Групповое действие

редактировать

Действие элементов группы как преобразований или автоморфизмов (математика)

Для равностороннего треугольника, поворот против часовой стрелки на 120 ° вокруг центра треугольника отображает каждую вершину треугольника в другую. Циклическая группа C3, состоящая из поворотов на 0 °, 120 ° и 240 °, действует на набор из трех вершин.

В математике групповое действие на пространстве является гомоморфизмом группы данной группы в группе преобразований пространство. Точно так же действие группы на математической структуре является групповым гомоморфизмом группы в автоморфизмов структуры. Говорят, что группа действует на пространство или структуру. Если группа воздействует на структуру, она также действует на все, что построено на структуре. Например, группа евклидовых изометрий действует на евклидово пространство, а также на нарисованные в нем фигуры. В частности, он действует на множество всех треугольников . Аналогичным образом группа симметрий многогранника действует на вершины, ребра и грани многогранника.

Групповое действие в (конечномерном) Новое изображение называется представлением группы. Это позволяет идентифицировать группу с подгруппами GL (n, K), группу обратимых матриц размерности n над полем К.

Симметричная группа Snдействует на любой набор с n элементами, переставляя элементы набора. Хотя группа всех перестановок набора формально зависит от концепции, группового действия позволяет рассматривать одну группу для изучения перестановок всех наборов с одинаковой мощностью.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Действие левой группы
- 1.2 Действие правой группы
2 Типы действий
3 Орбиты и стабилизаторы
- 3.1 Инвариантные подмножества
- 3.2 Неподвижные точки и подгруппы стабилизаторов
- 3.3 Теорема о стабилизаторе орбиты и лемма Бернсайда
4 Примеры
5 Групповые действия и группоиды
6 Морфизмы и изоморфизмы между G-множествами
7 Непрерывные групповые действия
- 7.1 Сильно непрерывные групповые действия и гладкие точки
8 Варианты и обобщения
9 См.. также
10 Примечания
11 Цитаты
12 Ссылки
13 Внешние ссылки

Определение

Действие левой группы

Если G - группа с единичным элементом e, а X - множество, то (левое) групповое действие α группы G на функции X

α: G × X → Икс, {\ Displaystyle \ alpha \ двоеточие G \ times X \ to X,}

\alpha \colon G\times X\to X,

(где α (g, x) часто сокращается до gx или g ⋅ x, когда рассматриваемое действие ясно из контекста)

, который удовлетворяет следующие две аксиомы:

Идентичность:	$e ⋅ Икс знак равно Икс {\ Displaystyle е \ cdot x = x}$ $e\cdot x=x$
Совместимость:	$g ⋅ (h ⋅ x) = (gh) ⋅ x {\ displaystyle g \ cdot (h \ cdot x) = (gh) \ cdot x}$ $g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$

для всех g и h в G и всех x в X.

Говорят, что группа G действует на X (слева). Множество X вместе с группой G называется (левым) G-множеством.

Из этих двух аксиом следует, что для любого фиксированного g в G функция из X в себя, которая отображает x в g ⋅ x, является биекцией, с обратной биекцией - соответствующим отображением для g. Следовательно, можно эквивалентно определить групповое действие G на X как групповой гомоморфизм из G в симметрическую группу Sym (X) всех биекций из X в себя.

Правое групповое действие

Аналогично, действие G правой группы на X функция

α: X × G → X, {\ displaystyle \ alpha \ двоеточие X \ times G \ to X, }

\alpha \colon X\times G\to X,

(с α (x, g) часто сокращается до xg или x ⋅ g, когда рассматриваемое действие ясно из контекста)

, удовлетворяющее аналогичным аксиомам:

Идентичность:	$x ⋅ е знак равно Икс {\ Displaystyle х \ cdot е = х}$ $x\cdot e=x$
Совместимость:	$(х ⋅ g) ⋅ час = х ⋅ (gh) {\ displaystyle (x \ cdot g) \ cdot h = x \ cdot (gh)}$ $(x\cdot g)\cdot h=x\cdot (gh)$

для всех g и h в G и всех x в X.

