Тор

Поверхность вращения в форме пончика

Тор вращения По мере удаления от оси вращения кольцо тор становится роговым, затем веретенообразным, и, наконец, вырождается в сферу. Тор с соотношением сторон 3 как произведение меньшего (красного) и большего (пурпурного) круга.

В геометрии, тор (множественное число tori ) - это поверхность вращения, созданная вращением окружности в трехмерном пространстве вокруг оси, которая копланарна окружности.

Если ось вращения не касается окружности, поверхность имеет форму кольца и называется тором вращения . Если ось вращения касательна к окружности, поверхность представляет собой рупорный тор . Если ось вращения дважды проходит через окружность, поверхность представляет собой тор шпинделя . Если ось вращения проходит через центр окружности, поверхность является вырожденным тором, сферой . Если повернутая кривая не является кругом, поверхность является связанной формой, тороидом.

Реальные объекты, которые аппроксимируют тор вращения, включают плавательные кольца и внутренние трубы. Линзы для очков, сочетающие сферическую и цилиндрическую коррекцию, - это торические линзы.

Тор не следует путать с полноторием, который образован вращением диска, а не круг вокруг оси. Полноценный тор - это тор плюс объем внутри тора. Реальные объекты, которые приблизительно соответствуют полному тору, включают уплотнительные кольца, ненадувные спасательные круги, кольца пончики и рогалики.

в топологии кольцевой тор гомеоморфен декартову произведению двух окружностей : S × S, и последнее считается определение в этом контексте. Это компактное двумерное многообразие рода 1. Кольцевой тор - это один из способов вложить это пространство в евклидово пространство, но другой способ сделать это - декартово произведение вложения S в плоскости с собой. Это создает геометрический объект, называемый тор Клиффорда, поверхность в 4-пространстве.

В области топологии тор - это любое топологическое пространство, которое топологически эквивалентен тору. Чашка кофе и пончик - это топологические торы.

Пример тора можно построить, взяв прямоугольную полосу гибкого материала, например, резиновый лист, и соединив верхний край с нижним краем, а левый край с правым краем, без любые полувручения (ср. ленту Мёбиуса ).

• 1 Геометрия
• 2 Топология
• 3 Двусторонняя крышка
• 4 n-мерный тор
  • 4.1 Конфигурационное пространство
• 5 Плоский тор
• 6 Поверхность рода g
• 7 Тороидальные многогранники
• 8 Автоморфизмы
• 9 Раскрашивание тора
• 10 Разрезание тора
• 11 См. Также
• 12 Примечания
• 13 Ссылки
• 14 Внешние ссылки

Нижние половины и. вертикальные сечения R>r: кольцевой тор или якорное кольцо R = r: рог-тор R < r: self-intersecting spindle torus

Тор можно определить параметрически по:

$x\; (\theta ,\; \phi )\; =\; (R\; +\; r\; cos\; \; \theta )\; cos\; \; \phi \; y\; (\theta ,\; \phi )\; =\; (R\; +\; r\; cos\; \; \theta )\; sin\; \; \phi \; z\; (\theta ,\; \phi )\; =\; r\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; x\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi)\; =\; (R\; +\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; varphi\}\; \backslash \backslash \; y\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi)\; =\; (R\; +\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; varphi\}\; \backslash \backslash \; z\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi)\; =\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где

θ, φ - углы, которые сделайте полный круг так, чтобы их значения начинались и заканчивались в одной и той же точке,

R - расстояние от центра трубки до центра тора,

r - радиус трубы.

R известен как «большой радиус», а r известен как «малый радиус». Соотношение R, деленное на r, известно как «формат изображения ». Типичные кондитерские изделия в виде пончиков имеют соотношение сторон примерно от 3 до 2.

