Фундаментальная пара периодов

В математике, фундаментальная пара периодов является упорядоченной парой из комплексных чисел, определяющих решетку в комплексной плоскости. Этот тип решетки является базовым объектом, с помощью которого определяются эллиптические функции и модульные формы.

Хотя концепция двумерной решетки довольно проста, в математической литературе имеется значительное количество специализированных обозначений и формулировок, касающихся решетки. В данной статье делается попытка пересмотреть эти обозначения, а также представить некоторые теоремы, характерные для двумерного случая.

Фундаментальный параллелограмм, определяемый парой векторов в комплексной плоскости.

• 1 Определение
• 2 Алгебраические свойства
  • 2.1 Эквивалентность
  • 2.2 Нет внутренних точек
  • 2.3 Модульная симметрия
• 3 Топологические свойства
• 4 Фундаментальная область
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Фундаментальная пара периодов является парой комплексных чисел таким образом, что их отношение Q, 2 / ω - не реально. Другими словами, рассматриваемые как векторы в, эти два не коллинеарны. Решетка, порожденная ω 1 и ω 2, есть ${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ in \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Lambda = \ left \ {m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2} \ mid m, n \ in \ mathbb {Z} \ right \}}$

Эту решетку также иногда обозначают как Λ ( ω 1, ω 2), чтобы пояснить, что она зависит от ω 1 и ω 2. Он также иногда обозначается через Q, или Q ( ω 1, ω 2), или просто ⟨ ш 1, ω 2 ⟩. Два образующих ω 1 и ω 2 называются базисом решетки.

Параллелограмм определяется вершинами 0, и называется фундаментальной параллелограмм. ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$

Важно отметить, что в то время как фундаментальная пара порождает решетку, решетка не имеет единственной фундаментальной пары, то есть многие (фактически бесконечное число) фундаментальных пар соответствуют одной и той же решетке.

Можно увидеть ряд свойств, перечисленных ниже.

Эквивалентность

Решетка, натянутая на периоды ω 1 и ω 2, показывающая эквивалентную пару периодов α 1 и α 2.

Две пары комплексных чисел ( ω 1, omega ; 2) и (α 1, α 2) называются эквивалентны, если они порождают ту же решетку: то есть, если ⟨ω 1, ω 2 ⟩ = ⟨α 1, α 2 ⟩.

Нет внутренних точек

Основной параллелограмм не содержит дополнительных точек решетки внутри или на границе. И наоборот, любая пара точек решетки с этим свойством составляет фундаментальную пару и, кроме того, порождает одну и ту же решетку.

Модульная симметрия

Две пары и эквивалентны тогда и только тогда, когда существует матрица 2 × 2 с целыми элементами a,  b,  c и  d и определителем ad - bc = ± 1 такая, что ${\ displaystyle (\ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$${\ Displaystyle (\ альфа _ {1}, \ альфа _ {2})}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a amp; b \\ c amp; d \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ alpha _ {1} \\\ alpha _ {2} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a amp; b \\ c amp; d \ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} \ omega _ {1} \\\ omega _ {2} \ end {pmatrix}},}$

то есть так, чтобы

${\ displaystyle \ alpha _ {1} = a \ omega _ {1} + b \ omega _ {2}}$

и

${\ displaystyle \ alpha _ {2} = c \ omega _ {1} + d \ omega _ {2}.}$

Заметим, что эта матрица принадлежит к матричной группе, которая, с небольшим злоупотребление терминологией, известной как модулярной группы. Эту эквивалентность решеток можно рассматривать как лежащую в основе многих свойств эллиптических функций (особенно эллиптических функций Вейерштрасса ) и модулярных форм. ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {Z})}$

Абелева группа отображает комплексную плоскость в фундаментальный параллелограмм. То есть каждую точку можно записать как целые числа m, n с точкой p в основном параллелограмме. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle г \ в \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle Z = п + м \ омега _ {1} + п \ омега _ {2}}$

Так как это отображение выявляет противоположные стороны параллелограмма, как к тому же, фундаментальный параллелограмм имеет топологию в виде тора. Эквивалентно говорят, что фактормногообразие является тором. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$

Серым цветом показана каноническая фундаментальная область.

Определим τ = ω 2 / ω 1 как отношение полупериодов. Тогда базис решетки всегда можно выбрать так, чтобы τ находилось в особой области, называемой фундаментальной областью. С другой стороны, всегда существует элемент PSL (2, Z), который отображает базис решетки в другой базис, так что τ лежит в фундаментальной области.

Фундаментальная область задается множеством D, которое состоит из множества U плюс часть границы U:

${\ Displaystyle U = \ left \ {z \ in H: \ left | z \ right |gt; 1, \, \ left | \ operatorname {Re} (z) \ right | lt;{\ tfrac {1} {2} }\верно\}.}$

где H - верхняя полуплоскость.

Затем строится фундаментальная область D, добавляя границу слева и половину дуги снизу:

${\ displaystyle D = U \ cup \ left \ {z \ in H: \ left | z \ right | \ geq 1, \, \ operatorname {Re} (z) = - {\ tfrac {1} {2}} \ right \} \ cup \ left \ {z \ in H: \ left | z \ right | = 1, \, \ operatorname {Re} (z) \ leq 0 \ right \}.}$

Речь идет о трех случаях:

• Если и, то в фундаментальной области имеется ровно два базиса решетки с одинаковым τ: и${\ Displaystyle \ тау \ neq я}$${\ displaystyle \ tau \ neq e ^ {{\ frac {1} {3}} я \ pi}}$${\ displaystyle (\ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$${\ displaystyle (- \ omega _ {1}, - \ omega _ {2}).}$
• Если, то четыре основания решетки имеют одинаковое τ: два вышеупомянутых, и,${\ Displaystyle \ тау = я}$${\ displaystyle (\ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$${\ displaystyle (- \ omega _ {1}, - \ omega _ {2})}$${\ displaystyle (я \ omega _ {1}, я \ omega _ {2})}$${\ displaystyle (-i \ omega _ {1}, - i \ omega _ {2}).}$
• Если, то есть шесть решеток база с тем же т:,, и их негативы.${\ Displaystyle \ тау = е ^ {{\ гидроразрыва {1} {3}} я \ пи}}$${\ displaystyle (\ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$${\ Displaystyle (\ тау \ омега _ {1}, \ тау \ омега _ {2})}$${\ Displaystyle (\ тау ^ {2} \ омега _ {1}, \ тау ^ {2} \ омега _ {2})}$

Обратите внимание, что при закрытии основного домена: и${\ Displaystyle \ тау = я}$${\ displaystyle \ tau = e ^ {{\ frac {1} {3}} i \ pi}.}$

• Существует ряд альтернативных обозначений для решетки и фундаментальной пары, которые часто используются вместо них. См., Например, статьи о номинале, эллиптическом модуле, четверти периода и соотношении полупериодов.
• Эллиптическая кривая
• Модульная форма
• Серия Эйзенштейна

• Том М. Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (1990), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN   0-387-97127-0 (См. Главы 1 и 2.)
• Юрген Йост, Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN   3-540-43299-X (См. Главу 2.)