Разница между левым и правым действиями заключается в порядке, в котором продукт gh действует на x. При левом действии сначала действует h, затем - g. Логическое действие сначала действует g, затем h - второе. Из-за формулы (gh) = hg, левое действие может быть построено из правого действия путем компоновки с обратной операцией группы. Кроме того, правое действие группы G на X может рассматриваться как левое действие ее противоположной группы G на X. Таким образом, достаточно рассматривать только левые действия без потери общности.

Типы действий

Действие G на X вызывается:

Транзитивным, если X непусто и если для каждой пары x, y в X существует ag в G такое, что g⋅x = y. Например, действие симметрической группы X транзитивно, действие общей линейной группы или специальной линейной группы со стороны пространства V на V ∖ {0} равно равно транзитивно, но действие ортогональной группы евклидова пространства E не транзитивно на E ∖ {0} (оно транзитивно на единичной сфере E, хотя).
Достоверно (или эффективно), если для любых двух различных g, h в G существует x в X такой, что g⋅x ≠ h⋅x; или, что то же самое, если для каждого g ≠ e в G существует x в X такое, что g⋅x ≠ x. Другими словами, в точном групповом действии разные элементы G индуцируют разные перестановки X. В алгебраических терминах группа G точно действует на X тогда и только тогда, когда соответствующий гомомизм симметрической группы G → Sym (X), имеет тривиальный ядро . Таким образом, для точного действия G встраивает в группу перестановок на X; в частности, G изоморфна своим образу в Sym (X). Если G не действует точно на X, мы можем легко изменить группу, чтобы получить точное действие. Если мы определим N = {g в G: g⋅x = x для всех x в X}, то N будет нормальной подгруппой группы G; действительно, это ядро гомоморфизма G → Sym (X). Фактор-группа G / N точно работает на X, полагая (gN) ⋅x = g⋅x. Исходное действие G на X является точным тогда и только тогда, когда N = {e}. Наименьший набор, на котором может быть определено точное действие, может сильно различаться для групп одного размера. Например:
- Три группы размером 120 - это симметричная группа S 5, группа икосаэдра и циклическая группа $. Z / 120 Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 120 \ mathbb {Z}}$ $\mathbb {Z} /120\mathbb {Z}$ . Наименьшие наборы, которые могут быть точными действиями, имеют размер 5, 12 и 16.
- абелевы группы размера 2 включают циклическую группу $Z / 2 n Z {\ displaystyle \ mathbb { Z} / 2 ^ {n} \ mathbb {Z}}$ $\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}$ , а также $(Z / 2 Z) n {\ displaystyle (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {n}}$ $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z})^{n}$ (прямой продукт из копий $Z / 2 Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ), но последний действует на множестве размера 2n, как первый не может действовать точно на множестве размера 2n, чем он сам.
Свободный (или полурегулярный или свободный от фиксированной точки), если для заданных g, h в G из существования x в X с g⋅x = h⋅x следует g = h. Эквивалентно: если g представляет собой группу и существует x в X g Xx = x (то есть, если g имеет хотя бы одну фиксированную точку), то является g. Обратите внимание, что свободное действие на непустом множестве является точным.
Регулярно (или просто транзитивно или строго транзитивно), если оно одновременно и транзитивно, и свободно; это эквивалентно тому, что для любых двух x, y в X существует ровно один g в G такой, что g⋅x = y. В этом случае X называется главным однородным пространством для G или G-торсором. Любая группа G работает на себя умножением слева регулярно, а значит, и точным. Следовательно, каждая группа может быть вложена в симметрическую группу на своих собственных элементах Sym (G). Этот результат известен как теорема Кэли.
n-транзитивная, если X имеет не менее n элементов и для всех различных x 1,..., x n и все разные y 1,..., y n, в G есть такой ag, что g⋅x k = y k для 1 ≤ k ≤ n. 2-транзитивное действие также называется дважды транзитивным, 3-транзитивное действие также называется тройным транзитивным и т. Д. Такие действия определяют интересные классы подгрупп в симметрических группах: 2-транзитивные группы и в более общем плане умноженные транзитивные группы. Действие симметрической группы на множестве из n элементов всегда n-транзитивно; действие альтернирующей группы является (n - 2) -транзитивным.
Точно n-транзитивным, если существует ровно один такой g.
Примитивный, если он транзитивный и не города нетривиальное разбиение X. Подробнее см. примитивная группа перестановок.
Локально свободна, если G является топологической группой, существует Локально свободная точка в G такая, что ограничение действия на U свободным; то есть, если g⋅x = x для некоторого x и некоторого g в U, то g = e.