Неявное уравнение в декартовых координатах для тора, радиально симметричного относительно z- ось равна

$(x\; 2\; +\; y\; 2\; -\; R)\; 2\; +\; z\; 2\; =\; r\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; R\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; =\; r\; ^\; \{2\},\}$

или решение f (x, y, z) = 0, где

$f\; (x,\; y,\; z)\; знак\; равно\; (Икс\; 2\; +\; Y\; 2\; -\; R)\; 2\; +\; Z\; 2\; -\; R\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y,\; z)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; R\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}.\}$

Алгебраическое исключение квадратного корня дает уравнение четвертой степени,

$(x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; +\; R\; 2\; -\; r\; 2)\; 2\; =\; 4\; R\; 2\; (х\; 2\; +\; у\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; +\; R\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; 4R\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

Три класса стандартных торов соответствуют трем возможным соотношениям сторон между R и r:

• Когда R>r, поверхность будет знакомое кольцо торы или якорь кольцо.
• R = R соответствуют роговой торе, который в действительности представляет собой тор без какой-либо «дыры».
• R < r describes the self-intersecting spindle torus.
• Когда R = 0, тор вырождается в сферу.

Когда R ≥ r, внутренность

этого тора диффеоморфна (и, следовательно, гомеоморфна) к произведению из евклидова открытого диска и круга. объем этого полнотория и площадь его тора легко вычисляются с помощью теоремы Паппа о центроидах, что дает:

$A\; =\; (2\; \pi \; r)\; (2\; \pi \; R)\; знак\; равно\; 4\; \pi \; 2\; R\; r\; V\; =\; (\pi \; r\; 2)\; (2\; \pi \; R)\; =\; 2\; \pi \; 2\; R\; r\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; A\; =\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; pi\; r\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; pi\; R\; \backslash \; right)\; =\; 4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; Rr\; \backslash \backslash \; V\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; pi\; R\; \backslash \; right)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; Rr\; ^\; \{2\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Эти формулы такие же, как для цилиндра длины 2πR и радиуса r, полученный путем разрезания трубки по плоскости малого круга и ее разворачивания путем выпрямления (выпрямления) линии, проходящей вокруг центра трубки. Потери площади поверхности и объема на внутренней стороне трубки в точности нивелируют выигрыш на внешней стороне.

Выражение площади поверхности и объема через расстояние p от самой удаленной точки на поверхности тора до центра и расстояние q до самой внутренней точки (так что R = p + q / 2 и r = p - q / 2), получаем

$A\; =\; 4\; \pi \; 2\; (p\; +\; q\; 2)\; (p\; -\; q\; 2)\; =\; \pi \; 2\; (p\; +\; q)\; (p\; -\; q)\; V\; =\; 2\; \pi \; 2\; (p\; +\; q\; 2)\; (п\; -\; q\; 2)\; 2\; знак\; равно\; 1\; 4\; \pi \; 2\; (p\; +\; q)\; (p\; -\; q)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; A\; =\; 4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; +\; q\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{pq\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; (p\; +\; q)\; (pq)\; \backslash \backslash \; V\; =\; 2\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; +\; q\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{pq\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; (p\; +\; q)\; (pq)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Полоидальное направление (красная стрелка) и. Тороидальное направление (синяя стрелка)

Поскольку тор представляет собой произведение двух окружностей, иногда используется модифицированная версия сферической системы координат . В традиционных сферических координатах есть три меры, R, расстояние от центра системы координат, и θ и φ, углы, измеренные от центральной точки.

Поскольку тор имеет две центральные точки, центральные точки углов перемещаются; φ измеряет тот же угол, что и в сферической системе, но известен как «тороидальное» направление. Центральная точка θ перемещается в центр r и известна как «полоидальное» направление. Эти термины впервые были использованы при обсуждении магнитного поля Земли, где «полоидальное» использовалось для обозначения «направления к полюсам».

В современном использовании тороидальный и полоидальный являются чаще используется для обсуждения термоядерных устройств с магнитным удержанием.

Топологически тор - это замкнутая поверхность, определенная как произведение двух окружностей : S × S Это можно рассматривать как лежащее в C и являющееся подмножеством 3-сферы S радиуса √2. Этот топологический тор также часто называют тором Клиффорда. Фактически, S заполняется семейством вложенных торов таким образом (с двумя вырожденными окружностями), факт, который важен при изучении S как расслоения над S (набор Хопфа ).

