доказательства и расширил предмет во многих отношениях.

Disquisitiones были отправной точкой для работ других европейских математиков девятнадцатого века, включая Эрнста Куммера, Питера Густава Лежена Дирихле и Ричард Дедекинд. Многие аннотации, данные Гауссом, по сути являются объявлениями о его дальнейших исследованиях, некоторые из которых остались неопубликованными. Должно быть, они казались его современникам особенно загадочными; теперь мы можем читать их как содержащие ростки теорий L-функций и, в частности, комплексного умножения.

Дирихле

В нескольких статьях в 1838 и 1839 годах Питер Густав Лежен Дирихле доказал первую формулу числа классов для квадратичной формы (позже уточненные его учеником Леопольдом Кронекером ). Формула, которую Якоби назвал результатом, «затрагивающим всю человеческую хватку», открыла путь к аналогичным результатам в отношении более общих числовых полей. Основываясь на своем исследовании структуры группы единиц из квадратичных полей, он доказал теорему Дирихле об единицах, фундаментальный результат в алгебраической теории чисел.

Он впервые использовал принцип «голубятни», основной аргумент подсчета, в доказательстве теоремы в диофантовом приближении, позже названной в его честь аппроксимационной теоремой Дирихле. Он опубликовал важный вклад в последнюю теорему Ферма, для которой он доказал случаи n = 5 и n = 14, а также в закон биквадратичной взаимности. Проблема делителей Дирихле, для которой он нашел первые результаты, все еще остается нерешенной проблемой в теории чисел, несмотря на более поздние вклады других исследователей.

Дедекинд

Исследование Ричарда Дедекинда работ Лежена Дирихле привело его к более позднему изучению полей и идеалов алгебраических чисел. В 1863 году он опубликовал лекции Лежена Дирихле по теории чисел как Vorlesungen über Zahlentheorie («Лекции по теории чисел»), о которых было написано, что:

«Хотя книга несомненно основана на лекциях Дирихле., и хотя сам Дедекинд на протяжении всей своей жизни называл эту книгу книгой Дирихле, сама книга была полностью написана Дедекиндом, по большей части после смерти Дирихле ». (Эдвардс, 1983)

Издания Vorlesungen 1879 и 1894 годов включали дополнения, вводящие понятие идеального, фундаментального теории колец. (Слово «Кольцо», введенное позднее Гильбертом, не встречается в работе Дедекинда.) Дедекинд определил идеал как подмножество набора чисел, составленного из целых алгебраических чисел, которые удовлетворяют полиномиальным уравнениям с целыми коэффициентами. Эта концепция получила дальнейшее развитие в руках Гильберта и особенно Эмми Нётер. Идеалы обобщают идеальные числа Эрнста Эдуарда Куммера, разработанные как часть попытки Куммера 1843 года доказать Великую теорему Ферма.

Гильберт

Дэвид Гильберт объединил область алгебраической теории чисел в своем трактате 1897 года Zahlbericht (буквально «отчет о числах»). Он также решил важную проблему теории чисел , сформулированную Варингом в 1770 году. Как и в случае с теоремой конечности, он использовал доказательство существования, которое показывает, что для проблемы должны быть решения, а не предоставляет механизм для получения ответов. Тогда у него было немного больше, чтобы публиковать по этой теме; но появление модульных форм Гильберта в диссертации студента означает, что его имя в дальнейшем связано с основной областью.

Он сделал серию гипотез по теории поля классов. Эти концепции оказали большое влияние, и его собственный вклад продолжает жить в именах поля классов Гильберта и символа Гильберта в теории поля локальных классов. Результаты были в основном подтверждены к 1930 году, после работы Тейджи Такаги.

Артин

Эмиль Артин установил закон взаимности Артина в серии работ (1924; 1927; 1930). Этот закон является общей теоремой теории чисел, которая составляет центральную часть глобальной теории полей классов. Термин «закон взаимности » относится к длинному ряду более конкретных теоретико-числовых утверждений, которые он обобщил, из квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера к формуле произведения Гильберта для символа нормы . Результат Артина предоставил частичное решение девятой проблемы Гильберта.

Современная теория

Примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма обнаружили возможную связь между двумя явно совершенно разными разделами математики, эллиптическими кривыми и модульными формами. Результирующая теорема модульности (в то время известная как гипотеза Таниямы – Шимуры) утверждает, что каждая эллиптическая кривая является модульной, что означает, что она может быть связана с уникальной модульной формой.