Кроме того, если G действует в топологическом представлении X, происходит следующее:

Блуждание, если каждая точка x в X имеет такую новость U, что ${g ∈ G: г ⋅ U ∩ U ≠ ∅} {\ displaystyle \ {g \ in G: g \ cdot U \ cap U \ neq \ emptyset \}}$ $\{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}$ конечно. Например, действие $Z n {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\mathbb Z}^{n}$ на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ по переводам скитается. Действие модулярной группы на полуплоскости Пуанкаре также блуждающее.
Собственно разрывное, если X является локально компактным пространством и для любого компактного подмножества K ⊂ X множество ${g ∈ G: g K ∩ K ≠ ∅} {\ displaystyle \ { g \ in G: gK \ cap K \ neq \ emptyset \}}$ $\{g\in G:gK\cap K\neq \emptyset \}$ конечно. Приведенные выше блуждающие действия также являются прерывистыми. С другой стороны, действие $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\mathbb {Z}$ на $R 2 ∖ {(0, 0)} {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}}$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ , заданное как $n ⋅ (x, y) = (2 nx, y / (2 n)) {\ displaystyle n \ cdot ( x, y) = (2nx, y / (2n))}$ $n\cdot (x,y)=(2nx,y/(2n))$ блуждающий и свободный, но не прерывистый.
Правильно, если G - топологическая группа и карта из $G × X → X × X: (g, x) ↦ (g ⋅ x, x) {\ displaystyle G \ times X \ rightarrow X \ times X: (g, x) \ mapsto (g \ cdot x, x)}$ $G\times X\rightarrow X\times X:(g,x)\mapsto (g\cdot x,x)$ - это правильный. Если G дискретный, то правильность эквивалентна собственному разрыву для G-действий.
Говорят, что имеют дискретные орбиты, если орбита каждого x в X под дискретной дискретностью в X.
Действие накрывающего пространства, если каждая точка x в X имеет переменность U, что ${ g ∈ G: г ⋅ U ∩ U ≠ ∅} = {e} {\ displaystyle \ {g \ в G: g \ cdot U \ cap U \ neq \ emptyset \} = \ {e \}}$ $\{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}=\{e\}$ .

Если X является ненул модулем более кольцо R и действие G является R-линейным, то оно называется

неприводимым, если нет ненулевого собственного инвариантного подмодуля.

Орбиты и стабилизаторы

В соединении , группа симметрии представляет собой (вращательную) группу икосаэдра I порядка 60, в то время как стабилизатор одного тетраэдра.) тетраэдрическая группа T порядка 12, а пространство орбит I / T (порядок 60/12 = 5) естественным образом отождествляется с 5 тетраэдрами - дополнительный класс gT соответствует тетраэдру, которому g отправляет выбранный тетраэдр.

Рассмотрим группу G, действующую на множестве X. Орбита элемента x в X - это набор элементов в X, в котором x может быть внесен элемент G. Орбита x обозначается G⋅x:

G ⋅ x = {g ⋅ x ∣ g ∈ G}. {\ displaystyle G \ cdot x = \ left \ {g \ cdot x \ mid g \ in G \ right \}.}

G\cdot x=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}.

Определяющие свойства группы гарантируют, что набор орбит (точек x in) X под действием G образуют разбиение X. Соответствующее отношение эквивалентности определяется следующим образом: x ∼ y тогда и только тогда, когда существует ag в G с g⋅x = y. Тогда орбиты являются классами эквивалентности в этом отношении; два элемента x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда их орбиты совпадают, то есть G⋅x = G⋅y.

Групповое действие является транзитивным тогда и только тогда, когда оно имеет ровно одну орбиту, то есть если существует x в X с G⋅x = X. Это так, если и только если G ⋅x = X для всех x в X (при условии, что X не пусто).

Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G (или, реже: G \ X), и называется фактором действия. В геометрических ситуациях его можно назвать пространством орбит, в то время как в алгебраических ситуациях его можно назвать пространством коинвариантов и записать X G, в отличие от инвариантов (неподвижных точек), обозначенных X: коинварианты являются частным, а инварианты - подмножеством. Коинвариантная терминология и обозначения используются, в частности, в ой когомологии и групповой гомологии, которые используют одно и то же соглашение о надстрочных / подстрочных индексах.

