Серия Эйзенштейна

Серия, представляющая модульные формы

Серия Эйзенштейна, названная в честь немецкого математика Готтхольда Эйзенштейна, конкретные модульные формы с бесконечными сериями расширений, которые могут быть записаны напрямую. Первоначально определенные для модульной группы, ряды Эйзенштейна могут быть обобщены в теории автоморфных форм.

• 1 Ряд Эйзенштейна для модулярной группы
• 2 Связь с модульными инвариантами
• 3 Соотношение рекуррентности
• 4 Ряд Фурье
• 5 Тождества, включающие ряды Эйзенштейна
  • 5.1 Как тета-функции
  • 5.2 Продукты ряда Эйзенштейна
  • 5.3 Тождества Рамануджана
• 6 Обобщения
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература

Действительная часть G 6 как функция от q на единичном диске. Отрицательные числа черные. Мнимая часть G 6 как функция q на единичном диске.

Пусть τ будет комплексным числом со строго положительным мнимая часть. Определим голоморфный ряд Эйзенштейна G2k(τ) веса 2k, где k ≥ 2 - целое число, следующим рядом:

$G\; 2\; k\; (\tau )\; =\; \sum \; (m,\; n)\; \in \; Z\; 2\; \setminus \; (0,\; 0)\; 1\; (m\; +\; n\; \tau )\; 2\; к.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{2k\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{(m,\; n)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; setminus\; (0,0)\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(m\; +\; n\; \backslash \; tau)\; ^\; \{2k\}\}\}.\}$

Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции τ в верхней полуплоскости, и его разложение Фурье, приведенное ниже, показывает что он продолжается до голоморфной функции при τ = i∞. Примечательно, что ряд Эйзенштейна представляет собой модульную форму. Действительно, ключевым свойством является его SL (2, ℤ ) -инвариантность. Явно, если a, b, c, d ∈ ℤ и ad - bc = 1, то

$G\; 2\; k\; (a\; \tau \; +\; bc\; \tau \; +\; d)\; =\; (c\; \tau \; +\; d)\; 2\; k\; G\; 2\; к\; (\tau )\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\_\; \{2k\}\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; гидроразрыва\; \{a\; \backslash \; tau\; +\; b\}\; \{c\; \backslash \; tau\; +\; d\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (c\; \backslash \; tau\; +\; d)\; ^\; \{2k\}\; G\_\; \{2k\; \}\; (\backslash \; tau)\}$

(Доказательство)

$G\; 2\; k\; (a\; \tau \; +\; bc\; \tau \; +\; d)\; =\; \sum \; (m,\; n)\; \in \; Z\; 2\; \setminus \; (0,\; 0)\; 1\; (m\; +\; na\; \tau \; +\; bc\; \tau \; +\; d)\; 2\; k\; =\; \sum \; (m,\; n)\; \in \; Z\; 2\; \setminus \; (0,\; 0)\; (c\; \tau \; +\; d)\; 2\; k\; (md\; +\; nb\; +\; (mc\; +\; na)\; \tau )\; 2\; k\; =\; \sum \; (m\; \prime ,\; n\; \prime )\; знак\; равно\; (м,\; n)\; (dcba)\; (m,\; n)\; \in \; Z\; 2\; \setminus \; (0,\; 0)\; (c\; \tau \; +\; d)\; 2\; К\; (m\; \prime \; +\; n\; \prime \; \tau )\; 2\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; G\_\; \{2k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; tau\; +\; b\}\; \{c\; \backslash \; tau\; +\; d\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{(m,\; n)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; setminus\; (0,0)\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (m\; +\; n\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; tau\; +\; b\}\; \{c\; \backslash \; tau\; +\; d\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2k\}\; \}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{(m,\; n)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; setminus\; (0,0)\}\; \{\backslash \; frac\; \{(c\; \backslash \; tau\; +\; d)\; ^\; \{2k\}\}\; \{(md\; +\; nb\; +\; (mc\; +\; na)\; \backslash \; tau)\; ^\; \{2k\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; left\; (m\; \text{'},\; n\text{'}\; \backslash \; right)\; =\; (m,\; n)\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; d\; \backslash \; \backslash \; c\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \; \backslash \; a\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; atop\; (m,\; n)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; setminus\; (0,0)\}\; \{\backslash \; frac\; \{(c\; \backslash \; tau\; +\; d)\; ^\; \{2k\}\}\; \{\backslash \; left\; (m\; \text{'}+\; n\text{'}\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\; ^\; \{2k\}\}\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$

