Войти
Для данного топологического пространства и группы, действующей на нем, образы одной точки при действии группы образуют орбиту действия. Фундаментальная область или фундаментальная область является подмножеством пространства, которое содержит ровно одну точку от каждого из этих орбит. Он служит геометрической реализацией абстрактного множества представителей орбит.
Есть много способов выбрать фундаментальный домен. Обычно фундаментальная область должна быть связным подмножеством с некоторыми ограничениями на его границе, например гладкой или многогранной. Изображения выбранной фундаментальной области под действием группы затем замощают пространство. Одна общая конструкция фундаментальных областей использует ячейки Вороного.
Решетка на комплексной плоскости и ее фундаментальная область с фактор-тором. Учитывая действие из группы G на топологическом пространстве X по гомеоморфизмах, фундаментальная область для этого действия представляет собой набор D представителей для орбит. Обычно требуется, чтобы топологически это было достаточно хорошее множество, одним из нескольких точно определенных способов. Одним из типичных условие, что D является почти открытое множество, в том смысле, что D является симметричным разница открытого множества в X с множеством меры нуль, в течение определенного (квази) инвариантной мерой на X. Фундаментальная область всегда содержит свободное регулярное множество U, открытое множество, перемещаемое G в непересекающиеся копии, и почти так же хорошо, как D, в представлении орбит. Часто требуется, чтобы D был полным набором представителей смежного класса с некоторыми повторениями, но повторяющаяся часть имеет нулевую меру. Это типичная ситуация в эргодической теории. Если для вычисления интеграла на X / G используется фундаментальная область, наборы нулевой меры не имеют значения.
Например, когда X - евклидово пространство R n размерности n, а G - решетка Z n, действующая на нем посредством сдвигов, фактор X / G представляет собой n -мерный тор. В качестве фундаментальной области D здесь можно взять [0,1) n, которая отличается от открытого множества (0,1) n множеством нулевой меры, или замкнутого единичного куба [0,1] n, граница которого состоит из точек, орбита имеет более одного представителя в D.
Примеры в трехмерном евклидовом пространстве R 3.
В случае трансляционной симметрии в сочетании с другими симметриями фундаментальная область является частью примитивной ячейки. Например, для групп обоев основной домен в 1, 2, 3, 4, 6, 8 или 12 раз меньше, чем элементарная ячейка.
Каждая треугольная область представляет собой свободный регулярный набор H / Γ; серый (с третьей точкой треугольника на бесконечности) - каноническая фундаментальная область. Диаграмма справа показывает часть конструкции фундаментальной области для действия модулярной группы Г на верхней полуплоскости H.
Эта знаменитая диаграмма встречается во всех классических книгах по модульным функциям. (Это было, вероятно, хорошо известно, что Гаусс, который занимался фундаментальными областями в обличье теории приведения в квадратичных формах. ) Здесь каждая треугольная область (ограниченная синих линии) является свободным регулярным множеством действия Г на H. Границы (синие линии) не являются частью бесплатных регулярных множеств. Чтобы построить фундаментальную область H / Γ, нужно также подумать о том, как назначать точки на границе, стараясь не пересчитывать такие точки дважды. Таким образом, свободным регулярным множеством в этом примере является
Фундаментальная область строится путем добавления границы слева плюс половина дуги снизу, включая точку посередине:
Выбор точек границы для включения в основной домен является произвольным и варьируется от автора к автору.
Основная трудность определения фундаментальной области заключается не столько в определении множества как таковом, сколько в том, как обрабатывать интегралы по фундаментальной области при интегрировании функций с полюсами и нулями на границе области.