Инвариантные подмножества

Если Y является подмножеством X, каждый записывает GY для множества {g⋅y: y ∈ Y и g ∈ G}. Подмножество Y называется инвариантным относительно G, если G⋅Y = Y (что эквивалентно G⋅Y ⊆ Y). В этом случае G также действует на Y, ограниченное действие Y. Подмножество Y называется фиксированным относительно G, если g⋅y = y для всех g в G и всех y в Y. Каждое подмножество, которое фиксировано относительно G, также инвариантен относительно G, но не наоборот.

Каждая орбита является инвариантным подмножеством X, на котором G действует транзитивно. Наоборот, любое инвариантное подмножество X является объединением орбит. Действие G на X транзитивно тогда и только тогда, когда все элементы эквивалентны, что означает, что существует только одна орбита.

G-инвариантным элементом X является x ∈ X такой, что g⋅x = x для всех g ∈ G. Множество всех таких x обозначается X и называется G-инвариантами X. Когда X является G- модулем, X - это нулевая группа когомологий группы G с коэффициентами в X, а высшие группы когомологий являются производными функторами от функтор G-инвариантов.

Неподвижные точки и подгруппы стабилизаторов

Учитывая g в G и x в X с g⋅x = x, говорят, что «x является фиксированной точкой g» или что «g фиксирует Икс». Для каждого x в X подгруппа стабилизатора группы G по отношению к x (также называемая группа изотропии или группа) - это набор всех элементов в G, которые фиксируют x:

G x = {g ∈ G ∣ g ⋅ x = x}. {\ Displaystyle G_ {x} = \ {g \ in G \ mid g \ cdot x = x \}.}

G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.

Это подгруппа группы G, хотя обычно Действие G на X свободно тогда и только тогда, когда все стабилизаторы тривиальны. Ядро N гомоморфизма с симметрической группой G → Sym (X) задается пересечением стабилизаторов G x для всех x в X. Если N тривиально, действие считается верным (или эффективным).

Пусть x и y - два элемента в X, и пусть g - групповой элемент, что y = g⋅x. Тогда две группы стабилизаторов G x и G y связаны белени ем G y = g G x g. Доказательство: по определению h ∈ G y тогда и только тогда, когда h⋅ (g⋅x) = g⋅x. Применяя g к обеим частям этого равенства, получаем (ghg) ⋅x = x; то есть ghg ∈ G x. Противоположное включение следует аналогично, если взять h ∈ G x и положить x = g⋅y.

Сказанное выше говорит о том, что стабилизаторы элементов на одной орбите сопряжены друг с другом. Таким образом, с каждой орбитой мы можем связать класс сопряженности подгруппы G (то есть множество всех сопряженных подгруппы). $(H) {\ displaystyle (H)}$ $(H)$ обозначает класс сопряженности H. Тогда орбита O имеет тип $(H) {\ displaystyle (H)}$ $(H)$ если стабилизатор $G x {\ displaystyle G_ {x}}$ $G_{x}$ некоторого / любого x в O принадлежит $(H) {\ displaystyle (H)}$ $(H)$ . Типом орбиты часто называют типом главной орбиты..

Теорема о стабилизатореорбиты и лемма Бернсайда

Орбиты и стабилизаторы связаны. Для фиксированного x в X рассмотрим отображение f: G → X, заданное формулой g ↦ g · x. По определению образа f (G) этого отображения есть орбита G · x. Условие того, что два элемента имеют один и тот же образ:

f (g) = f (h) ⟺ g ⋅ x = h ⋅ x ⟺ g - 1 h ⋅ x = x ⟺ g - 1 h ∈ G x ⟺ час ∈ г г Икс {\ Displaystyle е (г) = е (ч) \ iff g \ cdot x = h \ cdot x \ iff g ^ {- 1} h \ cdot x = x \ iff g ^ {- 1 } h \ in G_ {x} \ iff h \ in gG_ {x}}

f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h \cdot x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}