Если ad - bc = 1, то

$(dcba)\; -\; 1\; =\; (a\; -\; c\; -\; bd)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; d\; c\; \backslash \backslash \; b\; a\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; a\; -c\; \backslash \backslash \; -\; b\; \backslash \; d\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

так, чтобы

$(m,\; n)\; \mapsto \; (m,\; n)\; (dcba)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; m,\; n)\; \backslash \; mapsto\; (m,\; n)\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; d\; c\; \backslash \backslash \; b\; a\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

является биекцией ℤ2→ ℤ2, то есть:

$\sum \; (m\; \prime ,\; n\; \prime )\; =\; (m,\; n)\; (dcba)\; (m,\; n)\; \in \; Z\; 2\; \setminus \; (0,\; 0)\; 1\; (m\; \prime \; +\; n\; \prime \; \tau )\; 2\; k\; =\; \sum \; (m\; \prime ,\; n\; \prime )\; \in \; Z\; 2\; \setminus \; (0,\; 0)\; 1\; (m\; \prime \; +\; n\; \prime \; \tau )\; 2\; К\; знак\; равно\; G\; 2\; К\; (\tau )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; left\; (m\; \text{'},\; n\text{'}\; \backslash \; right)\; =\; (m,\; n)\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\; \}\; d\; \backslash \; \backslash \; c\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \; \backslash \; a\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; atop\; (m,\; n)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; setminus\; (0,0)\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; \backslash \; left\; (m\; \text{'}+\; n\text{'}\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\; ^\; \{2k\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; left\; (m\; \text{'},\; n\text{'}\; \backslash \; right)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; setminus\; (0,\; 0)\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(m\; \text{'}+\; n\text{'}\; \backslash \; tau)\; ^\; \{2k\}\}\}\; =\; G\_\; \{2k\}\; (\backslash \; tau)\}$

В целом, если ad - bc = 1, то

$G\; 2\; К\; (a\; \tau \; +\; bc\; \tau \; +\; d)\; знак\; равно\; (c\; \tau \; +\; d)\; 2\; К\; G\; 2\; К\; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{2k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; tau\; +\; b\}\; \{c\; \backslash \; tau\; +\; d\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (c\; \backslash \; tau\; +\; d)\; ^\; \{2k\}\; G\_\; \{2k\}\; (\backslash \; tau)\}$

и G 2k находится там повторно модульная форма веса 2к. Обратите внимание, что важно предположить, что k ≥ 2, в противном случае было бы незаконным изменять порядок суммирования, и SL (2, ℤ ) -инвариантность не будет выполняться. На самом деле не существует нетривиальных модулярных форм веса 2. Тем не менее, аналог голоморфного ряда Эйзенштейна может быть определен даже при k = 1, хотя это будет только квазимодулярная форма.

Модульные инварианты g2и g 3 эллиптической кривой задаются первыми двумя рядами Эйзенштейна:

$g\; 2\; =\; 60\; G\; 4\; г\; 3\; =\; 140\; г\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; g\_\; \{2\}\; =\; 60G\_\; \{4\}\; \backslash \backslash \; g\_\; \{3\}\; =\; 140G\_\; \{6\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В статье о модульных инвариантах представлены выражения для эти две функции в терминах тета-функций.