Поверхность, описанная выше, с учетом относительной топологии из R, гомеоморфна топологическому тору, пока она не пересекает свою собственную ось. Конкретный гомеоморфизм задается стереографическим проецированием топологического тора в R с северного полюса S.

Тор также может быть описан как фактор на декартовой плоскости при отождествлении

$(x,\; y)\; \sim \; (x\; +\; 1,\; y)\; \sim \; (x,\; y\; +\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; \backslash \; sim\; (x\; +\; 1,\; y)\; \backslash \; sim\; (x,\; y\; +\; 1),\; \backslash ,\}$

или, что то же самое, как частное от единичного квадрата путем склеивания противоположных ребер вместе, описанного как фундаментальный многоугольник ABAB.

Переворачивание проколотого тора наизнанку

фундаментальная группа тора - это просто прямое произведение фундаментальной группы окружности на себя:

$\pi \; 1\; (Т\; 2)\; =\; \pi \; 1\; (S\; 1)\; \times \; \pi \; 1\; (S\; 1)\; \cong \; Z\; \times \; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{2\})\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (S\; ^\; \{1\})\; \backslash \; times\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (S\; ^\; \{1\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}.\}$

Интуитивно говоря, это означает, что замкнутый путь, огибающий «дыру» тора (скажем, круг, определенной широты), а затем обводит «тело» тора (скажем, круг, проводящий определенную долготу), может быть деформирован в путь, который огибает тело, а затем отверстие. Итак, строго «широтные» и строго «продольные» пути коммутируют. Эквивалентное утверждение можно представить как два шнурка, проходящие друг через друга, затем разматывающиеся, а затем перематывающиеся.

Если проколоть тор и вывернуть его наизнанку, то получится другой тор с местами широты и долготы. Это эквивалентно построению тора из цилиндра путем соединения круглых концов вместе двумя способами: снаружи, как соединение двух концов садового шланга, или через внутреннюю часть, как скатывание носка (с отрезанным пальцем). Кроме того, если цилиндр был создан путем склеивания двух противоположных сторон прямоугольника, выбор двух других сторон вместо этого приведет к тому же изменению ориентации.

Первая группа гомологий тора изоморфна фундаментальной группе (это следует из теоремы Гуревича, поскольку фундаментальная группа абелев ).

Двумерный тор закрывает двумерную сферу с четырьмя точками разветвления . Каждую конформную структуру на 2-торе можно представить как двулистное покрытие 2-сферы. Точки на торе, соответствующие точкам разветвления, - это точки Вейерштрасса. Фактически, конформный тип тора определяется перекрестным отношением четырех точек.

Стереографическая проекция тора Клиффорда в четырех измерениях, выполняющая простое вращение через плоскость xz

Тор имеет обобщение на более высокие измерения, n-мерный тор, часто называемый n-тором или для краткости гипертором. (Это одно из двух значений термина «n-тор».) Если вспомнить, что тор является пространством произведения двух окружностей, n-мерный тор является произведением n окружностей. То есть:

$T\; n\; =\; S\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; S\; 1\; ⏟\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; underbrace\; \{S\; ^\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; S\; ^\; \{1\}\}\; \_\; \{n\}.\}$

1-тор - это просто окружность : T = S. Обсуждаемый выше тор - это 2-тор, T . И аналогично 2-тору, n-тор, T может быть описан как частное от R при целых сдвигах по любой координате. То есть n-тор равен R по модулю действия целочисленной решетки Z(при этом действие выполняется как сложение векторов). Эквивалентно, n-тор получается из n-мерного гиперкуба путем склеивания противоположных граней вместе.

n-тор в этом смысле является примером n-мерного компактного многообразия. Это также пример компактной абелевой группы Ли. Это следует из того факта, что единичная окружность является компактной абелевой группой Ли (при отождествлении с единичными комплексными числами с умножением). Групповое умножение на торе определяется покоординатным умножением.