Другими словами, g и h принадлежат одному и тому же связанному классу для подгруппы стабилизатора $G x {\ стиль отображения G_ {x}}$ $G_{x}$ . Таким образом, fiber $f - 1 ({y}) {\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \})}$ $f^{-1}(\{y\})$ f по любому y в G · X является таким совместным классом, и очевидно, что каждый такой совместный класс как слой. Следовательно, f определяет взаимно однозначное соответствие между набором $G / G x {\ displaystyle G / G_ {x}}$ $G/G_{x}$ вспомогательных классов для подгруппы стабилизатора и орбитой G · x, которая отправляет $g Г Г Г Г Икс ↦ г ⋅ Икс {\ Displaystyle gG_ {x} \ mapsto g \ cdot x}$ $gG_{x}\mapsto g\cdot x$ . Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты.

Если конечный результат, то теорема о стабилизаторе орбиты вместе с теоремой Лагранжа дает

| G ⋅ x | = [G: G x] = | G | / | G x |, {\ displaystyle | G \ cdot x | = [G \,: \, G_ {x}] = | G | / | G_ {x} |,}

|G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,

другими словами, длина орбиты в x раз порядок его стабилизатора - порядок группы. В частности, это означает, что длина орбиты является делителем группового порядка.

Пример: Пусть G группа простого порядка p, действующая на множестве X с k элементами. Каждый орбит имеет либо 1, либо p элементов, существует не менее

k mod p {\ displaystyle k {\ bmod {p}}}

k{\bmod {p}}

орбит длиной 1, которые являются G-инвариантными элементами.

Этот результат особенно полезен, поскольку его можно использовать для подсчета аргументов (обычно в ситуациях, когда X также конечно).

Кубический граф с вершинами, помеченными

Пример: Мы можем использовать теорему о стабилизаторе орбиты для подсчета автоморфизмов графа. Рассмотрим кубический граф , как показано на рисунке, и пусть G обозначает его группу автоморфизмов . Затем G действует на совокупность вершин {1, 2,..., 8}, и это действие транзитивно, что можно увидеть, составляющее вращения вокруг центра куба. Таким образом, по теореме о стабилизаторе орбиты

| G | = | G ⋅ 1 | | G 1 | = 8 | G 1 | {\ Displaystyle | G | = | G \ cdot 1 || G_ {1} | = 8 | G_ {1} |}

{\displ aystyle |G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|}

. Применяя теперь теорему к стабилизатору G 1, получаем

| G 1 | = | (G 1) ⋅ 2 | | (G 1) 2 | {\ Displaystyle | G_ {1} | = | (G_ {1}) \ cdot 2 || (G_ {1}) _ {2} |}

|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|

. Любой элемент G, фиксирующий 1, должен отправить 2 либо 2, 4, либо 5. В примере таких автоморфизмов рассматривать вращение вокруг диагональной оси через 1 и 7 на

2 π / 3 {\ displaystyle 2 \ pi / 3}

2\pi /3

, который переставляет 2,4,5 и 3,6,8 и исправляет 1 и 7. Таким образом,

| (G 1) ⋅ 2 | Знак равно 3 {\ displaystyle \ left | (G_ {1}) \ cdot 2 \ right | = 3}

\left|(G_{1})\cdot 2\right|=3

. Применение теоремы в третий раз дает

| (G 1) 2 | = | ((G 1) 2) ⋅ 3 | | ((G 1) 2) 3 | {\ displaystyle | (G_ {1}) _ {2} | = | ((G_ {1}) _ {2}) \ cdot 3 || ((G_ {1}) _ {2}) _ {3} |}

|(G_{1})_{2}|=|((G_{1})_{2})\cdot 3||((G_{1})_{2})_{3}|

. Любой элемент G, фиксирует 1 и 2, должен отправить 3 либо 3, либо 6. Отражение куба в плоскости через 1,2,7 и 8 таким автоморфизмом, отправляющим 3 в 6, таким образом,

| ((G 1) 2) ⋅ 3 | Знак равно 2 {\ displaystyle \ left | ((G_ {1}) _ {2}) \ cdot 3 \ right | = 2}