Любая голоморфная модулярная форма для модульной группы может быть записана как полином от G 4 и G 6. В частности, G 2k более высокого порядка может быть записан в терминах G 4 и G 6 через рекуррентное отношение. Пусть d k = (2k + 3) k! G 2k + 4, поэтому, например, d 0 = 3G 4 и d 1 = 5G 6. Тогда d k удовлетворяет соотношению

$\sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; dkdn\; -\; k\; =\; 2\; n\; +\; 9\; 3\; n\; +\; 6\; dn\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; d\_\; \{k\}\; d\_\; \{nk\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2n\; +\; 9\}\; \{3n\; +\; 6\}\}\; d\_\; \{n\; +\; 2\}\}$

для всех n ≥ 0. Здесь, (. k)- биномиальный коэффициент.

d k встречается в разложении в ряд для эллиптических функций Вейерштрасса :

$\wp \; (z)\; =\; 1\; z\; 2\; +\; z\; 2\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; \infty \; dkz\; 2\; кк!\; Знак\; равно\; 1\; Z\; 2\; +\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; \infty \; (2\; К\; +\; 1)\; G\; 2\; К\; +\; 2\; Z\; 2\; К.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; wp\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{d\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{2k\}\}\; \{k!\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (2k\; +\; 1)\; G\_\; \{2k\; +\; 2\}\; z\; ^\; \{2k\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

G4 G6 G8 G10 G12 G14

Определите q = e. (Некоторые старые книги определяют q как ном q = e, но q = e теперь является стандартом в теории чисел.) Тогда ряд Фурье ряда Эйзенштейна равен

$G\; 2\; К\; (\tau )\; знак\; равно\; 2\; \zeta \; (2\; К)\; (1\; +\; с\; 2\; К\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; \sigma \; 2\; К\; -\; 1\; (N)\; qn)\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\_\; \{2k\}\; (\backslash \; тау)\; =\; 2\; \backslash \; zeta\; (\; 2k)\; \backslash \; left\; (1\; +\; c\_\; \{2k\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2k-1\}\; (n)\; q\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\}$

где коэффициенты c 2k задаются как

$c\; 2\; k\; =\; (2\; \pi \; i)\; 2\; k\; (2\; k\; -\; 1)!\; \zeta \; (2\; k)\; =\; -\; 4\; k\; B\; 2\; k\; =\; 2\; \zeta \; (1-2\; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; c\_\; \{2k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2\; \backslash \; pi\; i)\; ^\; \{2k\}\}\; \{(2k-1)!\; \backslash \; zeta\; (2k)\}\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-4k\}\; \{B\_\; \{2k\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; zeta\; (1-2k)\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Здесь B n - числа Бернулли, ζ (z) - дзета-функция Римана, а σ p (n) - функция суммы делителей, сумма p-х степеней делителей n. В частности,

$G\; 4\; (\tau )\; =\; \pi \; 4\; 45\; (1\; +\; 240\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \sigma \; 3\; (n)\; qn)\; G\; 6\; (\tau )\; =\; 2\; \pi \; 6\; 945\; (1\; -\; 504\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \sigma \; 5\; (n)\; qn).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; G\_\; \{4\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{4\}\}\; \{45\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; 240\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (n)\; q\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [4pt]\; G\_\; \{6\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; ^\; \{6\}\}\; \{945\}\; \}\; \backslash \; left\; (1-504\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{5\}\; (n)\; q\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Суммирование по q можно пересуммировать как ряд Ламберта ; то есть имеется

$\sum \; N\; =\; 1\; \infty \; qn\; \sigma \; a\; (n)\; =\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; naqn\; 1\; -\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{a\}\; (n)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{a\}\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\}$

для произвольного комплекса | q | < 1 and a. When working with the q-разложение ряда Эйзенштейна, часто используется это альтернативное обозначение:

$E\; 2\; k\; (\tau )\; =\; G\; 2\; k\; (\tau )\; 2\; \zeta \; (2\; k)\; =\; 1\; +\; 2\; \zeta \; (1\; -\; 2\; k)\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; n\; 2\; k\; -\; 1\; qn\; 1\; -\; qn\; =\; 1\; -\; 4\; k\; B\; 2\; k\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \sigma \; 2\; k\; -\; 1\; (n)\; qn\; =\; 1\; -\; 4\; k\; B\; 2\; k\; \sum \; d,\; n\; \ge \; 1\; n\; 2\; k\; -\; 1\; qnd.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; E\_\; \{2k\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{G\_\; \{2k\}\; (\backslash \; tau)\}\; \{2\; \backslash \; zeta\; (2k)\}\}\; \backslash \backslash \; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; zeta\; (1-2k)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2k-1\}\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\; \}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{4k\}\; \{B\_\; \{2k\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2k-1\}\; (n)\; q\; ^\; \{n\; \}\; \backslash \backslash \; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{4k\}\; \{B\_\; \{2k\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d,\; n\; \backslash \; geq\; 1\}\; n\; ^\; \{2k-1\}\; q\; ^\; \{nd\}.\; \backslash \; End\; \{выравнивается\}\}\; \}$