Первоначально это было отклонено как маловероятное или в высшей степени спекулятивное, и было воспринято более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие это, но не доказательства; в результате «поразительная» гипотеза часто называлась гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля. Он стал частью программы Ленглендса, списка важных предположений, требующих доказательства или опровержения.

С 1993 по 1994 год Эндрю Уайлс предоставил доказательство теоремы модульности для полустабильных эллиптических кривых, которое вместе с Теорема Рибета дала доказательство Великой теоремы Ферма. Почти каждый математик в то время ранее считал и Великую теорему Ферма, и теорему о модульности либо невозможным, либо практически невозможным доказать, даже с учетом самых передовых разработок. Впервые Уайлс объявил о своем доказательстве в июне 1993 года в версии, которая вскоре была признана имеющей серьезный пробел в ключевом моменте. Доказательство было исправлено Уайлсом, частично в сотрудничестве с Ричардом Тейлором, и окончательная, широко принятая версия была выпущена в сентябре 1994 года и официально опубликована в 1995 году. Доказательство использует многие методы из алгебраической геометрии и теория чисел, и имеет много ответвлений в этих разделах математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория из схем и теория Ивасавы, а также другие методы 20-го века, недоступные Ферма.

Основные понятия

Отказ уникальной факторизации

Важным свойством кольца целых чисел является то, что оно удовлетворяет фундаментальной теореме арифметики, что каждый (положительное) целое число имеет факторизацию в произведение простых чисел, и эта факторизация уникальна с точностью до порядка множителей. Это может быть неверно в кольце целых чисел O поля алгебраических чисел K.

Простой элемент - это элемент p из O такой, что если p делит произведение ab, то он делит один из множителей а или б. Это свойство тесно связано с простотой целых чисел, потому что любое положительное целое число, удовлетворяющее этому свойству, равно 1 или простому числу. Однако он строго слабее. Например, -2 не является простым числом, потому что оно отрицательно, но это простой элемент. Если факторизация в простые элементы разрешена, то даже в целых числах существуют альтернативные факторизации, такие как

6 = 2 ⋅ 3 = (- 2) ⋅ (- 3). {\ displaystyle 6 = 2 \ cdot 3 = (- 2) \ cdot (-3).}{\ displaystyle 6 = 2 \ cdot 3 = (- 2) \ cdot (-3).}

В общем случае, если u является единицей, что означает число с мультипликативным обратным в O, и если p - простой элемент, то up также является простым элементом. Такие числа, как p и выше, называются ассоциированными. В целых числах простые числа p и −p ассоциированы, но только одно из них положительно. Требование, чтобы простые числа были положительными, выбирает уникальный элемент из набора связанных простых элементов. Однако, когда K не является рациональным числом, аналог положительности отсутствует. Например, в гауссовых целых числах Z[i] числа 1 + 2i и −2 + i являются ассоциированными, потому что последнее является произведением первого на i, но нет возможности выделить одно как более каноничный, чем другой. Это приводит к следующим уравнениям:

5 = (1 + 2 i) (1-2 i) = (2 + i) (2 - i), {\ displaystyle 5 = (1 + 2i) (1-2i) = (2 + i) (2-i),}{\ displaystyle 5 = (1 + 2i) (1-2i) = (2 + i) (2-i),}

, которые доказывают, что в Z [i] неверно, что факторизации уникальны до порядка множителей. По этой причине принято определение уникальной факторизации, используемое в доменах уникальной факторизации (UFD). Ожидается, что в UFD первичные элементы, встречающиеся при факторизации, будут уникальными только до единиц и их порядка.

Однако, даже с этим более слабым определением, многие кольца целых чисел в полях алгебраических чисел не допускают уникальной факторизации. Существует алгебраическое препятствие, называемое группой классов идеалов. Когда группа идеальных классов тривиальна, кольцо является UFD. Если это не так, существует различие между простым элементом и несократимым элементом . Неприводимый элемент x - это такой элемент, что если x = yz, то либо y, либо z является единицей. Это элементы, которые нельзя рассматривать дальше. Каждый элемент в O допускает факторизацию на неприводимые элементы, но может допускать и более одного. Это потому, что, хотя все простые элементы неприводимы, некоторые неприводимые элементы могут не быть простыми. Например, рассмотрим кольцо Z [√-5]. В этом кольце числа 3, 2 + √-5 и 2 - √-5 неприводимы. Это означает, что число 9 имеет две факторизации в неприводимые элементы:

9 = 3 2 = (2 + - 5) (2 - - 5). {\ displaystyle 9 = 3 ^ {2} = (2 + {\ sqrt {-5}}) (2 - {\ sqrt {-5}}).}{\ displaystyle 9 = 3 ^ {2} = (2 + {\ sqrt { -5}}) (2 - {\ sqrt {-5}}).}

Это уравнение показывает, что 3 делит произведение (2 + √-5) (2 - √-5) = 9. Если бы 3 было простым элементом, то он делил бы 2 + √-5 или 2 - √-5, но это не так, потому что все элементы, делящиеся на 3, являются вида 3a + 3b√-5. Точно так же 2 + √-5 и 2 - √-5 делят произведение 3, но ни один из этих элементов не делит 3 сам, поэтому ни один из них не является простым. Поскольку нет смысла, в котором элементы 3, 2 + √-5 и 2 - √-5 можно сделать эквивалентными, уникальная факторизация не выполняется в Z [√-5]. В отличие от ситуации с юнитами, где уникальность можно исправить, ослабив определение, преодоление этого отказа требует нового взгляда.

Факторизация в простые идеалы

Если I - идеал в O, то всегда есть факторизация

I = p 1 e 1 ⋯ ptet, {\ displaystyle I = {\ mathfrak {p}} _ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots {\ mathfrak {p}} _ {t} ^ {e_ {t}},}{\ displaystyle I = {\ mathfrak {p}} _ { 1} ^ {e_ {1}} \ cdots {\ mathfrak {p}} _ {t} ^ {e_ {t}},}

где каждый pi {\ displaystyle { \ mathfrak {p}} _ {i}}{\ mathfrak {p}} _ {i} - это простой идеал, и где это выражение уникально до порядка множителей. В частности, это верно, если I - главный идеал, порожденный одним элементом. Это самый сильный смысл, в котором кольцо целых чисел общего числового поля допускает однозначную факторизацию. На языке теории колец он говорит, что кольца целых чисел являются дедекиндовыми областями.

Когда O - UFD, каждый первичный идеал порождается простым элементом. В противном случае существуют простые идеалы, которые не порождаются простыми элементами. В Z [√-5], например, идеал (2, 1 + √-5) - это простой идеал, который не может быть порожден одним элементом.

Исторически идее разложения идеалов на простые идеалы предшествовало введение Эрнстом Куммером идеальных чисел. Это числа, лежащие в поле расширения E поля K. Это поле расширения теперь известно как поле классов Гильберта. По теореме о главном идеале каждый простой идеал O порождает главный идеал кольца целых чисел E. Генератор этого главного идеала называется идеальным числом. Куммер использовал их вместо отказа уникальной факторизации в круговых полях. В конечном итоге это привело Ричарда Дедекинда к представлению предшественника идеалов и к доказательству уникальной факторизации идеалов.

Идеал, который является простым в кольце целых чисел в одном числовом поле, может не быть простым при расширении до большего числового поля. Рассмотрим, например, простые числа. Соответствующие идеалы p Z являются первичными идеалами кольца Z . Однако, когда этот идеал расширяется до гауссовских целых чисел для получения p Z [i], он может быть или не быть простым. Например, факторизация 2 = (1 + i) (1 - i) означает, что

2 Z [i] = (1 + i) Z [i] ⋅ (1 - i) Z [i] = (( 1 + i) Z [i]) 2; {\ Displaystyle 2 \ mathbf {Z} [я] = (1 + я) \ mathbf {Z} [я] \ cdot (1-я) \ mathbf {Z} [я] = ((1 + я) \ mathbf {Z} [i]) ^ {2};}{\ displaystyle 2 \ mathbf {Z} [i] = (1 + i) \ mathbf {Z} [i] \ cdot (1- я) \ mathbf {Z} [i] = ((1 + i) \ mathbf {Z} [i]) ^ {2};}

обратите внимание, что поскольку 1 + i = (1 - i) ⋅ i, идеалы, порожденные 1 + i и 1 - i, совпадают. Полный ответ на вопрос, какие идеалы остаются простыми в гауссовых целых числах, дает теорема Ферма о суммах двух квадратов. Отсюда следует, что для нечетного простого числа p p Z [i] является простым идеалом, если p ≡ 3 (mod 4), и не является простым идеалом, если p ≡ 1 (mod 4). Это, вместе с наблюдением, что идеал (1 + i) Z [i] является простым, обеспечивает полное описание простых идеалов в гауссовских целых числах. Обобщение этого простого результата на более общие кольца целых чисел - основная проблема алгебраической теории чисел. Теория поля классов достигает этой цели, когда K является абелевым расширением группы Q (то есть расширением Галуа с абелевой группой Галуа).