\left|((G_{1})_{2})\cdot 3\right|=2

. Также видно, что

((G 1) 2) 3 {\ displaystyle ((G_ {1}) _ {2}) _ {3}}

((G_{1})_{2})_{3}

состоит только из тождественного автоморфизма, как любой элемент G, фиксирующий 1, 2 и 3, должен также фиксировать все остальные вершины, определяющие зависимостью с 1, 2 и 3. Объединяя предыдущие вычисления, мы можем теперь получить

| G | Знак равно 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48 {\ displaystyle | G | = 8 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 = 48}

|G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48

Результат, связанный с теоремой о стабилизаторе орбиты, - это лемма Бернсайда :

| X / G | = 1 | G | ∑ g ∈ G | X г |, {\ displaystyle | X / G | = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} | X ^ {g} |,}

|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,

где X набор фиксированных точек пользователя g. Этот результат в основном используется, когда G и X конечны, когда его можно интерпретировать следующим образом: количество орбит равно среднему количеству точек, зафиксированных на один элемент группы.

Зафиксировав группу G, набор формальных разностей конечных G-множеств образует кольцо, называемое кольцом Бернсайда группы G, где сложение соответствует дизъюнктное объединение и умножение на декартово произведение.

Примеры

Тривиальное действие любой группы G на любом множестве X определяет формулой g⋅x = x для всех g в G и всех x в X; то группе есть каждый элемент группы индуцирует тождественную перестановку на X.
В каждой группе G левое умножение G на G: g⋅x = gx для всех g, x в G. Каждая группа изоморфна подгруппе симметрической группы перестановок множества G.
В каждой G с подгруппой H левое умножение - это действие левое умножение - это действие является свободным и транзитивным (регулярным) и составляет основу доказательства группы G на совокупности совместных классов G / H: g⋅aH = gaH для всех g, a в G. В частности, если H не содержит нетривиальных нормальных подгруппы группы G, это индуцирует изоморфизм группы G в подгруппу группы перестановок степени [G: H].
В каждой группе G, сопряжение составляет группу G на G: g⋅x = gxg. Для варианта с правым действием обычно используется экспоненциальная запись: x = gxg; он удовлетворяет (x) = x.
В каждой группе G с подгруппой H сопряжение вызывает G на сопряженных с H: g⋅K = gKg для всех g в G и K конъюгатов H.
Симметрическая группа S n и ее подгруппы на множество {1,…, n}, переставляя его элементы
Группа симметрии242><325 многогранника действует на множество вершин этого многогранника. Он также действует на набор граней или набор ребер многогранника.
Группа симметрии любого геометрического объекта действует на набор точек этого объекта.
группа автоморфизмов вектор безопасности пространства (или граф, или группа, или кольцо...) действует в действующем простран (или на множестве вершин графа, группы или кольца...).
общая линейная группа GL (n, K) и ее подгруппы, особенно ее подгруппы Ли (включая специальную линейную группу SL (n, K), ортогональная группа O (n, K), специальную ортогональную группу SO (n, K) и симплектическую группу Sp (n, K)) - это группы Ли, которые представлены в векторном изображении К. Групповые операции задаются умножением матриц из групповой структуры из K.
Общая линейная группа GL (n, Z ) действует на Z настоящее естественной матрицы. Орбиты его действия классифицируются по наибольшему общему делителю координат в Z.
Аффинная группа действует транзитивно на точки аффинного пространства, а подгруппа V аффинной группы (т. Е. Пространство) транзитивное и свободное (т. Е. Регулярное) действие на этих точках; действительно, это может быть использовано для определения аффинного пространства.
проективная линейная группа PGL (n + 1, K) и ее подгруппы, в частности ее подгруппы, которые являются группами Лиующие на проективное пространство P(К). Это фактор полной линейной группы на проективном представлении. Особенно примечателен PGL (2, K), симметрия проективной прямой, которая является строго 3-транзитивной, сохраняя перекрестное отношение ; Особый интерес представляет группа Мебиуса PGL (2, C ).
изометрии плоскости на набор 2D-изображений и рисунков, такие как рисунки обоев. Определение можно сделать более точным, указав, что подразумевается под изображением или шаблоном, например, функция положения со значениями в наборе цветов. Фактически изометрии являются одним из примеров аффинной группы (действия).
Множества, которые имеют группу G, включают категорию G-множеств, в объектах есть G-множества, а морфизмы - это гомоморфизмы G-множеств: функции f: X → Y такие, что g⋅ (f (x)) = f (g⋅x) для любого g в G.
Функция Группа Галуа расширение поля L / K действует на поле L, но имеет только тривиальное действие на элементы подполя K. Подгруппы Gal (L / K) соответствуют подполям L, которые содержат K, то есть промежуточные расширения поля между L и K.
Аддитивная группа действительных чисел (R, +) действует на фазовое пространство «системы с хорошим поведением » в классической механике (и в более общем планете динамические системы ) на перевод времени : если находится в R и x находится в фазовом пространстве, тогда x находится системы, а t + x определяется как состояние системы через t секунд, если t положительно, или -t секунд наза д, если t отрицательно.
Аддитивная группа действительных чисел (R, +) действует на множестве действующих функций действующего оборудования, с (t⋅f) (x) равный, например, f (x + t), f (x) + t, f (xe), f (x) e, f (x + t) e или f (xe) + t, но не f (xe + t).
Заданное действие G на X, мы можем определить индуцированное действие G на наборе мощности X, задав g настройку U = {g⋅u: u ∈ U} для любого подмножества U много X и каждого g в G. Это полезно, например, при изучении действия большой группы Матье на 24-множестве и при изучении симметрия в некоторых моделях конечной геометрии.
Кватернионы с 1 (версоры ), как мультипликативная группа, такого рода на R : для любого кватерниона z = cos α / 2 + v sin α / 2 отображение f (x ) = z x z - поворот против часовой стрелки на угол α вокруг оси, заданной единичным вектором v ; z - то же вращение; см. кватернионы и пространственное вращение. Обратите внимание, что это неверное действие, потому что кватернион −1 оставляет все точки там, где они были, как и кватернион 1.