Тороидальные группы играют важную роль в теории компактных групп Ли. Отчасти это связано с тем, что в любой компактной группе Ли G всегда можно найти максимальный тор ; то есть замкнутая подгруппа, которая является тором максимально возможной размерности. Такие максимальные торы T играют управляющую роль в теории связных G. Тороидальные группы являются примерами проторов, которые (как и торы) являются компактными связными абелевыми группами, которые не обязательно должны быть многообразиями..

Автоморфизмы матрицы T легко построить из автоморфизмов решетки Z, которые классифицируются по обратимым целочисленным матрицам размера n с интегралом обратный; это просто интегральные матрицы с определителем ± 1. Заставляя их действовать на R обычным образом, мы получаем типичный торальный автоморфизм на частном.

фундаментальная группа n-тора - это свободная абелева группа ранга n. K-я группа гомологий n-тора - это свободная абелева группа ранга n choose k. Отсюда следует, что эйлерова характеристика n-тора равна 0 для всех n. Кольцо когомологий H(T, Z) можно отождествить с внешней алгеброй над модулем Z- Z, образующие которого являются двойниками n нетривиальных циклов.

Конфигурационное пространство

Конфигурационное пространство двух необязательно различных точек на окружности - это орбифолд фактор 2-тора, T/S2, который является Мёбиуса. strip. Тоннец является примером тора в теории музыки.. Тоннец действительно является тором, только если предполагается энгармоническая эквивалентность, так что (F♯-A♯) отрезок правого края повторяющегося параллелограмма отождествляется с отрезком (G ♭ -B ♭) левого ребра.

Поскольку n-тор представляет собой n-кратное произведение окружности, n-тор - это конфигурационное пространство из n упорядоченных, не обязательно различных точек на окружности. Символически T = (S). Конфигурационное пространство неупорядоченных, не обязательно различных точек, соответственно, является орбифолдом T/Sn, который является частным тора по симметрической группе по n буквам (путем перестановки координат).

Для n = 2 частное представляет собой ленту Мёбиуса, ребро, соответствующее точкам орбифолда, где две координаты совпадают. Для n = 3 это частное можно описать как полноторие с поперечным сечением равностороннего треугольника с закруткой ; эквивалентно, как треугольная призма , верхняя и нижняя грани которой соединены поворотом на 1/3 (120 °): трехмерное внутреннее пространство соответствует точкам на 3-мерном торе, где все три координаты различны., 2-мерная грань соответствует точкам с 2 равными координатами и 3-й другой, а 1-мерная грань соответствует точкам с одинаковыми тремя координатами.

Эти орбифолды нашли существенное применение в теории музыки в работах Дмитрия Тимочко и его сотрудников (Фелипе Посада, Майкл Колинас и др.), Использовавшихся для моделирования музыкальных триад..

. В трех измерениях можно согнуть прямоугольник в тор, но при этом обычно поверхность растягивается, что видно по искажению клетчатого узора.

. В стереографической проекции плоский четырехмерный тор можно спроецировать в трехмерном пространстве и вращать на фиксированной оси.

Простейшим замощением плоского тора является {4,4}1,0, построенное на поверхности дуоцилиндра с 1 вершиной, 2 ортогональные ребра и одна квадратная грань. Здесь он изображен стереографически спроецированным в 3-пространство как тор.

Плоский тор - это тор с метрикой, унаследованной от его представления в виде частного, R/L, где L - это дискретная подгруппа R, изоморфная Z . Это дает фактор-структуру риманова многообразия. Возможно, самый простой пример этого - когда L= Z: R/Z, который также можно описать как декартова плоскость под обозначениями (x, y) ~ (x + 1, y) ~ (x, y + 1). Этот конкретный плоский тор (и любая его версия с равномерным масштабом) известен как "квадратный" плоский тор.