Идеальная группа классов

Уникальная факторизация терпит неудачу тогда и только тогда, когда есть простые идеалы, которые не могут быть главными. Объект, который измеряет несоблюдение основных идеалов, называется группой классов идеалов. Определение группы классов идеалов требует расширения набора идеалов в кольце целых алгебраических чисел, чтобы они допускали структуру группы. Это делается путем обобщения идеалов на дробные идеалы. Дробный идеал - это аддитивная подгруппа J группы K, которая замкнута относительно умножения на элементы из O, что означает, что xJ ⊆ J, если x ∈ O. Все идеалы группы O также являются дробными идеалами. Если I и J - дробные идеалы, то множество IJ всех произведений элемента в I и элемента в J также является дробным идеалом. Эта операция превращает множество ненулевых дробных идеалов в группу. Групповое тождество - это идеал (1) = O, а обратный к J - (обобщенный) идеальный фактор :

J - 1 = (O: J) = {x ∈ K: x J ⊆ O}. {\ displaystyle J ^ {- 1} = (O: J) = \ {x \ in K: xJ \ substeq O \}.}{\ displaystyle J ^ {- 1} = (O: J) = \ {x \ in K: xJ \ substeq O \}.}

Главные дробные идеалы, то есть идеалы вида Ox, где x ∈ K, образуют подгруппу группы всех ненулевых дробных идеалов. Фактор группы ненулевых дробных идеалов по этой подгруппе является группой классов идеалов. Два дробных идеала I и J представляют один и тот же элемент группы классов идеалов тогда и только тогда, когда существует элемент x ∈ K такой, что xI = J. Следовательно, группа классов идеалов делает два дробных идеала эквивалентными, если один из них настолько близок к главный, как и другой. Группу классов идеалов обычно обозначают Cl K, Cl O или Pic O (последнее обозначение отождествляет ее с группой Пикара в алгебраической геометрии).

Количество элементов в группе классов называется номером класса для K. Номер класса Q (√-5) равен 2. Это означает, что существует только два класса идеалов: класс главных дробных идеалов и класс неглавных дробных идеалов, таких как (2, 1 + √-5).

Идеальная группа классов имеет другое описание в терминах делителей. Это формальные объекты, которые представляют возможные факторизации чисел. Группа дивизоров Div K определяется как свободная абелева группа, порожденная простыми идеалами O. Существует групповой гомоморфизм из K, ненулевых элементов K с точностью до умножение на Div K. Предположим, что x ∈ K удовлетворяет условию

(x) = p 1 e 1 ⋯ ptet. {\ displaystyle (x) = {\ mathfrak {p}} _ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots {\ mathfrak {p}} _ {t} ^ {e_ {t}}.}{\ displaystyle (x) = {\ mathfrak {p}} _ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots {\ mathfrak {p}} _ {t} ^ {e_ {t}}.}

Тогда div x определяется как делитель

div ⁡ x = ∑ i = 1 tei [pi]. {\ displaystyle \ operatorname {div} x = \ sum _ {i = 1} ^ {t} e_ {i} [{\ mathfrak {p}} _ {i}].}{\ displaystyle \ operatorname {div} x = \ sum _ {i = 1} ^ {t} e_ {i} [{\ mathfrak {p}} _ {i}]. }

Ядро div - это группа единиц в O, а коядро - это идеальная группа классов. На языке гомологической алгебры это означает, что существует точная последовательность абелевых групп (записанная мультипликативно),

1 → O × → K × → div Div ⁡ K → Cl ⁡ K → 1. {\ displaystyle 1 \ to O ^ {\ times} \ to K ^ {\ times} {\ xrightarrow {\ text {div}}} \ operatorname {Div} K \ to \ operatorname {Cl } K \ to 1.}{\ displaystyle 1 \ to O ^ {\ times} \ to K ^ {\ times} {\ xrightarrow {\ text {div}}} \ operatorname {Div} K \ to \ operatorname {Cl} K \ to 1.}

Реальные и комплексные вложения

Некоторые числовые поля, такие как Q (√2), могут быть указаны как подполя действительных чисел. Другие, такие как Q (√ − 1), не могут. Абстрактно такая спецификация соответствует гомоморфизму полей K → R или K → C . Они называются реальными вложениями и сложными вложениями соответственно.