В качестве тета-функций

Для q = e пусть

$E\; 4\; (\tau )\; =\; 1\; +\; 240\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; n\; 3\; qn\; 1\; -\; qn\; E\; 6\; (\tau )\; знак\; равно\; 1\; -\; 504\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; n\; 5\; qn\; 1\; -\; qn\; E\; 8\; (\tau )\; =\; 1\; +\; 480\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; n\; 7\; qn\; 1\; -\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\; \}\; E\_\; \{4\}\; (\backslash \; tau)\; =\; 1\; +\; 240\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{3\}\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\; \}\}\; \backslash \backslash \; E\_\; \{6\}\; (\backslash \; tau)\; =\; 1-504\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{5\}\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \backslash \; E\_\; \{8\}\; (\backslash \; tau)\; =\; 1\; +\; 480\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{7\}\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1\; -q\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и определим

$a\; =\; \theta \; 2\; (0;\; e\; \pi \; i\; \tau )\; =\; \vartheta \; 10\; (0;\; \tau )\; b\; =\; \theta \; 3\; (0;\; е\; \pi \; я\; \tau )\; знак\; равно\; \vartheta \; 00\; (0;\; \tau )\; с\; =\; \theta \; 4\; (0;\; е\; \pi \; я\; \tau )\; =\; \vartheta \; 01\; (0;\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; a\; =\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; \backslash \; l\; eft\; (0;\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; i\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{10\}\; (0;\; \backslash \; tau)\; \backslash \backslash \; b\; =\; \backslash \; theta\; \_\; \{3\}\; \backslash \; left\; (0;\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; i\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{00\}\; (0;\; \backslash \; tau)\; \backslash \backslash \; c\; =\; \backslash \; theta\; \_\; \{4\}\; \backslash \; left\; (0;\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; i\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{01\}\; (0;\; \backslash \; tau)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где θ m и ϑ ij - альтернативные обозначения для тета-функций Якоби. Тогда

$E\; 4\; (\tau )\; =\; 1\; 2\; (a\; 8\; +\; b\; 8\; +\; c\; 8),\; E\; 6\; (\tau )\; =\; 1\; 2\; (-\; 3\; a\; 8\; (b\; 4\; +\; c\; 4)\; +\; b\; 12\; +\; c\; 12)\; =\; 1\; 2\; (a\; 8\; +\; b\; 8\; +\; c\; 8)\; 3\; -\; 54\; (abc)\; 8\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; E\_\; \{4\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{8\}\; +\; b\; ^\; \{8\}\; +\; c\; ^\; \{8\}\; \backslash \; right),\; \backslash \backslash \; [4pt]\; E\_\; \{6\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; \backslash \; left\; (-3a\; ^\; \{8\}\; \backslash \; left\; (b\; ^\; \{4\}\; +\; c\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right)\; +\; b\; ^\; \{12\}\; +\; c\; ^\; \{12\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\; \backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (a\; ^\; \{8\}\; +\; b\; ^\; \{8\}\; +\; c\; ^\; \{8\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; -54\; (abc)\; ^\; \{\; 8\}\}\; \{2\}\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

таким образом,

$E\; 4\; 3\; -\; E\; 6\; 2\; =\; 27\; 4\; (abc)\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{4\}\; ^\; \{3\}\; -\; E\_\; \{6\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{27\}\; \{4\}\}\; (abc)\; ^\; \{8\}\}$

выражение, относящееся к модульному дискриминанту,

$\Delta \; =\; g\; 2\; 3\; -\; 27\; g\; 3\; 2\; знак\; равно\; (2\; \pi )\; 12\; (1\; 2\; abc)\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; g\_\; \{2\}\; ^\; \{3\}\; -27g\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; =\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{12\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; abc\; \backslash \; right)\; ^\; \{8\}\}$