Групповые действия и группоиды

Понятие группового действия может быть выражено шире. с помощью действия groupoid $G ′ = G ⋉ X {\ displaystyle G '= G \ ltimes X}$ $G'=G\ltimes X$ , связанного с группой групп, что позволяет использовать методы теории группоидов такие как презентации и расслоения. Далее, стабилизаторами действия являются группы вершин, а орбиты действия - компоненты группоида действия. Дополнительные сведения см. В книге «Топология и группоиды», ссылка на которую ниже.

Этот группоид действий имеет морфизм p: G ′ → G, который является накрывающим морфизмом группоидов. Это позволяет установить связь между такими морфизмами и покрывающими картами в топологии.

Морфизмы и изоморфизмы между G-числами

Если X и Y - два G-числа, морфизм из X в Y - это функция f: X → Y такая что f (g⋅x) = g⋅f (x) для всех g в G и всех x в X. Морфизмы G-множеств также называются эквивариантными отображаемыми элементами или G-отображениями.

Композиция двух морфизмов снова является морфизмом. Если морфизм f биективен, то его обратный также является морфизмом. В этом f f называется изоморфизмом, а два G-числа X и Y называются изоморфными; для всех практических целей изоморфные G-числа неразличимы.

Некоторые примеры изоморфизмов:

Любое регулярное действие G изоморфно действию G на G, заданному левым умножением.
Другое свободное предложение G изоморфно G × S, где S - некоторое количество, и G действует на G × S левым умножением на первую координату. (S можно принять как набор орбит X / G.)
Каждое транзитивное действие G изоморфно левому умножению на G на множественных левых совместных классах некоторого подгруппа H группы G. (H можно считать стабилизирующей группой любого этого элемента исходного G-множества.)

С понятием морфизма совокупность всех G-множеств образует категория ; эта категория является топосом Гротендика (фактически, если принять классическую металогику, этот топос даже будет логическим).

Непрерывные групповые действия

Часто рассматривают непрерывные групповые действия: группа G - это топологическая группа, X - это топологическое пространство, а отображение G × X → X является непрерывным относительно топологии произведений графа G × X. Пространство X также называется G-пространством в этом случае. Это действительно обобщение, поскольку каждая группа может считаться топологической группой с использованием дискретной топологии . Все введенные концепции по-прежнему работают в этом контексте, однако мыем определяем морфизмы между G-пространствами как непрерывные отображения, совместимые с действием G. Фактор-топология X / G наследует фактор-топологию от X является и называется фактор-пространством действия. Приведенные выше утверждение об изоморфизмах для регулярных, свободных и транзитивных действий больше не верны для непрерывных действий.