Эта метрика квадратного плоского тора также может быть реализована посредством специфических вложений знакомого 2-тора в евклидово 4-мерное пространство или более высокие измерения. Его поверхность везде имеет нулевую гауссову кривизну. Его поверхность «плоская» в том же смысле, что и поверхность цилиндра. В трех измерениях можно согнуть плоский лист бумаги в цилиндр, не растягивая бумагу, но затем вы не можете согнуть этот цилиндр в тор, не растягивая бумагу (если вы не откажетесь от некоторых условий регулярности и дифференцируемости, см. Ниже).

Простое 4-мерное евклидово вложение прямоугольного плоского тора (более общего, чем квадратный) выглядит следующим образом:

$(x,\; y,\; z,\; w)\; =\; (R\; cos\; \; u,\; R\; грех\; \; U,\; P\; соз\; \; v,\; P\; sin\; \; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y,\; z,\; w)\; =\; (R\; \backslash \; cos\; u,\; R\; \backslash \; sin\; u,\; P\; \backslash \; cos\; v,\; P\; \backslash \; sin\; v)\}$

, где R и P - константы, определяющие соотношение сторон. Он диффеоморфен правильному тору, но не изометричен. Он не может быть аналитически вложен (гладкий класса C, 2 ≤ k ≤ ∞) в евклидово 3-мерное пространство. Отображение его в 3-мерное пространство требует, чтобы вы растянули его, и в этом случае он выглядит как обычный тор, например, следующая карта

$(x,\; y,\; z)\; =\; ((R\; +\; P\; sin\; \; v)\; cos\; \; u,\; (R\; +\; P\; sin\; \; v)\; sin\; \; u,\; P\; cos\; \; v).\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y,\; z)\; =\; ((R\; +\; P\; \backslash \; sin\; v)\; \backslash \; cos\; u,\; (R\; +\; P\; \backslash \; sin\; v)\; \backslash \; sin\; u,\; P\; \backslash \; cos\; v).\}$

Если R и P в приведенном выше плоском торе образуют единичный вектор (R, P) = (cos (η), sin (η)), тогда u, v и η могут использоваться для параметризации единичной 3-сферы в параметризации, связанной с Карта Хопфа. В частности, для некоторых очень специфических вариантов квадратного плоского тора в 3-сфере S, где η = π / 4 выше, тор разделит 3-сферу на две конгруэнтные подмножества полнотория с упомянутой плоской поверхностью тора в качестве общей границы. Одним из примеров является тор T, определенный как

$T\; =\; \{(x,\; y,\; z,\; w)\; \in \; S\; 3\; \mid \; x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; 1\; 2,\; z\; 2\; +\; w\; 2\; =\; 1\; 2\; \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(x,\; y,\; z,\; w)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mid\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\},\; \backslash \; z\; ^\; \{2\}\; +\; w\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Другие торы в S, обладающие этим свойством разбиения, включают квадратные торы образуют Q⋅ T, где Q - вращение 4-мерного пространства R, или другими словами Q - член группы Ли SO (4).

Известно, что не существует C (дважды непрерывно дифференцируемого) вложения плоского тора в 3-пространство. (Идея доказательства состоит в том, чтобы взять большую сферу, внутри которой находится такой плоский тор, и уменьшить радиус сферы до тех пор, пока она не коснется тора впервые. Такая точка контакта должна быть касанием. Но это означало бы, что часть тора, поскольку он всюду имеет нулевую кривизну, должна лежать строго вне сферы, что является противоречием.) С другой стороны, согласно теореме Нэша-Койпера, доказанной в В 1950-х годах существует изометрическое C-вложение. Это исключительно доказательство существования и не дает явных уравнений для такого вложения.