Кроме того, поскольку E 8 = E. 4и a - b + c = 0, это означает

$E\; 8\; (\tau )\; =\; 1\; 2\; (a\; 16\; +\; b\; 16\; +\; c\; 16).\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{8\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{16\}\; +\; b\; ^\; \{16\}\; +\; c\; ^\; \{16\}\; \backslash \; right).\}$

Произведения серии Эйзенштейна

серии Эйзенштейна образуют наиболее явные примеры модульных форм для полной модульной группы SL (2, ℤ ). Поскольку пространство модулярных форм веса 2k имеет размерность 1 для 2k = 4, 6, 8, 10, 14, различные произведения ряда Эйзенштейна, имеющие такие веса, должны быть равны до скалярного кратного. Фактически, мы получаем тождества:

$E\; 4\; 2\; =\; E\; 8,\; E\; 4\; E\; 6\; =\; E\; 10,\; E\; 4\; E\; 10\; =\; E\; 14,\; E\; 6\; E\; 8\; =\; E\; 14.\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}\; =\; E\_\; \{8\},\; \backslash \; quad\; E\_\; \{4\}\; E\_\; \{6\}\; =\; E\_\; \{10\},\; \backslash \; quad\; E\_\; \{4\}\; E\_\; \{10\}\; =\; E\_\; \{14\},\; \backslash \; quad\; E\_\; \{6\}\; E\_\; \{8\}\; =\; E\_\; \{14\}.\}$

Используя приведенные выше q-разложения ряда Эйзенштейна, их можно переформулировать как тождества, включающие суммы степеней делителей:

$(1\; +\; 240\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; \sigma \; 3\; (N)\; qn)\; 2\; знак\; равно\; 1\; +\; 480\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; \sigma \; 7\; (n)\; qn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1\; +\; 240\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (n)\; q\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; +\; 480\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{7\}\; (n)\; q\; ^\; \{n\},\}$

следовательно,

$\sigma \; 7\; (n)\; =\; \sigma \; 3\; (n)\; +\; 120\; \sum \; m\; =\; 1\; n\; -\; 1\; \sigma \; 3\; (m)\; \sigma \; 3\; (n\; -\; m),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{7\}\; (n)\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (n)\; +120\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (m)\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (нм),\}$

и аналогично для остальных. тета-функция восьмимерной четной унимодулярной решетки Γ является модулярной формой веса 4 для полной модулярной группы, которая дает следующие тождества:

$\theta \; \Gamma \; (\tau )\; =\; 1\; +\; \sum \; n\; Знак\; равно\; 1\; \infty \; р\; \Gamma \; (2\; N)\; QN\; знак\; равно\; E\; 4\; (\tau ),\; р\; \Gamma \; (N)\; =\; 240\; \sigma \; 3\; (N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; (\backslash \; tau)\; =\; 1\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; r\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; (2n)\; q\; ^\; \{n\}\; =\; E\_\; \{4\}\; (\backslash \; tau),\; \backslash \; qquad\; r\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; (n)\; =\; 240\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (n)\}$

для числа r Γ (n) векторов квадрата длины 2n в корневой решетке типа E 8.

Аналогичные методы с использованием голоморфных рядов Эйзенштейна, скрученных на символ Дирихле дает формулы для количества представлений положительного целого числа n 'как суммы двух, четырех или восьми квадратов в терминах делителей числа n.

Используя указанное выше рекуррентное соотношение, все высшие E 2k могут быть выражены как полиномы от E 4 и E 6. Например:

$E 8 = E 4 2 E 10 = E 4 ⋅ E 6 691 ⋅ E 12 = 441 ⋅ E 4 3 + 250 ⋅ E 6 2 E 14 = E 4 2 ⋅ E 6 3617 ⋅ E 16 = 1617 ⋅ E 4 4 + 2000 ⋅ E 4 ⋅ E 6 2 43867 ⋅ E 18 = 38367 ⋅ E 4 3 ⋅ E 6 + 5500 E 6 3 174611 ⋅ E 20 = 53361 ⋅ E 4 5 + 121250 ⋅ E 4 2 ⋅ E 6 2 77683 ⋅ E 22 = 57183 E 4 4 ⋅ E 6 + 20500 ⋅ E 4 ⋅ E 6 3 236364091 ⋅ E 24 = 49679091 E 4 6 + 176400000 ⋅ E 4 3 ⋅ E 6 2 + 10285000 ⋅ E 6 4 {\ displaystyle {\ begin {align} E_ {8} = E_ {4} ^ {2} \\ E_ {10} = E_ {4} \ cdot E_ {6} \\ 691 \ cdot E_ {12 } = 441 \ cdot E_ {4} ^ {3} +250 \ cdot E_ {6} ^ {2} \\ E_ {14} = E_ {4} ^ {2} \ cdot E_ {6} \\ 3617 \ cdot E_ {16} = 1617 \ cdot E_ {4} ^ {4} +2000 \ cdot E_ {4} \ cdot E_ {6} ^ {2} \\ 43867 \ cdot E_ {18} = 38367 \ cdot E_ {4} ^ {3} \ cdot E_ {6} +5500 \ cdot E_ {6} ^ {3} \\ 174611 \ cdot E_ {20} = 53361 \ cdot E_ {4} ^ {5} +121250 \ cdot E_ {4} ^ {2} \ cdot E_ {6} ^ {2} \\ 77683 \ cdot E_ {22} = 57183 \ cdot E_ {4} ^ {4} \ cdot E_ {6} +20500 \ cdot E_ {4} \ cdot E_ {6} ^ {3} \\ 236364091 \ cdot E_ {24} = 49679091 \ cdot E_ {4} ^ {6} +176400000 \ cdot E_ {4} ^ { 3} \ cdot E_ {6} ^ {2} +10285000 \ cdot E_ {6} ^ {4} \ end {align}}}$

Многие отношения между продуктами серии Эйзенштейна могут быть элегантно записаны с использованием определителей Ганкеля, например Личность Гарвана

$\Delta \; 2\; =\; -\; 691\; 1728\; 2\; \cdot \; 250\; det\; |\; E\; 4\; E\; 6\; E\; 8\; E\; 6\; E\; 8\; E\; 10\; E\; 8\; E\; 10\; E\; 12\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{691\}\; \{1728\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 250\}\}\; \backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; E\_\; \{4\}\; E\_\; \{6\}\; E\_\; \{8\}\; \backslash \backslash \; E\_\; \{6\}\; E\_\; \{8\}\; E\_\; \{10\}\; \backslash \backslash \; E\_\; \{8\}\; E\_\; \{10\}\; E\_\; \{12\}\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\}$

где

$\Delta \; =\; E\; 4\; 3\; -\; E\; 6\; 2\; 1728\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{4\}\; ^\; \{3\}\; -E\_\; \{6\}\; ^\; \{2\}\}\; \{1728\}\}\}$

- это модульный дискриминант.

тождества Рамануджана

Шриниваса Рамануджан дал несколько интересных тождеств между первыми несколькими сериями Эйзенштейна, включающими дифференциацию. Пусть

$L\; (q)\; =\; 1-24\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; nqn\; 1\; -\; qn\; =\; E\; 2\; (\tau )\; M\; (q)\; =\; 1\; +\; 240\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; n\; 3\; qn\; 1\; -\; qn\; =\; E\; 4\; (\; \tau )\; N\; (q)\; знак\; равно\; 1\; -\; 504\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; N\; 5\; qn\; 1\; -\; qn\; =\; E\; 6\; (\tau ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; L\; (q)\; =\; 1-24\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{nq\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; E\_\; \{2\}\; (\backslash \; tau)\; \backslash \backslash \; M\; (q)\; =\; 1\; +\; 240\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{3\}\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; E\_\; \{4\}\; (\backslash \; tau)\; \backslash \backslash \; N\; (q)\; =\; 1-504\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{5\}\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; E\_\; \{6\}\; (\backslash \; tau),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, затем