Действительное квадратичное поле Q (√a), с a ∈ R, a>0, а не полным квадратом, называется так, потому что допускает два реальных вложения, но не комплексные. Это гомоморфизмы полей, которые переводят √a в √a и в −√a соответственно. Двойственно мнимое квадратичное поле Q (√ − a) не допускает вещественных вложений, но допускает сопряженную пару комплексных вложений. Одно из этих вложений отправляет √ − a в √ − a, а другое отправляет его в его комплексно сопряженное, −√ − a.

Обычно количество реальных вложений K обозначается r 1, в то время как количество сопряженных пар комплексных вложений обозначается r 2. подпись для K - это пара (r 1, r 2). Это теорема, что r 1 + 2r 2 = d, где d - степень K.

Рассмотрение всех вложений сразу определяет функцию

М: К → R r 1 ⊕ C 2 r 2. {\ displaystyle M \ двоеточие K \ to \ mathbf {R} ^ {r_ {1}} \ oplus \ mathbf {C} ^ {2r_ {2}}.}{\ displaystyle M \ двоеточие K \ to \ mathbf {R} ^ {r_ {1}} \ oplus \ mathbf {C} ^ {2r_ {2}}.}

Это называется встраиванием Минковского . Подпространство области, фиксированной комплексным сопряжением, является вещественным векторным пространством размерности d, называемым пространством Минковского. Поскольку вложение Минковского определяется гомоморфизмами полей, умножение элементов K на элемент x ∈ Kсоответствует умножению на диагональную матрицу в вложении Минковского. Точечное произведение в рекламе Минковского соответствует форме следа ⟨x, y⟩ = Tr ⁡ (xy) {\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ operatorname {Tr} (xy)}{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ operatorname {Tr} (xy)} .

Изображение O при вложении Минковского является d-мерной решеткой. Если B является базисом для этой решетки, то Det BB является дискриминантом O. Дискриминант обозначается Δ или D. Коволюм изображения O равен | Δ | {\ displaystyle {\ sqrt {| \ Delta |}}}{\ displaysty ле {\ sqrt {| \ Delta |}}} .

Места

Реальные и сложные вложения могут быть поставлены на один уровень с первыми идеалами, если принять точку зрения, основанную на оценках. Рассмотрим, например, целые числа. В дополнение к обычному абсолютному значению функция | · | : Q→ Rсуществуют p-адические функции с абсолютным значением | · | p: Q→ R, платья для каждого платья простого простого числа, которые измеряют делимость на p. Теорема Островского утверждает, что это все возможные функции абсолютного значения на Q (с точностью до эквивалентности). Таким образом, абсолютные значения являются общим языком для описания как реальных вложения Q, так и простые числа.

A позиция поля алгебраических чисел является классом эквивалентности функцийного значения на K. Есть два типа позиций. Существует p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}{\ mathfrak {p}} -adic value для каждого простого идеала p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}{\ mathfrak {p}} из O, и, как p-адические абсолютные значения, он измеряет делимость. Это так называемые конечные места . Другой тип места указывается с использованием действующего или стандартного функций абсолютного значения в R или C . Это бесконечность . Сложное вложение и его сопряженное, сложное вложение и его сопряженное определяет одно и то же место. Следовательно, существует r 1 реальных мест и r 2 сложных мест. Разряды охватывают простые числа, их иногда называют простыми числами . Когда это сделано, конечные места называются конечными простыми числами, а бесконечные места называются бесконечными простыми числами . Если v - оценка, соответствующая абсолютному значению, то часто пишут v ∣ ∞ {\ displaystyle v \ mid \ infty}{\ displaystyle v \ mid \ infty} , чтобы обозначить, что v - бесконечное место и v ∤ ∞ { \ displaystyle v \ nmid \ infty}{\ displaystyle v \ nmid \ infty} означает, что это конечное место.

Рассмотрение всех позиций поля вместе дает кольцо аделей числового поля. Кольцо аделей позволяет одновременно все доступные данные с использованием абсолютных значений. Это дает преимущества в ситуациях, когда поведение в одном месте может влиять на поведение в других местах, как, например, в законе взаимности Артина.