В апреле 2012 года было обнаружено явное C (непрерывно дифференцируемое) вложение плоского тора в 3-мерное евклидово пространство R . По своей структуре он похож на фрактал , поскольку строится путем многократного гофрирования обычного тора. Как и фракталы, он не имеет определенной гауссовой кривизны. Однако, в отличие от фракталов, он имеет определенные нормали поверхности. Это плоский тор в том смысле, что как метрические пространства он изометричен плоскому квадратному тору. (Эти бесконечно рекурсивные гофры используются только для вложения в три измерения; они не являются внутренней особенностью плоского тора.) Это первый раз, когда любое такое вложение было определено явными уравнениями или отображено с помощью компьютерной графики.

В теории поверхностей существует еще один объект, поверхность «рода » g. Вместо произведения n окружностей поверхность рода g представляет собой связную сумму двух торов g. Чтобы сформировать связанную сумму двух поверхностей, удалите из каждой внутреннюю часть диска и «склейте» поверхности вместе по граничным кругам. Чтобы сформировать связанную сумму более чем двух поверхностей, суммируйте две из них за раз, пока все они не будут соединены. В этом смысле поверхность рода g напоминает поверхность g-пончиков, склеенных бок о бок, или 2-сферу с прикрепленными g-ручками.

Например, поверхность рода 0 (без границы) - это двумерная сфера, а поверхность рода 1 (без границы) - это обычный тор. Поверхности более высокого рода иногда называют торами с n дырками (или, реже, n-кратными торами). Термины двойной тор и тройной тор также иногда используются.

Классификационная теорема для поверхностей утверждает, что каждая компактная связная поверхность топологически эквивалентна либо сфере, либо соединительной сумме некоторого количества торы, диски и вещественные проективные плоскости.

. род два

. род три

A тороидальный многогранник с 6 × 4 = 24 четырехугольником гранями

Многогранники с топологическим типом тора называются тороидальными многогранниками и имеют эйлерову характеристику V - E + F = 0. Для любого количества дырок формула обобщается на V - E + F. = 2 - 2N, где N - количество отверстий.

Термин "тороидальный многогранник" также используется для многогранников высшего рода и для погружений тороидальных многогранников.

Группа гомеоморфизмов (или подгруппа диффеоморфизмов) тора изучается в геометрической топологии. Его группа классов отображений (компоненты связности группы гомеоморфизмов) изоморфна группе GL (n, Z ) обратимых целочисленных матриц и может быть реализована как линейные отображения на универсальное накрывающее пространство R, которое сохраняет стандартную решетку Z (это соответствует целым коэффициентам) и, таким образом, спускается в частное.

На уровне гомотопии и гомологии группа классов отображения может быть идентифицирована как действие на первой гомологии (или, что эквивалентно, первой когомологии, или на фундаментальная группа, поскольку все они естественно изоморфны; также первая группа когомологий порождает алгебру когомологий :

$MCG\; \; (T\; n)\; =\; Aut\; \; (\pi \; 1\; (Икс))\; =\; Aut\; \; (Z\; N)\; =\; GL\; \; (N,\; Z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{MCG\}\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{n\})\; =\; \backslash \; OperatorName\; \{Aut\}\; (\backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (X))\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Z\}\; ^\; \{n\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}).\}$

Поскольку тор является пространство Эйленберга – Маклейна K (G, 1), его гомотопические эквивалентности с точностью до гомотопии можно отождествить с автоморфизмами фундаментальной группы); то, что это согласуется с группой классов отображений, отражает то, что все гомотопические эквивалентности могут быть реализованы гомеоморфизмами - каждая гомотопическая эквивалентность гомотопна гомеоморфизму - и что гомотопические гомеоморфизмы на самом деле изотопны (связаны через гомеоморфизмы, а не только через гомотопические эквивалентности). Более кратко, отображение Homeo (T ) → SHE (T) является 1-связным (изоморфно по компонентам пути, фундаментальной группе). Это результат «гомеоморфизм сводится к гомотопии, сводится к алгебре».