$qd\; L\; dq\; =\; L\; 2\; -\; M\; 12\; qd\; M\; dq\; =\; LM\; -\; N\; 3\; qd\; N\; dq\; =\; LN\; -\; M\; 2\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; q\; \{\backslash \; frac\; \{dL\}\; \{dq\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\; -M\}\; \{12\}\}\; \backslash \backslash \; q\; \{\backslash \; frac\; \{dM\}\; \{dq\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{LM-N\}\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \; q\; \{\backslash \; frac\; \{dN\}\; \{dq\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{LN-M\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}.\; \backslash \; end\; \{\; выровнены\}\}\}$

Эти тождества, как и тождества между сериями, дают арифметические свертки тождества, включающие функцию суммы делителей. Следуя Рамануджану, чтобы представить эти тождества в простейшей форме, необходимо расширить область определения σ p (n) до нуля, положив

$\sigma \; p\; (0)\; =\; 1\; 2\; \zeta \; (-\; p)\; ⟹\; \sigma \; (0)\; =\; -\; 1\; 24\; \sigma \; 3\; (0)\; =\; 1\; 240\; \sigma \; 5\; (0)\; =\; -\; 1\; 504.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{p\}\; (0)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; zeta\; (-p)\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longrightarrow\; \backslash \; quad\; \backslash \; sigma\; (0)\; =\; -\; \{\; \backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{24\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (0)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{240\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; sigma\; \_\; \{5\}\; (0)\; =\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; 1\}\; \{504\}\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Тогда, например,

$\sum \; k\; =\; 0\; n\; \sigma \; (k)\; \sigma \; (n\; -\; k)\; =\; 5\; 12\; \sigma \; 3\; (n)\; -\; 1\; 2\; п\; \sigma \; (п).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sigma\; (k)\; \backslash \; sigma\; (nk)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{5\}\; \{12\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (n)\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\; n\; \backslash \; sigma\; (n).\}$

Другие тождества этого типа, но не имеющие прямого отношения к предыдущим соотношениям между функциями L, M и N, были доказаны Рамануджаном и Джузеппе Мелфи, например,

$\sum \; k\; =\; 0\; n\; \sigma \; 3\; (k)\; \sigma \; 3\; (n\; -\; k)\; =\; 1\; 120\; \sigma \; 7\; (n)\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; \sigma \; (2\; k\; +\; 1)\; \sigma \; 3\; (\; n\; -\; k)\; знак\; равно\; 1\; 240\; \sigma \; 5\; (2\; n\; +\; 1)\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; n\; \sigma \; (3\; k\; +\; 1)\; \sigma \; (3\; n\; -\; 3\; k\; +\; 1)\; =\; 1\; 9\; \sigma \; 3\; (3\; n\; +\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (k)\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (nk)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{120\}\; \}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{7\}\; (n)\; \backslash \backslash \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sigma\; (2k\; +\; 1)\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (nk)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{240\; \}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{5\}\; (2n\; +\; 1)\; \backslash \backslash \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sigma\; (3k\; +\; 1)\; \backslash \; sigma\; (3n-3k\; +\; 1)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\; \}\; \{9\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (3n\; +\; 2).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Автоморфные формы обобщают идею модулярных форм для общих групп Ли ; и ряды Эйзенштейна обобщают аналогичным образом.

Определяя O K как кольцо целых чисел поля полностью вещественных алгебраических чисел K, затем определяется как PSL (2, O K). Затем можно сопоставить ряд Эйзенштейна каждому куспу модулярной группы Гильберта – Блюменталя.

• Ахиезер, Наум Ильич (1970). «Элементы теории эллиптических функций». Москва. Cite journal требует | journal =() Переведено на английский как Элементы теории эллиптических функций. Переводы математических монографий AMS 79 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. 1990. ISBN 0-8218-4532-2.
• Апостол, Том М. (1990). Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-97127-0.
• Чан, Хэн Хуат; Онг, Яу Линь (1999). «О серии Эйзенштейна» (PDF). Proc. Амер. Математика. Soc. 127 (6): 1735–1744. doi : 10.1090 / S0002-9939-99-04832-7.
• Иванец, Хенрик (2002). Спектральные методы автоморфных форм. Аспирантура по математике 53(2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. гл. 3. ISBN 0-8218-3160-7.
• Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики. Тексты для выпускников по математике 7 (пер. Ред.). Нью-Йорк и Гейдельберг: Springer-Verlag.