Геометрически бесконечно удаленных мест

Существует геометрическая аналогия для мест в других местах бесконечность, которая имеет место на функциональных полях кривых. Например, пусть k = F q {\ displaystyle k = \ mathbb {F} _ {q}}{\ displaystyle k = \ mathbb {F} _ {q}} и X / k {\ displaystyle X / k}{\ displaystyle X / k } быть гладкой, проективной, алгебраической кривой. Поле функции F = k (X) {\ displaystyle F = k (X)}{\ displaystyle F = k (X)} имеет много абсолютных значений или разрядов, и каждое соответствует точке на кривая. Если X {\ displaystyle X}X - проективное завершение аффинной кривой

X ^ ⊂ A n {\ displaystyle {\ hat {X}} \ subset \ mathbb {A} ^ {n} }{\ displaystyle {\ hat {X}} \ subset \ mathbb {A} ^ {n}}

тогда точки в

X - X ^ {\ displaystyle X - {\ hat {X}}}{\ displaystyle X - {\ hat {X}}}

соответствуют бесконечно удаленным точкам. Затем завершение F {\ displaystyle F}F в одной из этих точек дает аналог p {\ displaystyle p}p -adics. Например, если X = P 1 {\ displaystyle X = \ mathbb {P} ^ {1}}{\ displaystyle X = \ mathbb {P} ^ {1}} , то его функциональное поле изоморфно k (t) {\ displaystyle k (t)}k (t) где t {\ displaystyle t}т - неопределенное значение, а поле F {\ displaystyle F}F - это поле дробей многочленов в т {\ displaystyle t}т . Затем место vp {\ displaystyle v_ {p}}v_p в точке p ∈ X {\ displaystyle p \ in X}p \ in X определяет порядок исчезновения или порядок полюса доли полиномов p (x) / q (x) {\ displaystyle p (x) / q (x)}{\ displaystyle p (x) / q (x)} в точке p {\ Displaystyle p}p . Например, если p = [2: 1] {\ displaystyle p = [2: 1]}{\ displaystyle p = [2: 1]} , то на аффинной диаграмме x 1 ≠ 0 {\ displaystyle x_ {1} \ neq 0}{\ displaystyle x_ {1} \ neq 0} это соответствует точке 2 ∈ A 1 {\ displaystyle 2 \ in \ mathbb {A} ^ {1}}{\ displaystyle 2 \ in \ mathbb {A} ^ {1}} , оценка v 2 {\ displaystyle v_ {2}}v_ {2} измеряет порядок исчезновения из p (x) {\ displaystyle p (x)}p(x)минус порядок исчезновения q (х) {\ displaystyle q (x)}q (x) в 2 {\ displaystyle 2}2 . Тогда поле функции завершения в месте v 2 {\ displaystyle v_ {2}}v_ {2} равно k ((t - 2)) {\ displaystyle k ((t-2))}{\ displaystyle k ((t-2))} является используемым полем степенного ряда элементов t - 2 {\ displaystyle t-2}{\ displaystyle t -2} , поэтому элемент имеет формулу

a - k (t - 2) - k + ⋯ + a - 1 (t - 1) - 1 + a 0 + a 1 (t - 2) + a 2 (t - 2) 2 + ⋯ = ∑ n = - k ∞ an (t - 2) n {\ displaystyle {\ begin {align} a _ {- k} (t-2) ^ {- k} + \ cdots + a _ {- 1} (t-1) ^ {- 1} + a_ {0} + a_ {1} (t-2) + a_ {2} (t-2) ^ {2} + \ cdots \\ = \ sum _ {n = -k} ^ {\ infty} a_ {n} (t -2) ^ {n} \ end {align}}{\ displaystyle {\ begin {align} a _ {- k} (t-2) ^ {- k} + \ cdots + a _ {- 1} (t-1) ^ {- 1} + a_ {0} + a_ {1} (t-2) + a_ {2} (t-2) ^ {2} + \ cdots \\ = \ sum _ {n = -k} ^ {\ infty} a_ {n} (t-2) ^ {n} \ end {align}}}

для некоторого k ∈ N {\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}к \ in \ mathbb {N} . Для бесконечно удаленного места это соответствует функциональному полю k ((1 / t)) {\ displaystyle k ((1 / t))}{\ displaystyle k ((1 / t))} , которое представляет собой степенной ряд вида

∑ N = - к ∞ ан (1 / t) n {\ displaystyle \ sum _ {n = -k} ^ {\ infty} a_ {n} (1 / t) ^ {n}}{\ displaystyle \ sum _ {n = -k} ^ {\ infty} a_ {n} (1 / t) ^ {n}}

Единицы

Целые числа имеют только две единицы: 1 и -1. Другие кольца целых чисел содержат больше Целые числа Гаусса состоят из четырех единиц, двух предыдущих и ± i. Целые числа Эйзенштейна Z[exp (2πi / 3)] имеют шесть единиц. Целые числа в полях действительных квадратичных чисел имеют бесконечно много единиц. Например, в Z [√3] каждая степень 2 + √3 является единицей, и все эти степени различны.