Таким образом, короткая точная последовательность группы классов отображения расщепляется (идентификация тора как фактор R дает расщепление через линейные отображения, как выше):

$1\; \to \; Homeo\; 0\; \; (T\; n)\; \to \; Homeo\; \; (T\; n)\; \to \; MCG\; \; (T\; n)\; \to \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; \_\; \{0\}\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{n\})\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{n\})\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{MCG\}\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{n\})\; \backslash \; to\; 1,\}$

, поэтому группа гомеоморфизмов тора является полупрямым произведением,

$Homeo\; \; (T\; n)\; \cong \; Homeo\; 0\; \; (T\; n)\; ⋊\; GL\; \; (n,\; Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{n\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; \_\; \{0\}\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{n\})\; \backslash \; rtimes\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}).\}$

Группа классов отображений поверхностей высшего рода намного сложнее и является областью активных исследований.

число Хивуда тора равно семи, что означает, что каждый граф, который может быть встроен в тор, имеет хроматический число из не более семи. (Поскольку полный граф $K\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{K\_\; \{7\}\}\}\}$может быть вложен в тор, а $\chi \; (K\; 7)\; =\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\{\backslash \; mathsf\; \{K\_\; \{7\}\}\})\; =\; 7\}$, верхняя граница жесткая.) Эквивалентно, в торе, разделенном на области, это всегда можно раскрасить регионы, используя не более семи цветов, чтобы все соседние регионы не были одного цвета. (Сравните с теоремой о четырех цветах для плоскости.)

Эта конструкция показывает тор, разделенный на семь областей, каждая из которых касается друг друга, что означает, что каждая должна быть назначена уникальный цвет.

Полноценный тор вращения можно разрезать n (>0) плоскостей на максимально

$(n\; +\; 2\; n\; -\; 1)\; +\; (nn\; -\; 1)\; Знак\; равно\; 1\; 6\; (n\; 3\; +\; 3\; n\; 2\; +\; 8\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; n\; +\; 2\; \backslash \backslash \; n-1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; +\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; n\; \backslash \backslash \; n-1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\}\; (n\; ^\; \{3\}\; +\; 3n\; ^\; \{2\}\; +\; 8n)\}$

parts.

Первые 11 номеров частей, для 0 ≤ n ≤ 10 (включая случай n = 0, не охватываемый приведенными выше формулами), следующие:

1, 2, 6, 13, 24, 40, 62, 91, 128, 174, 230,... (последовательность A003600 в OEIS ).

• Математический портал

• Алгебраический тор
• Угловой тор
• Кольцо (геометрия)
• Тор Клиффорда
• Комплексный тор
• Циклид Дюпена
• Эллиптическая кривая
• Иррациональная обмотка тора
• Совместный европейский тор
• Кле в бутылке
• Неравенство тора Лёвнера
• Максимальный тор
• Решетка периодов
• Реальная проективная плоскость
• Сфера
• Спирическое сечение
• Поверхность (топология)
• Торическая линза
• Торическое сечение
• Торическое разнообразие
• Тороид
• Тороидальное и полоидальное
• Криптография на основе тора
• Торический узел
• Умбилический тор
• Круги Вильярсо

• Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal, ISBN 978-970-10-6596-9, Автор: Козак Ана Мария, Помпея Пасторелли Соня, Верданега Педро Эмилио, Редакция: McGraw-Hill, издание 2007 г., 744 страницы, язык: испанский
• Аллен Хэтчер. Алгебраическая топология. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0.
• V. В. Никулин, И. Р. Шафаревич. Геометрии и группы. Springer, 1987. ISBN 3-540-15281-4, ISBN 978-3-540-15281-1.
• "Торе (понятие géométrique) "в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Найдите torus в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викимедиа. В Commons есть носители, связанные с: Тор (категория )

• Создание тора в разрубленном узле
• «4D тор» Пролетный крест -секции четырехмерного тора
• «Карта реляционной перспективы» Визуализация данных большой размерности с помощью плоского тора
• Полидоны, многоугольники в форме пончика
• Секин, Карло Х (27 января 2014 г.). «Топология скрученного тора - Numberphile» (видео). Брэди Харан.
• Андерс Сандберг (4 февраля 2014 г.). "Тор Земля". Проверено 24 июля 2019 г.