Если X является регулярным покрывающим пространством другим топологическим пространством Y, то есть группы преобразований колоды на X является должным образом прерывистым, а также свободным. Каждое свободное собственно разрывное действие группы G на линейно связном топологическом пространстве X следующим образом: фактор-отображение X ↦ X / G является регулярным накрывающим отображением, а группа преобразований колоды - это заданное действие G на X., если X односвязно, фундаментальная группа X / G будет изоморфна G.

Эти результаты были обобщены в упомянутой ниже книге Топология и группоиды, чтобы получить фундаментальный группоид пространство орбит разрывного действия дискретной группы на хаусдорфовом пространства, как, при разумных локальных условиях, группоид орбитального фундаментального группоида пространства. Это позволяет выполнять группы вычислений, такие как фундаментальная группа симметричного квадрата пространства X, а именно пространство орбит произведения X с самим собой при скручивающем действии циклической процедуры 2, отправляющей (x, y) в (y, x).

Действие группы G на локально компактном пространстве X является кокомпактным, если существует компактное подмножество A в X такое, что GA = X. Для собственно разрывного действия кокомпактность эквивалентна компактности факторпространства X / G.

Действие G на X называется собственным, если отображение G × X → X × X, отправляющее (g, x) ↦ (g⋅x, x), является правильным отображением.

Сильно непрерывное действие группы и гладкие точки

Групповое действие топологической группы G на топологическом пространстве X называется сильно непрерывным образом, если для всех x в X используется g↦x непрерывно относительно топологий. Такое действие индуцирует действие в непрерывных функциях на X, определяя (g⋅f) (x) = f (g⋅x) для каждого g в G, непрерывной функции на X и x в X. Отметьте, что, в то время как каждый непрерывный групповое действие сильно непрерывно, обратное, вообще говоря, неверно.

Подпространство гладких точек для действия - это подпространство X точек x таких, что g ↦ g⋅x гладко, т. е. непрерывна и все производные непрерывны.

Варианты и обобщения

Мы также можем рассматривать действия моноидов на множествах, используя те же две аксиомы, что и выше. Однако это не определяет взаимно однозначные отображения и отношения эквивалентности. См. действие полугруппы.

Вместо действий на множествах мы можем определить действия групп и моноидов на объектах произвольной категории: начать с объекта X некоторой категории, а затем определить действие на X как гомоморфизм моноидов в моноид эндоморфизмов X. Если X имеет базовое множество, то все определения и факты, указанные выше, могут быть перенесены. Например, если мы возьмем категорию векторных пространств, мы получим групповые представления таким образом.

Мы можем рассматривать группу G как категорию с одним объектом, в котором каждый морфизм обратим. Тогда (левое) групповое действие является не чем иным, как (ковариантным) функтором из G в категорию множеств, а представление группы - это функтор из G в категорию . векторных пространств. Морфизм между G-множествами тогда является естественным преобразованием между функторами действия группы. Аналогично, действие группоида является функтором из группоида в категорию множеств или в какую-либо другую категорию.

Помимо непрерывных действий топологических групп на топологических пространствах, также часто рассматриваются гладкие действия групп Ли на гладких многообразия, регулярные действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях и действия групповых схем на схемах. Все это примеры групповых объектов, действующих на объекты своей соответствующей категории.

См. Также

Примечания

Цитаты

Ссылки

Ашбахер, Майкл (2000). Теория конечных групп. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78675-1. MR 1777008.
Браун, Рональд (2006). Topology and groupoids, Booksurge PLC, ISBN 1-4196-2722-8.
Categories and groupoids, P.J. Higgins, downloadable reprint of van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, which deal with applications of groupoids in group theory and topology.
Dummit, David; Richard Foote (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Вайли. ISBN 0-471-43334-9.
Eie, Minking; Chang, Shou-Te ( 2010). A Course on Abstract Algebra. World Scientific. ISBN 978-981-4271-88-2.
Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics 148( 4th ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
Smith, Jonathan D.H. (2008). Introduction to abstract algebra. Textbooks in mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-6371-4.

External links

, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Group Action". MathWorld.