В общем, группа O, обозначенная O, является конечно порожденной абелевой группой. Таким образом, из основной теоремы о конечно порожденных абелевых групп следует, что это прямая сумма торсионной части и свободной части. Если переосмыслить это в контексте числового поля, торсионная часть состоит из корней из единицы, лежащих в O. Эта группа циклической. Свободная часть описывается теоремой Дирихле о единицах. Эта теорема утверждает, что ранг свободной части равенство r 1 + r 2 - 1. Таким образом, например, единственными полями, для которых ранг свободной части равен нулю, являются Q и мнимые квадратичные поля. Также возможно более точное утверждение, дающее структуру O ⊗ ZQкак Галуа для группы Галуа K / Q .

Свободная часть единичной группы можно изучить, используя бесконечные места K. Рассмотрим функцию

{L: K × → R r 1 + r 2 L (x) = (log ⁡ | x | v) v { \ Displaystyle {\ begin {cases} L: K ^ {\ times} \ to \ mathbf {R} ^ {r_ {1} + r_ {2}} \\ L (x) = (\ log | x | _ { v}) _ {v} \ end {cases}}}{\ displa ystyle {\ begin {case} L: K ^ {\ times} \ to \ mathbf {R} ^ {r_ {1} + r_ {2}} \\ L (x) = (\ log | x | _ {v}) _ {v} \ end {cases}}}

где v изменяется в бесконечных местах K и | · | v - абсолютное значение, связанное с v. Функция L является гомоморфизмом из K в реальное векторное пространство. Можно показать, что образ O представляет собой решетку, которая охватывает гиперплоскость, определенную как x 1 + ⋯ + xr 1 + r 2 = 0. {\ displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {r_ {1} + r_ {2}} = 0.}{\ displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {r_ {1} + r_ {2}} = 0.} Коволюм этой решетки является регулятором числового поля. Одно из упрощений, которое стало возможным благодаря работе с кольцом аделей, состоит в том, что существует единственный объект, группа идеелей, которая содержит как фактор по этой решетке, так и группу классов идеалов.

Дзета-функция

Дзета-функция Дедекинда числового поля, аналогичная дзета-функции Римана, является аналитическим восприятием основных идеалов поведения в K. Когда K является абелевым расширением Q, дзета-функции Дедекинда являются продуктами L-функций Дирихле, с одним множителем для каждого символа Дирихле. Тривиальный характер соответствует дзета-функции Римана. Когда K является расширением Галуа, дзета-функция Дедекинда является L-функцией Артина регулярного представления группы Галуа для K, и она имеет факторизация в терминах неприводимых представлений Артина группы Галуа.

Дзета-функция связана с другими инвариантами, описанными выше, формулой числа классов.

Локальные поля

Завершение числового поля K в месте w дает заполнить поле. Если оценка архимедова, получается R или C, если она неархимедова и лежит над простым p рациональных чисел, получается конечное расширение K w / Q p: {\ displaystyle K_ {w} / \ mathbf {Q} _ {p}:}{\ displaystyle K_ {w} / \ mathbf {Q} _ {p}:} полное дискретнозначное поле с конечным полем вычетов. Этот процесс упрощает арифметику поля и позволяет изучать проблемы на месте. Например, теорема Кронекера – Вебера может быть легко выведена из аналогичного локального утверждения. Философия, лежащая в основе изучения местных полей, во многом основана на геометрических методах. В алгебраической геометрии принято изучать многообразия локально в точке путем локализации на максимальном идеале. Затем глобальную информацию можно восстановить путем объединения локальных данных. Этот дух принят в алгебраической теории чисел. Учитывая простое число в кольце целых алгебраических чисел в числовом поле, желательно изучать поле локально в этом простом числе. Следовательно, мы локализуем кольцо целых алгебраических чисел на этом простом числе, а затем дополняем поле дробей в духе геометрии.

Основные результаты

Конечность группы классов

Один из классических результатов алгебраической теории чисел состоит в том, что группа идеальных классов поля алгебраических чисел K конечна. Это следствие теоремы Минковского, поскольку существует только конечное число интегральных идеалов с нормой меньше фиксированного положительного целого числа. Порядок группы классов называется номером класса и часто обозначается буквой h.

Теорема Дирихле об единицах

Теорема Дирихле об единицах дает описание структуры мультипликативной группы единиц O кольца целых чисел O. В частности, она утверждает, что O изоморфна G × Z, где G - конечная циклическая группа, состоящая из всех корней из единицы в O, и r = r 1 + r 2 - 1 (где r 1 (соответственно r 2) обозначает количество реальных вложений (соответственно пар сопряженных нереальных вложений) K). Другими словами, O - это конечно порожденная абелева группа ранга r1+ r 2 - 1, кручение которой состоит из корней из единицы в O.

Законы взаимности

В терминах символа Лежандра, закон квадратичной взаимности для положительных нечетных простых чисел состояний

(pq) (qp) = (- 1) p - 1 2 кв - 1 2. {\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {{\ frac {p-1} {2}} {\ frac {q-1} {2}}}.}\ left ( {\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {{\ frac {p-1} {2}} {\ гидроразрыв {q-1} {2}}}.

A закон взаимности является обобщением закона квадратичной взаимности.

Существует несколько различных способов выражения взаимности законы. Ранние законы взаимности, найденные в 19 веке, обычно выражались в терминах символа степенного остатка (p / q), обобщающего квадратный символ взаимности, который описывает, когда простое число число представляет собой остаток n-й степени по модулю другого простого числа и задает соотношение между (p / q) и (q / p). Гильберт переформулировал законы взаимности, сказав, что произведение над p символов Гильберта (a, b / p), принимающих значения в корнях из единицы, равно 1. Переформулированный закон взаимности Артина утверждает, что символ Артина от идеалов (или иделей) до элементов группы Галуа тривиален на определенной подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности с помощью когомологий групп или представлений адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.

Формула номера класса

Формула номера класса связывает многие важные инварианты числового поля со специальным значением его дзета-функции Дедекинда.

Связанные области

Алгебраическая теория теории распространяет со многими другими математическими дисциплинами. Он использует инструменты из гомологической алгебры. По аналогии с функциональными полями и числовыми полями он опирается на методы и идеи алгебраической геометрии. Более того, изучение более высокой размерности над Z вместо числовых колец регистрируется как арифметическая геометрия. Алгебраическая теория чисел также используется при изучении арифметических гиперболических трехмерных множеств.

См. Также

Примечания

  1. ^Старк, стр. 145–146.
  2. ^Aczel, стр. 14–15.
  3. ^Старк, стр. 44–47.
  4. ^Гаусс, Карл Фридрих; Уотерхаус, Уильям К. (2018) [1966], Disquisitiones Arithmeticae, Springer, ISBN 978-1-4939-7560-0
  5. ^ Эльстродт, Юрген (2007), «Жизнь и творчество Густава Лежена Дирихле (1805–1859)» (PDF ), Clay Mathematics Proceedings, извлечено 25 декабря 2007 г.
  6. ^Канемицу, Сигеру; Чаохуа Цзя (2002), Теоретико-числовые методы: будущие тенденции, Springer, стр. 271–4, ISBN 978-1-4020-1080-4
  7. ^Рид, Констанс (1996), Гильберт, Спрингер, ISBN 0-387-94674-8
  8. ^Эта работа сделала Такаги первым японским математиком международного уровня.
  9. ^Хассе, Гельмут, «История теории поля классов», Cassels Frölich 2010 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFCasselsFrölich2010 (help ), стр. 266–279
  10. ^Сингх, Саймон (1997), Последняя теорема Ферма, ISBN 1-85702-521-0
  11. ^Колата, Джина ( 24 июня 1993 г.). "Наконец-то крик" Эврика! «В древней математической тайне». Нью-Йорк Таймс. Проверено 21 января 2013 г.
  12. ^Это обозначение указывает кольцо, полученное из Z посредством , примыкающего к к Z элементу i.
  13. ^Это обозначение указывает на кольцо, полученное из Z посредством присоединения к Z к элементу √-5.
  14. ^См. Предложение VIII.8.6.11 из Neukirch, Schmidt Wingberg 2000
  15. ^Stein. «Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел» (PDF).
  • Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978- 3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001

Дополнительная литература

Вводные тексты

Промежуточные тексты

  • Marcus, Daniel A. (2018), Number Fields (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3-319-90233-3

Тексты для выпускников

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-10 22:35:50
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте